两自由度系统有阻尼受迫振动
1.4有阻尼的受迫振动解析
F0 it c k x x x e m m m
其中， 0
k m
系统的无阻尼固有频率；
系统的阻尼比；
c 2 km
i (t ) x ( t ) Ae 设非齐次方程的特解，即稳态响应：
2 A 2 e i (t ) i 2 0 Ae i (t ) 0 Aei (t )
2. s＝1处，即 不同
区间单调上升的曲线；
1 0 2 时，共振，
的曲线共交于一点。
3. 小阻尼 0
s 1
0
时，激励力与位移同相； 时，激励力与位移反相；
s 1
,
l 例题：已知等效质量m且可简化于杆长 处，阻尼为c，弹簧刚度为k， 3 F (t ) F0 sin t ，水平位置平衡，试求： 1. 动力学微分方程；
第四节 有阻尼的受迫振动
一．
定义：
受迫振动：有阻尼的系统在外界控制的持续激 励作用下所产生的振动。 激励：外界力、基座运动所产生的惯性力。 响应：激励所引起的系统的振动状态。
非自治系统：显含时间变量的系统。
二．
有阻尼受迫振动
受激励力存在使得动力学方程成为非齐次方程：
cx kx F0 eit m x
9 F0 4c 9k sin t m m ml
(2)
0
9k k =3 m m
2c m
3F0 B k
2c 0 3 mk
9F 4c 9k 0 sin t m m ml
当 n时 振幅（最大摆角)
Amax B 3F0 3 mk 9F0 2 2kl 2c 4cl
2.
s＝1（接近共振），且
第五六讲两自由度系统的振动
s in(02t
2
)
A(1) 1
,
A(2) 1
,
1,
2
由运动的初始条件确定。
3、系统对初始激励的响应
将（5）式写出以下形式：
x1(t) x2 (t)
C1 sin(01t C1r1 sin(01t
1) 1)
C2 sin(02t 2 ) C2r2 sin(02t 2
J1
0
0 J2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 (t ) M 2 (t)
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同
如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
)
将 x10，x20，x10，x20 代入得：
其中C1、C2分别表 示A1(1)、A1(2)
C1
1 r2 r1
r2 x10 x20
2
r2 x10 x20
2 01
2
C2
1 r2 r1
x20 r1x10 2
x20 r1x10 2
量
量
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维
17
3.2 两自由度系统的自由振动
1、固有频率求解
有上一讲可知系统的
x1
k1
k2
m1
运动微分方程为：：
x2
k3
m2
m1x1 (k1 m2x2 k2 x1
《振动力学》课程教学大纲 - 苏州科技学院土木工程学院
《振动力学》课程教学大纲课程编号：20311103总学时数：48（实验6）总学分数：3课程性质：专业必修课适用专业：工程力学一、课程的任务和基本要求：《振动力学》课程是工程力学专业的一门主要课程，主要研究在确定性激励下分析系统的动力响应的基本理论和基本方法。
通过本课程的学习，使学生能够初步掌握建立振动问题力学模型的方法；掌握振动力学的基本概念、基本理论和基本分析计算方法，并能初步应用振动理论研究和解决工程中的各种振动问题。
结合本课程的学习，培养学生的分析能力、计算能力和分析解决工程实际问题的初步能力。
二、基本内容和要求：（一）概论振动的定义，振动具有两重性，研究目标（目的），振动问题的研究方法，振动分析的力学模型，振动的分类，振动研究的分析工具。
（二）谐振振动与谱分析谐振振动的表示方法，谐振振动的谱分析方法，非周期振动的谱分析方法。
（三）单自由度系统的自由振动单自由度线性系统的力学模型和基本概念，单自由度无阻尼系统的自由振动，固有频率的计算，等效质量与等效弹簧刚度，有阻尼系统的自由振动。
（四）单自由度系统的强迫振动简谐激励引起的强迫振动，简谐激励引起的强迫振动瞬态响应过程，偏心质量引起的强迫振动，支撑运动引起的强迫振动，振动的隔离，惯性式测振仪的基本原理，强近振动中的能量关系，阻尼理论，任意周期激励的响应，任意激励的响应。
（五）多自由度系统的振动多自由度系统的运动微分方程，坐标耦合与主坐标，固有频率与主振型，主坐标与正则坐标，固有频率相等和固有频率为零的情况，系统对初始条件的响应，动力减振原理与减振器，有阻尼系统的响应，一般阻尼系统的响应。
（六）多自由度系统振动的近似解法邓克利法，瑞利法，里茨法。
（七）弹性体的振动一维波动方程、弦横向振动的自由振动解、等直杆纵向振动的自由振动解、等直杆纵向振动的强迫振动解、梁的横向振动、梁的横向强迫振动。
三、实践环节和要求：实习一、简谐振动振幅与频率测量；实验目的：掌握激振器（及其功率放大器）、加速度传感器的安装和使用；了解激振器、加速度传感器的工作原理；掌握简谐振动振幅简单的测量方法。
第二章 两自由度系统振动
d
2
d1
2
2
2 1 1
2
2
A
(2) 1
1 1 2
d
2
d1
1
2
2 1 2
1
2
两自由度系统振动规律总结
1）两自由度系统有两个固有频率，与之对应有两 个主振型，其形状是确定的，都只与系统物理 参数有关，与初始条件无关 2）两个质点的振动均为两个不同频率的谐振动的 叠加，只有当两个固有频率比之为有理数时， 才是周期振动，振幅和相位与初始条件有关。 3）主振动实现： 1 1 实现第一主振动 d2 d1 , 2 1 实现第二主振动
2.3 动力减振器 一个重要应用，动力减振器的设计。其中， m2 ，
k2 ， c2 以一个动力减振器的形式存在，如何设计它
们使得主质量 m1 在外力 F 作用下产生的振动变小。
F0 st k1 外力幅引起主质量静变形
0
k1 m1
单独主质量固有频率 单独减振器局部固有频率
a
k2 m2
k2 b m1
k2 c m2
由微分方程理论，可设通解为
x1 A1 sin t
x2 A2 sin t
代入运动方程，令两个方程两边 sin t 前系数 相等，得特征方程
( a 2 ) A1 bA2 0 cA1 (c 2 ) A2 0
A1 2 1 2 2 A1 2 A2
2 a 12 1 a c a c 1 bc 0 b b 2 2 2 2 ac a 2 1 a c 2 bc 0 b b 2 2 对应于 1 的解(微分方程第一特征值解)为：
二自由度振动有阻尼及强迫振动响应
Harbin Institute of Technology
7
哈尔滨工业大学课程设计
理坐标系下： x(1)= 1.27*10^(-4)*cos(1.99*t)*(62.3*cos(1.01*t) - 2.65*cos(4.99*t) + 315.0*sin(1.01*t) - 66.1*sin(4.99*t)) - 0.0236*sin(3.0*t) - 0.00203*cos(3.0*t) + (0.502*cos(1.41*t))/exp(0.1*t) + (0.0859*sin(1.41*t))/exp(0.1*t) + (0.492*cos(1.99*t))/exp(0.2*t) + (0.00198*sin(1.99*t))/exp(0.2*t) + (0.236*sin(1.99*t)*(0.169*exp(0.2*t)*cos(1.01*t) + 0.0355*exp(0.2*t)*cos(4.99*t) - 0.0335*exp(0.2*t)*sin(1.01*t) 0.00142*exp(0.2*t)*sin(4.99*t)))/exp(0.2*t) x(2)= (1.51*cos(1.41*t))/exp(0.1*t) - 0.0709*sin(3.0*t) 3.8*10^(-4)*cos(1.99*t)*(62.3*cos(1.01*t) - 2.65*cos(4.99*t) + 315.0*sin(1.01*t) - 66.1*sin(4.99*t)) - 0.00608*cos(3.0*t) + (0.258*sin(1.41*t))/exp(0.1*t) - (1.48*cos(1.99*t))/exp(0.2*t) (0.00593*sin(1.99*t))/exp(0.2*t) (0.707*sin(1.99*t)*(0.169*exp(0.2*t)*cos(1.01*t) + 0.0355*exp(0.2*t)*cos(4.99*t) - 0.0335*exp(0.2*t)*sin(1.01*t) 0.00142*exp(0.2*t)*sin(4.99*t)))/exp(0.2*t) 利用 Matlab 作图可得图（3-2） ，图中实线为图（2-1）中的质量块 1 的运动，图中 虚线为图（2-1）中的质量块 2 的运动。
机械振动基础课后习题答案
机械振动基础课后习题答案1. 简谐振动的特点是什么？简述简谐振动的基本方程。
答：简谐振动是指振动系统在无外力作用下，自身受到弹性力作用而产生的振动。
其特点有以下几点：振动周期固定、振幅不变、振动轨迹为正弦曲线。
简谐振动的基本方程为x = A*cos(ωt + φ)，其中x为振动的位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
2. 简述自由振动、受迫振动和阻尼振动的区别。
答：自由振动是指振动系统在无外力作用下，自身受到弹性力作用而产生的振动。
受迫振动是指振动系统在外力作用下，产生与外力频率相同的振动。
阻尼振动是指振动系统在有阻尼力作用下，产生的振动。
三者的区别在于外力的有无和阻尼力的存在与否。
3. 什么是振动的自由度？简述单自由度振动和多自由度振动的特点。
答：振动的自由度是指描述振动系统所需的独立坐标的个数。
单自由度振动是指振动系统所需的独立坐标只有一个，可以用一个坐标来描述整个振动系统。
多自由度振动是指振动系统所需的独立坐标大于一个，需要多个坐标来描述整个振动系统。
单自由度振动的特点是简单、容易分析，而多自由度振动具有更复杂的动力学特性。
4. 简述振动系统的自然频率和强迫频率。
答：振动系统的自然频率是指系统在无外力作用下自由振动时的频率。
自然频率只与系统的质量、刚度和几何形状有关。
强迫频率是指系统在受到外力作用下振动的频率。
强迫频率可以是任意频率，与外力的频率相同或不同。
5. 什么是共振？简述共振现象的发生条件。
答：共振是指振动系统在受到外力作用下，当外力的频率接近系统的自然频率时，振动幅度达到最大的现象。
共振现象发生的条件包括：外力的频率接近系统的自然频率，外力的幅度足够大，系统的阻尼较小。
6. 简述振动系统的阻尼对振动的影响。
答：阻尼对振动有以下几种影响：阻尼可以减小振幅，使振动逐渐衰减；阻尼可以改变振动的频率，使其偏离自然频率；阻尼可以引起相位差，使振动的相位发生变化。
7. 什么是振幅衰减？简述振幅衰减的特点。
简谐荷载作用下分数导数型粘弹性两自由度阻尼系统受迫振动分析
ｃ ｎ ｒ１ ｏ ｔｏ ．
Ｋｅ ｒ ｓ： ｉｃ ｌ ｔ ； ａ ｉ ｇ ｆａ ｔ ｎ ｅ ｖ ｔ ｅ ａ ｌ ｕ ｅ ｒ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ｖ ｓ ｏ ａ ｉ ｄ ｍｐ ｎ ；ｒ ｃｉ ａ ｄ ｒ ａ ｖ ； ｍｐ ｉ ｄ ａ ｉ ｅ ｓ ｃ ｏｌ ｉ ｉ ｔ ｏ
第11讲 二自由度系统受迫振动及吸振
2
多自由度系统强迫振动 \ 吸振
多自由度系统强迫振动 \ 吸振 故系统受迫振动响应为
例1 线。
图a所示的系统中，已知m1 m, m2 2m，k1 k2 k, k3 2k, Q2 0.
(1)试求系统的响应；（ 2）计算共振时的振幅比；（3）做振幅频率响应曲
解：（1）由已知
K11 2k , K12 K 21 k , K 22 3k
则微分方程式可写成
M 11 x1 K11 x1 K12 x2 Q1 sin t M 22 x2 K 21 x1 K 22 x2 Q2 sin t
（2）
多自由度系统强迫振动 \ 吸振
多自由度系统强迫振动 \ 吸振
M 11 x1 K11 x1 K12 x2 Q1 sin t （2） M 22 x2 K 21 x1 K 22 x2 Q2 sin t
k
k 2 F1
1
2 k 2 m1 2 k 2 m 2 2 k 2
22 m2 F 1 k11 m1 2 k22 m2 2
k
2 2 m2 F 1 2 k1 k2 m1 k2 m2 2
k
m1m2 4 m1k 2 m2 k1 k 2 2 k1k 2
• 方程（2）是二阶线性常系数非齐次微分方程组，它 的解应由齐次方程组的通解（自由振动）与非齐次方 程组的特解（受迫振动）叠加而成。其中非齐次方程 的特解为稳定阶段的等幅振动，系统按与激振力相同 的频率 ，作受迫振动。
对（3）式求二次导数，即得加速度
x1 B1 2 sin t
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两自由度系统有阻尼受迫振动
加速度传感器 （1号）
ห้องสมุดไป่ตู้
M1
加速度传感器 （2号）
M2
功率放大器
信号转接器
信号源
输入
12
1234
ICP电源
输入 激振器
1 2 34 输出
图 6－1 两自由度系统有阻尼受迫振动实验原理图
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-2
图 6－2 两自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面
两自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面说明 主菜单
存 盘 ：将测试数据存盘。按提示输入学号作为文件名。 实验指导 ：激活本实验的实验指导文本。
退 出 ：退出本操作界面，回到主界面（图 2）
虚拟仪器
量 程 ：指示灯为“绿色”表示信号达到半量程，为“黄色”表示信号
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-3 过载。设置量程使信号超过半量程而不过载可以减小量化误差。 示波器 ：选择“显示选择”中的某一选项（共 7 项），可使示波器显示相 应的内容。 电压表 ：选择“1 号点”，显示 1 号传感器的输出电压。选择“2 号点”， 显示 2 号传感器的输出电压。 频率计 ：显示加速度信号的频率。
李萨玉图 ：观察 1 号加速度信号和激振信号的李萨玉图。
信号发生器 ：输出一定电压和频率的简谐信号。用“On/Off”开启或关闭 信号发生器。 测试数据：
拾取数据 : 将频率计当前的读数和 1 号、2 号传感器当前的输出电压
同时拾取到测试数据表格中。“幅值 1”为 1 号传感器的输出电压，“幅
值 2”为 2 号传感器的输出电压。若重复拾取某一频率的数据，则当 前拾取的数据将覆盖过去拾取的同频率的数据。 重新拾取 : 清除测试数据表格中的全部数据，重新拾取频率计当前的 读数和 1＃、2＃传感器当前的输出电压。 数据检验 : 将测试数据表格中的加速度信号数据绘成幅频曲线（图 6 －3）。
图 6－3
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-4
一、实验目的
• 了解和掌握两自由度系统在简谐激振力作用下受迫振动的一般规律及现
象。
• 理解两自由度系统固有振型的物理概念。
• 巩固基本振动测试设备的操作与使用。
二、实验仪器
• 两自由度系统试件
1件
• 激振器及功率放大器
1套
• 加速度传感器（ICP 式）
注意：在非共振区，频率间隔可较大。在共振区，频率间隔应尽量小。 4）点击数据检验，绘出加速度幅频曲线。
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-6
四、实验数据与分析
1、记录测试数据，绘出 1 号和 2 号测点的加速度幅频特性曲线。 2、分别根据加速度幅频特性曲线和李萨育图的变化，找出系统的固有频率。 3、根据测试数据估算阻尼比。 4、绘出两自由度系统的振型图。
即为第二阶固有频率。分别记录 1 号、2 号传感器此时的输出电压 V21 和 V22。
8、将信号发生器的频率重新由低向高逐步调节，记录各频率值和 1、2 号传
感器输出电压值。
具体操作方法
1）从 10Hz 开始，使信号发生器输出一频率，当电压表读数稳定后点击
拾取数据，将当前的频率值和 1、2 号传感器输出电压值读入到测试 数据表格内。 2）调高频率，当电压表读数稳定后点击拾取数据，将当前的频率值和 1、 2 号传感器输出电压值读入到测试数据表格内。 3）重复步骤 2），直至频率达 100Hz。若某一频率的测试数据有误，可将 信号发生器设置在该频率重新测量，再次点击拾取数据，新的测试数据将 覆盖测试数据表中的同频率数据。
尼受迫振动”实验操作界面（图 6－2）。 4、使信号发生器的输出频率约为 30Hz，输出电压约为 1V。调节功率放大
器的“输出调节”，逐渐增大其输出功率直至质量块有明显的振动（用
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-5 眼观察并用手触摸）。 5、将信号发生器输出频率由低向高逐步调节，观察质量块的振动情况，若振 动过大则减小功率放大器的输出功率，反之则减小。 6、保持功率放大器的输出功率恒定（即：不再改变信号发生器的输出电压和 功率放大器的输出功率），将信号发生器的频率重新由低向高逐步调节， 注意观察李萨育图形。当李萨育图为稳定的正椭圆(上下、左右都对称)
且示波器（“显示选择”为“1、2 号点响应信号” ）呈现出两个同相位 的波形时，当前的频率 f1 即为第一阶固有频率。分别记录 1 号、2 号传 感器此时的输出电压 V11 和 V12。 7、将信号发生器的频率继续向高逐步调节，注意观察李萨育图形。当李萨育
图为稳定的正椭圆且示波器呈现出两个反相位的波形时，当前的频率 f2
1只
• ICP 电源(即 ICP 信号调节器)4 通道 1 台
• 信号发生器
1台
• 电压表
1台
• 频率计
1台
• 示波器
1台
其中：信号发生器、电压表、频率计和示波器由计算机虚拟提供。
三、实验方法及步骤 1、装配实验系统 • 按图 6－1 将综合实验台装配成两自由度系统。 • 按 1 节所述的方法和要求安装激振器和加速度传感器。 • 按图 6－1 连接各测试设备。 2、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”！打开 各设备电源。 3、从“综合振动综合实验系统”对话框（图 2），进入“两自由度系统有阻