2017-2018学年辽宁省大连市旅顺第二高级中学、大连市第三中学高三数学上第二次联考(理)试题(附答案)

2017-2018学年度上学期十二月考试高三试题数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(],6A =-∞，{}28nB n N =∈＜，则集合A B ⋂为（ ）A.(,3)-∞B.[)0,3C. {}1,2D.{}0,1,22.已知命题:p x R ∃∈，使240x ax +-＜，命题:,23x x q x R ∀∈＜，则下列命题是真命题的是（ ）A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()()p q ⌝∧⌝D.()p q ⌝∧ 3.已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，满足1885,3a a ==，且122n n n a a a ++=+，要使得n S 取到最大值，则n =（ ）A.13B.14C.15或16D.16 4.若sin 3sin()02παα++=，则sin 2α的值为（ ）A.35-B.35C.45-D.455.设函数()cos(2)3f x x π=-，则下列结论错误的是（ ）A.()f x 的一个周期为π-B.()y f x =的图像关于直线23x π=对称 C.()2f x π+的一个零点为3x π=-D.()f x 在区间[,]32ππ上单调递减 6.设{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则该数列的前10项和10S =（ ）A.0B.-5C.-10D.57.设{}{}n n a b 、分别是等差、等比数列，且118a b ==，441a b ==，则以下结论正确的是（ ）A.22a b ＞B. 33a b <C.55a b ＞D.66a b ＞ 8.已知α为锐角，且3sin()35πα+=，则sin()a π-=（ ）9.已知单位向量a 与b的夹角为60︒，对于实数0λ＞，则2a b λ- 的最小值为（ ）B.2 D.10.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”，“势”是几何体的高，“幂”是截面面积，意思是：若两等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D （如图所示），它是由抛物线2y x =，直线4y =及y 轴所围成的封闭图形绕轴旋转一周所形成的几何体，利用祖暅原理，旋转体D 的参照体的三视图如图所示，则旋转体D 的体积是 （ ）A.163πB. 16πC. 6πD. 8π 11.若函数,0()ln ,0x a x f x x x +≤⎧=⎨⎩＞的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A.(,0)-∞B.[)0,+∞C.(],1-∞D.[)1,+∞12.已知函数[)11,(,2)()3(2),2,x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()cos g x f x x π=-在区间[]0,8内所有零点的和为 （ ）A.16B.30C.32D.40 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a 与b 满足a = ，1b = ，且a b λ=，则实数λ= .14.已知ABC ∆的外心P 满足3AP AB AC =+，则cos A = .15.已知1,3x x ==是函数()sin()(0)f x x ωϕω=+＞两个相邻的两个极值点，且()f x 在32x =处的导数3()02f '＜，则1()3f = .16.已知函数2ln ()()()x x b f x b R x+-=∈，若存在1[,2]2x ∈，使得()()f x x f x '-⋅＞，则实数b 的取值范围是 . 三、解答题 （17-21题12’，选作题10’） 17.在ABC ∆中，5,c b ==a A =. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求证：2B A ∠=∠.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11222,(2,)n n n a a n n N +*-=+≥∈，且13a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：1211111112n a a a ++++++ ＜. 19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，ABC ∆和1ABB ∆都是边长为2的正三角形.（Ⅰ）过1B 作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB ，并证明； （Ⅱ）求1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA的中点，且1,AB AC AD ===（1）证明：MN ∥平面PCD ；（2）设直线AC 与平面PBC 所成角为α，当α在(0,)6π内变化时，求二面角P BC A--的取值范围. 21.已知函数(),()(1)ln xf xg x k x x==-. （Ⅰ）证明：k R ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线； （Ⅱ）若2[,]x e e ∃∈，使1()()2f xg x ≤+成立，求实数k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知曲线C的参数方程为2cos x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C '的极坐标方程；（Ⅱ）若过点3(,)2A π（极坐标）且倾斜角为6π的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，弦MN 的中点为P ，求AP AM AN⋅的值.23.已知函数()223f x x a x =-++，()232g x x =-+（1）解不等式()5g x ＜； （2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: DBCAC 6-10: AAAAD 11、12：DC 二、填空题 13. 2± 14. 12 15. 12 16. 9(,)4-∞ 三、解答题17.解：（Ⅰ）因为a A =，所以2222b c a a bc +-=. 因为 5c =，b =，所以 23404930a a +-⨯=. 解得：3a =，或493a =-（舍）.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos 33A ==. 所以 21cos 22cos 13A A =-=.因为 3a =，5c =，b =，所以 2221cos 23a cb B ac +-==.所以cos 2cos A B =. 因为 c b a >>， 所以 (0,)3A π∈. 因为 (0,)B ∈π， 所以 2B A ∠=∠. 18.解：（Ⅰ）由题意12nn n a a -∴-=累加得231222nn a a ∴-=++121n n a +∴=-（Ⅱ）112n n a ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列， 因此1211111142 (111112)n n a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-11122n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12<19.解： （Ⅰ）设AB 中点为O ，连11,,OC OB B C ，则截面1OBC 为所求，1,OC OB 分别为1,ABC ABB ∆∆的中线，所以1,AB OC AB OB ⊥⊥，又1,OC OB 为平面1OBC 内的两条相交直线，所以AB ⊥平面1OBC ， （Ⅱ）以O 为原点，OB 方向为x 轴方向建立如图所示的空间直角坐标系， 易求得(1,0,0),(1,0,0)B A -，11(1C B C -11(1,(1,0,CB B B AC ===，设平面11BCC B 的一个法向量为(,,)n x y z =，由100n CB x n B B x ⎧⎧⊥-=⎪⎪⇔⎨⎨⊥-=⎪⎪⎩⎩解得平面11BCC B的一个法向量为,1)n = ，111|||cos ,|||||AC n AC n AC n ⋅<>===⋅所以1AC 与平面11BCC B20.解：PA ⊥ 底面ABCD,PA AD PA AB ∴⊥⊥,,PA AD AB ∴两两垂直，如图建系：()()()()()0,0,2,1,0,0,0,2,0,2,2,0,1,1,1P B D C E（1）()()0,1,1,2,0,0BE DC ==0BE DC BE DC ∴⋅=⇒⊥BE DC ∴⊥（2）设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =()()1,0,2,1,2,0PB BD =-=- ()202,1,120x z n x y -=⎧∴⇒=⎨-+=⎩设直线BE与平面PBD所成角为θsin cos,BE nBE nBE nθ⋅∴====⋅（3）设(),,F x y z()(),,2,2,2,2PF x y z PC∴=-=-,,P F C三点共线()2,2,2P F P Cλλλλ∴==-2222xyzλλλ=⎧⎪∴=⎨⎪-=-⎩()2,2,22Fλλλ∴-()21,2,22BFλλλ∴=--()2,2,0AC=BF AC⊥()221220B F A Cλλ∴⋅=-+⋅=解得：14λ=113,,222F⎛⎫∴ ⎪⎝⎭设平面FAB的法向量为(),,m x y z=()1131,0,0,,,222AB AF⎛⎫== ⎪⎝⎭()0,3,1113222xmx y z=⎧⎪∴⇒=-⎨++=⎪⎩平面ABP的法向量为()0,1,0n=cos,m nm nm n⋅∴===⋅∴二面角F AB P--21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞， ()()2ln 1ln x f x x -'=，直线()y g x =过定点()1,0，若直线()y g x =与曲线()y f x =相切于点000,ln x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（00x >且01x ≠），则()020ln 1ln x k x -= 000ln 1x x x =-，即00ln 10x x +-=，① 设()ln 1h x x x =+-， ()0,x ∈+∞，则()110h x x+'=>，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，又()10h =，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以， R k ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）()()12f x g x ≤+即()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln xx k x xϕ=--， 2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则2e,e x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x g x ≤+成立()min12x ϕ⇔≤， ()()2ln 1ln x x k x ϕ='--= 211ln ln k x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 2111ln 24k x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，（1）当14k ≥时， ()0x ϕ'≤， ()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，于是()()2min e x ϕϕ== ()22e e 12k --， 由()22e 1e 122k --≤得12k ≥，满足14k ≥，所以12k ≥符合题意；（2）当14k <时，由21124y t k ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭及1ln t x =的单调性知()211ln 2x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭'14k +-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以()()()2e e x ϕϕϕ''≤'≤，即()14k x k ϕ-≤'≤-， ①若0k -≥，即0k ≤，则()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是()()min e x ϕϕ== ()e e 1k -- 1e 2≥>，不合题意；②若0k -<，即104k <<则由()e 0k ϕ'=-<， ()21e 04k ϕ'=->及()x ϕ'的单调性知存在唯一()20e,e x ∈，使()00x ϕ'=，且当()0e,x x ∈时， ()0x ϕ'<， ()x ϕ为减函数；当()20,x x e ∈时，()0x ϕ'>， ()x ϕ为增函数；所以()()0min x x ϕϕ==()0001ln x k x x --，由()00011ln 2x k x x --≤得000111ln 2x k x x ⎛⎫≥- ⎪-⎝⎭ 011x >- 01112224x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，这与104k <<矛盾，不合题意. 综上可知， k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.解：（Ⅰ）222cos ::143x x y C C y θθ=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩，将122x x x x y y y ⎧'=⎪'=⎧⎪⎪⇒⎨⎨'=⎪⎩⎪'=⎪⎩，代入C 的普通方程可得221x y ''+=， 即22:1C x y '+=，所以曲线C '的极坐标方程为 :1C ρ'=（Ⅱ）点),23(πA 直角坐标是)0,23(-A ，将l 的参数方程2cos 6sin6x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y +=，可得053642=+-t t ，所以533|||2|||||||2121=+=⋅t t t t AN AM AP ． 23.解：（1）)3,0(（2）由题意得)}(|{)}(|{x g y y x f y y =⊆=又|3||)32()2(||32||2|)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，22|32|)(≥+-=x x g ， 则2|3|≥+a ，解得1-≥a 或5-≤a ，故实数a 的取值范围为),1[]5,(+∞---∞ .高三理科数学答案2017.12.3 DBCAC AAAAD DC2±12 12 9(,)4-∞ 17.解：（Ⅰ）因为2a A =，所以22222b c a a bc +-=. 因为 5c =，b = 23404930a a +-⨯=.解得：3a =，或493a =-（舍）.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos 3A ==所以 21cos 22cos 13A A =-=.因为 3a =，5c =，b = 2221cos 23a cb B ac +-==. 所以cos 2cos A B =. 因为 c b a >>， 所以 (0,)3A π∈. 因为 (0,)B ∈π， 所以 2B A ∠=∠. 18.解：（Ⅰ）由题意12nn n a a -∴-=累加得231222n n a a ∴-=++121n n a +∴=-（Ⅱ）112n n a ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列， 因此1211111142 (111112)n n a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-11122n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12< 19.解： （Ⅰ）设AB 中点为O ，连11,,OC OB B C ，则截面1OBC 为所求，1,OC OB 分别为1,ABC ABB ∆∆的中线，所以1,AB OC AB OB ⊥⊥，又1,OC OB 为平面1OBC 内的两条相交直线，所以AB ⊥平面1OBC ，（Ⅱ）以O 为原点，OB 方向为x 轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，易求得(1,0,0),(1,0,0)B A -，11(1C B C -11(1,(1,0,CB B B AC ===，设平面11BCC B 的一个法向量为(,,)n x y z =，由100n CB x n B B x ⎧⎧⊥-=⎪⎪⇔⎨⎨⊥-=⎪⎪⎩⎩解得平面11BCC B的一个法向量为,1)n = ，111|||cos ,|5||||AC n AC n AC n ⋅<>===⋅， 所以1AC 与平面11BCC B20.解：PA ⊥ 底面ABCD,PA AD PA AB ∴⊥⊥,,PA AD AB ∴两两垂直，如图建系：()()()()()0,0,2,1,0,0,0,2,0,2,2,0,1,1,1P B D C E（1）()()0,1,1,2,0,0BE DC ==0BE DC BE DC ∴⋅=⇒⊥BE DC ∴⊥（2）设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =()()1,0,2,1,2,0PB BD =-=- ()202,1,120x z n x y -=⎧∴⇒=⎨-+=⎩设直线BE 与平面PBD 所成角为θsin cos ,BE n BE n BE nθ⋅∴====⋅（3）设(),,F x y z ()(),,2,2,2,2PF x y z PC ∴=-=-,,P F C 三点共线 ()2,2,2P F P C λλλλ∴==-2222x y z λλλ=⎧⎪∴=⎨⎪-=-⎩()2,2,22F λλλ∴-()21,2,22BF λλλ∴=-- ()2,2,0AC =BF AC ⊥ ()221220B F A C λλ∴⋅=-+⋅= 解得：14λ= 113,,222F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭设平面FAB 的法向量为(),,m x y z =()1131,0,0,,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()00,3,11130222x m x y z =⎧⎪∴⇒=-⎨++=⎪⎩ 平面ABP 的法向量为()0,1,0n =cos ,m n m n m n⋅∴===⋅∴二面角F AB P --21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞， ()()2ln 1ln x f x x -'=，直线()y g x =过定点()1,0，若直线()y g x =与曲线()y f x =相切于点000,ln x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（00x >且01x ≠），则()020ln 1ln x k x -= 00ln 1x x x =-，即00ln 10x x +-=，① 设()ln 1h x x x =+-， ()0,x ∈+∞，则()110h x x+'=>，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，又()10h =，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以， R k ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）()()12f x g x ≤+即()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x xϕ=--， 2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则2e,e x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x g x ≤+成立()min12x ϕ⇔≤，()()2ln 1ln x x k x ϕ='--= 211ln ln k x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 2111ln 24k x ⎛⎫--+-⎪⎝⎭， （1）当14k ≥时， ()0x ϕ'≤， ()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，于是()()2mine x ϕϕ== ()22e e 12k --， 由()22e 1e 122k --≤得12k ≥，满足14k ≥，所以12k ≥符合题意； （2）当14k <时，由21124y t k ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭及1ln t x =的单调性知()211ln 2x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭'14k +-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以()()()2e e x ϕϕϕ''≤'≤，即()14k x k ϕ-≤'≤-， ①若0k -≥，即0k ≤，则()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是()()min e x ϕϕ== ()e e 1k -- 1e 2≥>，不合题意；②若0k -<，即104k <<则由()e 0k ϕ'=-<， ()21e 04k ϕ'=->及()x ϕ'的单调性知存在唯一()20e,e x ∈，使()00x ϕ'=，且当()0e,x x ∈时， ()0x ϕ'<， ()x ϕ为减函数；当()20,x x e ∈时，()0x ϕ'>， ()x ϕ为增函数；所以()()0m in x x ϕϕ== ()0001ln x k x x --，由()00011l n2x k x x --≤得000111ln 2x k x x ⎛⎫≥- ⎪-⎝⎭011x >- 01112224x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，这与104k <<矛盾，不合题意. 综上可知， k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.解：（Ⅰ）222cos ::143x x y C C y θθ=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩，将122x x x x y y y ⎧'=⎪'=⎧⎪⎪⇒⎨⎨'=⎪⎩⎪'=⎪⎩，代入C 的普通方程可得221x y ''+=， 即22:1C x y '+=，所以曲线C '的极坐标方程为 :1C ρ'=（Ⅱ）点),23(πA 直角坐标是)0,23(-A ，将l 的参数方程2cos 6sin 6x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y +=，可得053642=+-t t ，所以533|||2|||||||2121=+=⋅t t t t AN AM AP ．23.解：（1）)3,0(（2）由题意得)}(|{)}(|{x g y y x f y y =⊆=又|3||)32()2(||32||2|)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，22|32|)(≥+-=x x g ， 则2|3|≥+a ，解得1-≥a 或5-≤a ，故实数a 的取值范围为),1[]5,(+∞---∞ .。