不等式8课时作业
《2.5不等式应用举例》作业设计方案-中职数学高教版21基础模块上册
《不等式应用举例》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本课时作业，期望学生能够达到以下目标：1. 理解不等式的概念及其基本性质；2. 掌握不等式的解法，并能正确运用不等式解决实际问题；3. 培养分析问题和解决问题的能力，提升数学应用意识。
二、作业内容本课时作业内容主要围绕不等式的应用举例展开，具体包括：1. 基础练习：设计一系列不等式的基本运算题目，如解不等式、比较大小等，旨在巩固学生对不等式基本性质的理解和运算能力。
2. 应用题练习：- 设计实际生活中的应用题，如“在商场购物时如何使用不等式比较两种商品的性价比”；- 引导学生分析实际问题中的不等关系，并将之转化为数学模型，运用不等式进行求解；- 鼓励学生探讨不等式在其他学科领域（如物理、化学）中的应用。
3. 拓展提高：- 提供一些稍具难度的题目，如含有绝对值的不等式、分式不等式等，以挑战学生的解题能力；- 设计一些开放性问题，如“请找出生活中的五个与不等式有关的应用实例”。
三、作业要求1. 独立完成：要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案；2. 仔细审题：在解题前要仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误导致答案错误；3. 规范书写：解题过程中要规范书写，步骤要清晰，逻辑要严密；4. 及时反馈：遇到问题时应及时向老师或同学请教，不得拖延；5. 反思总结：完成作业后要进行反思总结，找出自己的不足之处，以便在后续学习中加以改进。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生作业的准确性、解题思路的清晰度、解题步骤的规范性等方面进行评价；2. 评价方式：采用教师批改、同学互评、自我评价等多种方式进行评价；3. 反馈方式：将评价结果及时反馈给学生，指出其不足之处，并给出改进建议。
五、作业反馈1. 对于学生在作业中普遍出现的问题，老师将在课堂上进行讲解和指导；2. 对于学生的优秀作业和解题思路，老师将在课堂上进行展示和表扬，以激励学生；3. 针对学生的反馈和建议，老师将及时调整教学计划和教学方法，以提高教学质量。
课时作业6：不等式选讲
§14.3 不等式选讲课时1绝对值不等式A组专项基础训练(时间：50分钟)1．在实数范围内，求不等式||x－2|－1|≤1的解集．2．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．3．(2015·无锡模拟)对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．4．已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x－7|＋m，若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m 的取值范围．5．(2015·常州模拟)求不等式|x＋3|－|2x－1|<x2＋1的解集．6．(2015·盐城模拟)已知关于x的不等式|2x－m|≤1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x 的不等式|x－1|＋|x－3|≥m的解集．B 组 专项能力提升(时间：40分钟)7．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f (x )＞2；(2)求函数y ＝f (x )的最小值．8．(2015·泉州模拟)已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值范围．9．(2015·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数．(1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值； (2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围．10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．课时2 不等式的证明A 组 专项基础训练(时间：50分钟)1．已知x ＋y ＝1，求2x 2＋3y 2的最小值．2．设a ＋b ＝2，b >0，当12|a |＋|a |b取得最小值时，求a 的值．3．(2015·徐州模拟)设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c的最小值．4．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z .5．(2015·南京、盐城联考)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c .求证：a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b＋c 2a ＋b －c≥a ＋b ＋c .6.(2015·苏州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值．B 组 专项能力提升(时间：40分钟)7．(2015·湖南)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b. 证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．8．(2015·南阳质检)已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N *)，求证：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.9．(2015·锦州一模)(1)关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，求a 的取值范围；(2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．10．(2015·南京模拟)已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)．(1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值； (2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.答案解析课时1 绝对值不等式1．解 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，解⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0，|x －2|≤2得0≤x ≤4.∴不等式的解集为[0,4]． 2．解 由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立， 则需a <2.3．解 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，所以|3a －3b |≤3，|a －12|≤12， 所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋(a －12)＋52| ≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6， 即|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6.4．解 由题意，可得不等式|x －3|＋|x －7|－m >0恒成立，即(|x －3|＋|x －7|)min >m ，由于x 轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m <4.5．解 ①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <10，∴x <－3. ②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25. ③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x 2＋1， 解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2. 6．解 由不等式|2x －m |≤1，可得m －12≤x ≤m ＋12， ∵不等式的整数解为2，∴m －12≤2≤m ＋12，解得3≤m ≤5. 再由不等式仅有一个整数解2，∴m ＝4.本题即解不等式|x －1|＋|x －3|≥4，当x <1时，不等式等价于1－x ＋3－x ≥4，解得x ≤0，不等式解集为{x |x ≤0}．当1≤x ≤3时，不等式等价于x －1＋3－x ≥4，解得x ∈∅，不等式解集为∅.当x >3时，不等式等价于x －1＋x －3≥4，解得x ≥4，不等式解集为{x |x ≥4}．综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．7．解 (1)方法一 令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－12－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ＜43x －3＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＋5＞2. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－7，或x ＞53.方法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3， －12≤x ＜4，x ＋5， x ≥4. 画出f (x )的图象，如图所示． 求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝⎛⎭⎫53，2. 由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－7，或x ＞53. (2)由(1)的方法二知：f (x )min ＝－92. 8．解 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －2|≥3，当x ≥2时，有x ＋3－(x －2)≥3，解得x ≥2；当x ≤－3时，－x －3＋(x －2)≥3，解得x ∈∅；当－3<x <2时，有2x ＋1≥3，解得1≤x <2.综上，f (x )≥3的解集为{x |x ≥1}．(2)由绝对值不等式的性质可得，||x ＋3|－|x －2||≤|(x ＋3)－(x －2)|＝5，则有－5≤|x ＋3|－|x －2|≤5.若f (x )≥|a －4|有解，则|a －4|≤5，解得－1≤a ≤9.所以a 的取值范围是[－1,9]．9．解 (1)∵|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4， ∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4. (2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立， 故|2＋x |＋|2－x |≤⎝⎛⎭⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min . 由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4， ∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集．解不等式得－2≤x ≤2，故实数x 的取值范围为[－2,2]．10．解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，∴原不等式的解集是{x |0<x <2}． (2)∵a >－1，则－a 2<12， ∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ＋1－a ， x <－a 2，a ＋1， －a 2≤x <12，4x ＋a －1， x ≥12.当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43， ∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43. 课时2 不等式的证明1．解 由柯西不等式(2x 2＋3y 2)·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫ 132 ≥⎝⎛⎭⎫2x ·12＋3y ·132＝(x ＋y )2＝1， ∴2x 2＋3y 2≥65，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝35，y ＝25时，等号成立．所以2x 2＋3y 2的最小值为65. 2．解 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2. 3．解 ∵(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]· ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18. ∴2a ＋2b ＋2c ≥2.∴2a ＋2b ＋2c的最小值为2.4．解 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z 3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147. 5．证明 因为⎝⎛⎭⎫a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c [(b ＋c －a )＋(c ＋a －b )＋(a ＋b －c )]≥(a ＋b ＋c )2， 又a ＋b ＋c >0，所以a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c≥a ＋b ＋c (当且仅当b ＋c －a a ＝c ＋a －b b ＝a ＋b －c c 时取等号)． 6．解 由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2，∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2.∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499， 当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立， ∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499. 7．证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立． 8．证明 ∵n (n ＋1)＝n 2＋n ，n ∈N *，∴n (n ＋1)>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)>1＋2＋3＋…＋n＝n (n ＋1)2. ∵n (n ＋1)<n ＋(n ＋1)2， ∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋(n ＋1)2＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n (n ＋2)2. 综上得n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2. 9．解 (1)∵|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1，且|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，∴a >1，即a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]·[(x 4)2＋(y 5)2＋(z 2)2] ≥(4×x 4＋5×y 5＋2×z 2)2 ＝(x ＋y ＋z )2，即25×1≥(x ＋y ＋z )2.∴5≥|x ＋y ＋z |，∴－5≤x ＋y ＋z ≤5.∴x ＋y ＋z 的取值范围是[－5,5]．10．(1)解 因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab ≥3·32(a ＋b 2)2＝3×38＝6， 当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6. (2)证明 方法一 由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.方法二 因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝a 2x 1x 2＋abx 22＋abx 21＋b 2x 1x 2＝x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (x 22＋x 21) ≥x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (2x 1x 2)＝x1x2(a2＋b2＋2ab)＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，当且仅当x1＝x2时，取得等号．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.。
2019版文数(北师大版)练习：第六章 第一节 不等式的性质、一元二次不等式
课时作业 A 组——基础对点练1．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：要使函数f (x )＝1－x x ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2,1]． 答案：B3．已知集合A ＝{x ∈N|x 2－x －6＜0}，则集合A 的子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．8解析：不等式x 2－x －6＜0的解集为{x |－2＜x ＜3}，又x ∈N ，所以A ＝{0,1,2}，故集合A 的子集的个数为23＝8，故选D. 答案：D4．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A. 答案：A5．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b .故C 项不成立． 答案：C6．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：D7．不等式(1＋x )( 1－x )>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1. 答案：A8．已知a >0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m <nD ．m ≤n解析：由题易知m >0，n >0，两式作商，得mn ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n . 答案：B9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)． 答案：B10．下列选项中，使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ． (1，＋∞)解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A. 答案：A11．若a ， b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2. 答案：B12．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为__________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)13．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是__________． 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a 14．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)． 答案：(0,8)15．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .求不等式f (x ＋2)＜5的解集． 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为 (－7,3)．B 组——能力提升练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B. a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >bc⇒a <b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －aab >0⇔⎩⎨⎧ab >0，a <b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，a >b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)， ∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ， ∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0， 且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0， 而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A. 答案：A3．在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：由定义知，不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.答案：D4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的一个( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当(m －1)(a －1)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，当m <0，a <0时，log a m 无意义，故log a m >0不一定成立；当log a m >0时，则⎩⎨⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，则(m －1)(a －1)>0恒成立，故“(m－1)·(a －1)>0”是“log a m >0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B5．若0<b <a <1，则下列结论不一定成立的是( ) A.1a <1b B.a >b C ．a b >b aD ．log b a >log a b解析：对于A ，函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以当0<b <a <1时，1a <1b 恒成立；对于B ，函数y ＝x 在(0，＋∞)上单调递增，所以当0<b <a <1时，a >b 恒成立；对于C ，当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减，所以a b >a a ，函数y ＝x a 单调递增，所以a a >b a ，所以a b >a a >b a 恒成立．所以选D. 答案：D6．若a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．|a |>|b | B.1a －b >1a C.1a >1bD ．a 2>b 2解析：由不等式的性质可得|a |>|b |，a 2>b 2，1a >1b 成立．假设1a －b >1a 成立，由a <b <0得a －b <0，∴a (a －b )>0，由1a －b >1a ⇒a (a －b )·1a －b >1a ·a (a －b )⇒a >a －b ⇒b >0，与已知矛盾，故选B.答案：B7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数．设a ＝f (log 47)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，c ＝f (21.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c解析：∵f (x )是定义在 (－∞，＋∞)上的偶函数，∴b ＝f (log 123)＝f (－log 23)＝f (log 23)．∵log 23＝log 49>log 47,21.6>2，∴log 47<log 49<21.6.∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数，则f (log 47)>f (log 49)>f (21.6)，即c <b <a ，故选B. 答案：B8．(2018·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]D ．[3,5]解析：当MA ，MB 与圆相切时，|CM |＝(5－1)2＋(t －4)2＝20，由题意，圆C 上存在两点使MA ⊥MB ，则|CM |＝(5－1)2＋(t －4)2≤20⇒2≤t ≤6，故选C.答案：C9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|(x ≤2)，2x －1(x >2)，则f (x )≥1的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤1，53 B.⎣⎡⎦⎤53，3C ．(－∞，1)∪⎣⎡⎭⎫53，＋∞ D ．(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3解析：不等式f (x )≥1等价于⎩⎨⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3，故选D. 答案：D10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图像的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4. 答案：B11．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立， 得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0， 即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0， 得到sin 2α≤14，∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤12，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 12．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，求实数m 的取值范围．解析：不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，相当于二次函数y＝x2＋mx＋1的最小值非负，即方程x2＋mx＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.。
高中数学第二章不等式及其性质同步课时作业含解析新人教B版必修第一册
高中数学课时分层作业：2.2.1不等式及其性质1.(多选)设,a b 为正实数，则下列命题为真命题的是()A.若221a b -=,1a b -<B.若111b a -=,则1a b -<C.1=,则1a b -<D.若1,1a b ≤≤，则1a b ab -≤-2.已知,0x y z x y z >>++=,则下列不等式中一定成立的是（）A.xy yz >B. xz yz >C.xy xz >D. x y z y > 3.若,a b 均为不等于零的实数，条件甲：对任意的10,0x ax b -<<+>恒成立；条件乙：20b a -<,则甲是乙 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定5.已知R a ∈，2(1)(3),(2)p a a q a =--=-,则 p 与q 的大小关系为（ )A.p q >B.p q ≥C.p q < D . p q ≤6.若110a b<<,则下列结论中不正确的是( ) A. 22a b < B.2ab b < C. 0a b +< D. a b a b +>+7.已知2,3b a d c <<，则下列不等式一定成立的是( )A. 23a c b d ->-B.23ac bd >C. 23a c b d +>+D. 6ad bc >8.下列结论中正确的是（ ）A.若a b >，则ac bc >B.若a b >，则11a b< C.若22ac bc >，则 a b >D.若a b >，则22ac bc >9.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是{|32}x x -<<，则a b += . 10.用”>”“<”或“=”填空:①已知0a b c <<<,则ac ________bc ;c a ________c b ②已知x R ∈,则22x +________2x11.给出四个条件:①0b a >>;②0a b >>;③0a b >>;④0a b >>. 其中能推出11a b<成立的是________. 12.已知三个不等式:①0ab >;②c d a b >;③bc ad >,以其中两个作条件余下一个作结论,则可组成________个真命题.13.已知a b >,则下列不等式:①22a b >; ②11a b <; ③11a b a<-; ④22a b >;⑤()0lg a b ->中,你认为正确的是________.(填序号)14.如果a b >,那么2c a -与2c b -中较大的是________15.已知()2f x ax bx c =++(1)当1,2,4a b c =-==时,求()1f x ≤的解集(2)当()()130f f ==,且当()1,3x ∈时,()1f x ≤恒成立,求实数a 的最小值答案以及解析1.答案：AD解析：对于A,由,a b 为正实数,221100a b a b a b a b a b-=⇒-=⇒->⇒>>+,故0a b a b +>->.若1a b -≥，则111a b a b≥⇒+≤+，这与0a b a b +>->矛盾，故1a b -<成立，所以A 为真命题;对于B ，取55,6a b ==,则111b a -=,但5516a b -=->,所以B 为假命题;对于C ，取4,1a b ==1=，但31a b -=<不成立，所以C 为假命题;对于 D ，22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b ---=+--=--≤，即1a b ab -≤-，所以D 为真命题.综上可知，真命题为A ，D.2.答案：C解析：因为x y z >>，0x y z ++=，所以30,30x x y z z x y z >++=<++=，所以0,0,x z ><又y z >，所以可得xy xz >.3.答案：A解析：当10x -<<时，恒有0ax b +>成立，∴当0a >时，0ax b b a +>->,当0a <时，0ax b b +>>，0,0,20,b a b b a ∴->>∴->∴甲⇒乙.当 3,02a b b =>时，1202b a b -=>，但当56x =-时,551()0644a b b b b ⋅-+=-+=-<，此时，乙⇒/甲，∴甲是乙的充分不必要条件. 4.答案：B解析：由题意得()()1212121110M N a a a a a a -=--+=-->,故M N >.5.答案：C解析：因为222(1)(3)(2)43(44)10p q a a a a a a a -=----=-+--+=-<,所以p q <,故选 C.6.答案：D 解析：222110,0,,,0,,,b a b a ab b a b A B C a b<<∴<<∴><+<∴中结论均正确，0,,b a a b a b D <<∴+=+∴中结论错误.故选D.7.答案：C解析：由2,3b a d c <<以及不等式的性质，得32b d a c +<+，故选C.8.答案：C解析：当0c ≤时,ac bc ≤,故选项A 不正确；取2,1a b ==-，11a b>，故选项B 不正确；由22ac bc >，知0c ≠,所以20c >,所以a b >,故选项C 正确；当0c =时,22ac bc =,故选项D 不正确.9.答案：0解析：解不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩,得1223a x x b +⎧<⎪⎨⎪>+⎩,由已知条件，可知122233a b +⎧=⎪⎨⎪+=-⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，所以0a b +=.10.答案：>；<；>；>解析：00a b c <<<，ac bc ∴> 又1100,0a b c a b<<⇒>>< c c a b ∴<再由00a b a b <<⇒->->⇒22(22110)x x x -=-++>222x x ∴+>11.答案：①②④解析：由①0a b <<，有110,0a b <>，所以11a b <；由②0a b >>，有10ab >，故有11a b <；由③0a b >>，有110a b >>；由④0a b >>，得11a b< 12.答案：3解析：由不等式性质,得0ab bc ad c d a b >⎫⎪⇒>⎬>⎪⎭；0ab c d bc ad a b >⎫⇒>⎬>⎭；0c d ab a b bc ad ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭ 13.答案：④解析：当0,1a b ==-时，经验证①，②，③，⑤均不正确．结合指数函数2x y ＝是增函数可知当a b >时，有22a b >，因此④正确14.答案：2c b -解析：,(2)(2)2()0,22a b c a c b b a c a c b >∴---=-<∴-<-15.答案：(1)当1,2,4a b c =-==时，()2241f x x x ≤＝－＋＋，即2230x x ≥－－()(310)x x ∴≥－＋1x ∴≤－或3x ≥(2)方法一 因为()()130f f ＝＝所以()()()()(131(1)3)f x a x x f x a x x ≤＝－－，＝－－在()1,3x ∈上恒成立 即1(1)(3)a x x -≤--在()1,3x ∈上恒成立而2(1)(3)0(1)(3)12x x x x -+-⎡⎤<--≤=⎢⎥⎣⎦ 当且仅当13x x －＝－，即2x ＝时取到等号 所以1a ≤－，即1a ≥－，所以a 的最小值是1－方法二 ()()(13)1f x a x x ≤＝－－在()1,3x ∈上恒成立即()130()1a x x ≤－－－在()1,3x ∈上恒成立 令()22()13143(2)1)1(g x a x x ax ax a a x a -=-=+-=-----当0a ＝时，()10g x <＝－在()1,3x ∈上恒成立，符合 当0a >时，易知()0g x <在()1,3x ∈上恒成立，符合当0a <时，则10a ≤－－，所以10a ≤<－ 综上所述，1a ≥－所以a 的最小值是1-。
课时作业8：习题课 不等式恒成立、能成立问题
习题课 不等式恒成立、能成立问题课时对点练1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ>0D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 答案 D解析 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数等价于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象全部在x 轴下方，需要开口向下，且与x 轴无交点，故需要⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0. 2．若关于x 的不等式－x 2＋mx －1≥0有解，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |m ≤－2或m ≥2}B ．{m |－2≤m ≤2}C ．{m |m <－2或m >2}D ．{m |－2<m <2}答案 A解析 因为关于x 的不等式－x 2＋mx －1≥0有解，所以Δ＝m 2－4≥0，解得m ≥2或m ≤－2.3．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．{a |－4≤a ≤4}B ．{a |－4<a <4}C ．{a |a ≤－4或a ≥4}D ．{a |a <－4或a >4} 答案 A解析 由题意得，Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4.4．已知不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1} 答案 A解析 由题意知，－(x －2)2＋4≥a 2－3a 在R 上有解，∴a 2－3a ≤4，即(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.5．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |－1<m <4}B ．{m |m <0或m >3}C ．{m |－4<m <1}D ．{m |m <－1或m >4}答案 D解析 因为正实数x ，y 满足1x ＋4y＝1， 所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 4＝2＋4x y ＋y 4x≥2＋24x y ·y 4x＝4， 当且仅当x ＝2，y ＝8时，x ＋y 4取得最小值4， 由x ＋y 4<m 2－3m 有解，可得m 2－3m >4， 解得m >4或m <－1.6．(多选)不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a <2D ．a <0 答案 BC解析 因为ax 2－2x ＋1<0的解集非空，显然a ≤0成立，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a >0，∴0<a <1，综上，ax 2－2x ＋1<0的解集非空的充要条件为a <1.7．若不等式x 2＋(m －3)x ＋m <0无解，则实数m 的取值范围是________．答案 1≤m ≤9解析 x 2＋(m －3)x ＋m <0无解，Δ＝(m －3)2－4m ＝m 2－10m ＋9≤0，解得1≤m ≤9.8．若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是_________． 答案 {k |－3<k ≤1}解析 当k ＝1时，－1<0恒成立；当k ≠1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<0，(k －1)2＋4(k －1)<0， 解得－3<k <1，因此实数k 的取值范围为{k |－3<k ≤1}．9．∀x ∈{x |2≤x ≤3}，不等式mx 2－mx －1<0恒成立，求m 的取值范围．解 由不等式mx 2－mx －1<0，得m (x 2－x )<1，因为x ∈{x |2≤x ≤3}，所以x 2－x >0，所以m (x 2－x )<1可化为m <1x 2－x，因为x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≤6， 所以1x 2－x ≥16，所以m <16. 即m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <16. 10．已知函数y ＝mx 2－mx －6＋m ，若对于1≤m ≤3，y <0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 y <0⇔mx 2－mx －6＋m <0⇔(x 2－x ＋1)m －6<0.∵1≤m ≤3，∴x 2－x ＋1<6m恒成立， ∴x 2－x ＋1<63⇔x 2－x －1<0⇔1－52<x <1＋52. ∴x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－52<x <1＋52.11．设p ：“∀x ∈R ，x 2－mx ＋1>0”，q ：“－2≤m ≤2”，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵∀x ∈R ，x 2－mx ＋1>0，∴Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2，∴命题p ：－2<m <2.由集合间的关系可知，p 是q 成立的充分不必要条件．12．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )，若∃x ∈R 使得(x －a )⊗(x ＋a )>1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－12或a >32B ．－12<a <32C ．－32<a <12D ．a <－32或a >12 答案 A解析 由题意知(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋a 2－a ＋14， ∴若∃x ∈R ，使得不等式(x －a )⊗(x ＋a )>1成立，则需函数y ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋a 2－a ＋14的最大值大于1， 即x ＝12时，y ＝a 2－a ＋14>1成立， 解得a <－12或a >32. 13．对任意x 满足－1≤x ≤2，不等式x 2－2x ＋a <0成立的必要不充分条件是( )A ．a <－3B ．a <－4C ．a <0D ．a >0 答案 C解析 因为x 2－2x ＋a <0，所以a <－x 2＋2x ，又因为－1≤x ≤2，－x 2＋2x ＝－x (x －2)≥－3，所以a <－3，又因为求“对任意x 满足－1≤x ≤2，不等式x 2－2x ＋a <0成立的必要不充分条件”． 所以C 正确．14．若存在1≤a ≤3，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x >23 解析 令y ＝ax 2＋(a －2)x －2＝(x 2＋x )a －2x －2，是关于a 的函数，由题意得(x 2＋x )－2x －2＞0或 (x 2＋x )·3－2x －2＞0.即x 2 －x －2＞0①，或3x 2＋x －2＞0②.解①可得x ＜－1或x ＞2. 解②可得x ＜－1或x >23. 把①②的解集取并集可得x ＜－1或x >23.15．关于x 的不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1≤0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－35≤a ≤1 解析 当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1，若a ＝1，不等式为－1≤0，恒成立，若a ＝－1，不等式为2x －1≤0，解得x ≤12，不符合题意， 当a 2－1≠0时，若要不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1≤0的解集为R ，则a 2－1<0，且Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)≤0，解得－35≤a <1， 综上可得－35≤a ≤1. 16．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，求实数λ的取值范围． 解 因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.即实数λ的取值范围为{λ|－8≤λ≤4}．。
课时作业8：习题课 基本不等式
习题课 基本不等式课时对点练1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 与s 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s >t C ．s ≤t D ．s <t 答案 A解析 ∵b 2＋1≥2b ，∴a ＋2b ≤a ＋b 2＋1，即t ≤s . 2．若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2>2|ab |答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 设甲、乙两地的距离为s ， 则v ＝2ss a ＋s b ＝21a ＋1b . 由于a <b ，∴1a ＋1b <2a ，∴v >a ，又1a ＋1b>21ab，∴v <ab . 故a <v <ab .4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．2 2 C ．2 D ．4 答案 A解析 由基本不等式得，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．5．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是任意非零实数，而a b ＋ba ≥2成立的条件是a ，b 同号，由集合的关系可知选B.6．(多选)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，对于代数式⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ，下列说法正确的是( ) A ．最小值为9 B ．最大值是9C ．当a ＝b ＝12时取得最小值D ．当a ＝b ＝12时取得最大值答案 AC解析 原式＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，所以1ab≥4.所以原式＝1＋2ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．7．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________________． 答案(a －b )(b －c )≤a －c 2解析 因为a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0， 所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立．8．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．答案 －2解析 y ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2.当且仅当t ＝1时，等号成立．9．已知a >b >c ，你能比较出4与⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )的大小吗？解 ⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4，理由如下：因为a －c ＝(a －b )＋(b －c )， 所以⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )]＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c，又a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0， 所以b －c a －b ＋a －b b －c ≥2，故⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c 时，取“＝”．10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64. (2)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.11．已知a >0，b >0，ab ＝1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 m ＋n ＝b ＋1a ＋a ＋1b ＝2a ＋2b ≥24ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．12．已知a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2abD.2ab a ＋b>ab 答案 D 解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22， 当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立； ∵a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab≥2ab ， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立； ∵a ＋b ≥2ab ，a >0，b >0， ∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b≤ab ， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立．13．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－92 B.92 C.14 D ．－4答案 A解析 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1， 所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.14．设x ∈(0,1)，则当11－x ＋4x 取得最小值时，x 的值是________．答案 23解析 ∵x ∈(0,1)，则1－x >0，由基本不等式可得11－x ＋4x＝[(1－x )＋x ]·⎝⎛⎭⎫11－x ＋4x ＝x 1－x ＋4(1－x )x＋5≥2x 1－x ·4(1－x )x ＋5＝9，当且仅当x 1－x＝4(1－x )x ，即x ＝23时，等号成立．15．若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 答案 8解析 ∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12， ∴x ＝3y ＋3，∴0<3y ＋3<12，解得y >3.则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6 ≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4，x ＝37时，等号成立．16．已知a ，b 都是正数，求证：21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22. 证明 ∵1a ＋1b ≥21ab， ∴11a ＋1b ≤ab 2， 即21a ＋1b≤ab . 又∵⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b 24≤a 2＋a 2＋b 2＋b 24＝a 2＋b 22，∴a ＋b 2≤a 2＋b 22. 又由基本不等式得a ＋b2≥ab ，故21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．。
不等式及其解法课时作业s
4.14一元二次不等式及其解法(二)课时作业一、选择题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为()A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,∪[1，＋∞) D.⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,∪[1，＋∞)2．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为()A ．1B ．－1C ．－3D ．33．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是()A ．(0,4)B ．[0,4)C ．(0,4]D ．[0,4]4．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1<0的解集为()A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x a x x 1或 B.{}a x x >C.⎭⎫⎩⎨⎧<>a x a x x 1或 D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a x x 15．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是()A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<411x x x 或B ．R C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2331x x D ．φ6．若关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大，则实数a 的取值范围是()A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)7．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则实数x 的取值范围是()A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >28．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是()A．(0,1]B．(0,2)C．(－3,0)D．(－1,3)二、填空题9．不等式5－xx＋4≥1的解集为．10．若不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是∅，则实数a的取值范围是．11．当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则实数a的最小值为．三、解答题12．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，求实数a的取值范围．13．关于x 2－x－2>0，x2＋(2k＋5)x＋5k<0的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围为．15．解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.。
最新人教A版高中数学必修一培优课时作业(十二)基本不等式
课时作业(十二) 基本不等式[练基础]1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝02．若a ≥0，b ≥0且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤33．“a ，b 为正数”是“a ＋b >2ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( ) A ．3 B ．3－2 2 C ．3－2 3 D ．－15．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则xy 的最大值是( )A.14 B ．4 C.18D ．8 6．(多选)设a ，b ∈R ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a 2＋b 2≥2abB ．a ＋1a≥2 C ．b 2＋1≥2b D.⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥27．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________． 8．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则1y ＋8x的最小值为________． 9．已知a >b >c ，你能比较出4与⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )的大小吗？10．(1)若x ＜3，求y ＝2x ＋1＋1x －3的最大值； (2)已知x ＞0，求y ＝2x x 2＋1的最大值．[提能力]11．(多选)下列命题中正确的是( )A ．y ＝x ＋1x()x <0的最大值是－2 B ．y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值是2 C ．y ＝2－3x －4x()x >0的最大值是2－43 D ．y ＝x ＋4x －1()x >1最小值是5 12．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若x <0，则y ＝x ＋1x的最大值为－2 B ．若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22C ．若a >0，b >0，且a ＋4b ＝1，则1a ＋1b的最大值为9 D ．若x ∈[]0，2，则y ＝x 4－x 2的最大值为213．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝3，则xy 的最大值为________，3x ＋y xy的最小值为________． 14．已知5x 2y 2＋y 4＝1()x ，y ∈R ，则x 2＋2y 2的最小值是________．15．已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．[培优生]16．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交半圆周于点D ，连接OD .作CE ⊥OD 交OD 于点E .由CD ≥DE 可以直接证明的不等式为( )A.ab ≥2ab a ＋b (a >0，b >0)B.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)C. a 2＋b 22≥a ＋b 2(a >0，b >0) D ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)课时作业(十二) 基本不等式1．解析：当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，等号成立．故选B.答案：B2．解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ，即2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4，所以a 2＋b 2≥2.故选C.答案：C3．解析：若a ，b 为正数，取a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2ab ，则“a ，b 为正数”不是“a ＋b >2ab ”的充分条件；若a ＋b >2ab ，取a ＝1，b ＝0，则b 不是正数，则“a ，b 为正数”不是“a ＋b >2ab ”的必要条件．故“a ，b 为正数”是“a ＋b >2ab ”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D4．解析：y ＝3－3x －1x ＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．故选C.答案：C5．解析：由题意得，xy ＝12×2xy ≤12×⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＝12×⎝⎛⎭⎫122＝18， 当且仅当x ＝14，y ＝12时等号成立，所以xy 的最大值是18.故选C. 答案：C6．解析：当a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab 成立，故A 正确；当a ＞0时，a ＋1a≥2，等号成立的条件是a ＝1，当a ＜0时，a ＋1a≤－2，等号成立的条件是a ＝－1，故B 不正确；当b ∈R 时，b 2＋1－2b ＝(b －1)2≥0，所以b 2＋1≥2b ，故C 正确；⎪⎪⎪⎪b a ＞0，⎪⎪⎪⎪a b ＞0，所以⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥2⎪⎪⎪⎪b a ×⎪⎪⎪⎪a b ＝2，等号成立的条件是当且仅当⎪⎪⎪⎪b a ＝⎪⎪⎪⎪a b ，即a 2＝b 2时，故D 正确．故选ACD.答案：ACD7．解析：因为a ＜1，即1－a >0，所以－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(1－a )·11－a＝2.即a ＋1a －1≤－1. 答案：a ＋1a －1≤－1 8．解析：因为x >0，y >0且x ＋2y ＝2，所以1y ＋8x ＝x ＋2y 2y ＋4x ＋8y x＝5＋x 2y ＋8y x ≥5＋2x 2y ·8y x ＝9(当且仅当x 2y ＝8y x ，即x ＝4y ＝43时取等号)，即1y ＋8x的最小值为9.答案：99．解析：⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4，理由如下： 因为a －c ＝(a －b )＋(b －c )， 所以⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )] ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c， 又a >b >c ，所以b －c a －b ＋a －b b －c≥2， 故⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c时，取“＝”． 10．解析：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1x －3＋7＝－⎣⎡⎦⎤2(3－x )＋13－x ＋7，由基本不等式可得2(3－x )＋13－x ≥22(3－x )·13－x ＝22，当且仅当2(3－x )＝13－x，即x ＝3－22时，等号成立，于是－⎣⎡⎦⎤2(3－x )＋13－x ≤－22，－⎣⎡⎦⎤2(3－x )＋13－x ＋7≤7－22，故y 的最大值是7－2 2.(2)y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x.因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，所以0＜y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1. 11．解析：对于A ，y ＝x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫－x －1x ≤－2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时，等号成立，所以y ＝x ＋1x ()x <0的最大值是－2，故A 正确；对于B ，y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2>2，因为x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＋2＝1无解，即等号不成立，所以y ＝x 2＋3x 2＋2取不到最小值2，故B 错误；对于C ，y ＝2－3x －4x (x >0)＝2－(3x ＋4x )≤2－23x ·4x ＝2－43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时，等号成立，所以y ＝2－3x －4x(x >0)的最大值是2－43，故C 正确；对于D ，y ＝x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥2()x －1·4x －1＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立，所以y ＝x ＋4x －1()x >1最小值是5，故D 正确；故选ACD.答案：ACD 12．解析：A 选项，由x <0可得y ＝x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤()－x ＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2()－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时，等号成立；即y ＝x ＋1x 的最大值为－2；A 正确；B 选项，由a >0，b >0，可得⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 4＝⎝⎛⎭⎫a －b 22≥0，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，故B 正确；C 选项，若a >0，b >0，且a ＋4b ＝1，则1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ()a ＋4b ＝1＋4b a ＋a b ＋4≥5＋24b a ·a b ＝9，当且仅当4b a ＝a b，即⎩⎨⎧a ＝13b ＝16时，等号成立；即1a ＋1b 的最小值为9，故C 错；D 选项，因为0≤x ≤2，所以y ＝x 4－x 2≤x 2＋()4－x 22＝2，当且仅当x ＝4－x 2，即x ＝2时，等号成立，故D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：∵x >0，y >0∴x ＋2y ＝3≥22xy ，解之得：xy ≤98. 当且仅当x ＝2y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立． ∴xy 的最大值为98. 3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝13()x ＋2y ⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝73＋13⎝⎛⎭⎫3x y ＋2y x ≥73＋233x y ·2y x ＝7＋263. 当且仅当3x y ＝2y x ，即x ＝36－35，y ＝18－3610时，等号成立． ∴3x ＋y xy 的最小值为7＋263. 另解： ∵x >0，y >0，且x ＋2y ＝3∴x ＝3－2y >0，∴0<y <32. ∴xy ＝y ()3－2y ＝－2y 2＋3y ＝－2⎝⎛⎭⎫y －342＋98. ∵0<y <32， ∴当y ＝34时，()xy max ＝98，此时x ＝32. 答案：98 7＋26314．解析：∵5x 2y 2＋y 4＝1∴y ≠0且x 2＝1－y 45y2 ∴x 2＋2y 2＝1－y 45y 2＋2y 2＝15y 2＋9y 25≥215y 2·9y 25＝65， 当且仅当15y 2＝9y 25，即x 2＝815，y 2＝13时取等号． ∴x 2＋y 2的最小值为65. 答案：6515．解析：因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当ay x ＝bx y， 即y x ＝b a时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， 所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.16．解析：由三角形相似，知CD 2＝DE ·OD ＝AC ·BC ，即DE ＝DC 2OD ＝ab a ＋b 2＝2ab a ＋b， 由CD ≥DE ，得ab ≥2ab a ＋b，故选A. 答案：A。
课时作业8：一 第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式
第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式一、选择题1.正实数x ，y ，z 满足xyz ＝2，则( ) A.x ＋y ＋z 的最大值是3 2 B.x ＋y ＋z 的最大值是332 C.x ＋y ＋z 的最小值是3 2 D.x ＋y ＋z 的最小值是332 答案 D解析 由三个正数的算术－几何平均不等式，得x ＋y ＋z ≥33xyz ＝332，当且仅当x ＝y ＝z ＝32时，x ＋y ＋z 取得最小值332.2.若a ＞b ＞0，则a ＋1b (a －b )的最小值为( )A.0B.1C.2D.3 答案 D解析 ∵a ＞b ＞0，a ＋1b (a －b )＝(a －b )＋b ＋1b (a －b )≥33(a －b )·b ·1b (a －b )＝3，当且仅当a＝2，b ＝1时取等号，∴a ＋1b (a －b )的最小值为3.故选D.3.设x ，y ，z ＞0且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A.(－∞，lg 6] B.(－∞，3lg 2] C.[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞)答案 B解析 ∵6＝x ＋y ＋z ≥33xyz ，∴xyz ≤8， ∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2 .4.若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3314x 4y 2＝3， 当且仅当12xy ＝x 2，即y ＝2x 时取等号.5.已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( ) A.x ≤y ≤z B.y ≤x ≤z C.y ≤z ≤x D.z ≤y ≤x答案 B解析 由a ，b ，c ∈R ＋，易知a ＋b ＋c 3≥3abc ，即x ≥y .又z 2＝a 2＋b 2＋c 23，x 2＝(a ＋b ＋c )29， 且x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )9≤3(a 2＋b 2＋c 2)9＝a 2＋b 2＋c 23，所以x 2≤z 2，则x ≤z ，因此z ≥x ≥y .6.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A.V ≥π B.V ≤π C.V ≥18πD.V ≤18π答案 B解析 设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r2＝πr 2(3－2r )≤π⎝⎛⎭⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π，当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号. 二、填空题7.将实数1化为三个正数之和，则这三个正数之积的最大值是________. 答案127解析 设这三个正数分别是a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝1，所以abc ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c 33＝127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，abc 取得最大值127.8.已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值为________. 答案 1解析 因为x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋3y ＋4z ＝6， 所以6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x2＋y ＋y ＋y ＋4z≥6·6x 2·x 2·y ·y ·y ·4z ＝6·6x 2y 3z ， 所以x 2y 3z ≤1，当且仅当x2＝y ＝4z 时取等号.9.若a ＞2，b ＞3，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)的最小值为________.答案 8解析 a ＞2，b ＞3，∴a －2＞0，b －3＞0， 则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)＝(a －2)＋(b －3)＋1(a －2)(b －3)＋5≥33(a －2)×(b －3)×1(a －2)(b －3)＋5＝8，当且仅当a －2＝b －3＝1(a －2)(b －3)，即a ＝3，b ＝4时等号成立. 10.已知关于x 的不等式2x ＋1(x －a )2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________. 答案 2 解析 2x ＋1(x －a )2＝(x －a )＋(x －a )＋1(x －a )2＋2a ， ∵x －a ＞0， ∴2x ＋1(x －a )2≥33(x －a )(x －a )1(x －a )2＋2a＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1(x －a )2，即x ＝a ＋1时取等号.∴2x ＋1(x －a )2的最小值为3＋2a . 由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2.11.已知a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋2b ＋3c ＝1，则1a ＋12b ＋13c 的最小值为________.答案 9解析 因为a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋2b ＋3c ＝1， 所以1a ＋12b ＋13c＝(a ＋2b ＋3c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c≥33a ·2b ·3c ·331a ·12b ·13c＝9， 当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13，即a ＝13，b ＝16，c ＝19时取等号.因此1a ＋12b ＋13c 的最小值为9.三、解答题12.已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立.解 因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c≥3(abc )13-， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )23-.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )23-， 又3(abc )23＋9(abc )23-≥227＝63，③当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立. 当且仅当3(abc )23＝9(abc )23-时，③式等号成立，即当且仅当a ＝b ＝c ＝143时，原式等号成立， 所以原不等式成立.13.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6， 即f (x )＝2＋5(2x －6)(x －6)2 ≤2＋5⎝⎛⎭⎫2x －6＋6－x ＋6－x 33＝42.当且仅当2x －6＝6－x ，即x ＝4时，等号成立. 当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.14.制造一个容积为π2立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，当圆柱形桶的底面半径为________米，高为________米时，所使用的材料成本最低. 答案 393 392解析 设此圆柱形桶的底面半径为r 米，高为h 米， 则底面面积为πr 2，侧面积为2πrh ， 设原料成本为y 元，则y ＝30πr 2＋40πrh . ∵桶的容积为π2，∴πr 2h ＝π2，∴rh ＝12r ，∴y ＝30πr 2＋20r π＝10π⎝⎛⎭⎫3r 2＋1r ＋1r ≥10π×333， 当且仅当3r 2＝1r ，即r ＝393时等号成立，此时h ＝392. 15.设0＜θ＜π，求函数y ＝sin θ2(1＋cos θ)的最大值.解 y ＝sin θ2(1＋cos θ )＝2sin θ2cos 2 θ2＞0(0＜θ＜π)，y 取最大值当且仅当y 2取最大值. y 2＝4sin 2 θ2·cos 4 θ2＝4sin 2 θ2·cos 2 θ2·cos 2 θ2＝2·2sin 2 θ2·cos 2 θ2·cos 2 θ2≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2 θ2＋cos 2 θ2＋cos 2 θ233 ＝2×⎝⎛⎭⎫233＝1627，当且仅当2sin 2 θ2＝cos 2 θ2时取等号，此时tan 2 θ2＝12，tan θ2＝±22，而tan θ2＝22在θ∈(0，π)上有解⎝⎛⎭⎫可取θ＝2arctan 22，则y 2max ＝1627，故y max ＝439.。
第二章 不等式含答案
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ b a －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a < b (a ∈R ，b >0)．2.等式的性质性质1：如果a =b ，那么b =a ；性质2：如果a =b ，b =c ，那么b =c ； 性质3：如果a =b ，那么a ±c=b ±c ； 性质4：如果a =b ，那么a c=bc ； 性质5：如果a =b ，c 0≠那么cbc a =；3.不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性) 性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(可加性) 推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则) 性质4 a b >，0c >⇒ __________，(可乘性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性) 性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向可加性) 性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(同正同向可乘性) 性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(可乘方性)性质8 ①a >b ，ab >0⇒1a < 1b . ②a <0<b ⇒1a < 1b.（可倒性）典例例1 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．例2 已知a ，b +例3 若0a b <<，则下列结论正确的是( )A ．22a b <B 2ab b < C ．11a b> D ．22ac bc > 例4 已知1025m <<，3015n -<<-，求m+n ，m n -与mn 的取值范围．例5 已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．课时作业1.设a ,b ∈R ,若a -|b|>0,则下列不等式中正确的是( ) A.b -a>0 B.a 3+b 3<0 C.a 2-b 2<0 D.b+a>02、当1x ≤时，比较大小：33x 231x x -+．3、设1≤a －b ≤2, 2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．4、已知a ∈R ,且a ≠1,比较a+2与31-a的大小.2.2 基本不等式1. 重要的不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．2．基本不等式：ab ≤a ＋b2:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．（a+b ≥2ab ）注意：(1)此结论运用前提：一正、二定、三相等典例例1．（1）函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞）C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) （2）．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243（3）.已知x ＜0，则y ＝2＋4x＋x 的最大值为_______例2、当x ＞0时，则y ＝2xx 2＋1的最大值为________．例3、若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．例4、已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b的最小值．例5、函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2例6 如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？课时作业一、选择题1、已知x ＞0，函数y=x+的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．82、当x ∈R 时，x+的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣4]B ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C ．[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）3、已知x ＞0，y ＞0，且2x+y=1，则xy 的最大值是( ) A ．B ．C ．4D ．84、的最小值为）（函数)0(2>+=ab abb a y A ．B．12C ．4D ．65、函数15(1)1y x x x =++>-的最小值为A ．5B ．6C 7 D.86、已知正数x,y 满足431x y +=，则x+3y 的最小值为A ．5B ．12C ．13D ．25 7、设，，若，则的最小值为 A ． B ．6 C ． D ．8、已知y=，其中x≥0，则y 的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．9.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|=x (x>1),求公园ABCD所占面积S 关于x 的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计?1a >0b >2a b +=121a b+-3+2.3 二次函数与一元二次方程、不等式一、形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 二、“三个二次”之间的对应关系设()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为1x ，2，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆0<∆c bx ax y ++=2cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2三、一元二次不等式的解法： （1）化二次项系数为正；（2）令左边=右边，求出两根x 1 , x 2; （当0<∆时，需另作考虑） （3）大于取两根之外，小于取两根之间。
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第8课 简单的线性规划问题 分层训练
１．若⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤≤222y x y x , 则目标函数
Z=x+2y 的取值范围 ( )
A. [2 , 6]
B. [2 , 5]
C. [3 , 6]
D. [3 , 5] ２.目标函数Z=2x －y , 将其看成直线方程时, Z 的意义是
( )
A.该直线的截距
B.该直线的纵截距
C.该直线纵截距的相反数
D.该直线的横截距
３.△ABC 中, A(2 , 4) , B(－1 , 2) , C(1 , 0), 点P 在△ABC 内部及其边界上运动, 则W=y －x 的取值范围是 ( ) A. [1 , 3] B. [－3 , 1] C. [－1 , 3] D. [－3 , －1] 考试热点
４.不等式组⎩
⎨⎧≤≤≥++-300
))(5(x y x y x 表
示的平面区域的确面积为________
5.约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+≤=4,0621052y x y x y x , 所表示的
区域中, 整点其有________个.
6．设变量,x y 满足约束条件
2211x y x y x y -≤⎧⎪
-≥-⎨⎪+≥⎩
，则23z x y =+的最大值为 7.若⎩⎨⎧≤-≤≤+≤4264y x y x , 则Z=2x+y 的最
大值为___________ , 最小值为___________ .
8.写出不等式组⎩⎨⎧≤<-≤<-111
1y x 所表示
的平面区域内整点坐标.
拓展延伸
9.求Z=2x+y 的最大值和最小值, 其
中x , y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥-+2202y x y x .
本节学习疑点：。