一些常用函数的曲线图及应用简说
matlabplot函数详解
matlabplot函数详解plot函数是MATLAB中最重要和最常用的绘图函数之一、它可以绘制多种类型的图形，如折线图、散点图、柱状图等。
在本文中，我们将详细介绍plot函数的用法和参数，以及一些实例演示。
plot函数的一般用法为：plot(x, y, LineSpec)，其中x和y分别是要绘制的数据点的横坐标和纵坐标，LineSpec是一个可选参数，用于指定线条的样式和颜色。
1.绘制简单的折线图首先，我们来绘制一个简单的折线图，假设我们有一个数据集x和一个对应的函数y = sin(x)。
我们可以使用以下代码绘制这个折线图：x = linspace(0, 2*pi, 100); % 生成0到2π之间的100个等间距点y = sin(x); % 计算对应的sin值plot(x, y) % 绘制折线图运行以上代码，我们就能得到一个以x为横轴，以y为纵轴的折线图。
2.指定线条样式和颜色我们可以使用LineSpec参数来指定线条的样式和颜色。
LineSpec是一个由3个部分组成的字符串，分别表示线条类型、标记类型和颜色。
例如，我们可以使用红色实线和圆形标记来绘制折线图，代码如下所示：plot(x, y, 'r-o')其中，'r'表示红色，'-'表示实线，'o'表示圆形标记。
运行以上代码，我们可以得到红色实线和圆形标记的折线图。
3.绘制多条曲线plot函数可以同时绘制多条曲线。
我们只需要将不同的数据点传递给x和y，然后用逗号分隔开即可。
例如，我们可以绘制一个由两条正弦曲线构成的图形，代码如下所示：y1 = sin(x);y2 = sin(2*x);plot(x, y1, x, y2)运行以上代码，我们将得到两条正弦曲线组成的图形。
title('折线图示例')xlabel('x')ylabel('y')5.修改坐标轴范围有时候，我们希望修改坐标轴的范围，以更好地展示数据。
11三次函数的性质及其简单应用
所以 1 2 c 3c 或 1 2 c 3c 解之得 0 c 7 4 3或c 7 4 3 7 4 3 ） 故所求c的范围是（0， （ 7 4 3， ）
例5 设
a为实数，函数 f ( ) 的极值； 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x)与 x 轴仅有一个交点 （2）当 2 解：(1) f ( x ) 3 x 2 x 1 1 5 f ( x ) f ( ) a ， 极小值是 f (1) a 1 ∴ 的极大值是 3 27 (2)函数
南京一中
孔凡海
由二次函数类比三次函数的图象和性质
二次函数
y ax2 bx c
三次函数
y ax3 bx2 cx d
图象特征 单调性 对称性
a 0 开口向上 a 0 开口向下
单调区间2个 对称轴 x
b 2a
a 0 朝向右上 a 0 朝向右下
单调区间1个或3个
所以
y ax3 bx2 cx d (a ≠0)，函数的对称中心是（
b b ，f ( ) ）。 3a 3a
3 2 f ( x ) ax bx cx d (a ≠0是中心对 ) 性质3：函数 b b ， f ( ) ）。 称图形，其对称中心是（ 3a 3a
尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数 的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线 方程等性质的研究，这也有助于提高知识的系统 性以及对三次函数的理解水平，拓宽解题思路。
解：（I）(b 1) 4c 3 2 2 （II）因为 F ( x) f ( x) g( x) x 2bx (b c) x bc ，2 3 x 4bx b 2 c 0 所以F（x）的导方程为：
常用函数公式及函数汇总
常用函数公式及函数汇总函数是数学中的重要概念，在数学的各个分支中都有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的函数及其公式，供参考。
1. 线性函数：线性函数是一种简单而常用的函数形式，表示为f(x) = ax + b。
其中，a和b是常数，称为线性函数的斜率和截距。
2. 平方函数：平方函数是一种次数为2的多项式函数，表示为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c是常数，a不等于0。
3.开方函数：开方函数是指返回其平方等于输入值的数的函数。
例如，开方函数的一种形式是平方根函数f(x)=√x。
5. 对数函数：对数函数是指返回以一些指定的底数为底，得到输入值的幂的函数。
常见的对数函数有自然对数函数f(x) = ln(x)和常用对数函数f(x) = log(x)。
6. 三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，常见的三角函数有正弦函数f(x) = sin(x)、余弦函数f(x) = cos(x)和正切函数f(x) = tan(x)等。
7. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，用来解决三角函数的反问题。
常见的反三角函数有反正弦函数f(x) = arcsin(x)、反余弦函数f(x) = arccos(x)和反正切函数f(x) = arctan(x)等。
8.绝对值函数：绝对值函数表示为f(x)=，x，它的值恒为输入值的非负数。
9.取整函数：取整函数是指返回最接近输入值的整数，常见的取整函数有向上取整函数f(x)=⌈x⌉和向下取整函数f(x)=⌊x⌋等。
10.最大函数和最小函数：最大函数返回给定多个输入值中的最大值，最小函数返回给定多个输入值中的最小值。
11.断尾函数：断尾函数指的是将输入值的小数部分舍弃，保留整数部分的函数，常用的断尾函数有向上断尾函数f(x)=⌈x⌉和向下断尾函数f(x)=⌊x⌋。
12. 双曲函数：双曲函数是与三角函数相似的函数，但它们以指数为基，而不是以圆形为基。
常见的双曲函数有双曲正弦函数f(x) =sinh(x)、双曲余弦函数f(x) = cosh(x)和双曲正切函数f(x) = tanh(x)等。
各种窗函数_时域_频率曲线__概述说明以及解释
各种窗函数时域频率曲线概述说明以及解释1. 引言1.1 概述这篇长文旨在介绍和解释各种窗函数及其时域频率曲线。
窗函数在信号处理和频谱分析中被广泛应用，用于调整信号的频谱特性。
了解窗函数的定义、作用以及其选择准则对于正确应用窗函数起着关键作用。
1.2 文章结构本文将按照以下几个部分展开讨论：引言、各种窗函数、时域频率曲线概述、各种窗函数的时域表达式及频率响应解释以及特殊情况下窗函数的优化与改进方法。
1.3 目的本文的目标是提供读者对各种窗函数及其时域频率曲线有一个全面和清晰的理解。
通过详细介绍不同类型的窗函数，并解释它们在时域和频率上的表达形式和响应特性，读者可以更好地理解并选择适当的窗函数来处理不同类型的信号，并了解如何分析时域频率曲线。
此外，我们还将探讨一些优化和改进方法，以帮助读者在特殊情况下更好地使用窗函数。
该部分提供了文章引言部分（Introduction）的概述、结构和目的。
2. 各种窗函数2.1 窗函数的定义和作用：窗函数是一种数学函数，通常在信号处理中使用。
它们被用来将一个无限长的信号截断为有限长度，并且减小由此引起的频谱泄漏。
窗函数主要应用于频谱分析、滤波器设计、图像处理等领域。
窗函数的作用是在时域上对信号进行加权，在频域上对信号进行频率选择。
当我们处理周期性信号或者非周期但局部平稳的信号时，经常需要采用窗函数来分析信号的频谱。
2.2 常见窗函数介绍：2.2.1 矩形窗函数（Rectangular Window）：矩形窗函数是最简单的窗函数，其在选取样本之外的区域值为0，而在选取样本内的区域值为1。
其时域表达式为x(n) = 1，频率响应为方形脉冲。
2.2.2 海明窗函数（Hamming Window）：海明窗函数是一种平滑且连续可导的窗函数，其在选取样本内外都有非零值。
它具有较好的副瓣抑制能力和宽主瓣特性，在实际应用中十分常见。
其时域表达式为x(n) = 0.54 - 0.46 * cos(2πn/(N-1))，频率响应为类似于钟状的形态。
常用函数公式及函数汇总
常用函数公式及函数汇总在数学和统计学中，常用函数公式是非常重要的工具，可以用来求解各种问题。
下面是一些常见的函数及其公式的汇总。
1.线性函数：线性函数是最简单的函数之一，其函数公式为：y = ax + b，其中a和b是常量。
线性函数的图像是一条直线。
2.幂函数：幂函数是通过变量的幂指数来定义的函数。
常见的幂函数有：y=x^n，其中n是常量。
通过改变幂指数n，可以得到不同的幂函数。
3.指数函数：指数函数是以常量为底数的函数，其函数公式为：y=a^x，其中a是常量。
指数函数的图像是一个逐渐上升或下降的曲线。
4.对数函数：对数函数是指以常量为底数的对数的函数形式，其函数公式为：y = log_a(x)，其中a是常量。
对数函数的反函数是指数函数。
5.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
常见的三角函数公式包括：y = sin(x)，y = cos(x)，y = tan(x)等。
6.反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数。
常见的反三角函数包括：y = arcsin(x)，y = arccos(x)，y = arctan(x)等。
7.指数对数函数：指数对数函数是指指数函数和对数函数的组合。
常见的指数对数函数包括：y = e^x，y = ln(x)等。
8.双曲函数：双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
常见的双曲函数公式包括：y = sinh(x)，y = cosh(x)，y = tanh(x)等。
9.上下取整函数：上取整函数是指取不小于给定实数的最小整数。
下取整函数是指取不大于给定实数的最大整数。
常见的上下取整函数符号分别为：⌈x⌉和⌊x⌋。
10.组合函数：组合函数是指两个或多个函数的组合。
常见的组合函数公式包括：y=f(g(x))，其中f和g是两个函数。
11.超越函数：超越函数是指不能通过有限次代数运算得到的函数。
常见的超越函数有：指数函数、对数函数、三角函数等。
12.变换函数：变换函数是指通过特定的变换关系得到的新函数。
高考数学一轮总复习第4章三角函数第4节函数y=Asinωx+φ的图象及简单应用教师用书
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及简单应用考试要求：1．结合具体实例，了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义．2．能借助图象理解参数A ，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．一、教材概念·结论·性质重现1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ≥0)振幅周期频率相位初相A T ＝f ＝＝ωx ＋ φ φ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：ωx ＋φ0π2πxy ＝A sin(ωx＋φ)0A 0－A 01．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径：由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( × )(2)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．( × )(3)若函数y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．( √ )(4)函数y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为．( √ ) 2．(2021·常州一模)已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin的图象，只需( )A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度C．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的D．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍B 解析：将f(x)＝2sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为f(x)＝2sin 2x；再将函数f(x)＝2sin 2x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝2sin．3．函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数的单调递减区间是( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)B 解析：由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为(k∈Z)．4．(2021·东城区一模)已知函数f(x)＝A sin(2x＋φ)，其中x和f(x)部分对应值如表所示：x－0f(x)－2－2－222那么A＝________．4 解析：由题意得f(0)＝A sin φ＝－2，f＝－A cos φ＝－2，所以A2(sin2φ＋cos2φ)＝16，因为A＞0，所以A＝4．5．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ ．3 解析：观察函数图象可得周期T＝，故T＝＝，所以ω＝3．考点1 由图象确定y＝A sin ωx＋φ 的解析式——基础性1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则此函数的解析式可以是( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sinC 解析：由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象知，T＝2×＝π，ω＝＝2，由五点法画图知，是函数图象的第三个关键点，即2×＋φ＝π，解得φ＝，所以此函数的解析式是y＝sin．2．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ＝( )A． B．－C． D．－D 解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，结合图象，－＝×，所以ω＝2．结合五点法作图可得，2×＋φ＝，所以φ＝－．3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．－ 解析：由题意可得T＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，所以φ＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1可得φ＝－，据此有f(x)＝2cos，f ＝2cos＝2cos＝－．4．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数T＝A sin(ωt＋φ)＋b，则这段曲线对应的函数解析式为____________．y＝10sin＋20，x∈[6,14] 解析：从题图中可以看出，6～14时是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20．又×＝14－6，所以ω＝．又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．1．由图象求解析式问题，求①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z．考点2 函数y＝A sin ωx＋φ 的图象变换——综合性(1)(2021 ·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )A．sin B．sinC．sin D．sinB 解析：由已知的函数y＝sin逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin．(2)(2021·山西二模)将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度得到y ＝cos 2x的图象，则φ的值可能为( )A． B．C． D．A 解析：将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos＝cos＝cos．若要得到y＝cos 2x的图象，则－2φ－＝2kπ，即φ＝－kπ－，k∈Z．因为φ＞0，所以当k＝－1时，φ＝．本例(1)若改为：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝________．sin 解析：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin＝sin．1．由函数y移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要特别注意这两种情况下平移的单位长度．2．当变换前后解析式三角函数名称不同时，要注意利用诱导公式转化．1．(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C上所有点的( )A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D 解析：函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C 上所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，即可．2．已知函数f(x)＝cos是偶函数，要得到函数g(x)＝sin 2x的图象，只需将函数f(x)的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度C 解析：因为函数f(x)＝cos是偶函数，所以φ－＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝cos 2x，要得到函数g(x)＝sin 2x＝cos的图象，只需将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．考点3 三角函数模型及其应用——应用性(2021·上海模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为( )A．5米B．(4＋)米C．(4＋)米D．(4＋)米D 解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴正方向，以竖直方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一圈．设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)．又T＝12，所以θ＝t，所以f(t)＝3－2cos t，t≥0；风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，θ＝6π＋，P(，1)，所以点P的高度为3－2×＝4(米)．因为A(0，－3)，所以AP＝＝，所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋)米．三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数模型，再利用三角函数的有关知1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M 从点P0处开始运动，OP0与水平面所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是( )A．H＝4sin＋2B．H＝4sin＋2C．H＝4sin＋2D．H＝4sin＋2A 解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t(s) 内转过的角度为t＝t，所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t－，则点M的纵坐标为4sin，所以点M距水面的高度H(m)表示为时间 t(s) 的函数是H＝4sin＋2．2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．6 000 解析：作出函数简图如图：三角函数模型为y＝A sin(ωx＋φ)＋B，由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝．将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，所以φ＝0，故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．所以f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性(1)(多选题)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)，则下列结论正确的是( )A．函数g(x)的图象关于直线x＝对称B．函数g(x)的图象关于点对称C．函数g(x)在上单调递减D．函数g(x)在[0,2π]上恰有4个极值点AD 解析：函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)＝2sin的图象，对于A：当x＝时，g＝2，故A正确．对于B：当x＝时，g＝2sin＝，故B错误．对于C：当x∈时，2x－∈，故函数在该区间上单调递增，故C错误．对于D：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝0,1,2,3时，x＝，，，，正好有4个极值点，故D正确．(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )A． B．(－2,2)C．(－2，－) D．(－2，－1)D 解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈．设2x＋＝t，则t∈，题目条件可转化为＝sin t，t∈，有两个不同的实数根．所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的范围为，故m的取值范围是(－2，－1)．已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________．1≤m＜2 解析：2sin2x－sin 2x＋m－1＝－cos 2x－sin 2x＋m＝－2sin＋m．因为x∈，所以2x＋∈．要使方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则2x＋∈且2x ＋≠，此时2sin∈[1,2)，所以1≤m＜2．1．研究y＝1．(2021·运城模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )A．f(x)＝2sinB．若把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到的函数在[－π，π]上是增函数C．若把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数是奇函数D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称B 解析：由图象可得T＝－2π＝，所以T＝6π，所以ω＝＝．因为f(2π)＝2，所以f(2π)＝2sin＝2，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|＜π，所以φ＝－．所以f(x)＝2sin，故A正确．把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为y＝2sin．因为x∈[－π，π]，所以－≤x－≤，所以y＝2sin在[－π，π]上不单调递增，故B错误．把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数为y＝2sin＝2sin x，是奇函数，故C正确．f(－4π)＝2sin＝2，是最值，故x＝－4π是f(x)的对称轴，故D正确．2．若将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．2 B．C．1 D．A 解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到的y＝2sin的图象关于y轴对称，所以φ＝，函数f(x)＝2sin．因为x∈，所以2x＋∈，则当2x＋＝时，函数f(x)在上的最大值为2．将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．[四字程序]思路参考：构造正弦型函数的解析式．B 解析：y ＝cos x ＋sin x ＝2sin ，函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度，得y ＝2sin 的图象．由x ＋m ＋＝k π＋(k ∈Z )，得函数y ＝2sin 的图象的对称轴为x ＝－m ＋k π(k ∈Z )．因为所得的图象关于y 轴对称，所以－m ＋k π＝0(k ∈Z )，即m ＝k π＋(k ∈Z )，则m 的最小值为．思路参考：构造余弦型函数的解析式．B 解析：函数y ＝cos x ＋sin x ＝2cos 的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到y ＝2cos 的图象．因为此函数图象关于y 轴对称，所以y ＝2cos 为偶函数，易知m 的最小值为．思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．B 解析：由解法1，得y ＝2sin ．因为所得的图象关于y 轴对称，可得当x ＝0时，y ＝±2，进而sin ＝±1，易知m 的最小值为．思路参考：利用函数图象．B 解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝－．由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为．1．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．2．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．0 B．C． D．1D 解析：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图象．根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ．因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin．在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值为1．。
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 知识点与题型归纳
●高考明方向1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．★备考知考情1.三角函数的图象画法、图象变换、由图象求解析式以及利用三角函数解决实际问题是高考考查的热点．2.常和三角恒等变换相结合出现在解答题中，同时还考查数形结合思想的理解和应用．3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P59知识点二、例题分析：（一）“五点法”作图例1．（1）《名师一号》P60 高频考点例1（2）12已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X .注意:【规律方法】(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出3一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象．变式：用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间[0,]π上的图象注意:关注区间端点，须在表格中列出、在图像中标示例1．（2）《名师一号》P59 对点自测1函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是图中的()ABC D4解析 当x ＝0时，y ＝－32，可排除B 、D. 当x ＝π6时，y ＝0，可排除C.注意: 知式选图的策略关注：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、 极值点、特殊点、特征直线等（二）三角函数的图象变换 例1．《名师一号》P60 高频考点 例1（3）已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(3)说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：方法1：先平移后伸缩把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，5即可得到y ＝2sin ⎝2x ＋3的图象． 方法2：先伸缩后平移将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．【规律方法】(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω来确定平移单位．注意：《名师一号》P60 问题探究 问题1在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位长度个数为什么不一样？可以看出，前者平移|φ|个单位长度，后者平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．6变式：y ＝2sin ⎝ ⎭2x ＋3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．★注意： 图像变换（1）关注哪个函数是初始函数!（2）图象变换只能在同名函数之间进行！ （利用诱导公式进行正、余互化） （3）注意 先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量的差别《计时双基练》P249 第7题注意:逆向还原练习1：8月月考第6题为了得到函数2sin(2)6yx π=-的图像，可以将2sin(2)6y x π=+的图像（ ）．A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 sin sin()y x y x ωϕ=→=+7C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移3π个单位变式：为了得到函数2sin(2)6y x π=-的图像，可以将2(2cos )6π=+y x 的图像向 平移 个单位答案：右；练习2：函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后 与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-xC ．()f x =)62cos(π+x D ．()f x =)32cos(π+x答案：B【解析】逆推法，将sin 2y x =的图象向左平移6π个单位 即得()y f x =的图象，56π即()sin2()sin(2)cos[(2)]6323cos(2)cos(2)66ππππππ=+=+=-+=-+=-f x x x xx x（三）据函数sin()=++y A x bωϕ的图象求解析式例1．（1）《名师一号》P59 对点自测 3已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝__________；φ＝__________.解析由题意设函数周期为T，则T4＝23π－π3＝π3，故T＝43π.∴ω＝2πT＝32.例1．（2）（补充）如图所示某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b.(1)这一天的最大用电量为______，最小用电量为______；(2)这段曲线的函数解析式为________．89解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，从8～14时的图象是 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40，∵12·2πω＝14－8，∴ω＝π6， ∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40 (x ∈[8,14])．答案：(1)50万度 30万度(2)y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40 (8≤x ≤14)注意：《名师一号》P60 问题探究 问题2确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的 步骤是什么？(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT . (3)求φ，常用方法有：10①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰”点)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π. ★特别注意：①第一、五个点的横坐标与第三个点的横坐标的区别 ②求得的ϕ有无数个，结合题目条件取其中一个即可（四）三角函数图象与性质的综合 例1．《名师一号》P60 高频考点 例2(2014·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．11解：(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0.所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π612＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.《计时双基练》P247 第5题例2．《名师一号》P61 特色专题 典例 (2014·山东卷)已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．【规范解答】(1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.13 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，----关于m 、n 的方程组即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)． 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0.即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z.14所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.【名师点评】 在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m ，n 的方程组，利用此方程组即得m ，n 的值．在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数φ的g (x )的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g (x )确定的解析式，从而求出单调区间．（五）三角函数模型的应用例1．《名师一号》P61高频考点 例3如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3(A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 DE. (1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．15解：(1)由条件，得A ＝2，T 4＝3.∵T ＝2πω，∴ω＝π6. ∴曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3.当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，即∠DOE ＝π4. (2)由(1)可知OD ＝ 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在圆弧DE ︵上，故OP ＝ 6.“矩形草坪”的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin 2θ)＝6⎝⎛⎭⎫12sin2θ＋12cos2θ－12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－3. ∵0<θ≤π4，∴当2θ＋π4＝π2， 即θ＝π8时，S 取得最大值．【规律方法】 本题属三角函数模型的应用，通常解决方法是转化为y ＝sin x ，y ＝cos x 等基本初等函数，可以解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法．课后作业一、计时双基练P249 基础1-9；课本P60变式思考1二、计时双基练P249基础10、11；培优1-4课本P60变式思考2、3; P62对应训练预习第六节16。
第4讲 三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用
第20讲 三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用知识梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要把ωx ＋φ看成一个整体，要找五个特征点，如表格所示.x ____ ____ ____ ____ ____ ωx ＋φ 0π2π3π22πy ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 02．图象变换(1)y ＝sin x ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变 y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin x ――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． 例 已知2()3sin cos sin f x x x x =-，把()f x 的图象向右平移12π个单位，再向上平移2个单位，得到()y g x =的图象，若对任意实数x ，都有()()g x g x αα-=+成立， 则()()44g g ππα++= _____________3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中各个量的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表： 简谐振动振幅周期 频率 相位 初相 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)____________________4．三角函数模型的简单应用对具有周期变化规律的实际问题用三角函数模型进行表示，根据三角函数的图象和性质得到实际问题的结论．■ 链接教材1．[教材改编] 把函数y ＝sin x 的图像上每个点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．[教材改编] 将某函数的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝sin(x ＋π4)的图像，则原函数的解析式是________．3．[教材改编] 已知简谐运动y ＝2sin(π3x ＋φ)|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．■ 易错问题4．正弦型函数的最小正周期若函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，则ω＝________． 5．自变量的系数为负值的函数单调性函数y ＝sin(π4－2x )的单调递增区间是________．6．函数图像变换的先后次序 把y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数____________的图像；把y ＝sin x 的图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π4个单位长度，得到函数____________的图像． ■ 通性通法图3-19-17．由图像求函数解析式已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图3-19-1所示，则函数的解析式是________________________________________________________________________．8．利用换元法研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质函数f (x )＝sin(4x ＋π4)的对称轴方程为________．► 探究点一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及变换例1 (1)使用五点法作出函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤－2π3，10π3内的图像，并说明如何由函数y ＝sin x 的图像经过变换得到函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图像．(2)[2017·郑州二模] 将函数f (x )＝cos x －3sin x (x ∈R )的图像向左平移a (a >0)个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则a 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 (3)将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，得到函数x x f y cos )(⋅=的图象，则)(x f 的表达式可以是( )A ．x x f sin 2)(-=B ．x x f sin 2)(=C ．x x f 2sin 22)(=D ．)2cos 2(sin 22)(x x x f += (4)[2015·湖南卷] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6变式题 (1)使用五点法作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4在区间[－1，7]内的图像，并说明由y ＝sin x 的图像得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4的图像的变换过程．(2)[2017·太原模拟] 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为________．(3)设函数f (x )＝2＋2 6sin x cos x －2 2sin 2x (x ∈R )，对f (x )的图象作如下变换：先将f (x )的图象向右平移π12个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝________．(4)函数)cos 3(sin sin 21)(x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的解析式是( ) A ．)22sin(2)(π-=x x g B ．x x g 2cos 2)(= C ．)322cos(2)(π+=x x g D ．)2sin(2)(π+=x x g► 探究点二 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式的求法 例2 (1)[2017·哈尔滨模拟] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω>0，0＜φ＜π)的图象的两个相邻零点为⎝⎛⎭⎫－π6，0和⎝⎛⎭⎫π2，0，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为______________________．(2)函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．)48sin(4π-π-=x y B ．)48sin(4π-π=x y C ．)48sin(4π+π=x y D ．)48sin(4π+π-=x y(3)[2017·宜昌高三质检] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的部分图象如图3－19－1所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(2，A )，点R 的坐标为(2，0)．若∠PRQ ＝2π3，则y ＝f (x )的最大值及φ的值分别是( )A ．23，π6 B.3，π3 C.3，π6 D ．23，π3图3－19－1 题4图 (4)已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图，则20161()6n n f π==∑___ (5)已知点3,,,,,444M A N A P A πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是函数 ()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ 的图象上相邻的三个最值点，MNP ∆是正三角形，且x π=-是函数()f x 的一个零点，若函数()f x 的导函数为()'f x ，则函数()()()23'h x f x f x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是( )A ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．3,22ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦ C.3,32ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．3,32ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦6π 512π1-1变式题 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图3-19-2所示，则此函数的解析式为( )图3-19-2 图3-19-3A ．y ＝3sin(π4x ＋π4)B ．y ＝3sin(π4x ＋3π4)C ．y ＝3sin(π2x ＋π4)D ．y ＝3sin(π2x ＋3π4)(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图3-19-3所示，为了得到g (x )＝3sin 2x 的图像，只需将f (x )的图像( )A ．向左平移2π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移2π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度题3图 题4图(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2的图像如图3所示，则f (x )的表达式是f (x )＝( )A.52sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B.52sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 C.32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 D.32sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋1 (4)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________．(5)已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象( )A ．向右平移11π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移11π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度(6)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.34(7)如图，函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中2||,0,0πϕω≤>>A ）与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足)2,2(),0,1(-M P 为线段QR 的中点，则=A ()题7图 题6图A. 32B.337 C.338D. 34► 探究点三 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质应用例3 (1)函数)0,2)(2sin()(>≤+=A x A x f πφφ部分图象如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则( ) A ．)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数 B ．)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 C ．)(x f 在)65,3(ππ上是减函数 D ．)(x f 在)65,3(ππ上是增函数 (2)已知函数2()cos ()1f x A x ωϕ=++（0A >，0ω>，02πϕ<<）的最大值为3，2ab xy O()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 (1)(2)(3)(2016)f f f f ++++…的值为( )A ．2468B ．3501C ．4032D ．5739(3)设函数()Asin(),f x x x R ωϕ=+∈(其中0,0A ω>>)在(,)62ππ上既无最大值，也无最小值，且()(0)()26f f f ππ-==，则下列结论成立的是( )A ．若12()()()f x f x f x ≤≤对x R ∀∈恒成立，则21min x x π-=；B ．)(x f y =的图象关于点2(,0)3π-中心对称； C ．函数()f x 的单增区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π. (4)已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为_______(5)已知函数x x x x y 22sin cos cos sin 32+-=的图象在],0[m 上恰有两个点的纵坐标为1，则实数m 的取值范围是 ．(6)(G196) 若函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值 是_________________．(7)(G198)若函数x x f ωtan )(=的图像在线段)100(0π≤≤=x y 上恰有10个对称中心，则正实数ω的取值范围是______________．(8)已知函数()()()πϕωϕω≤≤>+=0,0sin x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43πM 对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调函数，求ω和ϕ的值．(9)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )．设函数f (x )＝a·b＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.①求函数f (x )的最小正周期；②若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．变式题 (1)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f fππ<，则下列结论正确的是( )A ．11()112f π=-B ．7()()105f f ππ>C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的单调递增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈(2)函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中A 、C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为___________．(3)已知函数()2sin()1(0,||)f x x ωϕωϕπ=--><的一个零点是,3x π=直线6x π=-函数图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调增区间是( ) A. [3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ B. 5[3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ C. 2[2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ D. [2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ (4)已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=___________．(5)已知函数()()cos2sin R f x x a x a =+∈在()0n π，内恰有2017个零点，则正整数n 的值 为 ．(6)存在实数ϕ，使得圆面224x y +≤恰好覆盖函数sin()y x kπϕ=+图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是 ．(7)已知函数()x a x a x f cos 123sin 321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，将()x f 图像向右平移3π个单位 长度得到函数()x g 的图像，若对任意R x ∈，都有()⎪⎭⎫⎝⎛≤4πg x g 成立，则a 的值为 ．(8)(G198) 若函数24tan 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=πωx x f 的图像在线段)100(2π≤≤-=x y 上恰有10个对称中心，则正实数ω的取值范围是______________．(9)(G199) 若函数x y ωsin =在区间]2,0[上恰好出现100次最大值和99次最小值，求正数ω的取值范围．(10)已知函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6与函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像的对称轴相同，求实数a 的值．(11)设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (0<ω<1，a ∈R)，f (x )的图像向左平移π4个单位后得到函数g (x )，若g (x )的图像关于y 轴对称，解答以下问题：①求ω的值．②如果f (x )在区间⎣⎡⎦⎤34π，54π上的最小值为3，求a 的值．(12)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x . ①求函数f (x )的最小正周期及图像的对称轴方程；②设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域．(13)已知函数()4sin cos 2424f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3124x g x -=+，若()f x 与()g x 的图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则()1ni i i y x =-=∑ ．► 探究点四 三角函数模型的简单应用例4 湄洲湾港被誉为“世界不多，中国少有”的天然良港．港口各泊位每天的水深(水面与洋底的距离)f (x )(单位：m)与时间x (单位：h)的函数关系近似地满足f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋B (A ，B >0，0≤φ<2π)．在通常情况下，港口各泊位能正常进行额定吨位的货船的装卸货任务，而当货船的吨位超过泊位的额定吨位时，货船需在涨潮时驶入航道，靠近码头卸货，在落潮时返回海洋．该港口某五万吨级泊位接到一艘七万吨货船卸货的紧急任务，货船将于凌晨0点在该泊位开始卸货．已知该泊位当天水深的最小值为12 m ，水深的最大值为20 m ，并在凌晨3点达到最大水深．(1)求该泊位当天的水深f (x )的解析式．(2)已知该货船的吃水深度(船底与水面的距离)为12.5 m ，安全条例规定，当船底与洋底距离不足1.5 m 时，货船必须停止卸货，并将船驶向较深的水域．据测算，一个装卸小队可使货船吃水深度以每小时0.1 m 的速度减少．①如果只安排一个装卸小队进行卸货，那么该船在什么时间必须停止卸货，并将船驶向较深的水域(精确到小时)?②如果安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，问能否连续不间断地完成卸货任务？说明你的理由．变试题1．如图3－20－4，为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；图3－20－4(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？2．某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：t时03691215182124y米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝A sin ωx＋b的图像．(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；(2)一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5 m或5 m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?(3)[2017·广州模拟] 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.课时作业(二十A) 第20讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(时间：45分钟 分值：100分)1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )A ．－1B ．12C ．－12D ．12．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图K191所示，则ω＝( )图K191A ．5B ．4C ．3D ．2 3．[2017·青岛质检] 函数y ＝2sin 2x 的图像的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ．x ＝34π D ．x ＝π4．[2017·内蒙古通辽模拟] 将函数y ＝sin(x ＋π6) (x ∈R )图像上所有点的横坐标向左平行移动π6个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则得到的图像的解析式为( )A ．y ＝sin(2x ＋π3)B ．y ＝sin(x 2＋π3)C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x25．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________．6．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是________．7．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时取得极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值为( )A ．α＝π6，β＝－π12B ．α＝π6，β＝π12C ．α＝π3，β＝－π6D ．α＝π3，β＝π68．将函数y ＝f (x )sin x 的图像向右平移π4个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图像，则f (x )＝( )A ．2sin xB ．sin xC ．2cos xD ．cos x9．[2017·赣州四校联考] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋2π3)＋sin(ωx －2π3) (ω＞0)的最小正周期为π，则( )A ．f (x )在区间(0，π4)上单调递增B ．f (x )在区间(0，π4)上单调递减C ．f (x )在区间(0，π2)上单调递增D ．f (x )在区间(0，π2)上单调递减10．图K192是函数y ＝sin(ωx ＋φ)，0<φ<π2的图像的一部分，A ，B 分别是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )图K192 图K193A ．12πB ．19π2＋1C ．19π2－1D ．13π2－111．[2017·郑州二检] 已知直线x ＝5π12和点(π6，0)恰好是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像的相邻的对称轴和对称中心，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝2sin(2x －π6)B ．f (x )＝2sin(2x －π3)C ．f (x )＝2sin(4x ＋π3)D ．f (x )＝2sin(4x ＋π6)12．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图像如图K193所示，则φ＝________．13．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________(填序号)．①y ＝4sin4(x ＋π6)；②y ＝2sin(2x ＋π3)＋2；③y ＝2sin(4x ＋π3)＋2；④y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.14．(10分)[2017·温州二模] 如图K194所示，点P (0，A2)是函数y ＝A sin(2π3x ＋φ) (其中A >0，φ∈[0，π))的图像与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．图K19415．(13分)[2017·湛江二模] 设函数f (x )＝2sin(ωx －π4) (ω>0)，f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．16．(12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．课时作业(二十B) 第20讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(时间：45分钟 分值：100分)1．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π2．[2016·太原五中月考] 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)的部分图像如图K191所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，图K191则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k －1，6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4，6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1，3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4，3k －1](k ∈Z )3．要得到函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的图像，只需将函数y ＝2sin 2x 的图像( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度4．函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调递减区间是________．5．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝g (x )在区间[π3，2π3]上的最小值为________．6．一观览车的主架示意图如图K192所示，其中O 为巨轮的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12 min 转动一圈．若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t min ，该吊舱距离地面的高度为h (t )(单位：m)，则h (t )＝( )图K192A ．30sin(π12t －π2)＋30B ．30sin(π6t －π2)＋30C ．30sin(π6t －π2)＋32D ．30sin(π6t －π2)7．[2017·福州三中月考] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图像，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图像关于点(－π3，0)中心对称B ．图像关于直线x ＝－π6对称C ．在区间(－5π12，－π6)上单调递增D ．在区间(－π6，π3)上单调递减8．[2017·九江三模] 将函数y ＝sin(2x ＋π6)的图像向右平移m (m >0)个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图像，若函数y ＝f (x )在区间[－π6，π3]上单调递增，则m 的最小值为( )A.π3B.π4C.π6D.π129．[2017·泰安二模] 将函数f (x )＝sin x cos x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图像，则g (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π2，k π](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )D ．[k π＋π4，k π＋3π4](k ∈Z )10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K193所示，则得到y ＝f (x )的图像需将y ＝cos 2x 的图像( )图K193 图K194A ．向右平移π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度11．[2017·北京朝阳区二模] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K194所示，则φ＝________．12．[2017·大庆二模] 将函数y ＝14sin x ＋34cos x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是________．13．将函数f (x )＝2sin(ωx －π3)(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )在区间[0，π4]上为增函数，则ω的最大值为________．14．(10分)[2017·茂名二模] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π6)(A >0，ω>0)的部分图像如图K195所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α，β∈[－π2，0]，f (3α＋π)＝1013，f (3β＋5π2)＝65，求sin(α－β)的值．图K19515．(13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图像如图K196所示，P 是图像的最高点，Q 为图像与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移2个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，当x ∈(－1，2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．图K19616．(12分)如图K197所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形区域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要面向市政府大楼．设扇形的半径OM ＝R ，∠MOP ＝45°，OB 与OM 之间的夹角为θ.(1)将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数． (2)若R ＝45 m ，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01 m 2)．图K19717．若函数()sin()(0,0)22f x A x A ππωφωφ=+>>-<<，的部分图象如图所示，,B C分别是图象的最低点和最高点， 其中164||2+=πBC .(1)求函数)(x f 的解析式；(2)在锐角ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A 、、的对边，若3)(=A f ,2=a ,求ABC∆周长的取值范围．18．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中70,2312f f ππ⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列结论：①最小正周期为π；②()01f =；③函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数； ④12141113f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤()403f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 其中正确结论的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2yxCBA O3π-125π 第17题19．已知函数()()2.5cos f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，M ，N 两点之间的距离为13，且()30f =，若将函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后所得函数的图象关于坐标原点对称，则t 的最小值为（ ）A.7B.8C.9D.1020. 已知函数()sin()(0,(0,π))f x x ωϕωϕ=+>∈满足π5π()()066f f ==，给出以下四个结论:○1 3ω=； ○26k ω≠，k *∈N ； ○3 ϕ可能等于3π4； ○4符合条件的ω有无数个，且均为整数. 其中所有正确的结论序号是______.21．已知函数()2sin 2f x x =，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像. （Ⅰ）求函数()y g x =的解析式（Ⅱ）若对任何实数x ，不等式()2()mg x m g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围. （Ⅲ）若区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．22.若函数1)62sin(2)(-++=m x x f π)(R m ∈在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个零点21,x x )(21x x ≠，则m x x -+21的取值范围是（ ）.A )13,13(+-ππ .B )13,3[+ππ .C )132,132(+-ππ .D )132,32[+ππ第20讲 例题 4知识聚焦1．－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω3．A T ＝2πωf ＝1T ＝ω2π ωx ＋φ φ正本清源1．y ＝2sin x [解析] 根据函数图像变换法则可得．2．y ＝sin x ＋3π4 [解析] 将函数y ＝sin x ＋π4的图像向左平移π2个单位长度得到函数y＝sin x ＋π2＋π4，即y ＝sin x ＋3π4的图像．3.π6[解析] ∵函数图像经过点(0，1)，∴将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，∴sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.4．±2 [解析]2π|ω|＝π，解得ω＝±2. 5．k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z [解析] sin π4－2x ＝－sin2x －π4，由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，故所求的单调递增区间为k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .6．y ＝sin 12x ＋π4 y ＝sin 12x ＋π8 [解析] y ＝sin x →y ＝sin x ＋π4→y ＝sin 12x ＋π4；y ＝sin x →y ＝sin 12x →y ＝sin 12x ＋π4＝sin 12x ＋π8.7．f (x )＝2sin2x ＋π3 [解析] 易知A ＝2，2πω＝2×π3＋π6，∴ω＝2.又函数f (x )的图像过点π3，0，∴2×π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3.∵|φ|<π2，∴φ＝π3.故所求函数的解析式为f (x )＝2sin2x ＋π3.8．x ＝k π4＋π16，k ∈Z [解析] 令4x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π4＋π16，k ∈Z .例1 (1)略 (2) B 函数f (x )＝cos x －3sin x ＝2×12cos x －32sin x ＝2cos x ＋π3，将函数f (x )的图像向左平移a 个单位长度得到函数y ＝2cos x ＋a ＋π3的图像，又该图像关于原点对称，所以a ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得a ＝k π＋π6(k ∈Z )．又a >0，所以a min ＝π6.(3)A (4) D 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，0<φ<π2，所以当|x 1－x 2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，得φ＝π6.变试题 (1)略 (2)π4(3)2 2sin x (4)A例2 (1) y ＝2sin （32x ＋π4） (2)D (3)A (4) B 解析：()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．易得2ω=，由五点法作图可知262ππϕ⨯+=，得6πϕ=．即()s i n (2)6f x x π=+． 故()16f π=，21()62f π=，31()62f π=-，4()16f π=-，51()62f π=-，61()62f π=，201611111()336(11)062222n n f π==⨯+---+=∑(5)D 变试题 (1)A (2)B (3)C (4)3 (5)D (6)D (7)C例3 (1)B (2)C (3)B (4)9 解析：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减(5)⎪⎭⎫⎢⎣⎡67,2ππ (6)2197π (7) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,209 (8)解：()x f 是偶函数，∴y 轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷， ∴(),1sin ±==ϕx f 又πϕ≤≤0 ，∴2πϕ=．由()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,43πM 对称，∴,043=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，即043c o s 243s i n ==⎪⎭⎫⎝⎛+⋅ωπππω，又0>ω，∴,2,1,0,243=+=k k ππωπ．∴() ,2,1,0,1232=+=k k ω 当0=k 时，32=ω， ()x x x f 32cos 232sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是减函数；当1=k 时，2=ω，()x x x f 2cos 22sin =⎪⎭⎫⎝⎛+=π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是减函数； 当2≥k 时， 103ω≥，()x x x f ωπωcos 2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上不是单调函数． 综上所述，32=ω或2=ω，2πϕ=． (9)①ω＝56. 最小正周期是6π5 ②[－1－2，2－2]．变试题 (1)D(2)【解析】由f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)知|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝12·|AC |·|y B |＝π2，设A (x 0，0) ，则ωx 0＋φ＝π2，C ⎝⎛⎭⎫x 0＋πω，0， 设曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域的面积为S ，则S ＝|∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x |＝－∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x ＝－f (x )|x 0＋πωx 0＝f (x 0)－f ⎝⎛⎭⎫x 0＋πω ＝sin (ωx 0＋φ)－sin ⎝⎛⎭⎫ω⎝⎛⎭⎫x 0＋πω＋φ＝sin π2－sin 3π2＝2. 所以该点在△ABC 内的概率P ＝S△ABCS ＝π22＝π4. (3)B (4)1 (5)1345 (6)⎥⎦⎤ ⎝⎛3,23 (7)2 (8) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡4021,4019 (9) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡4399,4397ππ (10)a ＝－33. (11)①ω＝13. ②a ＝1＋32. (12)解：（Ⅰ） πϕπω=+⋅3①23127πϕπω=+⋅② 解得2=ω，3πϕ=. （Ⅱ）)32sin()(π+=x x f ，)32sin(2sin π++-=x x kx x x x x 2cos 232sin 213sin2cos 3cos2sin 2sin +-=++-=ππ)32sin(π--=x ，因为]2,12[ππ∈x 时，]32,6[32πππ-∈-x ，由方程恰有唯一实根，结合图象可知 2123≤<-k 或1-=k ． (13) 5例4 解：(1)因为泊位的最小水深为12 m ，最大水深为20 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝12，A ＋B ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4，B ＝16，所以f (x )＝4sin(πx6＋φ)＋16.又当x ＝3时，f (x )取到最大值20，所以f (3)＝4sin （π2＋φ)＋16＝20，又0≤φ<2π，所以φ＝0，f (x )＝4sin πx6＋16，x ∈[0，24]．(2)设货船的吃水深度以每小时a m 的速度下降， 令g (x )＝f (x )－(12.5－ax )－1.5，则g (x )＝4sin πx6＋ax ＋2.要使货船能在泊位正常卸货，只需g (x )≥0.①只安排一个装卸小队进行卸货时，a ＝0.1，g (x )＝4sin πx6＋0.1x ＋2.当x ∈(0，7]时，因为4sin πx 6≥4sin 7π6＝－2，所以g (x )≥－2＋0.1x ＋2>0. 又g (8)＝4sin8π6＋0.8＋2＝－2 3＋2.8<0， 所以该船必须在上午7点停止卸货，并将船驶向较深的水域． ②若安排三个装卸小队进行卸货，则能按要求完成卸货的任务． 此时a ＝0.3，g (x )＝4sin πx6＋0.3x ＋2.因为泊位的水深f (x )＝4sin πx6＋16在当天上午9：00时第一次达到水深的最小值，所以要使卸货任务能连续不间断地完成，只需当x ∈[0，9]时能正常卸货．当x ∈(0，7]时，因为4sin πx 6≥4sin 7π6＝－2，所以g (x )≥－2＋0.3x ＋2>0.当x ∈[7，9]时，因为4sin πx6≥－4，0.3x ＋2≥0.3×7＋2＝4.1，两式相加得g (x )≥0.1，所以当∈[7，9]时，g (x )>0成立．综上，对任意的x >0，g (x )>0恒成立，即安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，能按要求完成卸货任务． 变试题 1.解：(1)以圆心O 为原点，水平方向为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫4.8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1得π30t －π2＝π2，∴t ＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30 s.2．解：(1)由已知数据，易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10，所以y ＝3sinπ6t ＋10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5 m ，所以3sin π6t ＋10≥11.5，所以sin π6t ≥12，解得2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．在同一天内，取k ＝0或k ＝1，所以1≤t ≤5或13≤t ≤17.所以该船可在当日凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时． 3.[答案] 20.5课时作业(二十A)1．C [解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数f (x )的最小值为－12.2．B [解析] 根据对称性可得π4为已知函数的半个周期，所以2πω＝2×π4，解得ω＝4.3．D [解析] y ＝2sin 2x ＝－cos 2x ＋1，由2x ＝k π(k ∈Z )得对称轴方程为x ＝k π2(k ∈Z )，所以x ＝π是其一条对称轴．4．B [解析] 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin x ＋π3的图像；将所得图像的横坐标扩大为原来的2倍，得y ＝sin 12x ＋π3的图像．5.5π6 [解析] 函数可化为y ＝2sin x －π3，由x ∈[0，2π)得x －π3∈⎣⎡⎭⎫－π3，5π3，∴当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，函数取得最大值2. 6．5 [解析] 函数y ＝sin π2x 的最小正周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少出现2个波峰，则t ≥54T ＝5.7．D [解析] 由函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时取得极大值，得2×π12＋α＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴α＝π3＋2k π(k ∈Z )．由f (x －β)＝sin(2x －2β＋α)为奇函数，得－2β＋α＝k π(k ∈Z )．令k ＝0，得α＝π3，β＝π6.8．C [解析] 与函数y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图像关于x 轴对称的为函数y ＝－cos 2x的图像，将其向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝－cos 2x ＋π4＝sin 2x ＝2sin x cos x 的图像，所以有y ＝f (x )sin x ＝2sin x cos x ，所以f (x )＝2cos x .9．B [解析] f (x )＝sin ωx ＋23π＋sin ωx －23π＝－sin ωx ，又其最小正周期为π，所以ω＝2，故f (x )＝－sin 2x ，易知其在区间0，π4上单调递减．10．C [解析] 由图知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴B 2π3，－1.∵A π6，1，B 2π3，－1，∴OA →·OB →＝π29－1.11．B [解析] 据题意可知14T ＝512π－π6＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2πT＝2.又f (x )的图像过点π6，0，所以有2sin2×π6＋φ＝0，得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，可知B 满足． 12.9π10 [解析] 由图像知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为22π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.13．④ [解析] 因为函数的最大值为4，最小值为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4，m －A ＝0，解得A ＝m ＝2.又最小正周期T ＝2πω＝π2，所以ω＝4.又直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，将x ＝π3代入得sin4×π3＋φ＝±1，所以φ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝π6.14．解：(1)∵函数图像经过点P 0，A 2，∴sin φ＝12.又∵φ∈[0，π)，且点P 在增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y ＝A sin 2π3x ＋π6，令y ＝0，得sin 2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π(k ∈Z )，∴x ＝－14＋32k (k ∈Z )， ∴Q －14，0，R 54，0.又∵P 0，A2，∴PQ →＝－14，－A 2，PR →＝54，－A 2.∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，∴A ＝52.15．解：(1)由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π4，可知π4为函数f (x )的最小正周期的14，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知ω＝2ππ＝2，又函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )， 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． 16．解：(1)由题意知，f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点π12，3和点2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g (x )得，sin2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 课时作业(二十B)1．B [解析] 设函数的最小正周期为T ，由题意知49＋14T ≤1，即1974×2πω≤1，∴ω≥197π2.2．B [解析] 设函数的最小正周期为T ，根据已知可得x B －x A ＝3＝T2，所以T ＝6，x A＝－1，所以f (x )的单调递增区间是[6k －4，6k －1](k ∈Z )．3．C [解析] 函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋π6的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度得到的．故选C.4．3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z ) [解析] 由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )，所以函数y ＝12sin π4－2x3的单调递减区间为3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z )．5．－22 [解析] g (x )＝sin3x －π3＋π4＝sin3x －3π4，由π3≤x ≤2π3，得π4≤3x －3π4≤5π4，所以当3x －3π4＝5π4时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝sin 5π4＝－22. 6．B [解析] 由题意可设h (t )＝A sin(ωt ＋φ)＋l (A >0，ω>0)，则2πω＝12，所以ω＝π6.易知初相φ＝－π2，振幅A ＝30，又OM ＝32，AM ＝BP ＝2，故h (t )＝30sin π6t －π2＋30.7．C [解析] y ＝g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋π6＝sin2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，得g (x )的图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6＋k π2，0(k ∈Z )，故A 不正确；当x ＝－π6时，g －π6＝sin 0＝0，所以g (x )的图像不关于直线x ＝－π6对称，故B 不正确；当－5π12≤x ≤－π6时，－π2≤2x ＋π3≤0，所以函数g (x )在区间－5π12，－π6上单调递增，故C 正确；当－π6≤x ≤π3时，0≤2x ＋π3≤π，函数g (x )在此区间上先增后减，故D 不正确．故选C.8．C [解析] 根据已知，得f (x )＝sin2(x －m )＋π6＝sin2x －2m ＋π6，由2k π－π2≤2x －2m ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋m －π3≤x ≤k π＋m ＋π6(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )的单调递增区间是k π＋m －π3，k π＋m ＋π6(k ∈Z )，根据题意，得－π6，π3⊆kπ＋m －π3，k π＋m ＋π6(k ∈Z )，所以k π＋m －π3≤－π6且k π＋m ＋π6≥π3(k ∈Z )，解得m ≤－k π＋π6且m ≥－k π＋π6(k ∈Z )，故m ＝－k π＋π6(k ∈Z )．由于m >0，取k ＝0，得m的最小值为π6.9．A [解析] f (x )＝12sin 2x ，将其图像向左平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝12sin 2x＋π4＝12cos 2x 的图像，由2k π－π≤2x ≤2k π(k ∈Z )，解得k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )，故函数g (x )的单调递增区间是k π－π2，k π(k ∈Z )．10．A [解析] 7π12－π3＝π4＝14×2πω，解得ω＝2.由sin2×π3＋φ＝1，－π2<φ<π2，得φ＝－π6，即f (x )＝sin2x －π6，又y ＝cos 2x ＝sin2x ＋π2，且sin2x －π6＝sin2x －π3＋π2，故只要把y ＝cos 2x 的图像向右平移π3个单位长度即可得到f (x )的图像．11.π3 [解析] 由图像得14×2πω＝π3－π12＝π4，得ω＝2.再由2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，|φ|<π2，得φ＝π3.12.π6 [解析] 把y ＝12sin x ＋π3的图像向左平移m 个单位长度后得到函数y ＝12sin(x ＋m )＋π3＝12sin x ＋m ＋π3的图像，由题意得m ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，取k ＝0，得m 的最小值为π6.13．2 [解析] 函数g (x )的解析式为g (x )＝2sin ωx ＋π3ω－π3＝2sin ωx ，易知函数g (x )的一个单调递增区间是－π2ω，π2ω.又函数y ＝g (x )在区间0，π4上为增函数，则0，π4⊆－π2ω，π2ω，所以π2ω≥π4，得ω≤2.所以ω的最大值为2. 14．解：(1)由图像可知A ＝2，∵34T ＝11π2－π＝92π，∴T ＝6π＝2πω，∴ω＝13， ∴f (x )＝2sin 13x ＋π6.(2)∵f (3α＋π)＝2sin α＋π2＝2cos α＝1013，∴cos α＝513.又∵f 3β＋5π2＝2sin(β＋π)＝－2sin β＝65，∴sin β＝－35.∵α，β∈－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝1－5132＝－1213，cos β＝1－sin 2β＝1－－352＝45，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－1213×45－513×－35＝－3365.15．解：(1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋（5）2－（13）22×4×5＝55，所以P (1，2)，由此可得A ＝2，最小正周期T ＝4×(4－1)＝12，则2πω＝12，得ω＝π6.将(1，2)代入y ＝2sin π6x ＋φ，得sin π6＋φ＝1，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin π6x ＋π3.(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π6（x －2）＋π3＝2sin π6x ，所以h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin π6x ＋π3·sin π6x ＝2sin 2π6x ＋2 3sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x＋3sin π3x ＝1＋2sin π3x －π6.当x ∈(－1，2)时，π3x －π6∈－π2，π2，所以sin π3x －π6∈(－1，1)，即1＋2sin π3x －π6∈(－1，3)．故函数h (x )的值域为(－1，3)．16．解：(1)由题意可知，点M 为PQ 的中点，所以OM ⊥AD .设OM 与AD ，BC 的交点分别为E ，F ，则BC ＝2R sin θ，OF ＝R cos θ，易知△OAE 为等腰直角三角形，OE ＝AE ＝12BC ＝R sin θ，则AB ＝EF ＝OF －OE ＝R cos θ－R sin θ， 所以S ＝AB ·BC ＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ)＝R 2(2sin θcos θ－2sin 2θ)＝R 2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝2R 2sin2θ＋π4－R 2，θ∈0，π4.(2)因为θ∈0，π4，所以2θ＋π4∈π4，3π4.所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值，S max ＝(2－1)R 2＝(2－1)×452＝(2－1)×2025≈838.78(m 2)．故当θ＝π8时，矩形ABCD 的面积S 有最大值，其最大值约为838.78 m 2.。
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一、正弦余弦曲线： 正弦曲线公式为：A 为波幅（纵轴），ω为（相位矢量）角频率=2PI/T ，T 为周期，t 为时间（横轴）， θ为相位（横轴左右）。
周期函数：正余弦函数可用来表达周期函数。
例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，还可描述很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。
正弦和余弦函数是圆周运动一维投影。
三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。
这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候很有用。
每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。
1、函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线。
第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n （这里n=12）等份。
把x 轴上从0到2π这一段分成n （这里n=12）等份。
（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）。
第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π，…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）。
第三步：连线。
用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象。
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x （x ∈R ）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象。
2、余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线。
根据诱导公式，可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx的图象。
3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，0）、（2π，1）、（π，0）、（23π，-1）、（2π，0）。
余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个点关键是：（0，1）、（2π，0）、（π，-1）、（23π，0）、（2π，1）。
讲解范例：例1：作下列函数的简图：①y=1+sinx，x∈[0，2π]；②y=-COSx。
探究：如何利用y=sinx，x∈[0，2π]的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到①y＝1＋sinx，x∈[0，2π]的图象；②y=sin（x- π/3）的图象？小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
探究：如何利用y=cosx，x∈[0，2π]的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx，x∈[0，2π]的图象？小结：这两个图像关于X轴对称。
探究：如何利用y=cosx，x∈[0，2π]的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx，x∈[0，2π]的图象？小结：先作y=cosx图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx的图象。
4、周期函数定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f（x+T）=f（x）那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
说明：y=sinx， y=cosx的最小正周期为2（一般称为周期）；从图象上可以看出y=sinx，x∈R；y=cosx，x∈ R的最小正周期为2π；要点：函数sin()y A xωϕ=+及函数cos()y A xωϕ=+，x R∈的周期2||Tπω=例题讲解：求该函数的周期：y=sin（2x+π/4）+2cos（3x-π/6）。
解：y1=sin（2x+π/4）最小正周期T1=π，y2=2cos（3x-π/6）最小正周期 T2=2π/3。
∴T为T1，T2的最小公倍数？∴T=？（2π）。
例题讲解：求该函数的周期并作图：y=|sinx|。
解：T=π，作图：练习：求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin =③12sin()26y x π=-，x R ∈。
5、周期函数的奇偶性：从图象上可看出函数y=cosx 是偶函数，函数y=sinx 是奇函数。
6、周期函数的单调性：正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］（k ∈Z ）上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］（k ∈Z ）上都是减函数，其值从1减小到－1。
余弦函数在每一个闭区间［（2k －1）π，2k π］（k ∈Z ）上都是增函数，其值从－1增加到1； 在每一个闭区间［2k π，（2k ＋1）π］（k ∈Z ）上都是减函数，其值从1减小到－1。
7、周期函数的有关对称轴：y=sinx 的对称轴为x=2ππ+k k ∈Z ；y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z 。
练习：①写出函数x y 2sin 3=的对称轴；②)4sin(π+=x y 的一条对称轴是（ ）。
A 、x 轴 B 、y 轴 C 、直线4π=x D 、直线4π-=x 例题讲解：判断下列函数的奇偶性：①1sin cos ();1sin cos x x f x x x +-=++ ；②2()lg(sin 1sin );f x x x =++。
例题讲解：函数f （x ）＝sinx 图象的对称轴是（ ）；对称中心是（ ）。
例题讲解：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；①)10sin()18sin(ππ---；②)417cos()523cos(ππ---。
例题讲解：求函数)321sin(2π+=x y 的单调递增区间； 思考：你能求]2,2[)213sin(πππ-∈-=x x y 的单调递增区间吗？二、正切余切曲线：1、正切函数的图象，称“正切曲线”。
余切函数的图象，称“余切曲线”。
通过把正切函数图像向左平移π/2，然后把x 和-x 互换就可以得到余切函数的图像，也就是说cotx=tan （-x+π/2），性质和正切函数的性质基本一样。
2、正切函数的性质（1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ； （2）值域：R 。
观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x −−→+∞。
当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
（3）周期性：最小正周期π=T ；（4）奇偶性：由tan （－x ）=－tanx 知，正切函数是奇函数； （5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。
在整个定义域上不具有单调性。
（6）正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。
对称中心为。
例题讲解：比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小 解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，⎪⎭⎫ ⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增，⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan 4tan 即。
例题讲解：求下列函数的周期：3tan 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ；（2）tan 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 。
3、余切函数的性质（1）定义域：；（2）值域：R 。
当x→2kπ时，y→∞；当x→（2k+1）π时，y→－∞；（3）周期性：最小正周期π=T ；（4）奇偶性：由cot （－x ）=－cotx 知，余切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间内，函数单调递减。
在整个定义域上不具有单调性。
（6）余切曲线是由相互平行的x=k π（k ∈Z）直线隔开的无穷多支曲线所组成的。
图像关于原点对称，实际上所有的零点都是它的对称中心。
中心对称为。
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质检测题一、选择题（每题6分，共36分）1.下列说法只不正确的是 （ ）。
A 、正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[-1，1]；B 、余弦函数当且仅当x=2k π( k ∈Z) 时，取得最大值1；C 、余弦函数在[2k π ,2k π+π ]( k ∈Z)上都是减函数；D 、余弦函数在[2k π-π,2k π]( k ∈Z)上都是减函数2、y=sin(x-π3)的单调增区间是（ ）。
A 、[kπ-π6 ,kπ+5π6 ] (k ∈Z) B 、[2kπ-π6 ,2kπ+5π6](k ∈Z) C 、[kπ-7π6 , kπ-π6 ] (k ∈Z) D 、[2kπ-7π6 ,2kπ-π6] (k ∈Z) 3、函数 y=sinx (π6 ≤x ≤2π3) 的值域是（ ）。
A 、[-1,1] B 、[ 12 ,1] C 、[12 , 3 2 ] D 、[ 32,1] 4、对于函数y=sin(π-x ），下面说法中正确的是（ ）。
A 、函数是周期为π的奇函数B 、函数是周期为π的偶函数C 、函数是周期为2π的奇函数D 、函数是周期为2π的偶函数5、已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）。
A 、a<b<cB 、c<b<aC 、b<c<aD 、b<a<c6、下列函数中，最小正周期为2π的是（ ）。
A 、sin y x = B 、y=4cosx C 、tan 2x y = D 、cos 4y x = 二、填空题（6、9题各6分，7题每空2分，8题每空4分，共28分）7、函数y=1sinx的定义域____________。
8、函数y=cos(2x+π3),当x=______时，y min =_______；当x=_____时，y max =_____________。
9、函数y=2tan(π3 -2x )的定义域是_____________，周期是_____________。
10、ｙ=sin(3x-π/2)的周期是__________________。
三、解答题（每题12分，共36分）11、用“五点法”画出函数y= sinx+2, x ∈[0,2π]的简图。
12、求函数y=cos 2x-4cosx+3的最值。
13、求函数ｙ=sin(12 x+π3)，x ∈[-2π，2π]的单调区间。
三、指数函数：形如 y=ka x的函数，k为常系数，这里的a叫做“底数”，是不等于1的任何正实数。
指数函数按恒定速率翻倍，可以用来表达形象与刻画发展型的体系，比如金价2001年以来的牛市轨迹基本就是指数方程曲线。