1951年高考数学试题
1951年全国统一高考数学试卷
1951年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共24小题，满分0分）1．设有方程组，求x，y．考点：二元一次不等式组；不定方程和方程组。
专题：计算题。
分析：通过将两个式子相加求出x，将x的值代入一个方程求出y得到不等式组的解集．解答：解：两式相加得x=5将x=5代入①得y=3∴方程组的解为．点评：本题考查在解方程组组时常用的方法是加减消元法与代入消元法．2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？考点：三角形的形状判断。
专题：探究型。
分析：利用等腰三角形的中线与高重合，得到AF、BE、CD为三角形的高；利用全等三角形的判定定理得到两边相等，判断出三角形的形状．解答：证明：设△ABC的重心与外接圆的圆心均为O（如图）∵OA=OC，E为AC的中点，∴BE⊥AC；同理，CD⊥AB，AF⊥BC在Rt△ABE与Rt△ACD中，∠A为公共角，BE=CD=R+R=R（R为外接圆半径），所以△ABE≌△ACD，AB=AC，同理可得AB=BC由此可知△ABC为等边三角形．点评：本题考查三角形的外心的性质、重心的性质、三角形全等的判定定理、据三角形的边角的关系判断出三角形的形状．考点：三角形中的几何计算。
专题：计算题。
分析：把旗杆的影子和旗杆为两直角边建立数学模型，通过解三角形求解．解答：解：旗杆长为：1×tan60°=丈．故旗杆长为丈点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了分析问题和解决问题的能力．4．若，而a，b，c各不相等，求x+y+z的值．考点：二元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：本题根据，设出=t，从而将x，y，z用a，b，c，t来表示即可解答：解：设=t，则有x=（a﹣b）t，y=（b﹣c）tz=（c﹣a）t由此可得：x+y+z=（a﹣b）t+（b﹣c）t+（c﹣a）t=0．点评：本题考查了换元的解题思想方法，属于基础题．5．试题10道，选答8道，则选法有几种？考点：组合及组合数公式。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B 24S R如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334VRn 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn kn nP k C p p k n …普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131i i=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B3C2D 1（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B ）(C)(D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，则cos2α=(A)5-3（B）5-9(C)59(D)53（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
1949-1961年普通高等学校招生全国统一考试数学试题
1949年北大清华联合招生数学试题 一、（5分）有连续三自然数，其平方和为50，求此三数．二、（5分）解方程：6640x +=． 三、（15分）求适合sin 2cos 2x x +x =的根（02x π≤≤）． 四、（15分）,,PA PB PC 为过圆周上P 点之三弦，PT 为圆周之切线．设一直线平行于PT ，交,,PA PB PC 于,,A B C '''之三点，证明：PA PA PB PB PC PC '''⋅=⋅=⋅． 五、（10分）已知A ∠及角内部一点P ，求作通过P 点的直线，使其在A ∠之内部分被点P 所平分． 六、（5分）用数学归纳法证明：3333221123(1)4n n n ++++=+． 七、（10分）某人在高处望见正东海面上一船只，其俯角为30︒．当该船向正南航行a 里后，其船只的俯角为15︒．求此人视点高出海平面若干垂足 八、（15分）自ABC ∆之顶点A 至对边作垂线AD ，自垂足D 作边,AB AC 之垂线， 其垂足为,E F ．求证：,,,B E F C 在同一圆上． 九、（10分）一平面内有10点，除其中4点在同一直线上外，其余各点无3点在一直线上．问连接各点之所有直线共若干条． 十、（10分）下列做法对吗？不对的请改正．16==对吗？为什么？2．(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+对吗？为什么？3．log log 1a b b a ⋅=对吗？为什么？1950年全国统一高考数学试题 一、（5分）k 为何值时，二次方程22(1)520x k x k --+-=有等根，并求其根． 二、（20分）有等长两竹杆直立在地上，皆被风吹折．折处距地面两者不同，其差为3尺．顶着地之处与竹杆足相距一个为8尺，另一个为16尺．求竹杆之长． 三、（10分）绳长40丈，围一矩形之地．问其面积最大时，其边长若干？ 四、（5分）求国旗上五角星每一角之度数． 五、（10分）过梯形上底一点作直线，分梯形为两个等面积梯形． 六、（20分）从塔之正南面一点A ，测得塔顶仰角为45︒，又从塔之正东面一点B 测得塔的仰角为30︒．若AB =100尺，求塔高． 七、（10分）试证： 1．22cos()cos()cos sin A B A B A B +-==-． 2．22sin()sin()sin sin A B A B A B +-=-． 八、（20分）分别指出下列正误，并加以改正：1．011,1a a ==．2．,mnmnmnm na a a a a a+⋅=+=．3==． 4．lg11,lg00=-=．5．lg()lg lg ,lg lg lg a b a b ab a b +=+=． 6．11sin sinsin()x y x y --+=+．7．在ABC ∆及A B C '''∆中，若,,AB A B BC B C A A '''''==∠=∠，则两三角形全等．8．若,,,A B C D 在同一个圆上，则恒有ACB ADB ∠=∠．1950年华北高考数学试题甲组 第一部分一、将下列各题正确的答案填入括号内： 1．322240x x x --+=的一个根为2，其他两根为A ．两个0B ．一个0，一个实数C ．两个实数D ．一个实数根，一个虚数根E ．两个虚数根2．已知lgsin 26201.6470'︒=，lgsin 26301.6495'︒=．若 lgsin 1.6486x =，则x 的近似值为A ．2623'︒B ．2624'︒C ．2625'︒D ．2626'︒E ．2627'︒3．若(,)ρθ为一点之极坐标，则20cos ρθ=的图形为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线E ．二平行直线4．22220x xy y x y ++++-=之图形为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 E ．二平行直线5．展开二项式17()a b +，其第15项为 A ．152238a b B ．314680a bC ．143736a bD ．15()a b +E ．87a b二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．二直线40x y ++=及5210x y -=相交之锐角之正切为 ．2．设,x y 都是实数，且()(84)x yi i +-+()(1)x yi i =++，则x = ．3．555ad a dbe b e cfc f++=+ ． 4．已知x 在第四象限内，而21sin 9x =，则tan x 之值至第二位小数为 ． 5．参数方程12,(1)x t y t t =+⎧⎨=+⎩之直角坐标方程为 ．甲组 第二部分 1．证明21sin (tan sec )1sin xx x x+=+-．2．设t 及s 为实数，已知方程3250x x tx s -++=之一根为23i -，求t及s 之值．3．用数学归纳法证明：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++1(1)(2)3n n n =++． 4．设1P 及222(,)P x y 为二定点，过1P 作直线交y 轴于B （如图），过2P 作直线与过1P 之直线垂直，并交轴x 于A ，求AB 中点Q 之轨迹．5．如图，N 第一部分．a c e c eb d f d f +++=+++ ．ac ebd f= 内，若1:2;3:4，则︒︒︒ ︒a = ．1n R-．1n R+lg 2.190.3404=，ABA ．0.5770B ．1.1038C ．6.1038D ．264.06 E．416.745．2sin tan 5AA A ===，1sin tan 2B B B ===，则t a n ()A B +=A ．112-B ．34C ．18-D ．98E ．18二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．sin 330︒之值为 ． 2．32452x x x -+-的因子是 ． 3．书一本，定价元p ．因为有折扣，实价较定价少d 元，则该书实价是定价的百分之 ．4．若一个多边形之每一外角各为45︒，则此多边形有 边． 5．a 年前，弟年龄是兄年龄的1n，今年弟年龄是兄年龄的1m，兄今年 岁． 乙、丙组 第二部分1．设AB 是一圆的直径，过,A B 作AC 及BD 二弦相交于E ，则2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=．2．若,,A B C 为ABC ∆之内角，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．3．分解因式：（1）32221x x x +++．（2）22282143x xy y x y +-++-． （3）444222222222x y z x y y z z x ++---．4．设s 为ABC ∆三边和的一半，r 为内切圆半径，又tan2A=求证：r =5．设一调和级数第p 项为a ，第q 项为b ，第r 项为c ，则()()()0q r bc r p ca p q ab -+-+-=．γC /B /A /βαC B A 1951年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分1．设有方程组8,27x y x y +=-=，求,x y .2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？4．若x y z a b b c c a ==---，而,,a b c 各不相等，则?x y z ++=5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 6．若一点P 的极坐标是(,)x θ，则它的直角坐标如何？7．若方程220x x k ++=的两根相等，则k =？8．列举两种证明两个三角形相似的方法9．当(1)(2)0x x +-<时，x 的值的范围如何？10．若一直线通过原点且垂直于直线0ax by c ++=，求直线的方程．11．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项如何？12．02cos =θ的通解是什么？13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？14．245505543--=？15．2241x y -=的渐近线的方程如何？16．三平行平面与一直线交于,,A B C 三点，又与另一直线交于,,A B C '''三点，已知3,7AB BC ==及9A B ''=，求A C '17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积18．已知lg2=0.3010,求lg5.19．二抛物线212y x =与223x y =的公共弦的长度是多少？20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？第二部分1． ,,P Q R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行．2．设ABC ∆的三边4BC pq =，223CA p q =+，2232AB p pq q =+-,求B ∠，并证明B ∠为A ∠及C ∠的等差中项．3．（1）求证，若方程320x ax bx c +++=的三根可排成等比数列，则33a cb =.（2）已知方程32721270x x x +--=的三根可以排成等比数列，求三根．4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．1952年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分 1.因式分解44x y -=？2.若lg(2)21lg x x =，问x =？3.若方程320x bx cx d +++=的三根为1,-1,21,则c =？4.40=，求x ．5. 123450?321=6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？9.祖冲之的圆周率π=？10.球的面积等于大圆面积的多少倍？11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？12.正多面体有几种？其名称是什么？13.已知 1sin 3θ=,求cos 2θ=？14.方程21tg x =的通解x =？15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？17.已知一直线经过(2,3)，其斜率为-1，则此直线方程如何？18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为(3,4)，则此圆的方程如何？19.原点至3410x y ++=的距离是什么？20.抛物线286170y x y -++=的顶点坐标是什么？第二部分 1.解方程432578120x x x x +---=．2.△ABC 中，∠A 的外角平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP CP =．3.设三角形的边长为4,5,6a b c ===，其对角依次为,,A B C ，求cos C ，sin C ，sin B ，sin A ．问,,A B C 三角为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(1,4)-两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．1953年普通高等学校招生全国统一考试数学1.甲、解1110113x x x x +-+=-+.乙、23120x kx ++=的两根相等，求k 值.丙、求311246?705-=丁、求300700lg lg lg173++.戊、求tg870︒=？已、若1cos2x 2=，求x 之值.庚、三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来）辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长.壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体积.2.解方程组2222239, (1)45630.(2)x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩3..乙、求123)12(xx +之展开式中的常数项.4.锐角△ABC ∆的三高线为AD ，BE ，CF ，垂心为H ，求证HD 平分EDF ∠.5.已知△ABC ∆的两个角为450，600，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积.1954年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简131121373222[()()()]a b ab b ---． 乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++=．丙、用二项式定理计算43.02，使误差小于千分之一．丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和． 戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积．己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式．2.描绘2371y x x =--的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围：①0y >； ②0y <．3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切4．试由11sin 21tgxx tgx+=+-，试求x 的通值．5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a '是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．1955年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、以二次方程2310x x --=的两根的平方为两根，作一个二次方程．乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．丁、写出二面角的平面角的定义．2．求,,b c d 的值，使多项式32x bx cx d +++适合于下列三条件： （1）被1x -整除， （2）被3x -除时余2，（3）被2x +除时与被2x -除时的余数相等．3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G 求证：EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项． 4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值．5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形．B C F B C EM A B C DD //1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算2lg 5lg5lg50+⋅.乙、设m 是实数，求证方程222(41)0x m x m m ----=的两根必定都是实数． 丙、设M 是ABC ∆的边AC 的中点，过M 作直线交AB 于E ，过B 作直线平行于ME 交AC 于F AEF ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半．丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数．戊、设tan ,tan αβ是方程2670x x ++=的两根求证：)cos()sin(β+α=β+α．2．解方程组12,(1)136.(2)x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 3．设P 为等边ABC ∆外接圆的点，求证：22PA AB PB PC =+⋅．4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD ，A AB A AD ''∠=∠A ACC''垂直于底面ABCD ．5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之．1957年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简1223271020.12927--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围.丙、求证cot 22301'︒=丁、在四面体A B C D 中，AC BD =，,,,P Q R S 依次为棱,,,AB BC CD DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形.戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分.2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x3．设ABC ∆的内切圆半径为r ，求证BC边上的高.2sin2cos 2cos2A C B r AD ⋅⋅=4．设ABC ∆为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE AD =，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE :AB =AC :AF . （2）ABC ∆的面积=AEF ∆的面积.5．求证：方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1.设这个方程的三个根是ABC ∆的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求,,A B C 的度数以及Q 的值.AC AB1958年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数．乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为 的中点，E 为 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证： AM AN =．丁、求证:正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．戊、求解.cos 3sin x x =2．解方程组4,(1)1229. (2)x y y =⎪++=⎪⎩3．设有二同心圆，半径为,()R r R r >，今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A '，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D ;由A '作直线A E '垂直AD ，并交AD 于E ，已知OAD α∠=，求OE 的长 4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切．5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根043sin 231sin 2=++-x x ．321O G F ED C BA cb a A B CDαO 1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg 20.3010,lg 70.8451==,求lg35乙、求ii +-1)1(3的值.丙、解不等式.3522<-x x丁、求︒165cos 的值 戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，,A B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积2．已知△ABC 中，∠B =600，4AC =，面积为3，求,AB BC .3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数．4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥BC 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF =FG .5．已知,,A B C 为直线l 上三点，且A B B C a ==;P 为l 外一点，且90,APB ∠=︒45BPC ∠=︒，求 （1）PBA ∠的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.O DC B A 1960年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？.丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.丁、求使等式2cos 2sin12xx =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长.己、四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知3PA =cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长.2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米.（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数;（2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;（3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x ．O CBA 1961年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数.乙、解方程2lg lg(12)x x =+.丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值. 丁、求125sin 12sinπ⋅π的值.戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π）.己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是1A .设 △ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：1cos A BC S S α∆=.2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ 3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面.求这水4．在平地上有,A B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）.5．两题任选一题.甲、k 是什么实数时，方程22(23)310x k x k -+++=有实数根？乙、设方程28(8sin )2cos2x x αα-++0=的两个根相等，求α.。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式：如果事件A 、B 互斥，则球的外表积公式如果事件A 、B 相互独立，则其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为*=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sin α＋sin β=33，则cos2α=(A)5-3〔B 〕5-9 (C)59 (D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：*²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35 (C)34 (D)45〔9〕*=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)*＜y＜z 〔B〕z＜*＜y (C)z＜y＜* (D)y＜z＜*(10) 函数y＝*²-3*+c的图像与*恰有两个公共点，则c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
1951～1982高考数学试题及解答
第一辑（1951~1965）1951年..............................3 1959年 (29)1952年..............................7 1960年 (32)1953年...........................11 1961年 (36)1954年...........................13 1962年 (39)1955年...........................16 1963年 (43)1956年...........................18 1964年 (47)1957年...........................21 1965年 (52)1958年 (25)第二辑（1977年）北京市（理科）..................60 河北省 (74)北京市（文科）..................63 福建省（理科） (78)上海市（理科）..................64 福建省（文科） (84)上海市（文科）..................68 黑龙江省 (88)天津市..............................71 江苏省 (91)第三辑（1978~1982）1978年...........................97 1980年（文科） (118)1978年（副题）...............101 1981年（理科） (121)1979年（理科）...............105 1981年（文科） (126)1979年（文科）...............110 1982年（理科） (130)1980年（理科）...............113 1982年（文科） (135)第四辑（1983~1994）1983年（理科）..................140 1987年（理科） (186)1983年（文科）..................147 1987年（文科） (192)1984年（理科）..................151 1988年（理科） (198)1984年（文科）..................160 1988年（文科） (204)1985年（理科）..................165 1989年（理科） (208)1985年（文科）..................171 1989年（文科） (214)1986年（理科）..................176 1990年（理科） (219)1986年（文科）..................182 1990年（文科） (227)1991年（理科）..................234 1993年（新考理） (272)1991年（文科）..................241 1993年（新考文） (279)1992年（理科）..................246 1994年（理科） (286)1992年（文科）..................253 1994年（文科） (293)1993年（理科）..................259 1994年（新考理） (299)1993年（文科）..................266 1994年（新考文） (307)第五辑（1995~1999）1995年（理科）..................314 1997年（文科） (356)1995年（文科）..................324 1998年（理科） (363)1996年（理科）..................332 1998年（文科） (372)1996年（文科）..................341 1999年（理科） (382)1997年（理科）..................348 1999年（文科） (391)制作人：过士功第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y 。
1951年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1951年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y. 解略：⎩⎨⎧==35y x 2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？ 证：设△ABC 的重心与外接圆的圆心均为O （图1）∵OA=OC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ；同理，CD ⊥AB ，AF ⊥BC 在Rt △ABE 与Rt △ACD 中，∠A 为公共角，BE=CD=R+21R=23R （R 为外接圆半径），所以△ABE ≌△ACD ，AB=AC ，同理可得AB=BC 由此可知△ABC 为等边三角形3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？ 解略：3丈0)()()(:)()(,)(,,:?,,,,.4=-+-+-=++-=-=-==-=-=-=++-=-=-t a c t c b t b a z y x t a c tz c b y t b a x t ac zc b y b a x z y x c b a a c zc b y b a x 由此可得则有设解则各不相等而若5．试题10道，选答8道，则选法有几种？解略：45810=c 6．若一点P 的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？ 解：x=r θcos ,y=r sin7．若方程x 2+2x+k=0的两根相等，则k=？ 解：由Δ=b 2-4ac=0,得k=18．列举两种证明两个三角形相似的方法答：略9．当（x+1)(x-2)＜0时，x 的值的范围如何？ 解略：-1＜x ＜210．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程解略：bx-ay=011．（x +x1)6展开式中的常数项如何？ 解：由通项公式可求得是T 4=2012．02cos =θ的通解是什么？ 解：).(4为整数k k π±π=θ13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个14．解：原式=1003)5(4)2(4550554)5(55430)2(=⋅-⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅- 15．x 2-4y 2=1的渐近线的方程如何？ 解略：02=±y x?345505542=--16．三平行平面与一直线交于A ，B ，C 三点，又与另一直线交于A ＇，B ＇，C ＇三点，已知AB=3，BC=7及A ＇B ＇=9求A ＇C ＇解：如图易证:3011=''∴''''==C A C A B A AC AB AC AB 17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积略：6立方尺18．已知lg2=0.3010,求lg5. 略：lg5=1-lg2=0.699019．二抛物线y 2=12x 与2x 2=3y 的公共弦的长度是多少？解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：5320．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？ 解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C, ∠AGF=∠B+∠D=2∠B,∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ∴5∠A=1800，∴∠A=360 第二部分：1．P ，Q ，R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在1EBA 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行证：如图：由AD 是大圆的切线， 可得： ∠1=∠2由RQ ∥BC ，可得：∠2=∠3， 由QP ∥AB ，可得：∠3=∠4由PE 是小圆的切线， 可得： ∠4=∠5由RP ∥AC ，可得：∠5=∠6综上可得：∠1=∠6，故AD ∥PE2．设△ABC 的三边BC=4pq,CA=3p 2+q 2,AB=3p 2+2pq-q 2,求∠B ，并证∠B 为∠A 及∠C 的等差中项解：由余弦定理可得：.C A B A,-B 60)180(60B 214)23(2)3()4()23(2cos 222222222222的等差中项与是∠∠∠∴∠∠=∠-︒=∠-∠-∠-︒=∠-∠︒=∠∴=⋅-+--+-+=⋅-+=A B B A B C pqq pq p q p pq q pq p BC AB CA BC AB B 3．（1）求证，若方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根可排成等比数列， 则a 3c=b 3.证：设α，β，γ是方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-aαβ+βγ+γα=b αβγ=-c又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ33333233a )()()(bc c a b ==αβγ-=β-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβγ+β+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβ+βγ+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+α-γα+βγ+αβ=⎪⎭⎫ ⎝⎛此即 （2）已知方程x 3+7x 2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根解：由⑴可知β3=-c ，∴β3=27，∴β=3+β+γ=-7可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ， 即αγ=9，故可得方程组：⎩⎨⎧--=γ--=α=αγ-=γ+α.91,19,910或或可得解之 于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-94．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线证：设抛物线方程为y 2=2px ……………①过抛物线顶点O 任作互相垂直的二弦OA 和 OB ，设OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为 -k 1，于是直线OA 的方程为： y =kx ………………………②直线OB 的方程为：x ky 1-=③ 设点A （x 1 ,y 1),点B(x 2 ,y 2)由①，②可得：.2,2121kp y kp x ==由①，③可得：x 2=2pk 2, y 2=-2pk设P （x ，y ）为AB 的中点，由上可得：B④ ⑤ 由⑤可得： ⑥ 由④可知：px 2222k p kp +=,代入⑥,2p -px y 22222222222=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即p px p k p k p y 所以，点P 的轨迹为一抛物线pk kpy y y pk kp x x x -=+=+=+=222122212222222k p p k p y +-=。
四十年前高考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共20分）1. 若方程 \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) 的两个根分别为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，则 \( x_1 + x_2 \) 等于：A. 2B. 4C. 3D. 12. 下列函数中，在其定义域内单调递减的是：A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = 2x \)C. \( f(x) = -x^2 \)D. \( f(x) = x^3 \)3. 若 \( \sin A = \frac{3}{5} \)，且 \( A \) 为锐角，则 \( \cos A \) 等于：A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{3}{5} \)C. \( \frac{5}{4} \)D. \( \frac{5}{3} \)4. 若 \( a, b, c \) 为等差数列，且 \( a + b + c = 18 \)，则 \( 3a + 3b + 3c \) 等于：A. 54B. 27C. 18D. 95. 下列不等式中，恒成立的是：A. \( x^2 + 1 > 0 \)B. \( x^2 - 1 < 0 \)C. \( x^2 + 1 < 0 \)D. \( x^2 - 1 > 0 \)二、填空题（每小题4分，共16分）6. 若 \( \sqrt{3} + \sqrt{2} = a \)，则 \( a^2 - 2\sqrt{3} \) 等于______。
7. 若 \( \sin A = \frac{1}{2} \)，且 \( A \) 为锐角，则 \( \tan A \) 等于______。
8. 已知等比数列 \( a_1, a_2, a_3, \ldots \) 的公比为 \( q \)，若 \( a_1 = 2 \)，\( a_3 = 8 \)，则 \( q \) 等于______。
9. 若 \( \triangle ABC \) 中，\( \sin A = \frac{1}{2} \)，\( \sin B =\frac{\sqrt{3}}{2} \)，则 \( \sin C \) 等于______。
1954-1955年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1954年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简.])()()[(317212131223b abb a ---解：原式=.)()(3231231272321223a b a b ba ba==--乙、解cb a x lg lg 2lg 31lg 61++=解略：x=a 2b 12c 6.丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一.,,,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223444千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.182.830216.016.281)02.3(4=++=丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和证：由c 2 =a 2+b 2∴弦上半圆的面积= 22222221221421221⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba c ππππ=勾上半圆的面积+股上半圆的面积戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r a ，则有3a 2=4r 2，.398332.332333r r ar a =⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴=内接正方体的体积己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式解：由正弦定理可知.)sin(sin )](180sin[sin ,sin )](180sin[γββγβββγβ+=--︒=∴=--︒a a b b a2.描绘y=3x 2-7x-1的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围： 1）y ＞0， 2）y ＜0).1261(31)67(:2+=-y x 将原方程变形可得解).1261,67(,-抛物线顶点为于是)0,6617(,)0,6617(:+-N M x 轴的交点为与).,6617(),6617,(,0+∞+--∞>的值所在范围为时当x y ).6617,6617(,0+-<的值所在范围为时当x y3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切证：设⊙O 1及⊙O 2为互相外切之二圆，其一外公切线为A 1A 2，切点为A 1及A 2令点O 为连心线O 1O 2的中点，过O 作OA ⊥A 1A 2∵OA=21（O 1A 1+O 2A 2）=21O 1O 2，∴以O 1O 2为直径，即以O 为圆心，OA 为半径的圆必与直线A 1A 2相切同理可证，此圆必切于⊙O 1及⊙O 2的另一条外公切线4．试由.,2sin 111通值求的x x tgxtgx +=-+)(0sin4,1,0sin cos ,0sin)sin (cos 20)sincos 1)(sin (cos )sin (cos sin cos sin cos :22222为整数或者即或者所以解k k x x k x tgx x x x x x x x x x x x xx x x π=∴=π-π=∴-==+=⋅+=+-++=-+由检验可知，均为其通解5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a ＇是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值解：设直圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为L ，则,)(2)(2)(h R L R h R R L R R a a ++=++='ππ.2)2(),()(2,).()(222222222ah L a hL a a L hL a h h L a h L R L R a h R a -'=-'-+-'=+--=+'=+∴代入可得由,.21)2(,2等式两边平方可得两边同除以Lh aa L h a a L -'=⎪⎭⎫⎝⎛-'-.)2(4)2()2(22])2(4[2)2()2(44)48(2)2(164:,,0)2(16)4)(48(4)4(.0)4(4)48(,441)44(2222223322222222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a L h a a a a a a a a a a a a Lh a a a L h a a L h a a a a L h a L h a a a L h a a a a '-+'-'-±'='-+'-'-±'='+'-'-±'=∴>'-='+''+'--'-=∆='+'+'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅'-'=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+'-母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个式的一元二次方程的判别这个关于1955年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、以二次方程x 2-3x-1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程解：设原方程的两根为α，β，则由根与系数关系可得：α+β=3，αβ=-1， 又，α 2 +β2=(α+β)2-2αβ=11，α2β 2 =1，故所求的二次方程为 x 2-11x +1=0乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦解：设AB=AC=4BC ，而AD 为底边上的高， 于是ACBC BC BC BC ACAB BCACABA ⋅⋅-+=⋅-+=4216162cos 222222.81cos ,81421cos ,3231323122======C AC BCAB BDB BCBC 同理AB D C丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高解：设S-ABCD 为正四棱锥，SO 为它的高，底边长为a ，∠SAO=450AO=a22∴由△SOA 为等腰直角三角形， 故棱锥S-ABCD 的高SO=a22丁、写出二面角的平面角的定义 略2．求b ，c ，d 的值，使多项式x 3+bx 2+cx+d 适合于下列三条件：（1）被x-1整除，（2）被x-3除时余2， （3）被x+2除时与被x-2除时的余数相等解：根据余数定理及题设条件可得f(1)=1+b+c+d =0…………………………………① f(3)=27+9b+3c+d=2………………………………② -8+4b-2c+d=8+4b+2c+d …………………………③ 化简③式可得 c=-4b+d=39b+d=-13 解得b=-2,d=5. 综上，b=-2,c=-4,d=5S C3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项证：连接GA 、GB ，则△AGB 也是一个直角三角形因为EG 为直角△AGB 的斜边EG 为EA 和EB 的比例中项，即EG 2=EA ·EB ∵∠AFE=∠ABC ，∴直角△AEF ∽直角△DEB ，.EF ED EB EA EBED EFEA ⋅=⋅=即但是∵EG 2=EA ·EB ，∴EG 2=ED ·EF （等量代换）. 故 EG 也是ED 和EF 的比例中项4．解方程xx x sin cos2cos +=,求x 的通值解：x x x x sin cos sin cos 22+=-，)(.22,2,424,22)4cos(,22sin 22cos 22,1sin cos 01sin cos )(.4,1,010sin cos .0)1sin )(cos sin (cos ,0)sin (cos )sin )(cos sin (cos 为整数则得如果为整数则得如果k k k x k x x x x x x x x k k x tgx tgx x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧π-ππ=∴π±π=π+∴=π+∴=-∴=-=-+π-π=∴-==+=+=--+=+--+5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形证：可设其长分别为x-d,x,x+d.F CB因为三角形的周长为12尺， ∴(x-d)+x+(x+d)=12,∴x=4（尺） 于是该三角形的三边又可表示为4-d,4,4+d.由该三角形的面积为6，三边长为4-d,4,4+d ，代入求面积的计算公式，得.1,1),2)(2(1236)]4(6)[46)](4(6[662±==-+=+----=d d d d d d由此可知，该三角形三边的长为3、4、5（或5、4、3）（尺），故它是一个直角三角形。
1951-1965全国数学
一九五一年第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y.解略：⎩⎨⎧==35y x2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？ 证：设△ABC 的重心与外接圆的圆心均为O （图1）∵OA=OC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ；同理，CD ⊥AB ，AF ⊥BC 。
在Rt △ABE 与Rt △ACD 中，∠A 为公共角，BE=CD=R+21R=23R （R 为外接圆半径），所以△ABE ≌△ACD ，AB=AC ，同理可得AB=BC 。
由此可知△ABC 为等边三角形。
3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？ 解略：3丈。
)()()(:)()(,)(,,:?,,,,.4=-+-+-=++-=-=-==-=-=-=++-=-=-t a c t c b t b a z y x ta c tz cb y t b a x t ac z cb y ba x z y x cb a ac z c b y b a x 由此可得则有设解则各不相等而若5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 解略：45810=c6．若一点P 的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？ 解：x=r θcos ,y=r θsin 。
7．若方程x 2+2x+k=0的两根相等，则k=？ 解：由Δ=b 2-4ac=0,得k=18．列举两种证明两个三角形相似的方法。
答：略。
9．当（x+1)(x-2)＜0时，x 的值的范围如何？ 解略：-1＜x ＜210．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程。
解略：bx-ay=011．（x +x 1)6展开式中的常数项如何？解：由通项公式可求得是T 4=20。
12．02cos =θ的通解是什么？ 解：).(4为整数k k π±π=θ13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个。
1951高考数学真题试卷
1951高考数学真题试卷1951年，中国高考制度尚未建立，因此并没有所谓的“高考数学真题试卷”。
然而，为了满足您的要求，我们可以设想一个1951年的数学试卷，并模拟一些可能的题目。
以下是一份模拟的1951年高考数学试卷：1951年高考数学模拟试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 圆的面积公式是：A. \( A = r^2 \)B. \( A = 2\pi r \)C. \( A = \pi r^2 \)D. \( A = \pi d \)3. 一个直角三角形的两直角边分别为3和4，其斜边长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 以下哪个表达式等价于 \( (x+y)^2 \)？A. \( x^2 + y^2 \)B. \( x^2 + 2xy + y^2 \)C. \( x^2 - 2xy + y^2 \)D. \( x^2 + y^2 + 2xy \)5. 一个数的平方根是它自己，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 以上都不是二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个数的立方根是它自己，这个数可以是______。
7. 一个二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的判别式是 \( \Delta = ______ \)。
8. 如果一个函数 \( f(x) \) 是奇函数，那么 \( f(-x) = ______ \)。
9. 根据勾股定理，如果直角三角形的斜边长度为 \( c \)，两直角边分别为 \( a \) 和 \( b \)，那么 \( a^2 + b^2 = ______ \)。
10. 圆的周长公式是 \( C = ______ \)。
三、解答题（共65分）11. 解方程 \( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \)。
（10分）12. 证明：如果一个三角形的两边长分别为 \( a \) 和 \( b \)，且\( a + b > c \)，那么这个三角形是锐角三角形。
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1951年普通高等学校招生全国统一考试
数学
第一部分：
1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y. 解略：⎩⎨
⎧==3
5
y x 2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？ 证：设△ABC 的重心与外接圆的圆心均为O （图1）∵OA=OC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ；同理，CD ⊥AB ，AF ⊥BC 在
Rt △ABE 与Rt △ACD 中，∠A 为公共角，
BE=CD=R+21
R=2
3R （R 为外接圆半径），所以△ABE ≌△ACD ，AB=AC ，同理可得AB=BC 由此可知△ABC 为等边三角形
3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？ 解略：3丈
0)()()(:)()(,)(,,:?,,,,.4=-+-+-=++-=-=-==-=-=-=++-=-=-t a c t c b t b a z y x t a c tz c b y t b a x t a
c z
c b y b a x z y x c b a a c z
c b y b a x 由此可得则有设解则各不相等而若
5．试题10道，选答8道，则选法有几种？
解略：458
10=c
6．若一点P 的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？ 解：x=r θcos ,y=r sin
7．若方程x 2+2x+k=0的两根相等，则k=？ 解：由Δ=b 2-4ac=0,得k=1
8．列举两种证明两个三角形相似的方法答：略
9．当（x+1)(x-2)＜0时，x 的值的范围如何？ 解略：-1＜x ＜2
10．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程
解略：bx-ay=0
11．（x +x
1
)6展开式中的常数项如何？ 解：由通项公式可求得是T 4=20
12．02cos =θ的通解是什么？ 解：).(4
为整数k k π±π=θ
13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？
答：最少是一个，最多是三个
14．
解：原式=1003)5(4)2(4550554)5(55430)2(=⋅-⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅- 15．x 2-4y 2=1的渐近线的方程如何？ 解略：02=±y x
16．三平行平面与一直线交于
A ，
B ，
C 三点，又与另一直线交于A ＇，B ＇，C ＇三点，已知AB=3，BC=7及A ＇B ＇=9求A ＇
?
3455055
42=--
C ＇
解：如图易证:
3011=''∴'
''
'==C A C A B A AC AB AC AB 17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积
略：6立方尺
18．已知lg2=0.3010,求lg5. 略：lg5=1-lg2=0.6990
19．二抛物线y 2=12x 与2x 2=3y 的公共弦的长度是多少？
解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：
53
20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？ 解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C, ∠AGF=∠B+∠D=2∠B,
∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ∴5∠A=1800，∴∠A=360 第二部分：
1．P ，Q ，R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行
证：如图：由AD 是大圆的切线， 可得： ∠1=∠2
由RQ ∥BC ，可得：∠2=∠3，
E
B
2．设△ABC 的三边BC=4pq,CA=3p 2+q 2,AB=3p 2+2pq-q 2,求∠B ，并证∠B 为∠A 及∠C 的等差中项
解：由余弦定理可得：
.
C A B A,-B 60)180(60B 21
4)23(2)3()4()23(2cos 222222222222的等差中项与是∠∠∠∴∠∠=∠-︒=∠-∠-∠-︒=∠-∠︒=∠∴=
⋅-+--+-+=⋅-+=A B B A B C pq
q pq p q p pq q pq p BC AB CA BC AB B 3．（1）求证，若方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根可排成等比数列， 则a 3c=b 3.
证：设α，β，γ是方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-a
αβ+βγ+γα=b αβγ=-c
又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ
3
333
3233
a )()()(
b
c c a b ==αβγ-=β-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβγ+β+α-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡γ+β+αβ+βγ+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+α-γα+βγ+αβ=⎪⎭⎫
⎝⎛此即 （2）已知方程x 3+7x 2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根
解：由⑴可知β3=-c ，∴β3=27，∴β=3α+β+γ=-7
可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ， 即αγ=9，故可得方程组：
⎩
⎨
⎧--=γ--=α=αγ-=γ+α.91,19,910
或或可得解之 于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-9
4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线
证：设抛物线方程为y 2=2px ……………①
过抛物线顶点O 任作互相垂直的二弦OA 和 OB ，设OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为 -k 1，于是直线OA 的方程为： y =kx ………………………②
直线OB 的方程为：
x k
y 1
-
=③ 设点A （x 1 ,y 1),点B(x 2 ,y 2)由①，②可得：
.2,2121k
p y k
p x =
=
由①，③可得：
x 2=2pk 2, y 2=-2pk
设P （x ，y ）为AB 的中点，由上可得： ④ ⑤
B
pk k
p
y y y pk k
p x x x -=+=+=+=
22212
221
由⑤可得： ⑥ 由④可知：
px 2222
k p k
p +=,代入⑥
,2p -px y 22222
222222
=-=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=即p px p k p k p y 所以，点P 的轨迹为一抛物线
2222
22
2k p p k
p y +-=。