08 第四章 平面问题的极坐标解答 童中华
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04 平面问题的极坐标解答
所以切应变为
1 u 。
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弹性力学与有限元
第四章 平面问题的极坐标解答
2. 只有环向位移
u υ,求形变。
PA、PB 线应变分别为
0，
PB PB ευ PB uυ (u υ d υ) u 1 uυ υ ; ρdυ ρ υ
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d )d cos
d d d cos 2 2
弹性力学与有限元
第四章 平面问题的极坐标解答
化简得
1 2
f 0。
(c)
(b)
M
C
0
可得到
。
进一步验证了切应力互等定理。
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§4-7
§4-8
压力隧洞
圆孔的孔口应力集中
§4-9 半平面体在边界上受集中力 §4-10 半平面体在边界上受分布力
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弹性力学与有限元
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
）取出一个微分体，考虑其平衡。 在A内任一点（ ，
微分体:由夹角 为 d υ 的两径向 线和距离为 d ρ 的两环向线围 成。
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弹性力学与有限元
第四章 平面问题的极坐标解答
三、边界条件
极坐标下，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：
C，或 C,
所以边界条件形式比较简单。
思考题
1、试考虑在导出几何方程时，考虑到哪一阶微量，略去了 哪些更高阶的微量？ 2、试比较极坐标中和直角坐标中的基本方程和边界条件， 有哪些相似之处和不同之处，为什么会有这些差别？
弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答
两 面面积不等，分别为 ρd φ ， ρ d ρ d φ 。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。
微分体上的作用力有：
体力-- f ρ , fφ ， 以坐标正向为正。 应力-- ρ面， φ面分别表示应力及其 增量。
应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反 之为负 。
平衡条件：
(b)
u u sin v cos。
导数的变换：
将对 x, y 的导数，变换为对 , 的导数：
F (x, y) 可看成是 F (, )，而 , 又是 x, y
的函数，即 F 是通过中间变量 , 为 x, y
的复合函数。
有: F
Φ Φ ρ Φ φ , x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
d
2
f ρ ρddρ
0
上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得
1
f
0。
(a)
式( a )中 1、2、4 项与直角坐标的方向相似; 而
σρ
ρ -- 是由于 面ρ面积大于 面的ρ面
积而引起的，
σφ ρ
-- 是由于 面上的
在C点的
向有 投影。
Fφ 0 --通过形心C的 φ向合力为0，
故物理方程形式相似。
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，
只须作如下同样变换，
E
1
E
2
,
。 1
泰勒展开
Exercise : Chap 4
Today: 4-1， 4-2 End of Lecture 9
边界条件
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。
微分体上的作用力有：
体力-- f ρ , fφ ， 以坐标正向为正。 应力-- ρ面， φ面分别表示应力及其 增量。
应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反 之为负 。
平衡条件：
(b)
u u sin v cos。
导数的变换：
将对 x, y 的导数，变换为对 , 的导数：
F (x, y) 可看成是 F (, )，而 , 又是 x, y
的函数，即 F 是通过中间变量 , 为 x, y
的复合函数。
有: F
Φ Φ ρ Φ φ , x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
d
2
f ρ ρddρ
0
上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得
1
f
0。
(a)
式( a )中 1、2、4 项与直角坐标的方向相似; 而
σρ
ρ -- 是由于 面ρ面积大于 面的ρ面
积而引起的，
σφ ρ
-- 是由于 面上的
在C点的
向有 投影。
Fφ 0 --通过形心C的 φ向合力为0，
故物理方程形式相似。
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，
只须作如下同样变换，
E
1
E
2
,
。 1
泰勒展开
Exercise : Chap 4
Today: 4-1， 4-2 End of Lecture 9
边界条件
第04章 平面问题的极坐标解答
极坐标中的平衡微分方程
➢径向面PB和AC的面积不相同，
分别为 rdf×1 和 (r+dr )df ×1， 环向面PA和BC的面积均为dr ×1 ，但两者不平行。
与直角坐标中相似，利用 级数展开，可求出各微面 上的应力。
➢力矩平衡条件：
由通过中心点并平行于Z轴的直 线为转轴，根据力矩的平衡条件， 可推导出“切应力互等定理”，即
成的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体，由于用极坐标表示 其边界线非常方便，从而使得边界条件的表示和基本方程的求 解得到很大的简化，宜用极坐标求解。
➢ 极坐标系中任一点用径向坐标 r 和
环向坐标 f 表示，与直角坐标系相比： 相同点：均为正交坐标系； 不同点：直角坐标系中两坐标线均
为直线，有固定方向，量纲均为L；而 极坐标系中径向坐标线为直线，环向坐 标线则为圆弧曲线，不同点有不同方向 ，量纲分别为L和一。
uj
r
极坐标中的几何方程
➢根据叠加原理，当同时发生径向和环向位移时，
极坐标中的几何方程为上述两种情形结果的叠加：
er
ur
r
ej
ur
r
+
1
r
uj
j
（4-2）
g rj
1
r
ur
j
+ uj
r
uj
r
➢应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假
设，这也是其适用的条件；
极坐标中的物理方程
，因为：
2 x2
x
( ) x
(cosj
r
sin j r
j
)(cos j
r
第四章 平面问题的极坐标解答
剪应变为：
1 ur r
（d）
r 1 1 1 1 u r r
（e）
(2) 只有环向变形，无径向变形。 O
径向线段PA的相对伸长：
PA PA dr dr r 2 PA dr 0
径向线段PA的转角：
r P d
2
x
dr
（f）
径向线段PA的相对伸长：
O
r1
1 0
u r r
（a）
r P d
dr
径向线段PA的转角： （b）
ur
B
y
环向线段PB的相对伸长：
1
1
ur r
（c）
ur ur d
B
P 1
ur ur dr r A A
x
(r ur )d
环向线段PB的转角：
O r r rdrd ddr r drd r
drd kr rdrd 0
两边同除以
rdrd ：
d d dr cos( ) 2 r rd d r dr (r dr )d dr cos( ) r r 2 d k rdrd 0 r d ) r d dr sin( ) r dr sin( 2 2
方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静 定问题，需考虑变形协调条件才能求解。
§4-2 极坐标中的几何方程与物理方程
1. 几何方程
径向线段PA的相对伸长：
O
(1) 只有径向变形，无环向变形。
r P d
dr
P PA PA AA PP PA PA 1 B r1 y B ur ur (r ur )d ur dr ur u r ur d r （a） dr r
弹性力学简明教程 第4章 平面问题的极坐标解答
2
u
u
§4－2 极坐标中的几何方程及物理方程
所以，几何方程为：
1 2 1 2
1 2
u
u
1
u
u
1
u
u
（4－2）
§4－2 极坐标中的几何方程及物理方程
由于极坐标和直角坐标都是正交坐标系，因此，极坐 标和直角坐标的物理方程应该有相同的形式。 极坐标下的物理方程： 直角坐标下的物理方程：
第四章 平面问题的极坐标解答
4-1 极坐标下的平衡微分方程 4-2 极坐标下的几何方程及物理方程 4-3 极坐标下的应力函数与相容方程 4-4 应力分量的坐标变换式 4-5 轴对称应力和相应的位移 4-6 圆环或圆筒受均布压力 4-7 压力隧洞 4-8 圆孔的孔口应力集中 4-9 半平面体在边界上受集中力 4-10 半平面体在边界上受集中力
第四章 平面问题的极坐标解答
研究对象： 圆形、扇形、楔形体等物体
研究内容： 极坐标下平面问题的基本方程 应力法的基本方程
研究问题： 轴对称问题 圆环或圆筒受均布压力 应力集中 半平面体的受力问题
§4－1 极坐标中的平衡微分方程
一、极坐标下各分量的表示方法
1.应力分量
f
－ 径向正应力
f
－ 环向正应力
)
1 2
E
(
1
)
1 2
E
(
1
) （4－4）
2(1 E
)
平面应力问题
平面应变问题
E E
1 2
1
总结 极坐标下的基本方程
平衡方程
1
f
0
1
2
f
0
几何方程
u
弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答(2)
1. 分析： 与以前相比较，相当于两个轴对称问题：
(a) 受内外压力作用的厚壁圆筒； (b) 仅受内压作用的无限大弹性体。
确定外压 p 的两个条件：
u 径向变形连续： r rb ur rb
径向应力连续： r rb
r rb
2. 求解
E,
E, E,
E,
2. 求解
(1) 圆筒的应力与边界条件
P
ur
dr P
x
A
ur
ur r
dr
A
B
1
y
B
ur
ur
d
(r ur )d
2. 几何方程
r
r
1 r r
r
r
kr 0
1 r
r
r
2 r
r
k
0
复习
平面问题的极坐标解答
O
r
d r r
rd B
Pr
x
(r dr)d
dr
kr k
A
r
r
r
dr
y
d
C
r
r
r
d
r
r
dr
3. 物理方程
应力：
r
A r2
2C
A r2
2C
（a）
边界条件： r ra q r rb p
(2) 无限大弹性体的应力与边界条件
应力：
r
A r2
2C
A r2
2C
（b）
边界条件： r rb p
r r 0
将式（a）、（b）代入相应的边界 条件，得到如下方程：
E,
E, E,
E,
A a2
第四章平面问题的极坐标解答
P,A,B
变形后为 P', A', B'各点的位移如图
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
在小变形假定下， PA线应变
P A PA AA PP r PA PA u r ur dr u r u r r dr r PB线应变
PB PB (r ur )d rd ur PB rd r
2 ) 2 cos sin [ ( 2 r 2 ) 2 cos sin [ ( 2 r
1 )], r θ 1 )], r θ
2 2 1 1 2 1 2 2 cos sin [ 2 ( 2 )] (cos sin )[ ( )]。 2 xy r r r r r r
(e)
第四章 平面(e) 导出，
2 1 1 (cos sin )(cos sin ) 2 r r r r x 2 sin cos 2 sin 2 2 cos 2 2 r r r r r sin cos sin 2 2 2 2 r r 2 2
对于平面应变问题，只须作如下同样变换，
E E 1
2
,
1
。
第四章 平面问题的极坐标解答
边界条件
边界条件—应用极坐标时，弹性体的边界 面通常均为坐标面，即：
r 常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
第四章 平面问题的极坐标解答
§4－3
坐标变换式
以下建立直角坐标系与极坐标系的变 换关系，用于： 物理量的转换，
其中可取
d cos 1, 2
d d sin 。 2 2
第4章 平面问题的极坐标解答精品PPT课件
§4-2 极坐标中的几何方程及物理方程
一、几何方程—位移与形变间的微分关系
在极坐标中规定:
O
---径向正应变
---环向正应变 ---切应变(径向与环向两y
线段之间的直角的改变)
x
d P
A
B
图4-2
u ---径向位移 可用叠加法讨论极坐标中的 u ---环向位移 形变与位移间的微分关系。
（1）假定只有径向位移，而无环向位移。如 图4-2所示。
o
d
P
B f
f
x A
d
C
注意：
y
图4-1
两 面不平行，夹角为 dφ ；
两 面面积不等，分别为 ρdφ ，ρd ρdφ 。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向转向
为正。
o
d
P
B f
f
x
A
d
d
y
d
图4-1
C
d
d
o
d
P
B f
f
x
A
d
d
y
d 图4-1
C
d
O
d P
u
d
P
x
u
u
d
A
A
B
1
y
u
u
B
d
( u )d
径向线段PA 的
正应变为：
O
(u
u
d ) u
d
u
y
d P
d
x
u
A
P
A
B
B
u
u
d
1
u
u
d
( u )d
弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答(1)
sin cos
r
r
cos 2
r2
sin
2
sin
cos
r2
2 2
r
0
r
1 r
极坐标下应力分量计算公式：
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
（4－5）
r
1 r2
1 r
2 r
r
1 r
可以证明：式（4－5）满足平 衡方程（4－1）。
说明：式（4－5）仅给出体力为零时的 应力分量表达式。
y
r r
x
r yx
xy x
y
r r
（4－8）
(2) 用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量
r
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
sin
2
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
r
y
x
2
sin
2
xy
cos 2
（4－9）
O
yx y xy
yxx y
r
x x xy
r
r r
r 2
r r r r
2
sin
cos
r2
cos2
r2
2 2
(b)
2
xy
cos
r
sin
r
sin
r
cos
r
y
x
sin
cos
2
r 2
cos2
sin 2
r
2 r
sin cos
弹性力学 平面问题的极坐标解答2
r 0
由此可见，应变分量也只是r的 函数，与无关，即应变绕z轴对 称
2、位移分量
u r 1 A r [(1 ) 2 (1 3 ) B r E r 2(1 ) B ln r 2(1 )C ]
积分得：
1 A ur [(1 ) (1 3 ) Br E r 2(1 ) Br (ln r 1) 2(1 )Cr ] 平衡微分方程 4—2 极坐标中的几何方程和物理方程 4—3 极坐标中的应力函数与相容方程 4—4 应力分量的坐标变换式 4—5 轴对称应力和相应的位移
4—6 圆环或圆筒受均布压力 4—8 圆孔的孔边、应力集中
4—9 半平面体在边界上受集中力
4—10 半平面体在边界上受分布力
A r 2 B(1 2 ln r ) 2C r A 2 B(3 2 ln r ) 2C r
r r
由此可以看出，应力分量只是r得函数，不 随而变化，且只有正应力，无剪应力
一、轴对称问题的应变和位移
1、应变分量
1 A r [(1 ) 2 (1 3 ) B E r 2(1 ) B ln r 2(1 )C ] 1 A [(1 ) 2 (3 ) B E r 2(1 ) B ln r 2(1 )C ]
1 sin yx ds sin 1 cos 0
r x cos y sin 2 xy sin cos
2 2
同理，由平衡方程：
F 0
2 2
r ( y x ) sin cos xy (cos sin )
o
x
y yx
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第四章 平面问题的极坐标解答
§ 应力分量的坐标变换式 4-4 § 轴对称应力和相应的位移 4-5 § 圆环或圆筒受均布压力 4-6
§ 压力隧洞 4-7
在极坐标平面内的应力分量仅仅是径向坐标 r 的 函数，不随角坐标 f 变化，应力函数为 Φ Φ ρ
1 1 2 s r r r r 2 2 2 s ＝ 2 r 1 1 2 t r 2 r r r
§ 4+ 小结
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§4-4应力分量的坐标变换式
一定应力状态下，由一种坐标系中的应力分量求另一 坐标系的应力分量，需建立应力分量的坐标变换式。 应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。
f υ I cos K sin
§4-5 轴对称应力和相应的位移
代入 u ρ ,uυ，得轴对称应力问题对应的位移通解
1 A ur [ (1 ) 2(1 ) Br (ln r 1) (1 3 ) Br E r 2(1 )Cr ] I cos K sin 4B u r Hr I sin K cos E
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1 A r 1 2 1 3 B 21 B ln r 21 C E r 1 A 1 2 3 B 21 B ln r 21 C E r r 0 应变与角坐标无关， 也为旋转对称。
ur
4 Br ρευ u ρ f ( ) E 4 Br u f ( )d f1 ( r ) E
1 d f υ 4 B d f1 ρ 4 B 1 r dυ E dρ E r
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1 sr r r 2 s ＝ 2 r t r 0
( 4 9)
§4-5 轴对称应力和相应的位移
取出一个包含x y面 (含sx,sy,txy)和r(或f)面（含sf,sr,trf） 的三角形微分体，厚度为1，考虑其平衡条件。
直角坐标 极坐标
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§4-4应力分量的坐标变换式
(4 - 12)
I，K—为x、y向的刚体平移， H —为绕o点的刚体转动角度。
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§4-5 轴对称应力和相应的位移
【说明】
(1) 轴对称应力条件下，应力函数（4-10）、应力 （4-11）位移（4-12）的解为通解，适用于任何轴 对称应力问题。 (2) 实现轴对称应力的条件是，物体形状、体力和面 力应为轴对称。 (3) 轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程， 它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值 条件，并由此求出各待定系数A、B及C。
由
s r s x cos2 s y sin 2 2t xy cos sin s s x sin 2 s y cos2 2t xy cos sin 2 2 t r (s y s x ) sin cos t xy (cos sin ) s x s r cos2 s sin 2 2t r sin cos s y s r sin 2 s cos2 2t r sin cos t xy (s r s ) sin cos t r (cos 2 sin 2 )
满足
r R
(σ ρ ) ρ R q2
s r r R
A 2 2C q2 R
A s r r r 2 2C q1 , r School of Architectural and Civil Engineering
可反求出
思考：如何由§2-3中公式直接导出极坐标变换式？
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§4-5 轴对称应力和相应的位移
【旋转对称】物体的形状或某物理量绕中心轴 旋转任意角度后不变。
§4-6 圆环或圆筒受均布压力
（应力分量）通解。
sr
A
B=0
B(1 2 ln r ) 2C r2 A s 2 B(3 2 ln r ) 2C (4 11) r t r t r 0
q2
q1
应力边界条件要求：
( τ ρυ ) ρr 0, ( τ ρυ ) ρ R 0 (σ ρ ) ρr q1,
ur 4B u r Hr I sin K cos E (4 - 12)
q2
q1
r R
由多连体中位移单值条件可得 B = 0
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tr t r (s y s x ) cos sin t yx (cos sin )
2 2
Fr 0
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§4-4应力分量的坐标变换式
s r s x cos2 s y sin 2 2t xy cos sin (a)
F 0
t r (s y s x ) cos sin t xy (cos sin ) (b)
2 2
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弹性力学
《弹性力学简明教程》 第三版 徐芝纶
主讲：童中华 安徽工业大学
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§4+ 上一讲回顾
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
可类比于直角坐标系，附加力：(1)两径向面不平行；(2)两
§4-4应力分量的坐标变换式
取包括x、y面和f面的 三角形微分体 应力分量由直角坐标 向极坐标的变换式：
s r s x cos2 s y sin 2 2t xy cos sin (a)
F 0
s s x sin 2 s y cos2 2t xy cos sin (c)
4 2
积分四次得应力函数通解
Φ A ln ρ Bρ2 ln ρ Cρ2 D
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(4 10)
§4-5 轴对称应力和相应的位移
Φ A ln ρ Bρ 2 ln ρ Cρ 2 D
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§4-6 圆环或圆筒受均布压力
圆环(平面应力问题)和圆筒 (平面应变问题)受内外均布 压力，属于轴对称应力问题， 可以引用轴对称应力问题的 位移分量的通解。
Laplace算子成为
2 1 1 2 d2 1 d 1 d d 2 2 2 2 (ρ ) 2 r r r r dr r dr ρ d ρ d ρ
相容方程成为
1 d d 1 1 d 1 d dΦ ρ d ρ ( ρ d ρ ) ρ d ρ { ρ d ρ [ ρ d ρ ( ρ d ρ )]} 0
环向面面积不相等。 §4-2 极坐标中的几何方程及物理方程 可类比于直角坐标系，附加应变：(1)半径增加导致周长增 加；(2)环向转动导致方向变化。物理方程不变化。 §4-3 极坐标中的应力函数与相容方程 坐标变换关系式，应力分量的极坐标表示，Laplace算子， 极坐标中按应力求解平面问题。
§4-5 轴对称应力和相应的位移
1 u ur 1 ur u u r , , r 0 r r r r r r
uρ 1 A 1 1 3 Bρ 21 Bρ(ln ρ 1) 21 Cρ f (υ) E ρ
uυ
f1 ρ f υd υ 0 ρ
§4-5 轴对称应力和相应的位移
d f1 ρ d f υ f1 ρ ρ f υd υ dρ dυ d f1 ρ f1 ρ ρ F dρ d f υ f υ d υ F dυ
第四章 平面问题的极坐标解答
§ 应力分量的坐标变换式 4-4 § 轴对称应力和相应的位移 4-5 § 圆环或圆筒受均布压力 4-6
§ 压力隧洞 4-7
在极坐标平面内的应力分量仅仅是径向坐标 r 的 函数，不随角坐标 f 变化，应力函数为 Φ Φ ρ
1 1 2 s r r r r 2 2 2 s ＝ 2 r 1 1 2 t r 2 r r r
§ 4+ 小结
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§4-4应力分量的坐标变换式
一定应力状态下，由一种坐标系中的应力分量求另一 坐标系的应力分量，需建立应力分量的坐标变换式。 应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。
f υ I cos K sin
§4-5 轴对称应力和相应的位移
代入 u ρ ,uυ，得轴对称应力问题对应的位移通解
1 A ur [ (1 ) 2(1 ) Br (ln r 1) (1 3 ) Br E r 2(1 )Cr ] I cos K sin 4B u r Hr I sin K cos E
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1 A r 1 2 1 3 B 21 B ln r 21 C E r 1 A 1 2 3 B 21 B ln r 21 C E r r 0 应变与角坐标无关， 也为旋转对称。
ur
4 Br ρευ u ρ f ( ) E 4 Br u f ( )d f1 ( r ) E
1 d f υ 4 B d f1 ρ 4 B 1 r dυ E dρ E r
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1 sr r r 2 s ＝ 2 r t r 0
( 4 9)
§4-5 轴对称应力和相应的位移
取出一个包含x y面 (含sx,sy,txy)和r(或f)面（含sf,sr,trf） 的三角形微分体，厚度为1，考虑其平衡条件。
直角坐标 极坐标
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§4-4应力分量的坐标变换式
(4 - 12)
I，K—为x、y向的刚体平移， H —为绕o点的刚体转动角度。
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§4-5 轴对称应力和相应的位移
【说明】
(1) 轴对称应力条件下，应力函数（4-10）、应力 （4-11）位移（4-12）的解为通解，适用于任何轴 对称应力问题。 (2) 实现轴对称应力的条件是，物体形状、体力和面 力应为轴对称。 (3) 轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程， 它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值 条件，并由此求出各待定系数A、B及C。
由
s r s x cos2 s y sin 2 2t xy cos sin s s x sin 2 s y cos2 2t xy cos sin 2 2 t r (s y s x ) sin cos t xy (cos sin ) s x s r cos2 s sin 2 2t r sin cos s y s r sin 2 s cos2 2t r sin cos t xy (s r s ) sin cos t r (cos 2 sin 2 )
满足
r R
(σ ρ ) ρ R q2
s r r R
A 2 2C q2 R
A s r r r 2 2C q1 , r School of Architectural and Civil Engineering
可反求出
思考：如何由§2-3中公式直接导出极坐标变换式？
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§4-5 轴对称应力和相应的位移
【旋转对称】物体的形状或某物理量绕中心轴 旋转任意角度后不变。
§4-6 圆环或圆筒受均布压力
（应力分量）通解。
sr
A
B=0
B(1 2 ln r ) 2C r2 A s 2 B(3 2 ln r ) 2C (4 11) r t r t r 0
q2
q1
应力边界条件要求：
( τ ρυ ) ρr 0, ( τ ρυ ) ρ R 0 (σ ρ ) ρr q1,
ur 4B u r Hr I sin K cos E (4 - 12)
q2
q1
r R
由多连体中位移单值条件可得 B = 0
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tr t r (s y s x ) cos sin t yx (cos sin )
2 2
Fr 0
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§4-4应力分量的坐标变换式
s r s x cos2 s y sin 2 2t xy cos sin (a)
F 0
t r (s y s x ) cos sin t xy (cos sin ) (b)
2 2
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弹性力学
《弹性力学简明教程》 第三版 徐芝纶
主讲：童中华 安徽工业大学
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§4+ 上一讲回顾
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
可类比于直角坐标系，附加力：(1)两径向面不平行；(2)两
§4-4应力分量的坐标变换式
取包括x、y面和f面的 三角形微分体 应力分量由直角坐标 向极坐标的变换式：
s r s x cos2 s y sin 2 2t xy cos sin (a)
F 0
s s x sin 2 s y cos2 2t xy cos sin (c)
4 2
积分四次得应力函数通解
Φ A ln ρ Bρ2 ln ρ Cρ2 D
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(4 10)
§4-5 轴对称应力和相应的位移
Φ A ln ρ Bρ 2 ln ρ Cρ 2 D
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§4-6 圆环或圆筒受均布压力
圆环(平面应力问题)和圆筒 (平面应变问题)受内外均布 压力，属于轴对称应力问题， 可以引用轴对称应力问题的 位移分量的通解。
Laplace算子成为
2 1 1 2 d2 1 d 1 d d 2 2 2 2 (ρ ) 2 r r r r dr r dr ρ d ρ d ρ
相容方程成为
1 d d 1 1 d 1 d dΦ ρ d ρ ( ρ d ρ ) ρ d ρ { ρ d ρ [ ρ d ρ ( ρ d ρ )]} 0
环向面面积不相等。 §4-2 极坐标中的几何方程及物理方程 可类比于直角坐标系，附加应变：(1)半径增加导致周长增 加；(2)环向转动导致方向变化。物理方程不变化。 §4-3 极坐标中的应力函数与相容方程 坐标变换关系式，应力分量的极坐标表示，Laplace算子， 极坐标中按应力求解平面问题。
§4-5 轴对称应力和相应的位移
1 u ur 1 ur u u r , , r 0 r r r r r r
uρ 1 A 1 1 3 Bρ 21 Bρ(ln ρ 1) 21 Cρ f (υ) E ρ
uυ
f1 ρ f υd υ 0 ρ
§4-5 轴对称应力和相应的位移
d f1 ρ d f υ f1 ρ ρ f υd υ dρ dυ d f1 ρ f1 ρ ρ F dρ d f υ f υ d υ F dυ