柯西不等式高考题精选
高考备考 均值不等式和柯西不等式 含历年高考真题
1、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：333111abc+++abc ≥．2、（2010辽宁理数）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cbac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。
3、（2012江苏理数）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 4、（2013新课标Ⅱ）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.5、（2012福建）已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 13c =m ,求证:a + 2b +3c ≥96、（2011浙江）设正数z y x ,,满足122=++z y x . (1)求zx yz xy ++3的最大值； （2）证明：26125111113≥+++++xz yz xy 7. (2017全国新课标II 卷) 已知330,0,2a b a b >>+=。
证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。
8.(2017天津) 若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.9. 【2015高考新课标2，理24】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >+>（Ⅱ）>是a b c d -<-的充要条件． 10. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求+的最大值． 【均值不等式】例题1：已知y x ,均为正数，且y x >，求证：3221222+≥+-+y yxy x x ． 例题2：已知z y x ,,均为正数．求证：zy x xy z zx y yz x 111++≥++． 变式：设z y x ,,为正数，证明：()()()()y x z z x y z y x z y x +++++≥++2223332． 【柯西不等式】例题1：若正数c b a ,,满足1=++c b a ，求121121121+++++c b a 的最小值．变式：若21,32x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭<例题2：已知z y x ,,是正数．()1若1=+y x ，求y y x x +++2222的最小值； ()2若1222=+++++z zy y x x ，求证：1222222≥+++++zz y y x x ． 变式1：设0,,>c b a ，1=++c b a ，求证：53222≥-+-+-c c b b a a ． 变式2：已知正数y x ,满足xyz z y x =++，求zxyzxy211++的最大值．【能力提升】1、 设c b a ,,均为正实数，求证：ba c a cbc b a +++++≥++111212121．。
柯西不等式高考题精选
柯西不等式高考题精选1.（2013年湖北）设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.【答案】31472.（2013年陕西）已知a, b, m, n 均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______.【答案】23.[2014·福建] 已知定义在R 上的函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a.(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ， 求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p ＋q ＋r)2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.4.[2014·陕西] A ．(不等式选做题)设a ，b ，m ，n∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．【答案】 55.[2014·浙江] (1)解不等式2|x －2|－|x ＋1|＞3；(2)设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立条件．解：(1)当x≤－1时，2(2－x)＋(x ＋1)＞3，得x ＜2，此时x≤－1；当－1＜x≤2时，2(2－x)－(x ＋1)＞3，得x ＜0，此时 －1<x<0；当x>2时，2(x －2)－(x ＋1)＞3，得x>8，此时x>8. 综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)．(2)证明：由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2， 所以ab ＋4bc ＋9ac≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立．6.【2015福建】已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c 的最小值为4．(Ⅰ)求a b c 的值；(Ⅱ)求2221149a b c 的最小值． 【答案】(Ⅰ) 4；(Ⅱ)87． 【解析】(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c ，当且仅当a x b 时，等号成立，又0,0ab ，所以|a b |a b ,所以(x)f 的最小值为a bc ,所以a b c 4．(Ⅱ)由(1)知a b c 4，由柯西不等式得()()22222114912+3+1164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥⨯⨯⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即222118497a b c .当且仅当1132231b a c ,即8182,,777a b c 时，等号成立 所以2221149a b c 的最小值为87. 【考点定位】1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．【点睛】当x 的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如()f x x a x b =+++的函数的最小值，以及解析式形如()f x x a x b =+-+的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．7.【2015陕西】已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求+的最大值．【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4．故max 3+12+4t t .考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.【点晴】本题主要考查的是绝对值不等式和柯西不等式，属于容易题．解题时一定要注意不等式与方程的区别，否则很容易出现错误．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．用柯西不等式证明或求最值要注意：①所给不等式的形式是否与柯西不等式的兴致一致，若不一致，需要将所给式子变形；②等号成立的条件．。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
柯西不等式的练习题
柯西不等式的练习题柯西不等式是数学中的一个重要定理，它在不等式证明和优化问题中有着广泛的应用。
本文将通过一些练习题来加深对柯西不等式的理解。
练习题一：设a、b、c、d为实数，求证：(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)^2解答：根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)^2化简得：4(a^2+b^2+c^2+d^2)≥(a+b+c+d)^2展开得：4a^2+4b^2+4c^2+4d^2≥a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 化简得：3a^2+3b^2+3c^2+3d^2≥2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd再次化简得：3(a^2+b^2+c^2+d^2)≥2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)由于平方数都是非负数，所以左边大于等于0，右边也大于等于0，因此不等式成立。
练习题二：设a、b、c为正实数，求证：(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≥(a+b+c)^2根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≥(a+b+c)^2化简得：3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2展开得：3a^2+3b^2+3c^2≥a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc化简得：2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2ac+2bc再次化简得：a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc这是平方和的非负性质，所以不等式成立。
练习题三：设a、b、c为正实数，求证：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+c a解答：根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+ca化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/ab+bc+ca展开得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2)/ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)/ab+化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/ab+bc+ca 再次化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+ca这是平方和的非负性质，所以不等式成立。
【高中数学】秒杀秘诀MS02柯西不等式训练题
柯西不等式训练题一．选择题（共15小题）1．已知x，y，z，a∈R，且x2+4y2+z2=6，则使不等式x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为（）A．6B．C．8D．2．已知实数x、y、z满足2x﹣y﹣2z﹣6=0，x2+y2+z2≤4，则2x+y+z=（）A．B．C．D．23．若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab﹣3bc+2c2的最大值为（）A．1B．2C．3D．44．已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2B．2C．2D．35．设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．6．若a，b，c＞0且a（a+b+c）+bc=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B．+1C．2﹣2D．2+27．用柯西不等式求函数y=的最大值为（）A．B．3C．4D．58．已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）D．[2，+∞）9．设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A．2+B．2C．3D．10．若2x+3y+5z=29，则函数μ=++的最大值为（）A．B．2C．2D．11．已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．13．已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7，则正数k等于（）A．1B．4C．8D．914．已知实数a i，b i∈R，（i=1，2，…n），且满足a12+a22+…a n2=1，b12+b22+…b n2=1，则a1b1+a2b2+…+a n b n 的最大值为（）A．1B．2C．n D．215．已知正数a、b、c满足b2+ab+bc+ac=15，则5a+8b+3c的最小值为（）A．25B．30C．8D．32二．解答题（共15小题）16．（1）证明柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；（2）若a，b∈R+且a+b=1，用柯西不等式求+的最大值．17．（1）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1（2）设x，y，z∈R，x2+y2+z2=4，试求x﹣2y+2z的最小值及相应x，y，z 的值．18．已知a b c∈R+，a+b+c=2，记a2+b2+c2的最小值为m．（Ⅰ）求实数rn；（Ⅱ）若关于x的不等式|x﹣3|≥m和x2+px+q≥0的解集相同，求p的值．19．已知关于x的不等式：|x﹣|≤（m∈Z），2是其解集中唯一的整数解．（1）求m的值；（2）已知正实数a，b，c满足a2+4b2+16c2=m，求a+2b+4c的最大值．20．已知实数x，y，z满足x2+y2+z2=1．（Ⅰ）求x+2y+2z的取值范围；（Ⅱ）若不等式|a﹣3|+≥x+2y+2z对一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．21．（1）设函数，求f（x）的最小值，（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．22．已知x，y∈R+，且x+y=2（Ⅰ）要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求证：x2+2y2．23．（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．24．已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：．25．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|﹣m（m∈R），不等式f（x）＜5的解集为（﹣4，2）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）实数a，b，c满足a2++=m，求证：a+b+c≤．26．柯西不等式是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的．具体表述如下：对任意实数a1，a2，…，a n和b1，b2，…b n（n∈N+，n≥2），都有（a12+a22+…+a n2）（b12+b22+…b n2）≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2．（1）证明n=2时柯西不等式成立，并指出等号成立的条件；（2）若对任意x∈[2，6]，不等式3+2≤m恒成立，求实数m的取值范围27．已知不等式|x﹣2|＞3的解集与关于x的不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集相同．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）=a+b的最大值．28．（2014•福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．29．已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．30．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．一．选择题（共15小题）1．B；2．B；3．C；4．C；5．A；6．C；7．C；8．B；9．D；10．C；11．A；12．C；13．D；14．A；15．B；二．解答题（共15小题）16.解：（1）证明：（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．（2）由柯西不等式可得（12+12）[（）2+（）2]≥（+）2．∵a+b=1，∴（+）2≤10，∴+的最大值为．17．解：（1）当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，解得x＞0，又x＜0，故x不存在；当0≤x＜时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，解得x＞0，∴0＜x＜；当x≥时，x＜2，∴≤x＜2；综上所述，原不等式的解集为：{x|0＜x＜2}；（2）（x﹣2y+2z）2≤（x2+y2+z2）[12+（﹣2）2+22]=4×9=36，∴x﹣2y+2z的最小值为﹣6，此时====﹣，∴x=﹣，y=，z=﹣．18．解：（Ⅰ）由柯西不等式（a2+b2+c2）[12+（）2+（）2]≥（a+b+c）2=12，故a2+b2+c2≥2，当且仅当时取等号，∴a2+b2+c2的最小值m为2；（Ⅱ）不等式|x﹣3|≥m即不等式|x﹣3|≥2，解得x≥5或x≤1，∴x2+px+q≥0的解集为{x|x≥5或x≤1}，∴p=﹣（1+5）=﹣6．19．解：（1）由|x﹣|≤可得，∵m∈Z，2是其解集中唯一的整数解，∴m=4；（2）∵a2+4b2+16c2=4，由柯西不等式得：（a2+4b2+16c2）（1+1+1）≥（a+2b+4c）2，故有4≥（a+2b+4c）2．再根据a、b、c为正实数，∴a+2b+4c≤2，即a+2b+4c的最大值为2．20．解：（Ⅰ）由柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z）2，即﹣3≤x+2y+2z≤3，当且仅当即，时，x+2y+2z取得最大值3．当且仅当即，时，x+2y+2z取得最小值﹣3，所以x+2y+2z的取值范围是[﹣3，3]．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式对一切实数x，y，z恒成立，当且仅当成立，即或解得a≤0，或a≥4，21．解：（1）f（x）=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减，当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值m=1．（2）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+c）2=1，故a2+b2+c2≥，当且仅当a=，b=，c ﹣时取等号∴a2+b2+c2的最小值为．22．解：（Ⅰ）∵x，y∈R+，且x+y=2，∴+=（+）•=1++≥2，当且仅当x=y=1时，取等号．要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，只要2≥|a+2|﹣|a﹣1|．而|a+2|﹣|a﹣1|表示数轴上的a对应点到﹣2的距离减去它到1对应点的距离，而对应点到﹣2的距离减去它到1对应点的距离正好等于2，故不等式2≥|a+2|﹣|a﹣1|的解集为（﹣∞，）．（Ⅱ）证明：由柯西不等式得（x2+2y2）•（1+）≥（x+y）2=4，∴x2+2y2≥．23．解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x+3|=，故当x∈[﹣3，1]时，f（x）为常数函数；（2）由柯西不等式可得，（x2+y2+z2）（++）≥（x+y+z）2；即（x+y+z）2≤9；故x+y+z≤3；故m=x+y+z的最大值为3．24．证明：因a＞b＞c＞d，故a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣d＞0．故，…6分所以，．…10分．25．（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+3|﹣m，∴当x＜﹣3时，由不等式﹣2x﹣2﹣m＜5，得x＞﹣．当﹣3≤x≤1时，4﹣m＜5．当＞1时，由不等式2x+2﹣m＜5，得x＜．∵不等式f（x）＜5的解集为（﹣4，2），∴{x|﹣＜x＜}={x|﹣4＜x＜2}，∴m=1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a2++=1，∴（a+b+c）2=（1×a+2×+3×）2≤（12+22+32）（a2++）=14∴a+b+c≤．26．（1）证明：构造函数f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2﹣4（a12+a22）（b12+b22）≤0，即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．（其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）（2）解：由（1）可得（3+2）2≤（32+22）[（）2+（）2]=52，∴（3+2）max=2，∵对任意x∈[2，6]，不等式3+2≤m恒成立，∴m≥．27．解：（1）不等式|x﹣2|＞3的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，所以不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，所以﹣1，5是方程x2﹣ax﹣b=0的两根，所以，解得a=4，b=5．（2）函数f（x）=a+b的定义域为[3，44]，由柯西不等式得：[f（x）]2=（4+5）2≤[（16+25）（x﹣3+44﹣x）]2，．又因为f（x）≥0，所以f（x）≤4，当且仅当5=4时等号成立，即x=时，f（x）=41．所以函数f（x）的最大值为41．28．（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3．29．解：（Ⅰ）∵|t+3|﹣|t﹣2|≤|（t+3）﹣（t﹣2）|=5，不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立，可得6m﹣m2≥5，求得1≤m≤5，或m≥5，即实数m的取值范围为{m|1≤m≤5}．（Ⅱ）由题意可得λ=5，3x+4y+5z=5．∵（x2+y2+z2）（32+42+52）≥（3x+4y+5z）2=25，当期仅当==时，等号成立，即x=，y=，z=时，取等号．∴50（x2+y2+z2）≥25，∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为，30．解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以﹣≤a+b+c≤所以：|a+b+c|≤；（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）。
高考数学复习 柯西不等式微专题
《柯西不等式》微专题二维形式的柯西不等式：若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 当且仅当a c =bd 时，等号成立。
ac bd ≥+ac bd ≥+柯西不等式的向量形式：设 ,αβ是两个向量，则αβαβ≤，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使得k αβ=时，等号成立。
三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++当且仅当0(1,2,3)i b i ==，或a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3时，等号成立。
一般形式的柯西不等式：222222212121122(+)(+)(+)n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++………当且仅当0(1,2,n)i b i ==…，，或a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=an b n时，等号成立。
例1 已知,a b 为实数，证明：4422332()()()a b a b a b ++≥+ 【证明】4422222222222332()()[()()]()()()a b a b a b a b a a b b a b ++=++≥⋅+⋅=+ 例2.求函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值．【思维导图】变形→构造柯西不等式的形式→巧拆常数→凑出定值 【解析】函数的定义域为{x |1≤x ≤5}．y ＝5x －1＋25－x ≤52＋2x －1＋5－x ＝27×2＝63，当且仅当55－x ＝2x －1，即x ＝12727时取等号，故函数的最大值为6 3.例3 已知3x 2＋2y 2＝6，求证：2x ＋y ≤11.【思维导图】观察结构→凑成柯西不等式的结构→利用公式得出结论【证明】由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y )． 由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122(3x 2＋2y 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12×6＝116×6＝11，∴|2x ＋y |≤11， ∴2x ＋y ≤11.例4 设123,,x x x 为正数，求证：123123111()()9x x x x x x ++++≥ 【生】：动笔演算。
高中数学选修4-5柯西不等式习题
高中数学选修4-5柯西不等式习题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学·选修4-5·柯西不等式（1）一．选择题（共10小题）1．（2012•九江一模）设变量x，y满足|x﹣2|+|y﹣2|≤1，则的最大值为（）A．B．C．﹣D．2．（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2 B．2C．2D．33．（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．4．（2014秋•秦安县校级期中）已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）D．[2，+∞）5．（2014春•和平区期中）已知a，b，c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，则++的值（）A．小于0 B．大于0 C．可能是0 D．正负不能确定6．（2015•安徽模拟）若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab﹣3bc+2c2的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．8．（2013春•永定区校级月考）函数（）A．6B．2C．5D．29．（2013•湖北一模）已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（2014•湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3 B．2C． D．1二．填空题（共10小题）11．（2013秋•福建月考）选修4﹣5：不等式选讲已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值．12．（2014•黄冈校级模拟）设，若x2+y2+z2=16，则的最大值为．13．（2014•荆门模拟）已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，则e的取值范围是．14．（2015•抚顺模拟）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，则++的最小值为．15．（2015•郴州模拟）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．16．（2015春•齐齐哈尔校级期末）若存在实数x使+＞a成立，求常数a的取值范围．17．（2013•惠州模拟）（不等式选讲选做题）已知实数a、b、x、y满足a2+b2=1，x2+y2=3，则ax+by的最大值为．18．（2014•宝鸡二模）已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为．19．（2014•天门模拟）（选修4﹣5：不等式选讲）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，试求a的最值．20．（2015•龙泉驿区校级模拟）已知a1，a2，a3不全为零，设正数x，y满足x2+y2=2，令≤M，则M的最小值为．三．解答题（共10小题）21．（2014•泰州模拟）若不等式|a﹣1|≥x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．22．（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．23．（2015•福州校级模拟）已知正数a，b，c满足a2+b2+c2=6．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立，求实数m的取值范围．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．25．（2015•上饶二模）（1）设函数，求f（x）的最小值，（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．26．（2015•咸阳三模）已知x，y∈R+，且x+y=2（Ⅰ）要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求证：x2+2y2．27．（2015•南昌三模）已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．28．（2015•兴庆区校级一模）（1）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R，若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求++的最小值．29．（2015春•重庆校级期中）已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m﹣2|x﹣4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m 的最大值为a．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x2+3y2+6z2的最小值．30．（2015•江西模拟）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B11．12．13．14．18 15．k＞16．（-∞，8）17．18．19．20．。
柯西不等式练习
柯西不等式练习一、单选题1．已知：221a b +=，221x y +=，则ax by +的取值范围是（）A ．[]0,2B ．[]1,1-C ．[]22-,D ．[]0,12．实数x 、y 满足223412x y +=，则2z x =+的最小值是（）A ．5-B ．6-C ．3D ．43．已知a ，0b >，5a b +=的最大值为（）A ．18B ．9C ．D ．4．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（）．A ．13ab bc ca ++≤B ．22213a b c ++≥C ．33313a b c ++≥D ．1119a b c++≥5．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（）．A ．2a b +B C D ．26．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（）A ．14B ．114C ．29D ．1297．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（）A ．9B ．3C ．1D ．68．已知a ，b R ∈，224a b +=，求32a b +的取值范围为（）A ．324a b +≤B ．32a b -≤+≤C ．324a b +≥D ．不确定9．已知222121n a a a +++= ，222121n x x x +++= ，则1122n n a x a x a x +++ 的最大值是()A ．1B ．2C ．3D ．410．函数y =的最大值是()ABC ．3D ．5二、填空题11．已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为________.12．已知1F ､2F 为椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 为1C 和2C 的一个公共点，且1213F PF π∠=，椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的最大值为________________.13．已知x ，y ∈R ，且3x y +=，则______.14．在平面直角坐标系中，A （2,0-），B （0,1），C 为221x y +=上的动点，则AC BC +的取值范围为_______.三、解答题15．设x ，y ，z 均为正实数，且24x y z ++=.（1）证明：22224x y z ++≥.（2）求+.16．设函数()2|1||3|f x x x =++-的最小值为t ．（1）求t 的值；（2）若正数,a b 满足a b t +=4．17．已知a ，b ，c 是非负实数，满足1a b c ++=.求()2323b c a b c a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值.18．已知0a >，0b >，0c >.（1）若2a b +=，求212a b a b +++的最大值M ；（2）若4a b c ++=，求22249a b c ++的最小值.19．设正数a ，b ，c 满足3a +2b +c =1，求1a +1a b ++1b c+的最小值.20．（1）已知函数 ()|1||2|f x x x =-+-，解不等式()2f x ；（2）已知正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值.。
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柯西不等式高考题精选
1.（2013 年湖北）设 x.zeR,且满足：/ + / + 22=1, x + 2y+ 3z = V14,则x+y + z=.
【答案】半
2.（2013年陕西）已知a, b,叫,n均为正数，且a+b=1,
mn=2,则（am+bn）（bm+an）的最小值为.
【答案】2 f (x) = x + 11 + lx —2 | 的最小值为 a.
3. [2014 •福建] 已知定义在R上的函数
（1）求a的值；
⑵若p, q, r是正实数，且满足p + q + r = a, 求
证:p2+q:+r2^3.
解：(1)因为|x+l + |x—2| | (x+1) — (x—2) |=3, 当且
仅当一l〈x<2时，等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3.
⑵由⑴知p + q + r = 3,又p, q, r是正实数，
所以(p' + q~ + r')(l-+l'+l/)2(pXl + qXl+rXl)'=(p + q + r)2=9,即 E+/+/23.
4.[2014 •陕西]A.(不等式选做题)设a, b, m, n£R,且£ +
b' = 5, ma + nb = 5,则+ 的最小值为.
【答案】m
5.[2014 •浙江](1)解不等式 2|x—2| — x+l|>3；
(2)设正数 a, b, c 满足 abc=a + b + c, 求证：ab + 4bc + 9ac236,并给出等号成立条件. 解：(1)当 xW —1 时，2(2—x) + (x + 1) >3, 得xV2,此时x 〈一l ；
当一lVx<2 时，2(2—x) — (x + 1) >3,得 xVO,此时 -l<x<0； 当 x>2 时，2(x — 2) — (x+l)>3,得 x>8,此时 x 〉8.
综上所述，原不等式的解集是(-8, O)U (8, +8).
(2)证明：由abc = a + b + c,得々+*+,=1.由柯西不等式， ab be ca
z 、
得(ab + 4bc + 9ac) ~--F~ F — 2 (1 + 2 + 3)、
[ab be ca ；
所以ab + 4bc + 9ac236,当且仅当a = 2, b = 3, c = l 时，等号 成立.
6.12015福建】已知〃>0*>0,0 0,函数/0)=1%+。
1 + 1工一。
1+。
的最小值为4.
(I )求4 + 〃 +。
的值；
(H)求的最小值. 4 9
【答案】(I)4；(n)1.
【解析】(I)因为/(x)=lx+4 I + I x+〃 I +c >l(x+tz)-(x+Z?) I +c =la+/?l +c ,当
且仅当-aVxKb 时,等号成立，又〃>0力>0,所以la+bl=a+b,所以 f (X)的最小值为a+ b+c,
所以a+b+c = 4 .
(II)由(1)知a+b+c = 4,由柯西不等式得
—c2A.
+^/?2 +c 2 j(4 + 9 + l)>
a 入
b
c . —x2+ —x3+cxl 2 3
= (〃 +》+ c)~ =16
1 -b
当且仅当卫=岂，，即ad,八上c二时，等号成立 2 3 1 7 7 7
所以L，+ L」+C2的最小值为艺 4 9 7
【考点定位】1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式.
【点睛】当x的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如/（x） = k + d + k + U的函数的最小值，以及解析式形如/⑴邛+ 4十+耳的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值.利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标.
7.12015陕西】已知关于x的不等式|x + 4<b的解集为
{x 2 < x < 4}.
（I）求实数”，〃的值；（II）求J" + 12+而的最大值.
【答案】（1）〃 = -3, b = \;（ II ） 4 .
【解析】
试题分析：（I）先由可得-b-a女工<。
一〃，再利用关于上的不等式k+H<b的解集为{i[2<x<4）可得a,6的值；（H）先将J-32+l?+/变形为色，J4一r十小，再利用柯西不等式可得在32十12十JF的最大值.
试题解析：⑴ 由x-ra <b得一6-a<K<6-a
则：「解得°二-3" = 1。
一a = 4,
=2 v4-『十I =4
当且仅当与1 =彳，即「= 1时等号成立，
故 J-3/+12+VF = 4 .
max
考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.
【点晴】本题主要考查的是绝对值不等式和柯西不等式，属于容易题.解题时一定要注意不等式与方程的区别，否则很容易出现错误.零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间, 去绝对值号；
③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.用柯西不等式证明或求最值要注意：①所给不等式的形式是否与柯西不等式的兴致一致，若不一致，需要将所给式子变形；②等号成立的条件.。