绝对值不等式题型解法练习(

一、几种常见的含绝对值不等式的解法1．类型一：形如a x f a x f ><)(,)(型不等式(1)当0>a 时a x f a a x f <<-⇔<)()(a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)((2)当0=a 时a x f <)(，无解⇔>a x f )(使()0)()(≠=x f x f y 成立的x 的解集(3)当0<a 时a x f <)(，无解⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集例1（2009年安徽理科第2题5分）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是（ ） A.11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 B .{}23x x << C.122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D.112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭分析：要解决这个题，就是解两个不等式，其中312<-x 即为含绝对值的不等式，这是形如a x f <)(型的绝对值不等式，其中0>a ，则a x f a <<-)(。

解：因为312<-x ,所以3123<-<-x ，即解得)2,1(-∈x 解0312<-+x x 得，3>x 或21-<x 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-=211x x B A ，故答案选D. 二,形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(或a x f b -<<-)(。

例2不等式311<+<x 的解集为（ ）A.（0,2）B.)4,2()0,2( -C .)0,4(- D.)2,0()2,4( -- 分析：原不等式是形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式，需将原不等式转化为以下的不等式求解：113311-<+<-<+<x x 或，这样就转化为解简单的不等式问题。

解：原不等式⇔2420113311-<<-<<⇔-<+<-<+<x x x x 或或. 故答案选D. 三：形如)()(x g x f <，)()(x g x f >型不等式，解这类不等式时如果进行分类讨论，就比较的繁琐，其简洁解法如下：解法：把()g x 看成一个大于零的常数a 进行求解（形如类型一）即 )()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<)()()()()()(x g x f x g x f x g x f -<>⇔>或例3（2011江苏高考理科第21题选做题D 10分）解不等式：312<++x x . 分析：x x x x -<+⇔<++312312原不等式转化为解不等式x x -<+312,这里把x -3看成大于零的数，去掉绝对值符号得x x x -<+<-3123。

解：原不等式⎩⎨⎧-<+->+⇔-<+<-⇔-<+⇔x x x x x x x x x 3123123123312⎪⎩⎪⎨⎧<->⇔324x x 324<<-⇔x , 故原不等式的解集为324<<-x . 小结：形如)()(x g x f <，)()(x g x f >型不等式,在高考题型中属于基础部分，难度不高，多出现在填空题与选择题中，记住这类题型的直接解法才能在高考中遇到这类题时轻易得分。

类型四：形如)()(x g x f <型不等式解法：可以先两边平方，通过移项，将其转化为两式相加与两式相减的积小于零的方法进行求解，即：22)()()()(x g x f x g x f <⇔<0)()(22<-⇔x g x f[][]0)()()()(<-+⇔x g x f x g x f 例4（2009年山东高考理科第13题5分）不等式0212<---x x 的解集为（ ）分析：0212<---x x 即为212-<-x x ，可以两边平方，通过移项，得到一般不等式[][]0)2()12()2()12(<----+-x x x x ，然后进行求解。

解：原不等式2120212x x x x ---<⇔-<-22)2()12(-<-⇔x x0)2()12(22<---⇔x x[][]0)2()12()2()12(<----+-⇔x x x x()()3310x x ⇔-+<11<<-⇔x 故填{}11<<-x x .小结：这类问题主要是考查学生怎样利用绝对值的定义将原不等式转化，绝对值是大于零的数，故可以将不等式的两边平方，再移项得到一个一般的不等式，然后求解。

5．类型五：形如)()(),()(x f x f x f x f ><型不等式解法：绝对值里面的数小于或大于本身，要去绝对值符号可将这个函数看成是一般的常数理解，先利用绝对值的定义判断原不等式有无意义，然后求解，即)()(x f x f <时，原不等式无解，而 0)()()(<⇔>x f x f x f 。

例5（2010江西理科第3题5分）不等式 22x x x x-->的解集是（ ） A.(02)，B.(0)-∞，C.(2)+∞，D.),0()0,(+∞-∞ 分析：本题考查绝对值的定义与化简,绝对值大于本身,则知道02<-x x ，解02<-x x 就得原不等式的解集。

解：20022x 2-x <<⇔<-⇔->x xx x x ,故选答案A. 小结：此类问题在高考题中一般比较简单，关键考查考生对绝对值定义的理解与其解法技巧，遇到此类问题时切记不要把问题复杂化了。

6．类型六：形如c n x m x c n x m x ≥-+-≥---,恒成立型不等式解法：利用三角不等式：b a b a b a +≤±≤-，结合最值原理即可解得 即：m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≥⇔---≥)()(|)(max ()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≤⇔-+-≤)()(|min例6（2010高考安徽卷第21题10分）不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(][)+∞-∞-,41,B.(][)+∞-∞-,52,C.[]2,1D.(][)+∞-∞-,21,分析：因为函数4)1()3(13)(=--+≤--+=x x x x x f ,所以4)(max =x f 从而根据以上解法可以解得。

解：设函数4)1()3(13)(=--+≤--+=x x x x x f所以4)(max =x f而原不等式对任意的实数恒成立，而41432≥-≤⇔≥-a a a a 或，故选A. 小结：此类问题运用到三角不等式：b a b a b a +≤±≤-，利用此关系式求得最值，根据最值原理得到简单的不等式然后再求解即可，在高考中一般偏难，分值也较高，深入理解其解法非常重要。

7．类型七：形如a x g x f a x g x f >±<±)()(,)()(;)()()(),()()(x h x g x f x h x g x f >±<±（其中a 为常数）型不等式。

解法：对于解含多个绝对值项的不等式，需找零点分段讨论去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，一般步骤为：找到零点，分段，去掉绝对值，综合得出解集。

例7（2011年山东理科第4题5分）不等式1035≥++-x x 的解集是( )A.[-5,7]B.[-4,6]C.(-∞,-5]∪[7，+∞)D.(-∞，-4]∪[6,+∞)分析：这是形如a x g x f >+)()(型不等式，首先找到零点-3和5，分三段即(](]()+∞--∞-,5,5,3,3,，再在每个区间根据绝对值的定义去掉绝对值号，最后综合得出解集。

解：（1）当(]3,-∞-∈x 时，原不等式41035-≤⇔≥--+-⇔x x x ，解得4-≤x ；（2）(]5,3-∈x 时，原不等式1081035≥⇔≥+++-⇔x x ，x 不存在； （3）当()+∞∈,5x 时，原不等式61035≥⇔≥++-⇔x x x ，解得6≥x . 综上，原不等式的解集为(-∞，-4]∪[6,+∞)，故选D.小结：此类问题在绝对值不等式中比较常见，也较为复杂，在分类讨论时更要仔细，要一步一步到位。

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课时提能演练(七十)1.(1)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n].求m ＋n 的值；(2)若函数f(x)＝2|x ＋7|－|3x －4|的最小值为2，求自变量x 的取值范围.2.已知函数f(x)＝|3x －6|－|x －4|.(1)作出函数y ＝f(x)的图象；(2)解不等式|3x －6|－|x －4|＞2x.3.(1)求不等式|2x －1|＜3的解集.(2)解不等式|5x ＋1|＞2－x.4.(2011·福建高考)设不等式|2x －1|<1的解集为M.(1)求集合M ；(2)若a ，b∈M，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小.5.(易错题)已知函数f(x)＝|x ＋2|－|x －1|.(1)解不等式f(x)>1；(2)g(x)＝ax 2－3x ＋3x(a>0) 若对任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)，试求实数a 的取值范围.6.(2012·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝|x －a|.(1)若不等式f(x)≤m 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a ，m 的值.(2)当a ＝2时，解关于x 的不等式f(x)＋t≥f(x＋2t)(t≥0).7.(2011·新课标全国卷)设函数f(x)＝|x －a|＋3x ，其中a>0.(1)当a ＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a 的值.8.(预测题)已知函数f(x)＝|x －4|＋|x ＋5|.(1)试求使等式f(x)＝|2x ＋1|成立的x 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f(x)＜a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围.9.已知函数f(x)＝|2x ＋1|，g(x)＝|x －4|.(1)求不等式f(x)>2的解集；(2)不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R ，求实数m 的取值范围.10.已知f(x)＝x|x －a|－2.(1)当a ＝1时，解不等式f(x)<|x －2|；(2)当x∈(0,1]时，f(x)<12x 2－1恒成立，求实数a 的取值范围.答案解析1.【解析】(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1得1≤x ≤2， ∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)依题意，2|x ＋7|－|3x －4|≥2，∴|x ＋7|－|3x －4|≥1，当x>43时，不等式可化为x ＋7－(3x －4)≥1，解得x ≤5，即43<x ≤5； 当－7≤x ≤43时，不等式可化为x ＋7＋(3x －4)≥1， 解得x ≥－12，即－12≤x ≤43； 当x<－7时，不等式可化为－x －7＋(3x －4)≥1，解得x ≥6，与x<－7矛盾.∴自变量x 的取值范围为－12≤x ≤5. 2.【解析】(1)f(x)＝|3x －6|－|x －4|＝22x x 24x 10 2x 42x 2 x 4-<⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩. 正确画出图象.(2)在图中画出y ＝2x 的图象如图，注意到直线y ＝2x 与射线y ＝2－2x(x<2)交于(12，1)，线段y ＝4x －10(2≤x ≤4)在直线y ＝2x 下方，射线y ＝2x －2(x ＞4)在直线y ＝2x 下方且与直线y ＝2x 平行，故由图象可知不等式|3x －6|－|x －4|＞2x的解集为{x|x ＜12}. 3.【解析】(1)由|2x －1|＜3得－3＜2x －1＜3，∴－1＜x ＜2，∴原不等式的解集为{x|－1＜x ＜2}.(2)由|5x ＋1|＞2－x 得5x ＋1＞2－x 或5x ＋1＜－(2－x)，解得x ＞16或x ＜－34， 故原不等式的解集为{x|x ＞16或x ＜－34}.4.【解题指南】(1)|2x －1|<1⇔－1<2x －1<1，解之即得x 的取值范围；(2)用作差法比较ab ＋1与a ＋b 的大小.【解析】(1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1，所以M ＝{x|0<x<1}.(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a<1,0<b<1.所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0，故ab ＋1>a ＋b.5.【解析】(1)①当x<－2时，原不等式可化为－x －2＋x －1>1，此时不成立；②当－2≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋2＋x －1>1，即0<x ≤1，③当x>1时，原不等式可化为x ＋2－x ＋1>1恒成立，即x>1， ∴原不等式的解集是(0，＋∞).(2)因为g(s)≥f(t)恒成立，即g(s)的最小值不小于f(t)的最大值，g(s)＝as ＋3s －3≥23a －3，由几何意义可知f(t)的最大值为3.∴23a －3≥3，∴a ≥3.6.【解析】(1)由|x －a|≤m 得a －m ≤x ≤a ＋m ，所以a m 1a m 5-=-⎧⎨+=⎩，解之得a 2m 3=⎧⎨=⎩为所求.(2)当a ＝2时，f(x)＝|x －2|，所以f(x)＋t ≥f(x ＋2t)⇔|x －2＋2t|－|x －2|≤t ① 当t ＝0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t>0时，不等式①⇔x 22t 22t x (2x)t <-⎧⎨----≤⎩或22t x 2x 22t (2x)t -≤<⎧⎨-+--≤⎩或x 2x 22t (x 2)t≥⎧⎨-+--≤⎩ 解之得x<2－2t 或2－2t ≤x ≤2－t 2或x ∈∅， 即x ≤2－t 2； 综上，当t ＝0时，原不等式的解集为R ，当t>0时，原不等式的解集为{x|x ≤2－t 2}. 7.【解题指南】第(1)问，将a ＝1代入函数f(x)的解析式，利用解绝对值不等式的公式求解；第(2)问f(x)≤0⇒|x －a|＋3x ≤0，然后分x ≥a 和x<a 两种情况去掉绝对值号，转化为解不等式组的问题，将两段解集取并集得f(x)≤0的解集，最后利用待定系数法求得a 的值.【解析】(1)当a ＝1时，f(x)≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f(x)≥3x ＋2的解集为{x|x ≥3或x ≤－1}.(2)由f(x)≤0得，|x －a|＋3x ≤0，此不等式化为不等式组x a x a 3x 0≥⎧⎨-+≤⎩或x a a x 3x 0<⎧⎨-+≤⎩， 即x a a x 4≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或x a a x 2<⎧⎪⎨≤-⎪⎩， 因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x ≤－a 2}， 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2. 8.【解析】(1)方法一：因为f(x)＝|x －4|＋|x ＋5|≥|(x －4)＋(x ＋5)|＝|2x ＋1|，当且仅当(x －4)(x ＋5)≥0，即x ≤－5或x ≥4时取等号，所以若f(x)＝|2x ＋1|成立，则x 的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞).方法二：f(x)＝|x －4|＋|x ＋5|＝2x 1 x 59 5x 42x 1 x 4--≤⎧⎪-<<⎨⎪+≥⎩. 又|2x ＋1|＝12x 1 x 212x 1 x 2⎧--≤-⎪⎪⎨⎪+>-⎪⎩， 所以若f(x)＝|2x ＋1|，则x 的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞).(2)方法一：因为f(x)＝|x －4|＋|x ＋5|≥|(x －4)－(x ＋5)|＝9，所以若关于x 的不等式f(x)＜a 的解集非空，则a ＞f(x)min ＝9，即a 的取值范围是(9，＋∞).方法二：由(1)方法二易知，f(x)min ＝9，∴a ＞9，即a ∈(9，＋∞).9.【解析】(1)不等式f(x)>2等价于|2x ＋1|>2，∴2x ＋1>2或2x ＋1<－2，解得x>12或x<－32. ∴不等式f(x)>2的解集为{x|x>12或x<－32}. (2)记y ＝f(x)－g(x)，则y ＝1x 5(x )213x 3(x 4)2x 5(x 4)⎧--<-⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，， 由图可知，当x ＝－0.5时，y 取最小值，且最小值为－4.5，∵不等式y＝f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，∴m＋1≤－4.5，即m≤－5.5，∴实数m的取值范围为(－∞，－5.5].10.【解析】(1)a＝1时，f(x)<|x－2|，即x|x－1|－2<|x－2|.(*)①当x≥2时，由(*)⇒x(x－1)－2<x－2⇒0<x<2.又x≥2，∴x∈∅；②当1≤x<2时，由(*)⇒x(x－1)－2<2－x⇒－2<x<2. 又1≤x<2，∴1≤x<2；③当x<1时，由(*)⇒x(1－x)－2<2－x⇒x∈R.又x<1，∴x<1.综上：可知原不等式的解集为{x|x<2}.(2)当x∈(0,1]时，f(x)<12x2－1，即x|x －a|－2<12x 2－1恒成立， 也即12x －1x <a<32x ＋1x 在x ∈(0,1]上恒成立.而g(x)＝12x －1x在(0,1]上为增函数，故g(x)max ＝g(1)＝－12.h(x)＝32x ＋1x≥232＝6，当且仅当32x ＝1x ，即x ＝63时，等号成立.故a ∈(－12，6).。