2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.3 第2课时 诱导公式(五～六)学案 苏教版必修4
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
三角函数的诱导公式 课件
自学导引
1．诱导公式五、六
公式五：sin π2－α＝ cos α ，cos π2－α＝ sin α ； 公式六：sin π2＋α＝ cos α ，cos π2＋α＝－sin α . 公式五和公式六可以概括如下：
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为 象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了 象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
2．利用诱导公式可得到如下结论： sin 32π－α＝－cos α，cos 32π－α＝－sin α； sin 32π＋α＝－cos α，cos 32π＋α＝sin α.
想一想：你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？ 提示 诱导公式六的推导： ∵π2＋α＝π2－(－α)，由诱导公式五得： sin π2＋α＝sin π2－－α＝cos (－α)＝cos α， cos 2π＋α＝cos 2π－－α＝sin (－α)＝－sin α. 即 sin π2＋α＝cos α，cos 2π＋α＝－sin α.
－cos 3π＝－12.
(12 分)
【题后反思】 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角 三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
误区警示 对角的终边位置考虑不全面而出错 【示例】 若|cos α|＝sin 32π－α，请指出角 α 的终边的位置． [错解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限．
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第二课时三角函数的诱导公式五、六aa高一数学
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即时训练 1-1:已知 cos( π -α)= 2 ,求 sin(α- 2π )的值.
6
3
3
解:因为( π -α)+(α- 2π )=- π ,
6
32
所以 sin(α- 2π )=sin[- π -( π -α)]
3
26
=-sin[ π +( π -α)]=-cos( π -α)=- 2 .
“函数名改变,符号看象限”.
名师(mínɡ shī)点津 1.利用诱导(yòudǎo)公式可得到如下结论
sin( 3π -α)=-cos α,cos( 3π -α)=-sin α;
2
2
sin( 3π +α)=-cos α,cos( 3π +α)=sin α.
2
2
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变式训练 3-1:求证: tan 2π sin 2π cos6π =-tan α.
sin
3π 2
cos
3π 2
证明:左边=
tan sin cos
sin
2π
π 2
cos
2π
π 2
= tan sin cos =
sin2
sin
题型一 利用诱导公式(gōngshì)解决给角(或值)求值
[例 1] 已知 sin( π -α)= 1 ,求 cos( π +α)的值.
3
2
6
解:因为 π -α+ π +α= π ,
3
6
2
所以 π +α= π -( π -α).
高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
高中数学必修四启发性学案：1.2.3 三角函数的诱导公式
第一章 三角函数函数1.2.3 三角函数的诱导公式（2）主备人：张娜 做题人：张鹏翔 审核人：刘主任一．学习目标:1．掌握诱导公式五、六的推导方法；2. 能熟练运用公式解决有关的求值、化简、证明问题.二．学习重、难点：诱导公式以及公式的综合应用.三．课堂活动：活动一 探究并证明诱导公式五、六问题1：点(,)P x y 关于直线y x =的对称点'P 的坐标是什么？问题2：若角α的终边与角β的终边关于直线y x =对称，那么角α与角β的正弦函数和余弦函数值之间有何关系？问题3：角2πα-的终边与角α的终边是否关于直线y x =对称？根据问题1,2,3的启发，你能推导下列公式吗？ sin()2πα-= cos()2πα-= （公式五） 利用公式二和公式五，你能推导下列公式吗？ sin()2πα+= cos()2πα+= （公式六） 思考感悟：1.诱导公式的实质是什么？2.如何记忆这六组诱导公式?______________ ______________ 思考：你能推导出tan()_____________;2tan()2πα+= 吗？活动二 利用诱导公式解决化简、证明问题例1． 化简下列各式并加以证明：3sin()2πα+= 3cos()2πα+= 3cos()2πα-= 3sin()2πα-=活动二 利用诱导公式解决给值求值问题例2．已知3cos(40)5α︒-=，且90180α︒<<︒，求cos(50)α︒+的值.思考感悟：______________ ______________四．小结反思：_____________ _____________五．巩固练习：1.化简：3sin()cos()cos()25cos(3)sin(3)sin()2ππαπααππαπαα-++-+-.2．已知1sin(x)64π+=，求25sin()sin()63x xππ-+-的值.。
1.3第2课时 诱导公式五、六 课件(共20张PPT)删减版文库素材
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
4．化简：sinπ2c－osαπc＋osαπ2 ＋α－sin2πs－inαπ－coαsπ2－α.
解：原式＝cos－αc－ossαin
α－sin－αsin sin α
α
＝sin α－(－sin α)＝2sin α.
栏目 导引
第一章 三角函数
那天晚上，主人入睡后，狼和狐狸就去鸡舍，一起偷了几只鸡，几个家伙又吃又喝，第二天主人果然没有察觉。” “胡说!我才不和你这个小心眼的家伙搞合作!”磨盘怒气冲冲地下了逐客令：“别在这里碍手碍脚的，没有你，我事情会做得更多更好!” 磨心无法再呆下去了，只好离开。当它满怀希望一口咬下去的时候，那辣椒的辛刺味使它猝不及防，满嘴象触电一般麻木得失去知觉。 凯特语言中心日语培训班 /pxbarticle/2020-07-17/305.html 他的理发匠非常清楚，他在为谁工作，并且知道，要把胡子刮干净。 等到天亮，张良打开手中的书，他惊奇地发现自己得到的是《太公兵法》，这可是天下早已失传的极其珍贵的书呀，张良惊异不已。， “你们这些不知好歹的家伙，你们这群孤陋寡闻的东西，”苍蝇嗡嗡叫喊着：“你们都没看见我这身华丽的外衣?这么鲜艳美丽引人注目，你们懂得欣赏吗?” “干嘛光埋怨别人不反省自已呢，”蜜蜂在一旁看见了指责苍蝇：“如果你想靠这身赏心悦目的艳装来讨人欢心那就错了!假如你无法改变肮脏的恶习，还是时时给人带来疾病瘟疫， 那么，就算你打扮得象个皇后，也同样不会得到人们的好感，你照样会得到被人们唾弃的下场
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第一章 三角函数
2．诱导公式的作用 (1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三或一， 化为正角的三角函数．若转化了以后的正角大于360°，再 利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数． (2)当化成的角是90°到180°间的角，再利用180°－α的 诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数． (3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°－α及 －α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．
2018版高中数学第一章三角函数13三角函数的诱导公式学案新人教A版
1.3 三角函数的诱导公式1.能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式.(难点)2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题.(重点)3.各种诱导公式的特征.(易混点)[基础·初探]教材整理1 诱导公式二～公式四阅读教材P～P例1以上内容，完成下列问题. 24231.诱导公式二(1)对应角终边之间的对称关系在平面直角坐标系中，π＋α的终边与角α的终边关于原点对称.(2)诱导公式二sin(π＋α)＝－sin α；cos(π＋α)＝－cos α；tan(π＋α)＝tan α.2.诱导公式三(1)对应角终边之间的对称关系x轴对称. 的终边与角α的终边关于在平面直角坐标系中，－α(2)诱导公式三sin(－α)＝－sin α；cos(－α)＝cos α；tan(－α)＝－tan α.3.诱导公式四(1)对应角终边之间的对称关系y轴对称. 的终边与角α的终边关于在平面直角坐标系中，π－α(2)诱导公式四sin(π－α)＝sin α；cos(π－α)＝－cos α；tan(π－α)＝－tan α.公式一～四可以概括为：(3)．kk的同名函数值，前面加上一的三角函数值，等于αα，－，πα＋±·2π(α∈Z) .α看成锐角时原函数值的符号个把(正确的打“√”，错误的打“×”)判断3) .( (1)tan 210°＝3)一定是锐角.( (2)对于诱导公式中的角α) β).( ＝－cos(α－(3)由公式三知cos[－(α－β)]BAABC sin ＝中，sin()(4)在△＋)C.(3. (1)tan 210°＝tan 30°＝【解析】 3(2)诱导公式中的角α是任意角，不一定是锐角. (3)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的.ABCABC，－＝＝π，所以π(4)因为＋＋＋ABC)＝π－＋sin )＝sin(所以sin(C.【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√教材整理2 诱导公式五、六阅读教材P第七行以下至“例3”以上内容，完成下列问题.????????α－－α＝cos公式五：sinsin α. ＝cos α，1.????2226ππππ????????α＋α＋＝－sin α＝cos α，2.公式六：sincos. ????223.公式五和公式六可以概括为：π±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看2成锐角时原函数值的符号.公式一～六都叫做诱导公式.ππ1????????α＋－α________.cos＝＝，则cos若????223π1????α－＝sin α＝cos 【解析】∵，??23．π????α＋∴cos??21.＝－＝－sin α31 【答案】－3][小组合作型给角求值问题.求下列各三角函数值π1029????－(1)sinπ；(2)cos . ??36360°内的角，进而利360°的角化为0°到【精彩点拨】先化负角为正角，再将大于.用诱导公式求得结果π10????－(1)sin 【自主解答】??3π4π410π????＋2π＝－sin ＝－sinsin ＝－??333π3π????＋π.＝sin ＝－sin＝??323π5π529????＋π4 ＝cos (2)cos π＝cos??666π3π????－π.＝cos＝－＝－cos ??626已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值π????，0范围内的角的三.求解如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角后，再转化到??2角函数，同时，准确记忆特殊角的三角函数值.[再练一题].求下列各三角函数值1.17.π(1)tan(－855°)；(2)sin 6 －855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)【解】(1)tan(1. ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝5517????π2＋π (2)sin π＝sin＝sin π??666ππ????＋＝sin??321π.＝cos ＝23(式)求值问题给值πππ53??????2??????－α＋－αα【导学号：已知－sin 的值. ＝，求coscos??????6663 70512008】【精彩点拨】π5π????????????α－＋α cos－π＝【自主解答】因为cos??????66π3????α－ cos＝－，＝－??63πππππ52??????????2222??????????－－ααα＋α－α－sincos＝sin1－＝－＝sin，所以cos??????????6666633＋322. ＝－＝－－3331.解决条件求值问题的策略：(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.ππππ2.常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；3644π2ππ3π常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等.4433．[再练一题]π2π1????????α－－α________.＝2.已知cos，则＝sin????6332ππ????????????αα＋－sin ＝sin【解析】π－??????33πππ??????????－α??α－sinsin＝＝????63??2π1????α－＝.＝cos??631【答案】 3利用诱导公式证明三角恒等式απ－2－π－απ－α＝－求证：tan α. 【导学α－－ππα 00680012号：】【精彩点拨】观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手，利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边.【自主解答】原式左边＝α－παα－－απ－αππ－α－αα－sin α－α－sin sin＝＝αcos αcos α－cos α＝－tan α＝右边.原式得证.关于三角恒等式的证明，常用方法：(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异.[再练一题]，2＝)α＋πtan(7已知3.απ－＋α－π＝求证：2.α－－＋απ【证明】∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2，α－2cos α＋3sin ＋α－2＋3tan απ－πα－＝＝∴＝α－tan α4－αα4cos ＋α－sin π－－2＋3×2＝2.24－[探究共研型]诱导公式中的分类讨论思想k π＋α)的值？ 探究1 利用诱导公式能否直接写出sin(k 是奇数还是偶数不确定.不能 .因为【提示】kknnk π＋α)＝sin(π＋α)＋1(＝－∈Z )，sin(sin 当α是奇数时，即；＝2kknnk π＋α)＝，sin(是偶数时，即sin ＝2α(.∈Z )当k ????απ＋ 如何化简2 tan 呢？探究 ??2nknk )＋1(【提示】 当，为奇数时，即∈＝2Z π????α＋sin ??k 2ππcos 1α????????α＋＋α＝＝；tan ＝tan ＝????22α－sin πtan α－????α＋cos ??2nkkn∈Z 2)(当，为偶数时，即＝k π????α＋.tan αtan ＝??21??k 为奇数，，k π?? α－tan ???α＋ ＝所以tan??2??k .，为偶数tan αk 为整数，化简： 设kk －π－απ－α].kk α＋＋π＋απ【精彩点拨】 本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式.常用的解决方法有两种：①kk π－必须把α分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，为了便于运用诱导公式，kkkkkπ，可使用配角法＝2.－1)π－＝2(π，(＋1)π＋α＋α＋π＋αkkmm∈Z)，则设＝2原(式＝时法解【自主答】一：当为偶数，mmα＋α－π]－π－πα－α＝＝mmα＋πα＋π＋＋πααα－sin cos α－＝－1；αcos －sin αkkmm∈Z)，同理可得原式＝－＝21.＋当1(为奇数时，设kkkkkkk cos[(故π，π－α＝＋1)π＋α＋(2法二：由于－π－α＋απ＋＝21)π，(kkkkπ＋＝－sin(1)π＋cos(απ＋α)，sin[(]－－1)πα]＝cos[(＋＋1)π＋α]＝－kkπ＋α).α)＝－α)，sin(sin(π－kkπ＋－απ＋α－＝－1.所以原式＝kkα＋απ－＋πkk值，可能导致不同的结果，因而要加以分类讨论，Z由于的任意性，对于不同的∈正确的思维就是分为奇数与偶数加以分析.[再练一题]nnαπ＋α－πn∈Z)(化简4.的结果为________.n]＋απ－nkk∈Z)时，(1)当＝2 (【解析】kkαsin ααcos π－απ＋＝原式＝kαπ－αcos ]＋－.α＝－sinknk (2)当＝21(＋时，∈Z)kk＋π－＋αα]＋π原式＝k]α＋π－α－sin cos α－＝sin α.＝αcosn＋1所以化简所得的结果为(－1)·sin α.n1＋sin 1)α－【答案】(1.下列各式不正确的是( )A.sin(α＋180°)＝－sin αB.cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C.sin(－α－360°)＝－sin αD.cos(－α－β)＝cos(α＋β).项错误B，故)β－αcos(＝)]β－α(－cos[＝)β＋α－cos( 【解析】．B【答案】) 2.sin 600°的值为(11 A. －B.2233 －D.C. 22 sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°【解析】3.故选＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ D. 2D【答案】) 3.cos 1 030°＝(B. －cos 50°A.cos 50°C.sin 50°D. －sin 50°【解析】 cos 1 030°＝cos(3×360°－50°)＝cos(－50°)＝cos 50°.【答案】 Aππ????????θ＋θ－>0，则θ<0，且cos是4.若sin( ) ????22A.第一象限角 B.第二象限角D. 第四象限角 C.第三角限角π????θ＋，cos θ<0【解析】由于sin＝??2π????θ－＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选cosB. ??2【答案】 B11π6????φ＋ 00680013】的值. 【导学号：，求cos＋sin(3π－φ)5.已知sin φ＝??2116 ，sin ∵φ＝【解】1111ππ????????φ6π－＋＋φ cos∴cos＝????22π????φ－＋＝cos??2π6????φ－＝sin ＝cosφ＝，??21111π6????φ＋)－φπ＝cos∴)－sin(3＋πφ＋sin(??211．612＝＋sin φ＝. 1111．。
2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第2课时三角函数的诱导公式五～六
第 2课时 三角函数的诱导公式五～六[课时作业] [A 组 基础巩固]π sin( ＋θ)－cosπ－θ2 1．已知 tan θ＝2，则等于( )πsin( －θ)－sinπ－θ2A ．2B ．－2C ．0D ．3π sin ( ＋θ)－cosπ－θ2 cos θ＋cos θ 2解析： ＝ ＝ ＝－2.πcos θ－sin θ 1－tan θsin ( －θ)－sinπ－θ2答案：B13π2．如果 sin(π－α)＝－3，那么 cos (－α)的值为()21 1 A. B ．－3 3 2 2 2 2 C. D ．－33 1 1 解析：∵sin (π－α)＝－ ，∴sin α＝－ ， 333ππ1 则 cos(－α)＝－cos( －α)＝－sin α＝ .22 3答案：A33．化简： 1－sin 2(π－α)＝( )2 A ．sin α B ．|sin α| C ．cos αD ．|cos α|解析：原式＝ 1－cos 2α＝ sin 2α＝|sin α|. 答案：B4．若 f (sin x )＝3－cos 2x ，则 f (cos x )＝( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2xπ解析：f (cos x )＝f [sin( －x )]＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .2答案：C1π5．已知 α 为锐角，且 2tan(π－α)－3cos ( ＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝21，则 sin α＝( )3 5 3 7 A. B. 5 7 3 10 1 C. D. 103解析：利用诱导公式化简为Error! 3 解得：tan α＝3，由Error!得 sin α＝.10 10答案：C16．已知 cos(75°＋α)＝ 且－180°<α<－9 0°，则 cos(15°－α)＝________.31解析：因为 cos(75°＋α)＝ 且－180°<α<－90°，32 2 所以 sin(75°＋α)＝－， 32 2 故 cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－.32 2 答案：－ 34 π37．sin(π＋θ)＝ ，sin＝ ，则 θ 角的终边在第________象限．5( ＋θ)254 4 解析：因为 sin(π＋θ)＝ ，所以 sin θ＝－ <0，5 5π3 3 因为 sin( ＋θ)＝ ，所以 cos θ＝ >0，255所以 θ 角的终边在第四象限． 答案：四8．若 sin(180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－a ，则 cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值 是________．a解析：由已知得 sin α＝ ，2a3a ∴cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3× ＝－ .2 23a 答案：－ 23 sin 3π－α＋5cos 34π－α9．已知 sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin(α－ π)，求2 3cos35π＋α－sin3－α的值．23 解析：sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin(α－π)，2得－sin α＝2cos α.则tan α＝－2，sin3π－α＋5cos34π－α所以3cos35π＋α－sin3－αsin3α＋5cos3α＝－3cos3α＋sin3αtan3α＋5＝－3＋tan3α－23＋5 3＝＝.－3＋－2 3 11510．已知sin α＝，且α是第一象限角．5(1)求cos α的值；3πsin (－α)2(2)求tan(α＋π)＋的值．cosπ－α解析：(1)因为α是第一象限角，所以cos α>0.5 2 5因为sin α＝.所以cos α＝1－sin2α＝.5 5sin α 1(2)因为tan α＝＝.cos α 23πsin (－α)2所以tan(α＋π)＋cosπ－α－cos α 3＝tan α＋＝tan α＋1＝.－cos α 2[B组能力提升]1．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是() A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin CA B＋C C．cos( ＋C)＝sinB D．sin ＝cos2 2 A 2解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C.所以A，B都不正确；同理，B＋C＝π－A，B＋CπA A所以sin ＝sin( －)＝cos ，因此D是正确的．2 2 2 23答案：Dπ3 2．若 sin(π＋α)＋cos ( ＋α)＝－m ，则 cos (π－α)＋2sin(2π－α)的值为( )222m 2mA ．－ B. 3 3 3m 3m C ．－ D. 22π解析：因为 sin(π＋α)＋cos( ＋α)2m＝－sin α－sin α＝－m ，所以 sin α＝ ，23故 cos(π－α)＋2sin(2π－α)23 ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－ m . 2答案：Cπ cos ＋αsin －π－α23．已知角 α 终边上一点 P (－4,3)，则 的值为________．11π 9πcos －αsin＋α 223解析：因为角 α 的终边过点 P (－4,3)，所以 tan α＝－ ，4πcos ＋αsin －π－α2－sin α·sin α 则 ＝＝11π 9π 3π πcos －αsin ＋αcos －αsin ＋α2 22 2－sin 2α sin 2α sin α3＝ ＝＝tan α＝－ .π sin αcos α cos α 4－cos －αcos α2 3 答案：－ 44．已知锐角 α 终边上一点 A 的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角 α 的弧度数为________．π解析：Error!∵3∈( ，π)，2∴sin 3>0，cos 3<0.即 α 的终边在第一象限．ππππ ∴cosα＝cos( －3)＝cos (3－ 2).又∵3－ 2∈(0， 2)，2π∴α＝3－.2π答案：3－24π π5．是否存在角 α，β，α∈(－， 2)，β∈(0，π)，使得等式 sin(3π－α)＝2π3π－ 2cos( ＋β)与 3cos(－α)＝－ 2sin (－β)同时成立．22解析：存在．所需成立的两个等式可化为 sin α＝ 2sin β， 3cos α＝ 2cos β， 两式两边分别平方相加得： sin 2 α＋3cos 2α＝2， 1 得 2cos 2α＝1，所以 cos 2α＝. 2π π又因为 α∈(－，， 2)2π π 所以 α＝ 或－ . 4 4π 3 当 α＝ 时，由 3cos α＝ 2cos β，得 cos β＝ ， 4 2π 又 β∈(0，π)，所以 β＝ ；6π 1 当 α＝－ 时，由 sin α＝ 2sin β，得 sin β＝－ ， 4 2 而 β∈(0，π)，所以无解．5。
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第2课时 诱导公式(五～六)学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．知识点一 诱导公式五思考1 角π6与角π3的三角函数值有什么关系？思考2 角α的终边与角π2－α的终边有怎样的对称关系？梳理 诱导公式五sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α知识点二 诱导公式六思考 能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？梳理 诱导公式六sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α.知识点三 诱导公式的推广与规律1．sin(32π－α)＝________，cos(32π－α)＝________，sin(32π＋α)＝________，cos(32π＋α)＝________.2．诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．类型一 利用诱导公式求值例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值； (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 跟踪训练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α的值．类型二 利用诱导公式证明三角恒等式 例2 求证：π－α－2π－απ－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．跟踪训练2 求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝π＋θ＋1π＋θ－1.类型三 诱导公式在三角形中的应用 例3 在△ABC 中，sin A ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，试判断△ABC 的形状．反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＋C 2＝π2，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 跟踪训练3 在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C .其中为常数的式子的序号是________． 类型四 诱导公式的综合应用例4 已知f (α)＝π－α－απ2＋απ＋α－α.(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱． 跟踪训练4 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为________． 2．若cos(2π－α)＝53，则sin(3π2－α)＝________.3．已知tan θ＝2，则π2＋θ－π－θπ2－θ－π－θ＝________.4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2， 求sin3π－α＋cos α＋π5cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值．5．已知cos(π2＋α)＝13，求值：sinπ2＋αcos π2－αcos π＋α＋sin π－αcos3π2＋αsin π＋α.1．诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，π2)内的三角函数值”这种方式求解．用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：答案精析问题导学 知识点一思考1 sin π6＝cos π3＝12，cos π6＝sin π3＝32.思考2 关于直线y ＝x 对称． 知识点二思考 以－α代替公式五中的α得到 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos(－α)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin(－α)． 知识点三1．－cos α －sin α －cos α sin α 题型探究例1 解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，又α为第一象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－19.跟踪训练1 解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.例2 证明 ∵左边＝－α－α－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－tan α－sin ααsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．跟踪训练2 证明 因为左边 ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.所以左边＝右边，故原等式成立． 例3 解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . ∵sinA ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B 2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，即cos C ＝cos B .又∵B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 跟踪训练3 ②③例4 解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α－sin α＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角， 所以由平方关系，得 sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.跟踪训练4 －916当堂训练1．－13 2.－53 3.－2 4.3355．证明 原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α.又cos(π2＋α)＝13，所以－sin α＝13.所以原式＝－2sin α＝23.。