极坐标系(袁志军)分解
极坐标系的概念与应用
极坐标系的概念与应用极坐标系是一种描述平面上点的坐标系统，与直角坐标系相对应。
它以极轴和极角来确定点的位置，极轴通常为原点到点的距离，而极角则是从极轴正方向旋转到线段的方向所经过的角度。
极坐标系在各个科学领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、数学等等。
本文将介绍极坐标系的概念以及它在不同领域中的应用。
一、极坐标系的概念极坐标系是一种二维坐标系统，用极径和极角来描述平面上的点。
在极坐标系中，平面上的点可以表示为(r, θ)，其中r是点到原点的距离，θ是从极轴正方向旋转到线段的方向所经过的角度。
极径r是一个非负实数，极角θ通常用弧度制表示。
极坐标系与直角坐标系之间的转换关系由以下公式给出：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中(x, y)是直角坐标系中的点，r是点的极径，θ是点的极角。
这些公式使得我们可以在直角坐标系和极坐标系之间进行坐标的转换，方便我们在不同坐标系中进行计算和分析。
二、极坐标系的应用1. 物理学中的应用：极坐标系在物理学中有广泛的应用，特别是在描述圆形、旋转质点和极化等问题中。
例如在力学中，我们可以用极坐标系来描述质点在圆周运动中的运动规律，方便地计算质点的速度和加速度。
此外，极坐标系还在电磁学中用于描述电场和磁场的变化规律。
2. 工程学中的应用：工程学中的许多问题，如天线的辐射方向、波传播和声纳导航等，都可以使用极坐标系来进行分析和设计。
通过将问题转化为极坐标系，我们可以更好地理解和解决实际工程中的各种应用场景。
3. 数学中的应用：极坐标系在数学中也有重要的应用，特别是在微积分和复数理论中。
在微积分中，利用极坐标系可以简化一些复杂的曲线积分和面积计算。
在复数理论中，极坐标系可以用来表示复数的幅度和幅角，方便进行复数运算和解析几何的推导。
结论极坐标系是一种二维坐标系统，以极径和极角来确定平面上的点的位置。
它在物理学、工程学、数学等多个领域中都有广泛的应用。
极坐标系 课件
(2)ρ＝ 22＋－2 32＝4，tan θ＝－22 3＝－ 3， θ∈[0,2π)，由于点(2，－2 3)
在第四象限，所以 θ＝53π，所以直角坐标(2，－2 3)化为极坐标为4，53π.
(3)ρ ＝
－ 23π2＋－32π2 ＝
【例题 2】 写出下列各点的直角坐标．
(1)4，23π；(2)2，56π；(3)4，－π3.
思维导引：由公式yx＝＝ρρscions
θ， θ
结合点的极坐标(ρ，θ)求解．
解析：(1)由x＝4cos23π＝4×－12＝－2， y＝4sin23π＝4× 23＝2 3，
得4，23π的直角坐标为(－2,2 3)．
(2)由x＝2cos56π＝2×－ 23＝－ 3， y＝2sin56π＝2×12＝1，
得2，56π的直角坐标为(－ 3，1)． (3)由yx＝＝44scions－－π3π3＝＝44××12－＝223，＝－2 3， 得4，－π3的直角坐标为(2，－2 3)．
•考点三 将点的直角坐标化为极坐标
• (1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式； • (2)注意极径和极角的取值范围．
1＋4－4×cosπ3＝ 3.
【例题 3】 分别将下列各点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)(－2,2)；(2)(2，－2 3)；(3)－ 23π，－32π.
借助ρ＝ x2＋y2求ρ 思维导引：由已知―由―t―an―θ―＝―yx―x≠―0―求―θ→转化为极坐标． 解析：(1)ρ＝ －22＋22＝2 2，tan θ＝－22＝－1，θ∈[0,2π)，由于点(－2,2)在第 二象限，
【例题 1】 在极坐标系中，设点 A4，π6，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，
极坐标系与参数方程知识点总结
千里之行，始于足下。
极坐标系与参数方程知识点总结极坐标系和参数方程是数学中的两种常用的描述曲线的方法。
它们可以用来描述平面内的曲线，其优点是能够更简洁地描述某些特殊形状的曲线，且能够涵盖直角坐标系不能完全表示的曲线。
下面将对极坐标系和参数方程进行详细的介绍和总结。
一、极坐标系：极坐标系是一种用极角和极径来表示平面上的点的坐标系统。
其中，极径表示原点与点之间的距离，极角表示极径与一个固定轴之间的夹角。
极坐标系的坐标表示通常用 (r,θ) 表示，其中 r 是极径，θ是极角。
在极坐标系中，曲线方程可以用极坐标 (r,θ) 表示。
例如，直线的极坐标方程可表示为 r = a / cos(θ - α)，其中 a 是直线与极径轴的交点到原点的距离，α是直线与极径轴的夹角。
另外，许多曲线在极坐标系中的方程具有简洁的形式。
例如，圆的极坐标方程是 r = a，椭圆的极坐标方程是 r = a / (1 - εcosθ)，其中 a 是椭圆焦点到原点的距离，ε是椭圆的离心率。
极坐标系的优点是能够更简洁地表示某些特殊形状的曲线，如圆、椭圆和螺线等。
然而，极坐标系也有一些限制，例如不能表示某些直线和许多多重曲线。
因此，在具体问题中选择使用直角坐标系还是极坐标系要根据具体情况来定。
二、参数方程：第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。
其中，参数是一个实数变量，曲线上的每个点都可以由参数的函数表示。
参数方程通常以向量形式表示，例如(x(t), y(t))，其中 x(t) 和 y(t) 是参数 t 的函数。
通过参数方程，可以更灵活地描述曲线。
例如，直线的参数方程可以表示为 x(t) = a + mt，y(t) = b + nt，其中 a、b 是直线上的一个点的坐标，m、n 是直线的斜率。
另外，许多曲线在参数方程中具有简洁的形式，如抛物线的参数方程是 x(t) = a + t，y(t) = b + t²。
高中数学第一讲坐标系二极坐标系学案含解析新人教A版
二 极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)就叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x(1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义． (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)(k ∈Z)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)．(2)由P ，Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)， 所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ) 或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)．设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．1．设点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：(1)点A 关于极轴的对称点； (2)点A 关于直线l 的对称点；(3)点A 关于极点的对称点．(规定ρ>0，－π＜θ≤π)． 解：如图所示：(1)点A 关于极轴的对称点为B⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3.(2)点A 关于直线l 的对称点为C ⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3. (3)点A 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫1，－2π3. 2．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈)．解：作出图形，可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于直线θ＝π2的对称点是⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6.(1)把点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，6化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)． 依据极坐标与直角坐标互化的公式解题． (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．3．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4解析：选B 点P (－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴的夹角为3π4.4．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)解：(1)∵x ＝ρcos θ＝4cos 5π3＝2.y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋－2＝22，tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y ＜0，∴ρ＝15，θ＝3 π2.∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 课时跟踪检测(二)一、选择题1．在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A ．M 和N B ．M 和G C ．M 和H D ．N 和H解析：选A 由极坐标的定义知，M ，N 表示同一个点． 2．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53，5) C ．(5,5) D ．(－5，－5)解析：选A x ＝ρcos θ＝10cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3.3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．二、填空题5．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6关于极点的对称点为________．解析：如图，易知对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π 6．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB |＝________.解析：|AB |＝12＋22－2×1×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ 5.答案： 57．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴的夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， ∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12，所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π4三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4， 所以22＋r 2－82r cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0. 解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．解：(1)ρ＝32＋32＝2 3.tan θ＝33＝ 3.又因为点在第一象限， 所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3. (2)ρ＝－2＋－2＝2，tan θ＝1.又因为点在第三象限， 所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4. (3)ρ＝－2＋02＝3，画图可知极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．10．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．解：(1)设点P 新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6， ∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2.。
极坐标系与参数方程整理
极坐标系与参数方程 知识点整理1.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.2.极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等．3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
极坐标系基本概念以及变量转换方法
极坐标系基本概念以及变量转换方法极坐标系是一种描述平面上点的坐标系，它以原点为中心，用极径和极角来表示点的位置。
极坐标系常用于描述具有环形对称性质的问题，例如圆形、螺旋线等。
一、极坐标系的基本概念1. 极径：从原点到点的距离，通常用r表示。
2. 极角：从正半轴逆时针旋转到射线所成的角度，通常用θ表示（单位为弧度）。
3. 极坐标：用有序数对（r，θ）表示点的坐标，其中r为极径，θ为极角。
二、极坐标系和直角坐标系的转换1. 由直角坐标系转换到极坐标系：- 极径计算公式：r = sqrt(x^2 + y^2)，其中x和y分别为点在直角坐标系中的横、纵坐标。
- 极角计算公式：θ = arctan(y/x)，其中arctan为反正切函数，注意进行角度的换算。
2. 由极坐标系转换到直角坐标系：- x坐标计算公式：x = r * cosθ，其中cosθ为极角θ的余弦值。
- y坐标计算公式：y = r * sinθ，其中sinθ为极角θ的正弦值。
三、极坐标系的应用1. 曲线方程的极坐标表示：- 以极径为变量的形式：r = f(θ)，其中f(θ)为极坐标方程的函数表达式。
- 以极角为变量的形式：θ = g(r)，其中g(r)为极坐标方程的函数表达式。
2. 曲线在极坐标系下的图形特征：- 线段：极径为常数，θ的取值范围确定了线段的位置。
- 射线：极径为常数，θ的取值范围为[θ1, ∞)或(-∞, θ2]，其中θ1和θ2为常数。
- 圆：极径为常数，θ的取值范围为[0, 2π)。
- 螺旋线：极径和极角的关系不是简单的函数关系，而是具有规律的变化。
四、极坐标系的优点与局限极坐标系具有以下优点：1. 适用于具有环形对称性质的问题，如圆形和螺旋线等。
2. 描述角度和距离的关系更加直观，方便进行几何分析和计算。
但极坐标系也有一些局限性：1. 不适用于直线和其他非环形对称性问题的描述。
2. 极坐标系下的运算规则与直角坐标系不同，计算相对繁琐。
2018学年高中数学选修4-4课件：第1讲 坐标系 2 第1课时 精品
课标定位
1．了解极坐标系的意义． 2．理解点的极坐标的不唯一性． 3．能够建立适当的极坐标系解决数学问题.
1．利用坐标法解决几何问题．(重点) 2．常与三角函数和几何图形结合命题． 3．点的极坐标不唯一是易混点，准确理解极坐标系的概 念并用于解题．(难点)
预习学案
直角 坐标 系
极坐 标系
点的表示方法 点与对应坐标
(x，y)，其中x 表示点的水平 位置，y表示点 的垂直高度
点与有序实数对， 即(x，y)是一一对 应的
(ρ，θ)，其中ρ 表示该点到原 点的距离，θ表 示从x轴正半轴 开始逆时针旋 转的角度
一个有序实数对 (ρ，θ)对应着一个 点，而一个点却可 与无数多个(ρ，θ) 对应
解题过程 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位 长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．
Байду номын сангаас
由|OC|＝600 m，∠AOC＝π6，∠OAC＝π2， 得|AC|＝300 m，|OA|＝300 3 m， 又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m. 同理，得|OE|＝2|OG|＝300 2 m， 所以各点的极坐标分别为 O(0,0)，A(300 3，0)，C600，π6， D300，π2，E300 2，34π，F(300，π)，G150 2，34π.
又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒， 知|PB|－|PA|＝4，于是知 P 应在双曲线x42－y52＝1 的右支上． 直线 l 与双曲线的交点 P(8,5 3)即为动物的位置，至此问 题便可获解．
据已知两点的斜率公式，得直线PA的倾斜角为60°.于是 舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公 式，可得|PA|＝10.
极坐标系的概念 课件
4．点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与__(ρ_， ___θ_＋__2_k_π_)_(k_∈__Z__)表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为 (0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有 无数 种表示． 如果规定 ρ＞0， 0≤θ＜2π ，那么除 极点 外，平面内的点可用 唯一 的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一 确定的．
极坐标系的概念
1．平面内点的位置 在平面直角坐标系中，点的位置用有序实数对确定，平面内的点的位置也可以用距离 和角度确定． 2．极坐标系 如图所示，在平面内取一个 定点 O，叫作极点，自极点 O 引一条 射线 Ox，叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取 逆时针 方向)，这样就建立了一个极坐标系．
2．设点 A2，π3，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点 A 关于极轴， 直线 l，极点的对称点的极坐标(限定 ρ＞0，－π＜θ≤π)． 解析：如图所示，
C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π. 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆上．
D300
2，34π，E(300，π)，F150
2，34π.…………………………………12 分
[规律探究] 在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同， 点的极坐标的表示也会不同，只有在 ρ≥0，θ∈[0,2π)的限定条件下，点的极坐 标才是唯一的．
3．极坐标 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的 极径 ，记为 ρ；以极
轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫作点 M 的 极角 ，记为 θ.有序数对_(_ρ_，__θ_)_ 叫作点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ． 一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ ≥ 0，θ 可取 任意实数 ． 特别地，当点 M 在极点时，它的极坐标为 (0，θ) ，θ 可以取 任意实数 ．
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探究：极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况 ① 平面上一点的极坐标是否唯一？
② 若不唯一，那有多少种表示方法？
③ 坐标不唯一是由谁引起的？
④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
(1)给定（,）,在极坐标平面内确定可唯一的一点 M
(2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应
当点不在第一象限内 时，是否还成立？ 原理是什么？
互化练习
2 1(1)将点M的极坐标 5, 化为直角坐标； 3 ( 2)将点M的直角坐标 3 ,1 化成极坐标. 2.已知两点的极坐标 2, ， . 3, ，求两点间的距离 3 2
实验楼
图书馆
D
120m
办公楼
C
E
450
50m
600
A
教学楼
60m
B
体育馆
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 东 走 6 0 米 出发点
！
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想.
思考：类比建立平面直角体系的过程，怎样 建立用距离与角度确定平面上点的位置的体系？
2
4
B●
E
4 3
●●。 O1 NhomakorabeaC
●
A
5 3
x
F
●
●
D
3.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆, 图 书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的 极坐标系,写出各点的极坐标. C D 解:以点A为极点,AB所在 的射线为极轴(单位长
120m
度为1 m),建立极坐标系.
E
450 50m
则点A,B,C,D,E的极坐 标分别为 A(0,0), B(60, 0),
极坐标系与直角坐标系的异同
• 相同点：两者都通过一对有序实数对表示平面上的点.
• 不同点：
– (x,y)与两坐标轴的距离有关;而(ρ,θ)与极轴出发的角 和极点的距离有关 – 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合 { (x,y)|x、y∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集 与有序实数对的集合{ (ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应 的（(ρ,θ )与(ρ,θ+2kπ )表示同一个点 ）
• 1. 极点与直角坐标系的原点重合; • 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; • 3. 两种坐标系的单位长度相同.
互化关系式
极坐标化直角坐标： x cos , y sin
y
θ x
M ( , )
y
x
O
直角坐标化极坐标： y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
600 A(O) 60m B
x
π C(120, ), 3
π D(60 3, ), 2
3π E (50, ). 4
练习：在同一个极坐标中描出以下各点： π π π π A(4, ), B(4, 2 ), C (4, 4 ), D(4, 2 ) 6 6 6 6 [思考]它们所表示的点有什么关系？ π 2kπ+ 本题点M的极坐标统一表达式： 4， 6
原因在于：极角有无数个 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ) 都可以作为它的极坐标.
如果限定ρ＞ 0, 0≤θ＜2π 特别强调： 一般情况下（若不作特别说明时），认为 ≥ 0.
或－π＜θ≤ π,
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
3.极坐标与直角坐标的互化
互化前提
2
5 6
A(4,0)
4
D
• E •
F
。 O1
•C • B
•A
G
x
B(3, ) 4 C(2, 2 ) 5 D(5, 6 ) E(4.5, )
4 3
•
•
5 3
F(6,4) 3 G(7, 5 ) 3
例2、在极坐标系中描下列各点：
A(3, 0)、B(6,
5 6
5 4 5 )、C (1, )、D(5, )、 E(4, ), F 2, 6 2 3 3
角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对
(,)就叫做M的极坐标，记作M (,) .
一般地，不作特殊说明时，认为≥0， 可取任意实数.
特别规定：当点M为极点时，它的极坐标
(0, ), 可为任意值. 为____________________
M
O X
例1、 如图，写出各点的极坐标：
1、极坐标系的建立： ①在平面内取一个定点O，叫做极点. ② 从极点O点引一条射线OX，叫做极轴. ③再选定一个单位长度和角的正方向（通常取 逆时针方向）.
X 这样就建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系.
O
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度,
用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的
– 若规定ρ>0，θ∈[0,2π)，可使极坐标与平面内的点一 一对应(极点除外)
课堂小结
• 建立一个极坐标系需要哪些要素?
– 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向
• 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
– 无数，极角有无数个
• 一点的极坐标有否统一的表达式？
– 有，(ρ，2kπ+θ)
• 极坐标与直角坐标的互化
二
极坐标系
1.与角α终边相同的角：
β=α+2kπ,k∈Z
一一对应的. 2.平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _____ y 平面直角坐标系是最简 P(a,b) . b 单最常用的一种坐标系，但 不是唯一的一种坐标系. 有 时用别的坐标系比较方便.
O a
x
还有什么坐标系呢？
思考：右图是某校园的平面 示意图，假设某同学 在教学 楼处，请回答下列问题： （1）他向东偏北60 °方向 走120m后到达什么位置？ 该位置惟一确定吗？ （2）如果有人打听体育馆 和办公楼的位置，他应如何 描述？
B
5 10, 3
极坐标化直角坐标： x cos , y sin
直角坐标化极坐标： y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
课后思考
思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( )
A
4 10, 3