韩信点兵公开课讲义详解
韩信点兵(彭丹)
对项目问题进行准确界定，提高应用算法解决问题的能力。
教学目标
• 理解“韩信点兵”问题的解题思路，了解计算机解决问题的一般过程；
知识与技能
• 学会用自然语言描述问题，掌握穷举法并应用。
• 通过课前的问题预热，让学生了解同一问题的不同解法，从而激发学生的 学习积极性和创造性；
分析
最小值加上3、5、7、13的公倍数 同样满足条件，求出10个这样m值。
小组内部多角度思考解题办法，学生代表用清楚的语言向全班同学阐述。
教学过程六：评价总结
自我评价
教师评价
组内评价
通过客观的多元化的评价提高学生 的学习积极性和学习效果， 通过总结帮助学生梳理知识脉络。
教学过程七：作业巩固
通过作业让学生在课下巩固所学，提高算法思维与创新思维能力。
问题驱动 协作探究
对比迁移 发散思维
任务拓展 巩固创新
讲授与探究相结合 突出思维的训练
主讲人：彭 丹
Huanggang Foreign Language School
学情分析
本课的授课对象为八年级学生，虽然他们还没有在数学中 系统的学习算法，但是这个年龄段的孩子抽象逻辑思维能力开始 快速发展，在恰当的启发诱导下能够依据逻辑关系对问题做出分 析和判断。因此，本节课将抽象的算法描述知识渗透到具体的任 务中，激发学生的学习兴趣，让学生在做中学。同时，由于学生
小学阶段接触掌握算法的水平存在差异，所以教学过程中对全班
教学环境及设备、资源
硬件准备
多媒体网络教室
课前准备
软件准备
PPT播放软件
数学：韩信点兵
Байду номын сангаас创微数课学：文数学化文背化景背景考系题列是3 2017年高考大纲明确提出必考内 容，它涵盖了中华5000年的历史精华，是我们伟大民族 的骄傲。我们必须好好传承我们的数学文化。
《数学文化背景系列》是在这样的背景下，以微课的形
谢谢大家 式和大家共享，一起学习。
多多指导
原创微课：数学文化背景系列3
韩信点兵
原创微课：数学文化背景系列3
民间传说着一则故事——“韩信点兵”，其次有 成语“韩信点兵，多多益善”。
相传，韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人， 站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7 人一排，多出6人。
韩信很快知道人数：1049。 这样的问题，也有人称为“韩信点兵”。它形 成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。“鬼 谷算”，“隔墙算”，“剪管术”，“神奇妙算” 等等 。题目与解法都载于我国古代重要的数学著作 《孙子算经》中。一般认为这是三国或晋时的著作， 比刘邦生活的年代要晚近五百年 。
原创微课：数学文化背景系列3
这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道 理，我们再来看看原来的题目：韩信带1500名兵士 打仗，战死四五百人，站3人一排，多出2人；站5 人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。可以很 容易地把前面的题目列成算式：
70×2＝140 21×4＝84 6×15＝90 140+84+90 ＝314 因为总人数1500，战死400至500人，那么人数 大概是1000人左右。那么314+105×7 ＝1049 。
原创微课：数学文化背景系列3
算法口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》， 诗中数字隐含的口诀是这样的：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，除百零五便得知。
最新人教版五年级数学下册《奥数韩信点兵》精品教学课件
A=15 答：这个数最小为15.
例2、一百多个苹果，3个3个数多2个，5个5个数剩2个，7个7 个数缺5个，则苹果有多少个！
解：设苹果有A个.
A÷3...2
A-2满足3的倍数
A÷5...2
A-2满足5的倍数
A÷7...2
A-2满足7的倍数
3、5和7的最小公倍数是105，
A-2=105×k=105k
练习题3：某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数 最小值。
练习题1：某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是 几？（33）
练习题2：某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。这个数最小 是几？
【答案】除以7余1，除以5余1 ，则这个数除以35也余1，符合条件 的数有36,71,106,141,176,210，…，其中除以12余9的数最小是141.
A-4满足是9的倍数
所以：A-4=20k-2-4
有满足k的值，使20k-2-4能被9整
除
当k=1时，带入式子中 A-4=20×1-2-4=14不符合 当k=2时，带入式子中 A-4=20×2-2-4=34不符合 当k=3时，带入式子中 A-4=20×3-2-4=54 符合
A=54+4 A=58
答：至少有58个老人。
A =105k+2
当k=1时，带入式子中
A=105×1+2
A=107
答：苹果有107个.
知识点一：加同补
例3、一个自然数除以6余2，除以8余4，则这个数最小为多少 ？
解：设这个最小为A.
A÷6...2
A+4满足6的倍数
A÷8...4
A+4也满足8的倍数
6和8的最小公倍数是24，
韩信点兵--剩余定理
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那么，为了解这个方程组， 那么，为了解这个方程组，除了刚才的筛法 外，还有没有更加巧妙的解法？ 还有没有更加巧妙的解法？ 我们考察上边两个方程的特点，发现， 我们考察上边两个方程的特点，发现，两个 “带余除法”的式子，都是“余数比除数少1”。 带余除法”的式子，都是“余数比除数少1
于是想到，如果把被除数再加1 于是想到，如果把被除数再加1，不是余数就为 把被除数再加 0了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？ 了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？ 整除的情况了吗
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对整个问题寻找规律
问题： 今有物不知其数，二二数之剩1， 问题： 今有物不知其数，二二数之剩 ，三三
数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩 ，六六 数之剩 ，四四数之剩 ，五五数之剩4， 数之剩5，七七数之剩 ，八八数之剩7， 数之剩 ，七七数之剩6，八八数之剩 ，九九 数之剩8，问物几何？ 数之剩 ，问物几何？
a 整除 ”，这是通常除
” 的另一种表达形式。所以， 的另一种表达形式。所以，
带余 除法是通常除法的推广。 除法是通常除法的推广。
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回到求“ 除余1的数 回到求“用2除余 的数”的问题。设 除余 的数”的问题。 这 样的数为
x
，则
x = 2n1 + 1
n1
。这里
x
是
被除数， 2是除数 被除数，2是除数， 0 ≤ 1 < 是除数， 且 。
① 化繁为简
我们还是先看只有前两个条件的简化题目。 我们还是先看只有前两个条件的简化题目。
除余1） 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，… （ 用2除余 ） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 除余 5， ， 11， ， 17， ， 23， … ， （ 用3除余 ） 除余2） 除余
【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法
【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法“韩信点兵”问题的初等解法研究王晓东河北省卢龙县燕河营镇中学 066407韩信，是我国汉代刘邦手下的一员能征善战，智勇双全的大将。
历史上流传着一个关于他运用奇特方法点兵的传说。
有一天，韩信来到操练场，检阅士兵操练。
他问部将，今天有多少士兵操练，部将回答:“大约两千三百人。
”韩信走上点兵台，他先命全体士兵排成7路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人;他又命全体士兵排成5路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩3人;最后，他又让全体士兵排成3路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人。
韩信告诉部将，今天参加操练的士兵有2333人。
从现代数学的观点来看，解决韩信点兵问题，可以这样思考:设操练士兵的总数为M，则M=3x+2=5y+3=7z+2其中，x，y，z分别表示排成3路纵队，5路纵队，7路纵队的纵队数目。
求出了x，y，z以后，M也求求出来了。
而求x，y，z可以看成求方程组3x+2=5y+33x+2=7z+2的正整数解。
在上面的方程组中，未知数的个数多于方程的个数，则把这种方程(组)叫做不定方程(组)。
不定方程(组)的解是不确定的，一般不定方程总有无穷多个组解，但若加上整数(或正整数)解的特定限制，则不定方程(组)的解有三种可能:有无限组解，有限组解，或无解。
我国古代人民对于不定方程(组)这类问题解法的探讨有着悠久的历史，在中国古代的《孙子算经》中曾作为一个典型问题进行论述。
其中的一个经典例题是:今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何,答曰:二十三。
术曰:三三数之剩二，则置一百四十;五五数之剩三，则置六十三;七七数之剩二，则置三十;并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十;五五数之剩一，则置二十一;七七数之剩一，则置十五。
一百(零)六以上，以一百(零)五减之，即得。
在中国民间还广为流传着一个口诀:三人同行七十稀，五树梅花二十一。
《“韩信点兵”与中国的剩余定理 》PPT教学课件
2020/12/09
我们现在令Z表示所有的整数集合，给定一个正整 数n，我们看同余≡究竟有什么性质？
首先，对于任何整数a ，我们恒有a≡a（mod n） 因为a－a＝0＝0×n，以上的性质就是“同余具有自 反性。
其次，如果a≡b（mod n），则一定有b≡a（mod n） 因为由a≡b（mod n），我们得a－b=n×k，k是一个 整数，
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因此b－a=－（a－b）＝n×（－k），即b≡a （modn）。我们说“同余具有对称性”。
另外如果有a≡b（mod n），b≡c（mod n）， 则我们可以得到a≡c（mod n）。 这就是“同余具有传递性。
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让我们看看下面的例子：
例1．取n＝2，则我们把整数分成偶数或奇数，就是…… [0]2={0，±2，±4，±6，…±2k，…}包含所有偶数。 [1]2={±1，±3，…±（2k+1)，…}包含所有的奇数。
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我们不单听到吹竽鼓瑟、击筑弹琴，也见到斗鸡走 犬。而位于大街的酒家，高朋满座。最热闹的是靠 南城门的墙脚地方，只见许多人围绕在一个竹竿高 挂上写“鬼谷神算”的布条下。挤进去看，我们看 到一个有仙风道骨模样的老人对另一位老观众说： “大爷不需告诉我岁数，只需讲你的岁数除以二、 三、五后的余数是多少，就可以了。”
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这和《孙子算经》的答案：“答曰：二十三”是 符合的。
《孙子算经》还给出解这题的方法： “术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数 之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之， 得二百三十三，以二百十一减之即得。” 而书中接下来就给这一类问题的一般解法：
韩信点兵问题
韩信点兵问题韩信点兵问题又称“中国剩余定理”或“孙子定理”。
这种问题好多老师的讲解方法很笨拙，同学们做起来也很吃力，不少好学生在考试时，用了大量的时间研究这道题，为了提高我们的解题速度及正确率，现将我的经验和解题技巧提供给大家。
这类问题的解法根据是：1、如果被除数增加除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。
例如：19÷7=2 (5)（19+2×7）÷7=4 (5)2、如果被除数扩大若干倍，除数不变，那么余数也扩大同样的倍数。
例如：20÷9=2 (2)（20×3）÷9=6 (6)例1、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1.求适合这些条件的最小数。
【5，6】=30 因为30÷7=4……2 不余1，要想余数为1，就得将余数2扩大4倍，即被除数扩大4倍，得30×4=120，所以120除以7余1。
【5，7】=35 因为 35÷6=5……5 ，要想余数为4，就得将余数5扩大2倍，那么被除数30就得扩大2倍，即35×2=70所以70÷6余4.【6，7】=42 因为42÷5=8……2 要想符合题中要求余3的话，余数2就得扩大4倍，即被除数扩大4倍，得42×4=168，168除以5余3.现找到的符合题中条件的一个数为：120+70+168=358 ，但不是最小的数，要想最小，就得减去除数5、6、7的最小公倍数，直到不够减为止。
【5，6，7】=210 ， 358-210=148 ，所以答案为148完整的算式为：【5，6】=30 30÷7=4……2 30×4=120【5，7】=35 35÷6=5……5 35×2=70【6，7】=42 42÷5=8……2 42×4=168【5，6，7】=210120+70+168=358 358-210=148答：符合条件的最小的数是148.注：也可能会出现四个除数，不管有几个除数，都是用其它几个数的最小公倍数除以另外一个数，再找符合该条件的余数的被除数。
韩信点兵古代的数学文化讲解
韩信点兵古代的数学文化讲解
韩信点兵古代的数学文化讲解
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少?
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的.积)，然後再加3，得9948(人)。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何?」
答曰：「二十三」
术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。
」
孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法
【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法“韩信点兵”问题的初等解法研究王晓东河北省卢龙县燕河营镇中学 066407韩信，是我国汉代刘邦手下的一员能征善战，智勇双全的大将。
历史上流传着一个关于他运用奇特方法点兵的传说。
有一天，韩信来到操练场，检阅士兵操练。
他问部将，今天有多少士兵操练，部将回答:“大约两千三百人。
”韩信走上点兵台，他先命全体士兵排成7路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人;他又命全体士兵排成5路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩3人;最后，他又让全体士兵排成3路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人。
韩信告诉部将，今天参加操练的士兵有2333人。
从现代数学的观点来看，解决韩信点兵问题，可以这样思考:设操练士兵的总数为M，则M=3x+2=5y+3=7z+2其中，x，y，z分别表示排成3路纵队，5路纵队，7路纵队的纵队数目。
求出了x，y，z以后，M也求求出来了。
而求x，y，z可以看成求方程组3x+2=5y+33x+2=7z+2的正整数解。
在上面的方程组中，未知数的个数多于方程的个数，则把这种方程(组)叫做不定方程(组)。
不定方程(组)的解是不确定的，一般不定方程总有无穷多个组解，但若加上整数(或正整数)解的特定限制，则不定方程(组)的解有三种可能:有无限组解，有限组解，或无解。
我国古代人民对于不定方程(组)这类问题解法的探讨有着悠久的历史，在中国古代的《孙子算经》中曾作为一个典型问题进行论述。
其中的一个经典例题是:今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何,答曰:二十三。
术曰:三三数之剩二，则置一百四十;五五数之剩三，则置六十三;七七数之剩二，则置三十;并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十;五五数之剩一，则置二十一;七七数之剩一，则置十五。
一百(零)六以上，以一百(零)五减之，即得。
在中国民间还广为流传着一个口诀:三人同行七十稀，五树梅花二十一。
趣味数学教案-韩信点兵
contents
目录
• 课程介绍与目标 • 数学知识储备 • 韩信点兵问题分析与建模 • 趣味数学游戏设计与实践 • 课堂互动环节设置 • 课程总结与拓展延伸
01 课程介绍与目标
韩信点兵故事背景
韩信点兵是中国古代著名的数学故事之一，讲述了韩信如何利用数学知识巧妙地 解决了士兵数量统计的难题。
策略比较
引导学生比较不同策略的 优缺点，加深对问题的理 解。
提问环节：针对疑难问题进行解答
问题收集
鼓励学生提出在小组讨论 中遇到的疑难问题或不解 之处。
问题解答
教师针对学生的问题进行 详细解答，确保学生理解 透彻。
问题延伸
引导学生思考问题的延伸 和拓展，培养学生的发散 性思维。
分享交流：优秀策略和心得体会
故事背景发生在汉朝时期，韩信作为一位杰出的军事将领，通过独特的数学方法 ，准确地计算出了士兵的数量，展现了数学在解决实际问题中的巨大作用。
教学目标与意义
教学目标
通过讲解韩信点兵的故事，引导 学生理解数学在实际问题中的应 用，培养学生的数学思维和解决 问题的能力。
教学意义
通过韩信点兵这一经典案例，让 学生认识到数学的实用性和趣味 性，激发学生对数学的兴趣和热 爱，提高学生的数学素养。
策略展示
邀请部分学生在全班面前展示自 己的优秀策略，分享解题过程中
的心得体会。
互动交流
鼓励其他学生向展示者提问或发表 自己的看法，促进全班学生的互动 交流。
总结提升
教师对学生的分享进行点评和总结， 提炼出共性和规律性的东西，帮助 学生进一步提升思维能力。
06 课程总结与拓展延伸
关键知识点回顾总结
06
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【练习2】一个自然数除以8余2，除以9余3，问这个数至少是多少？
【练习3】一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块。这堆糖至少有多少块？
【练习4】一个小于100的自然数，除以3余2，除以7余2，则满足条件的自然数有哪些？
【挑战题】一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是多少？
【解析】设这个数为x。
4）x除以7余3：最小为3，通式为 ；
5）x除以8余5： 最小为6，则有 ，通式为 。
6）x除以9余7： 最小为8，则有 。
则 。
。
【练习3】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数。
【第四题】（2008“奥数网杯”）三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是多少？
三、杯赛真题：
【第一题】（第十八届华杯赛决赛）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个。那么这筐苹果至少_______个。
3）n除以7余1： 最小为4，则有 。
【第六题】三个连续自然数，从小到大依次是8、7、9的倍数，那么这三个数的和至少是多少？
【解析】设这三个数为x， ， 。
1）x除以8余0：最小为0，通式为 ；
2）x除以7余6： 最小为6，则有 ，通式为 ；
3）x除以9余7： 最小为2，则有 。
则这三个数的和至少是 。
【解析】设这个数为x。
1）x除以8余2：最小为2，通式为 ；
2）x除以9余7： 最小为4，则有 ，通式为 。
3）x除以11余3： 最小为4，则有 。
则 。
。
【课后演练】
【第一题】一个数除以2余1，除以3余1，除以4余1，除以5余1，则这个数至少是多少？
【解析】至少为1。
【第二题】一个数除以3、4、5、6的余数分别是2、3、4、5，则这个数至少是多少？
【解析】设有x个苹果。
因为10除以3余1，所以x除以3余1；
因为11除以4余3，所以x除以4余3；
因为12除以5余2，所以x除以5余2。
1）x除以3余1：最小为1，通式为 ；
2）x除以4余3：n最小为2，则有 ；
因为7除以5余2，且x大于12，所以 。
【第三题】（2012年六年级少文杯）一个自然数能被11整除，除以13余12；除以15余13；这个数最小为_______。
【解析】设有x个苹果。
因为11除以3余2，所以x除以3余2；
因为10除以4余2，所以x除以4余2；
因为12除以5余2，所以x除以5余2。
又因为x大于12， 。
【第二题】（第十八届华杯赛决赛）有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个，那么这箱苹果至少有个。
【答案】设这个自然数是n。
n除以3余2，除以6余5，除以7余6，除以42余41，则n最小为 。
同时41除以4余1，除以12余5，所以n的通式是 。
由题意可得：
则 。
【练习1】一个自然数除以7、8、9后分别余1、2、3，而所得的三个商的和是570，这个数是多少？
【解析】设这个数为x。
, ，则 。
。
【练习2】一个自然数除以8、9、11后分别余2、7、3，而所得的三个商的和是622，这个数是多少？
【解析】
1）n除以15余13：最小为13，通式为 ；
2）n除以13余12： 最小为6，则有 ，通式为 。
3）n除以11余0： 最小为5，则有 。
【第四题】（2012年六年级少文杯）小明在学习完有余数除法时，很感兴趣，就自己出数据来试，有一次小明用一个自然数分别除以3、4、6、7、12、42后，得到的余数分别为2、1、5、6、5、41。又知道这6个商的和为709，则这个自然数是多少？
【解析】 。
【第三题】某类数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则小于50的这类数分别是多少？
【解析】设这个数是x。
1）x除以3余2：最小为2，通式为 ；
2）x除以5余 ， 。
【第四题】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为多少？
【解析】设这个数为n。
1）n除以3余2：最小为2，通式为 ；
2）n除以5余3： 最小为2，则有 ，通式为 。
3）n除以7余4： 最小为3，则有 。
【第五题】一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数？
【解析】设这个数为n。
1）n除以5余3：最小为3，通式为 ；
2）n除以6余4： 最小为5，则有 ，通式为 。
二．逐级满足：
【第三题】
1）一个数除以3余2，除以5余4，问满足条件的最小自然数为多少？
2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余3，问满足条件的最小自然数为多少？
【练习1】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数？
【练习2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为多少？
韩信点兵
一．减同余、加同补：
【第一题】炒饭老师非常喜欢吃炒饭。有一天，炒饭老师给自己炒了一桶的炒饭。他算了一下，如果他每天吃3碗，最后剩下2碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩下2碗。问炒饭老师炒了至少多少碗炒饭？
【第二题】炒饭老师非常喜欢吃炒饭。有一天，炒饭老师给自己炒了一桶的炒饭。他算了一下，如果他每天吃3碗，最后剩下1碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩下3碗。问炒饭老师炒了至少多少碗炒饭？