绝对值不等式与柯西不等式 (2)
柯西不等式(优质课)
在概率论、统计学、信号处理等领域有广泛应用，特别是在估计概率分布、优化 信号传输等方面。
柯西不等式的变体
积分柯西不等式
对于任意的非负函数$f(x)$和$g(x)$， 有$int f(x)g(x)dx leq left(int f^2(x)dxright)^{frac{1}{2}} left(int g^2(x)dxright)^{frac{1}{2}}$。
应用
在向量分析、线性代数、数学物理等领域有广泛应用，特别是在解决优化问题、不等式 证明等方面。
广义柯西不等式
广义柯西不等式
对于任意的非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 leq (a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ldots + b_n^2)$。
• 然后应用柯西不等式得到左边 ≤abc[1^2+(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb)^2+(1/c)^2+(1/a)^2]=abc。
答案与解析
3. 证明
(x+y)^2≤2(1+xy)
解析
首先展开左边得到(x+y)^2=x^2+y^2+2xy。
答案与解析
然后应用柯西不等式得到左边≤2[(x^2+y^2)/2]^2+2xy=2(1+xy)。
解析几何应用
在解析几何中，柯西不等 式可用于研究平面或空间 中的点、线、面的性质和 关系。
在物理领域的应用
17种基本不等式
6
指数不等式
ax≥ay（a>0,a =1）
指数函数单调性，注意底数的取值范围
7
一次不等式
ax+b≥c
一次函数，斜率决定单调性
8
二次不等式
ax2+bx+c≥0
二次函数，根据判别式判断解集
9பைடு நூலகம்
均值不等式
2a+b ≥ab （a>0,b>0）
均值不小于几何均值
10
柯西不等式
(∑i=1n ai2 )(∑i=1n bi2 )≥(∑i=1n ai bi )2
多元变量的不等式关系
11
切比雪夫不等式
n1 ∑i=1n ai bi ≥(n1 ∑i=1n ai )(n1 ∑i=1n bi )（ai ,bi 同号）
适用于序列的加权平均与算术平均比较
12
伯努利不等式
(1+x)n≥1+nx（n≥1,x>−1）
幂函数与线性函数的比较
13
排序不等式
乱序和 ≤ 反序和 ≤ 同序和
17种基本不等式
序号
不等式名称
表达式
备注
1
绝对值不等式
$
a
2
平方不等式
a2≥b2
平方后非负，常用于消去根号或处理二次项
3
平方根不等式
a ≥b （a≥0,b≥0）
平方根函数单调递增
4
分数不等式
ba ≥dc （b>0,d>0）
分数比较时，注意分母的正负
5
对数不等式
loga x≥loga y（a>0,a =1）
适用于已排序的序列
各种常用不等式汇总
各种常用不等式汇总文章目录•一、一般不等式•o1、一元二次不等式o2、正弦余弦不等式o3、均值不等式o4、绝对值不等式o5、排序不等式o6、权方和不等式•二、人名不等式•o1、柯西不等式o2、卡尔松不等式o3、琴声不等式o4、杨氏不等式o5、赫尔德不等式o6、闵可夫斯基不等式o7、伯努利不等式一、一般不等式经常会用到的不等式一般有前面三个是下面均值不等式的特殊情况。
一般情况下a=b时，才取到等号1、一元二次不等式首先回顾一下一元二次方程的求根公式一元二次不等式的解以及图像2、正弦余弦不等式3、均值不等式均值不等式中一般包含四个公式：调和平均数公式、算数平均数公式、平方平均数公式、几何平均数公式，下面一一介绍。
•调和平均数又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。
调和平均数是平均数的一种。
但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。
由于它是根据变量的倒数计算的，所以又称倒数平均数。
调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。
•算术平均数又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。
它主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。
根据表现形式的不同，算术平均数有不同的计算形式和计算公式。
•一组数据的平方的平均数的算术平方根。
英文缩写为RMS。
它是2次方的广义平均数的表达式，也可称为2次幂平均数。
英文名一般缩写成RMS。
•几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，分为简单几何平均数与加权几何平均数。
1）几何平均数受极端值的影响较算术平均数小；2）如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数；3）它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据；4）几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。
它们的公式如下：调和平均数≤ 几何平均数≤ 算术平均数≤ 平方平均数（方均根）4、绝对值不等式5、排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和6、权方和不等式权方和不等式是一个数学中重要的不等式。
不等式选讲专题(二)柯西不等式
2014 届不等式选讲专题（二）【柯西不等式】一、二维形式的柯西不等式(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd ) 2 (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当 a d = bc 时, 等号成立.)二、二维形式的柯西不等式的变式(1) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(2) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(3)(a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd ) 2 (a , b , c , d ≥ 0 , 当且仅当 ad = bc 时，等号成立 .)三、二维形式的柯西不等式的向量形式α ⋅ β ≤ α β . (当且仅当 β 是零向量 , 或存在实数k , 使α = k β 时 , 等号成立 .)原则：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对 a^2 + b^2 + c^2，并不是 不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不 等式了。
考点一：求最值问题【1】、设 a = (-2,1,2), b = 6 ，则 a ⋅ b 之最小值为________；此时 b = ________。
【2】设 a = (1，0，- 2)， b = (x ，y ，z)，若 x 2+ y 2+ z 2= 16，则 a b 的最大值为。
4 【4】设 a 、b 、c 为正数，求 (a + b + c)( + a 9 36+ ) 的最小值。
b c【5】. 设 x ，y ，z ∈ R ，且满足 x 2+ y 2+ z 2= 5，则 x + 2y + 3z 之最大值为【6】设 x ，y ，z ∈ R ，若 x 2+ y 2+ z 2= 4，则 x - 2y + 2z 之最小值为时，(x ，y ，z) =【8】、设 x, y , z ∈R, x 2 + y 2 + z 2 = 25 ，试求 x - 2 y + 2 z 的最大值与最小值。
柯西不等式(二)教学课件
例 3、已知 a、b、c、x、y、z R 且 a2 b2 c2 25, x2 y 2 z 2 36 ，
abc ax by cz 30 ，求 的值. x yz
证明：由于柯西不等式有
302 (ax by cz)2 „ (a2 b2 c2 )( x2 y 2 z 2 ) 25 36 900 ，
1 4 9 例 2、已知 a、b、c R ，且 a b c 1 ，求证： …36. a b c
证明：由于柯西不等式可知
1 4 9 1 4 9 1 2 3 2 (a b c)( ) …( a b c ) 36. a b c a b c a b c
1．2一般形式的柯西不等式
一、复习回顾
定理 1（二维柯西不等式） 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
a b 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立. c d
注:（1）不等式的证明方法 （2）柯西不等式的应用技巧
a1 x b1 0 a x b 0 a a 2 当且仅当 2 即 1 2 b1 b2 an x bn 0
an 时，等号成立. bn
理
2
设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是 两 组 实 数 ， 则 有
an2 )(b12 b22 bn2 ) …(a1b1 a2b2 anbn )2 .
a1 a2 即 b1 b2 an 时，等号成立. bn
定理 2 设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是两组实数，则有
柯西不等式
柯西不等式柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
其形式有以下几种：二维形式(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)扩展：（（a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+ ...(bn)^2；）≥（a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3，…，n）三角形式√（a^2+b^2)+√（c^2+d^2）≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示平方根，向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a，…，an），β=(b1,b，…，bn）（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
一般形式（∑（ai^2；））（∑（bi^2;)) ≥ （∑ai·bi)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
世界数学史上十个著名不等式
数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数．（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先利用根式的性质将函数的解析式化为含绝对的函数，在将具体化为，利用零点分析法化为不等式组，通过解不等式组解出的解集；（Ⅱ）利用零点分析法，通过分讨论将的解析式化为分段函数，作出函数的图像，由函数知，函数图像是恒过（3,0），斜率为的直线，由对任意的都成立知，函数的图像恒在函数的上方，作出函数的图像，观察满足的条件，求出的取值范围.试题解析：（Ⅰ）∴即∴①或②或③解得不等式①：；②：无解③：所以的解集为或． 5分（Ⅱ）即的图象恒在图象的上方图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中，，∴由图可知，要使得的图象恒在图象的上方∴实数的取值范围为. 10分【考点】根式性质，含绝对不等式解法，分段函数，数形结合思想，分类整合思想2. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质3.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是_________．【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．4.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。
【答案】-9【解析】解：由关于x的不等式的解集不是空集得：即a的最小值是，所以答案应填．【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．5.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用零点分段法将区间分成三段，去绝对值符号，并求出相应的不等式；（2）将问题转化为，利用双绝对值函数的最小值为，于是得到，问题转化为来求解，解出不等式即可.（1）由得，，或，或，解得：或，原不等式的解集为；（2）由不等式的性质得：，要使不等式恒成立，则，解得：或所以实数的取值范围为.【考点】1.零点分段法求解不等式；2.不等式恒成立6.已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝()A．0B．-1C．-2D．-3【答案】A【解析】∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，，∴t＝0，选A.7.求函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值．【答案】2【解析】y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.所以函数的最小值为2.8.若不等式|3x－b|＜4的解集中整数有且只有1，2，3，求实数b的取值范围．【答案】5＜b＜7【解析】由|3x－b|＜4，得－4＜3x－b＜4，即＜x＜.因为解集中整数有且只有1，2，3，所以解得所以5＜b＜7.9.A．不等式的解集为B.如图，已知的两条直角边的长分别为3cm,4cm，以为直径的圆与交于点，则．C.已知圆的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆的交点的直角坐标系为_______【答案】A．；B．；C．和【解析】A．当时，原不等式等价于，即不成立；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，即恒成立，所以原不等式的解集为．B．在中，．∵以为直径的圆与交于点，∴，∴，∴，∴．C．由题设知，在直角坐标系下，直线的方程为，圆的方程为．联立方程，得或，故所求交点的直角坐标为和．【考点】1、绝对值不等式的解法；2、与圆有关的比例线段；3、直线与圆的参数方程．10. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为(为参数)，圆的参数方程为(为参数),则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A.；B．；C．【解析】A.先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C.由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.11.设函数（1）若时，解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】(1)可以采用零点分段法或者绝对值的定义来解决该绝对值不等式,其中零点分段法即把x分为三段讨论去掉绝对值来求的该不等式的解集，而绝对值的定义,即表示在数轴上点x到-1和a的距离之和,利用数轴即可得到相应的解集(2)首先由区间的a,再根据x的范围去掉绝对值，剩下即为恒成立问题,再利用分离参数法分离x与a,求出x一边的最值即可.解得a的范围.试题解析：（1）由题得a=2，法一.利用绝对值的定义,即|x+1|即为在数轴上x与-1之间的距离,|x-2|是x与2之间的距离.故利用数轴法可以求的,综上的解集为.法二.零点分段法，分为一下三种情况当x>2时,当-1x2时,当x<-1时,综上的解集为.（2）由题得,所以且,即在区间上恒成立,所以,综上a的取值范围为.【考点】绝对值不等式恒成立问题12.不等式的解集是【答案】【解析】解答本题可利用“分段讨论法”，也可利用“几何法”，根据绝对值的几何意义，结合数轴得，不等式的解集是.【考点】绝对值不等式的解法13.已知函数，若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．【答案】【解析】因为，所以的最小值为.因为函数的图象恒在轴上方，所以因此有，解得．试题解析：解：的最小值为， 5分由题设，得，解得． 10分【考点】绝对值不等式的应用14.已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1) a＝2 (2) (－∞，5]【解析】(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)方法一：当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，当且仅当－3≤x≤2时等号成立，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为(－∞，5]．方法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为(－∞，5]．15.解不等式：x＋|2x－1|＜3.【答案】{x|－2＜x＜}【解析】原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．16.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.【答案】2【解析】由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.17.已知不等式|x＋2|＋|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【答案】D【解析】因为|x＋2|＋|x|的最小值为2，所以要使不等式的解集不是空集，则有a≥2.18.若存在实数使得成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为的点距离，就表示点到横坐标为1的点的距离，∵，∴要使得不等式成立，只要最小值就可以了，即，∴．故实数的取值范围是，故答案为：．【考点】绝对值不等式的解法．19.不等式的解集是．【答案】【解析】含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号，然后解决问题，本题也可不分类讨论，首先不等式变形为，它等价于，这是二次不等式，解得，还要注意题目要求写成集合形式．【考点】解不等式．20.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是。
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绝对值不等式与柯西不等式一、基础训练1【题文】设，且，则的最小值为______. 【答案】试题分析：由柯西不等式得：，所以，得，所以，故答案为.考点：柯西不等式.2【题文】，若，则的取值范围为__________.【答案】【解析】试题分析：因为，当且仅当取等号，所以，又，所以，因此的取值范围为.考点：含绝对值不等式的性质3【题文】(1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.考点：含绝对值不等式性质4【题文】不等式的解集为 .【答案】.试题分析：令，则，（1）当时，由得，解得，此时有；（2）当时，，此时不等式无解；（3）当时，由得，解得，此时有；综上所述，不等式的解集为.【考点定位】本题考查含绝对值不等式的求解，属于中等题.5【题文】（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将已知定义在R上的函数的最小值为.（I）求的值；（II）若为正实数，且，求证：.【答案】（I）;（II）参考解析【解析】试题分析：（I）已知定义在R上的函数的最小值,由绝对值的性质可得函数的最小值.即可得到结论.（II）由（I）可得,再根据柯西不等式即可得到结论.试题解析：（I）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.（II）由（I）知,又因为是正数,所以,即. 考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.6【题文】设函数，，记的解集为M，的解集为N.（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）不等式变形为，然后分类讨论去绝对号解不等式得不等式解集；（2）解不等式，得．故．当时，，此时．代入中为二次函数，求其最大值即可．（1）当时，由得．故；当时，由得，故．所以的解集为．（2）由得．，故．当时，，故．考点：1、绝对值不等式解法；2、二次函数最值．7【题文】若函数的最小值3，则实数的值为（）A．5或8 B．或5 C．或D．或【答案】D【解析】试题分析：由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.考点：1.绝对值函数的最值；2.分类讨论思想应用.【题文】设函数（1）证明：；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由绝对值三角不等式得，由结合基本不等式得，故；（2）由，得关于的不等式，去绝对号解不等式即可．（1）由，有，所以．（2）．当时，，由得．当时，，由得．综上，的取值范围是．考点：1、绝对值三角不等式；2、基本不等式；3、绝对值不等式解法．8【题文】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】试题分析：令，其图象如下所示（图中的实线部分）由图可知：由题意得：，解这得:所以答案应填：考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想.9【题文】设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.10题号：2162181，题型：填空题，难度：一般标题/来源：2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷带解析），日期：2014/6/20 【题文】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即……①因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，取最大值时，或，当时，，当时，，综上可知当时，法二：柯西不等式：由可得：，当且仅当时取等号，即时，取等号，这时或当时，，当时，，综上可知当时，考点：柯西不等式.11【题文】已知，则满足且的概率为 .【答案】【解析】试题分析：因为满足且的平面区域是一个矩形，面积为，而圆的半径为2，面积为，根据古典概型公式得所求的概率为.考点：古典概型,简单的线性规划，圆的面积公式.12【题文】设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是，此时a+b+c= .【答案】【解析】试题分析：由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以的最大值是，此时.考点：柯西不等式.13【题文】若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是。
【答案】【解析】试题分析：解：不等式至少有一个正解等价于不等式在内有解，令，当时，在同一坐标系中画出函数和的图象如图一所示，由题意知即当时，在同一坐标系中画出函数和的图象如图二所示，由题意知方程组有两组不同的解，消去得，由得：，即综上：，所以答案应填考点：1、含绝对值的不等式；2、等价转化与数形结合的思想.14【题文】不等式对任意实数恒成立，则正实数的取值范围 . 【答案】【解析】试题分析：因为不等式对任意实数恒成立，所以，利用绝对值的几何意义可知（当且仅当时等号成立），，从中求解得到或，而，所以.考点：1.恒成立问题；2.绝对值的三角不等式；3.二次不等式.15【题文】已知函数．（1）解不等式；（2）若不等式 , 都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）-1<m<2.【解析】试题分析：（1）利用分类讨论将原不等式中的绝对值号去掉，可得原不等式等价于或或最后将解得的三个不等式的解集求并集即可；（2），都成立可知需满足，求得f(x)的最小值后，解关于m的一元二次不等式即可.（1）原不等式等价于或或得或或，因此不等式的解集为 6分；（2）12分.考点：1、解绝对值不等式；2、恒成立问题的处理方法.16【题文】若对于任意实数x不等式恒成立，则实数的取值范围是：；【答案】【解析】试题分析：∵对于任意实数x不等式恒成立，∴对于任意实数x恒成立，∴或对于任意实数x恒成立，∴或，∴.考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题.17【题文】已知.(1)求不等式的解集A;(2)若不等式对任何恒成立,求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)把不等式转化为即可. (2) 恒成立转化为,即.(1)∴(2)恒成立对恒成立.∴取值范围是考点：绝对值不等式的解法；简单的不等式恒成立的问题.18【题文】已知，且．（1）试利用基本不等式求的最小值；（2）若实数满足，求证：．【答案】（1）3（2）参考解析【解析】试题分析：（1）由已知，且．即m可化为.由柯西不等式可得结论.（2）由（1）可得.再由柯西不等式即可得结论.（1）由三个数的均值不等式得：（当且仅当即时取“=”号），故有． 4分（2），由柯西不等式得：（当且仅当即时取“=”号）整理得：，即． 7分考点：1.柯西不等式.2.绝对值不等式.17【题文】若关于的方程有四个不同的实数解,则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】【解析】试题分析：要求,方程化为,显然满足上述方程，是方程的一个根若则方程两边同除以有若则方程变为,即若则方程变为即若，(1)(2)均无解。
显然不是(1)(2)的解若方程有四个不同的实数根，之前已得到是原方程的根，则要求方程(1)(2)有3个根对(1)若判别式,则．对(2)若判别式,解得,前已分析若，则(1)有两个不相等实根，两根之积为，两根之和为,说明两根均为负值，但(1)方程前提条件是，因此时方程(1)在前提下无解，原方程不可能有4个不同的实数根。
若，（1）方程无根，原方程不可能有4个不同的实数根。
若，（2）方程无根，原方程不可能有4个不同的实数根。
若，方程(1)有两个不相等实根，两根之积为，两根之和为，说明有一个正根一个负根，在前提下，只有一个正根，则要求(2)有两个不相等的负根。
则．要求．对于(2)此时判别式，两根之和为, 两根之积，说明(2)有两个不相等的负根，之前要求，对(2)，若，则，显然不是方程的根。
综上所述，要求．考点：含绝对值,未知字母方程的分类讨论．18【题文】已知a，b R，2a2-b2=1，则|2a-b|的最小值为 .【答案】1【解析】试题分析：：,根据基本不等式：,,.考点：基本不等式19【题文】设不等式的解集为M，.（1）证明：；（2）比较与的大小，并说明理由.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）|1－4ab|＞2|a－b|.试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用零点分段法将化为分段函数，解不等式求出M，再利用绝对值的运算性质化简得，由于，代入得；第二问，利用第一问的结论，作差比较大小，由于和均为正数，所以都平方，作差比较大小.（1）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0解得，则． 3分所以． 6分（2）由（1）得，．因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|． 10分考点：绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小.20【题文】已知函数（1）当a=1时，解不等式（2）若存在成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）当时，原不等式等价于，可采用零点分段法解不等式，即分成,,三种情况去绝对值，分别解不等式，最后求并集；属于基（2）,分和两种情况去绝对值，得到分段函数，得到函数的最小值为,若存在成立,只需的最小值小于6，得到的取值范围，此问属于比较简单的恒成立问题.（1）当时，不等式可化为，当时，不等式即当时，不等式即所以，当时，不等式即，综上所述不等式的解集为 5分（2）令所以函数最小值为，根据题意可得，即，所以的取值范围为. 10分考点：1.解不等式；2.恒成立问题.21【题文】不等式的解集为 .【答案】.【解析】试题分析：解不等式，得，解得，故不等式的解集为.考点：绝对值不等式的求解22【题文】不等式有实数解的充要条件是_____.【答案】．【解析】试题分析：记，则不等式有实数解等价于，因为，故考点：绝对值三角不等式.22【题文】设变量满足，则的最大值和最小值分别为（）A．1，-1 B．2，-2 C．1，-2 D．2，-1【答案】B【解析】试题分析：由约束条件，作出可行域如图，设，则，平移直线，当经过点时，取得最大值，当经过点时，取得最小值，故选．考点：线性规划.23【题文】已知实数满足，证明：．【答案】见解析【解析】试题分析：有已知条件，可得，，然后得到，展开进行整理即可。