初二-第04讲-不等式的基本性质与解集(提高)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第04讲-不等式的基本性质与解集授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解不等关系；②掌握不等式的基本性质；③掌握不等式解与解集的概念与表示方法。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、不等式的定义：一般的，用符号“<”（或“≤”）“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。

2、常用的不等号：种类符号实际意义读法小于号< 小于、不足小于大于号> 大于、高出大于小于或等于号≤不大于、不超过、至多小于或等于（不大于）大于或等于号≥不少于、不低于、至少大于或等于（不小于）不等号≠不相等不等于3、列不等式：体系搭建不等式表示代数式之间的关系，与方程表示的相等关系相对应，列不等式表示不等关系的方法步骤：（1）分析题意，找出题中的各种量； （2）寻找各种量之间的相等或者不等关系； （3）用代数式表示各种量；（4）用适当的不等号将表示不等关系的量连接起来。

4、不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

5、不等式的其他性质（1）对称性，也叫互逆性：若a b > ，则b a < 。

（2）传递性：若a b >，b c > ，则a c > 。

（3）若0ab > ，则,a b 同号，反之，若,a b 同号，则0ab > ；若0ab < ，则,a b 异号，反之，若,a b 异号，则0ab <。

（4）若0a b -> ，则a b >，反之，若a b >，则0a b ->；若0a b -< ，则a b < ，反之，若a b <，则0a b -<。

6、不等式的解集（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（2）一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

（3）不等式的解与不等式的解集的区别：不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值。

7、不等式解集的两种表示方法（1）用不等式表示 （2）用数轴表示 8、解不等式求不等式的过程叫做解不等式。

考点一：不等关系例1、2015年2月1日宿迁市最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则当天气温变化范围t（℃）是（）A．t＞8 B．t＜2 C．﹣2＜t＜8 D．﹣2≤t≤8【解析】由题意得﹣2≤t≤8．故选：D．例2、式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x=3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1是不等式，∴共4个不等式．故选C．例3、下列各式是不等式的有（）个．①﹣3＜0 ②4x+3y＞0 ③x=4 ④x+y ⑤x≠5 ⑥x+2＞y+3．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根据不等式的定义可知，符号不等式定义的有①②⑤⑥．故选D．考点二：不等式的基本性质例1、如果a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（）A．a2＞b2 B．1﹣a＞1﹣b C．1+a＞1﹣b D．1+a＞b﹣1【解析】选：D．例2、若x＞y，则下列式子错误的是（）A．3﹣x＞3﹣y B．x﹣3＞y﹣3 C．x+3＞y+2 D．＞【解析】选：A．例3、下列判断中，正确的序号为①④⑤．①若﹣a＞b＞0，则ab＜0；②若ab＞0，则a＞0，b＞0；③若a＞b，c≠0，则ac＞bc；④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2；⑤若a＞b，c≠0，则﹣a﹣c＜﹣b﹣c．【解析】答案为：①④⑤．例4、若a＜b，用“＜”或“＞”填空：a﹣1 ＜b﹣1；＞；5a+2 ＜5b+2．【解析】答案为＜，＞，＜．例5、判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；√（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；×（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；×（4）若ac2＞bc2，则a＞b；√（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．√（6）若a＞b＞0，则＜．√．【解析】答案为：√、×、×、√、√、√．例6、将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x﹣17＜﹣5；（2）＞﹣3．【解析】（1）移项合并得：x＜12；（2）两边乘以﹣2得：x＜6．考点三：不等式的解集及解不等式例1、已知关于x的不等式ax＞b的解为x＜3，那么下列关于x的不等式中解为x＞3的是（）A．﹣2ax＞﹣2b B．2ax＞2b C．ax+2＞b+2 D．ax﹣2＞b﹣2 【解析】∵关于x的不等式ax＞b的解为x＜3，∴a＜0，则解为x＞3的是﹣2ax＞﹣2b，故选A例2、不等式2x+1＜3的解集在数轴上表示为（）A． B．C．D．【解析】2x+1＜3，解得x＜1，故选：D．例3、写出一个解集为x＞1的一元一次不等式组：2x﹣2＞0．【解析】2x﹣2＞0的解集为x＞1．故答案为2x﹣2＞0．例4、若x同时满足不等式x+2＞0与x﹣3＜0，则x的取值范围是﹣2＜x＜3．【解析】x+2＞0，解得：x＞﹣2，∵x﹣3＜0，解得：x＜3，∴x的取值范围是﹣2＜x＜3；例5、如果不等式ax≤2的解集是x≥﹣4，则a的值为a=﹣．【解析】由ax≤2的解集是x≥﹣4，得x≥，=﹣4，解得a=﹣，例6、在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x＜﹣2（2）x≥1【解析】（1）如图所示；；（2）如图所示．．例7、在数轴上画出下列解集：（1）x≥1且x≠2．（2）解不等式，并把它的解集表示在数轴上：5x﹣2＞3（x+1）【解析】（1）x≥1且x≠2在数轴上表示如图：．（2）5x﹣2＞3x+3，2x＞5，∴．例8、已知不等式mx﹣3＞2x+m，（1）若它的解集是x＜，求m的取值范围；（2）若它的解集是x＞，求m的值．【解析】mx﹣3＞2x+m，mx﹣2x＞m+3，（m﹣2）x＞m+3，（1）∵它的解集是x＜，∴m﹣2＜0，解得m＜2；（2）∵它的解集是x＞，∴=，且m﹣2＞0，解得：无解．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、下列式子①＜y+5；②1＞2；③3m﹣1≤4；④a+2≠a﹣2中，不等式有（）个．A．2 B．3 C．4 D．1【解析】①＜y+5；②1＞2；③3m﹣1≤4；④a+2≠a﹣2是不等式，故选：C．2、下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B．由a＞b，得|a|＞|b|C．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b D．由a＞b，得a2＞b2【解析】选：C．3、如果a＞b，c≠0，那么下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．c﹣a＞c﹣bC．ac＞bc D．＞【解析】选：A．4、若a＞b，则下列式子中一定成立的是（）A．a﹣2＜b﹣2 B．＞C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b【解析】选：B．5、下列不等式中，不含有x=﹣1这个解的是（）A．2x+1≤﹣3 B．2x﹣1≥﹣3 C．﹣2x+1≥3 D．﹣2x﹣1≤3 【解析】选：A．6、不等式﹣3x≥6的解集在数轴上表示为（）A． B．C． D．【解析】﹣3x≥6，解得x≤﹣2．选：C．7、若a＞1，则a+2016 ＜2a+2015．（填“＞”或“＜”）【解析】∵a＞1，∴两边都加a，得2a＞1+a两边都加2015，得2a+2015＞2016+a，即2016+a＜2a+2015．故答案为：＜8、根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）4x＞3x+5（2）﹣2x＜17．【解析】（1）两边都减3x，得x＞5；（2）两边都除以﹣2，得x＞﹣．9、若不等式（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，则a的取值范围是a＜﹣1 ．【解析】不等式（a+1）x＞a+1两边都除以a+1，得其解集为x＜1，∴a+1＜0，解得：a＜﹣1，故答案为：a＜﹣1．10、用等号或不等号填空：（1）比较2x与x2+1的大小：当x=2时，2x ＜ x2+1当x=1时，2x = x2+1当x=﹣1时，2x ＜ x2+1（2）任选取几个x的值，计算并比较2x与x2+1的大小；（3）无论x取什么值，2x与x2+1总有这样的大小关系吗？试说明理由．【解析】（1）比较2x与x2+1的大小：当x=2时，2x＜x2+1；当x=1时，2x=x2+1；当x=﹣1时，2x＜x2+1，（2）当x=3时，2x＜x2+1，当x=﹣2时，2x＜x2+1；（3）证明：∵x2+1﹣2x=（x﹣1）2≥0，∴2x≤x2+1．11、请用不等式表示如图的解集．【解析】由数轴表示的不等式的解集，得（1）x＜﹣1；（2）x≥1；（3）x≤﹣1；（4）x＞3．12、已知关于x的不等式（2a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为x＜，（1）求的值．（2）求关于x的不等式ax＞b的解集．【解析】（1）移项，得（2a﹣b）x＞5b﹣a，两边都除以（2a﹣b），得x＜，即=，化简，得27a=45b，两边都除以45a，得=；（2）当a＞0时，x＞，即x＞，当a＜0时，x＜，即x＜．➢课后反击1、下面给出了5个式子：①3＞0；②4x+3y＞0；③x=3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】其中是不等式的有：①3＞0；②4x+3y＞0；⑤x+2≤3；⑥2x≠0．共4个．故选D．2、下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1﹣2y≤0；④x﹣2≠0；⑤3x﹣2=0．其中是不等式的个数有（）A．2个B．3个 C．4个D．5个【解析】不等式有：：①3x＞5；③1﹣2y≤0；④x﹣2≠0共3个．故选B．3、若﹣2a＜﹣2b，则a＞b，则根据是（）A．不等式的基本性质1 B．不等式的基本性质2C．不等式的基本性质3 D．等式的基本性质2【解析】将不等式﹣2a＜﹣2b两边都除以﹣2，得：a＞b，其依据是不等式基本性质3，故选：C．4、若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3C．﹣3x＞﹣3y D．＞【解析】选：C．5、若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（）A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞D．x2＞y2【解析】选D.6、在数轴上表示不等式x﹣1＜0的解集，正确的是（）A． B．C． D．【解析】x﹣1＜0解得：x＜1，故选：C．7、如果2x﹣5＜2y﹣5，那么﹣x ＞﹣y（填“＜、＞、或=”）【解析】如果2x﹣5＜2y﹣5，两边都加5可得2x＜2y；同除以（﹣2）可得：﹣x＞﹣y．8、若a＞b，则a+b ＞2b．（填“＞”、“＜”或“=”）【解析】不等式的两边都加b，不等号的方向不变，得a+b＞2b，故答案为：＞．9、若不等式（a﹣3）x＞1的解集为x＜，则a的取值范围是a＜3 ．【解析】∵（a﹣3）x＞1的解集为x＜，∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，∴a﹣3＜0，∴a＜3．故答案为：a＜3．10、将下列不等式的解集表示在数轴上（1）x+1＜0；（2）2x≥2；（3）x+2≤1；（4）x+1＞4．【解析】（1）x+1＜0x+1﹣1＜0﹣1，x＜﹣1，表示在数轴上，如图所示：（2）2x≥2，x≥1，表示在数轴上，如图所示：（3）x+2≤1，x+2﹣2≤1﹣2，x≤﹣1，表示在数轴上，如图所示：（4）x+1＞4，x+1﹣1＞4﹣1，x＞3，表示在数轴上，如图所示：11、现有不等式的性质：①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．请解决以下两个问题：（1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）；（2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）．【解析】（1）a＞0时，a+a＞a+0，即2a＞a，a＜0时，a+a＜a+0，即2a＜a；（2）a＞0时，2＞1，得2•a＞1•a，即2a＞a；a＜0时，2＞1，得2•a＜1•a，即2a＜a．12、若当1＜x＜2时，不等式＞m有解，求m的取值范围．【解析】∵1＜x＜2，∴＜＜1，当不等式＞m有解时，＜m＜1．直击中考1、【2016•夏津】若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，则关于x的不等式（n﹣m）x＞（m+n）的解集是（）A．x＜﹣ B．x＞﹣C．x＜ D．x＞【解析】∵关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，∴m＜0，=，解得m=4n，∴n＜0，∴解关于x的不等式（n﹣m）x＞m+n得，（n﹣4n）x＜4n+n，∴﹣3nx＜5n，∵n＜0，∴﹣3n＞0，∴x＞﹣，故选B．2、【2015•乐平】已知一元一次不等式mx﹣3＞2x+m．（1）若它的解集是x＜，求m的取值范围；（2）若它的解集是x，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）不等式mx﹣3＞2x+m，移项合并得：（m﹣2）x＞m+3，由解集为x＜，得到m﹣2＜0，即m＜2；（2）由解集为x＞，得到m﹣2＞0，即m＞2，且=，解得：m=﹣18＜0，不合题意，则这样的m值不存在．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。