第三讲-无理数与实数
《认识无理数》实数优秀课件
课程目标
掌握无理数的概念、 表示方法及其在实数 体系中的地位。
培养抽象思维和逻辑 推理能力，激发对数 学的兴趣。
了解无理数在生活中 的应用，提高解决实 际问题的能力。
学习方法
通过实例引入概念，帮助学生理解无 理数的本质。
采用互动式学习方式，鼓励学生积极 参与课堂讨论，加深对知识的理解。
结合生活实际，引导学生发现无理数 在生活中的应用。
02 无理数定义与性质
无理数定义
无限不循环小数
无理数是指无限不循环小数，即 无法表示为有限小数或无限循环 小数的数。例如，$\pi$和 $\sqrt{2}$都是无理数。
几何意义
无理数通常与几何图形相关联， 例如，$\pi$与圆的周长有关，而 $\sqrt{2}$与正方形有关。
无理数性质
连续性
无理数是实数体系中的连续统，即任 意两个无理数之间没有其他实数。
稠密性
在实数范围内，无理数具有稠密性， 即任意两个无理数之间存在无数个无 理数。
《认识无理数》实数 优秀课件
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目录
• 引言 • 无理数定义与性质 • 无理数运算与关系 • 无理数在数学中的应用 • 无理数与生活联系实例 • 实数复习与练习题
01
引言
主题介绍
数在实数中的重要地位。
02
阐述无理数的定义及表示方法， 通过实例加深理解。
第3讲 实数的有关概念及性质
第3讲 实数的有关概念及性质【学习目标】掌握算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及性质【教学重难点】算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及性质考点1：平方根知识点与方法技巧梳理：1．平方根：一个数x 的平方等于a ，即x2＝a （a ≥0），那么这个数x 叫做a 的平方根． 2．平方根的表示方法：①当a ≥0时，a 的平方根记为±a（特别地，0＝0）； ②当a ＜0时，a 没有平方根． 3．平方根的性质：①一个正数a 有两个平方根，一个是a 的算术平方根a，另一个是－a，它们互为相反数； ②0有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根．【例1】判断下列说法是否正确： （1）25的平方根是±5（ ） （2）|－9|的平方根是3（ ） （3）－8是64的平方根（ ） 【变式】填空：（1）0.04的平方根是_________．（2）若a 是x 的一个平方根，则x 的另一个平方根是_________． （3）若a2＝(－7)2，则a ＝_________． （4）平方根是它本身的数是_________． 【例2】求下列各数的平方根：（1）1.44 （2）2249（3）10－4 （4）|－3116| （5）292－202【变式】求下列各数的平方根：（1）2.89 （2）3625（3）0.000001 （4）|－24164| （5）852－362考点2：算术平方根知识点与方法技巧梳理：1．算术平方根：①正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a； ②特别地，0的算术平方根是0．2．算术平方根的性质：非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a≥0．3．（1）(a)2＝a （a ≥0）；（2）a2＝| a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0）a （a ＝0）－a （a ＜0）【例1】判断下列说法是否正确：（1）361＝±19；（ ） （2）27是(－27)2的算术平方根；（ ）（3）4的算术平方根是2．（ ）【变式1】下列说法错误的是（ ）A ．4是16的平方根B ．1的平方根是1C ．(－3)2的平方根是±3 D ．10－100的算术平方根是10－50 【变式2】填空：（1）49的平方根是_________，225的算术平方根是_________． （2）若a 2＝m ，则a ＝_________． （3）(a)2＝_________（a ≥0）； a 2＝_________．（4）算术平方根是它本身的数是________；________的算术平方根等于它的平方根．（5x ＋11的平方根是_________，算术平方根是_________． （6）a2的算术平方根是_________，(3－π)2的算术平方根是_________．（73b +＝0，则20172017a b +＝_________．（8）若4a ＋1的平方根是±5，则a2的算术平方根是__________． 【例2】求下列各数的算术平方根：（1）179（2）(－35)2 （3）8－2 （4）64（5）0.01 （6）262－102【变式】求下列各数的算术平方根：（1）3625（2）－(－19)3 （3）14－4 （4）81（5）1210- （6）372－122考点3：平方根和算术平方根的运用 知识点与方法技巧梳理：1．开平方：①求一个非负数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫被开方数．开平方和平方互为逆运算． ②开平方与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算． ③平方与开平方互为逆运算．2．被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位． 【例1】计算：（1）(－7)2（2）(5.7)2【变式】计算：（1）1 40.64－1 5100（2） 2.56×25 64【例2】利用平方根解方程：（1）16( x 2＋1 )＝41 （2）( 5x －1)2＝49【变式】利用平方根解方程：（1）25(x2＋2)＝86 （2）(3x －2)2＝(－7)2【例3】若|2x ＋3|＋4x －y＝0，求x 、y 的值．【变式】已知|3a －2|＋2a ＋3b＝0，求a ＋b 的值．考点4：无理数知识点与方法技巧梳理：无理数：无限不循环小数叫做无理数，如3、π．【例】在①0，②10，③－π5，④32，⑤3.14中，是无理数的有____________．【变式】下列各数中，是无理数的是（ ）A ．47B ．225C ．3πD ．4925考点5：立方根知识点与方法技巧梳理：1．立方根的概念：如果x3＝a ，则x 叫做a 的立方根（也叫做三次方根） 2．立方根的性质：①正数有一个立方根，仍为正数．如：64的立方根是44；0；③负数有一个立方根，仍为负数，如：－8的立方根为－22=-．任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同． 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数． 【例1】下列说法正确的是（ ）A －2B ．1的立方根是±1C ．若x ＜0xD ．0没有立方根【变式】下列说法正确的是（ ）A ．－4没有立方根B ．8的立方根是±2C ．136的立方根是16D ．－5的立方根是【例2】求下列各数的立方根： ①－216 ②0.125 ③61164- ④9【变式】求下列各数的立方根：①343 ②－0.216 ③－1558④3(11)-考点6：立方根的运算知识点与方法技巧梳理：1．开立方：①求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数．②正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算．2．=②3a=③a=第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题．3．被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．【例1】求下列各式的值：【变式】求下列各式的值：①【例2】0.30.03，则x∶y＝_________．【变式1】a__________m=．【例3】利用立方根解方程：①27x3＝－64 ②(－3＋x)3＝216＝－5 ④64(x＋1)3＋125＝0【变式】利用立方根解方程：①334364x-＝0 ②(4x＋3)3＝－8－6 ④1000－27(x－2)3＝0考点7：实数知识点与方法技巧梳理：1．实数：有理数和无理数统称为实数．2．实数的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数)()()(3．实数大小的比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．4．实数和数轴上点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的关系．5．实数的几个概念：①相反数；②倒数；③绝对值都和有理数范围内的概念相同． 【例1】把下列各数分别填入相应的集合中：2，1311，8，π2，－2，－7.77，00.121221222……（相邻两个1之间的2的个数逐次增加1）【变式】请把例1中的各数填入相应的集合中：正实数集合：{____________________________________________________…}；分数集合{____________________________________________________…}．【例2【变式A ．－1和0之间 B ．0和11和2之间D ．2和3之间【变式2】比较下列各组数的大小：（1（2）－π______－【变式3】3－－【例4】实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则的大小关系为____________． 【变式】如图，在数轴上表示2、3的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的实数为____________．【家庭作业】1a __________m =__________；2．若正数A 的平方根是3x －2和x －6，求x A 的算术平方根．3．已知有理数a 、b 满足a2＋2b ＋2b ＝17－42，求a ＋b 的值．4．已知实数a 、b 满足条件b ．（1）求a 、b 的值；（2）求1111(1)(1)(2)(2)(2017)(2017)ab ab a b a b ++++++++++的值． C 0 A B有理数集合 无理数集合。
有理数,无理数,实数的区别
有理数,无理数,实数的区别
实数（R）可以分为有理数（Q）和无理数，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就是有限小数和无限循环小数；其中有理数又可以分为整数（Z）和分数；整数按照能否被2整除又可以分为奇数（不能被2整除的整数）和偶数（能被2整除的整数）。
1
1、性质不同
有理数：有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
实数：实数是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
2、所属不同
有理数：有理数属于实数，有理数包括正整数、0、负整数，又包括正整数和正分数，负整数和负分数。
实数：实属包括有理数，实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
2
1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、互为相反数的两数相加得0。
4、一个数同0相加仍得这个数。
5、互为相反数的两个数，可以先相加。
6、符号相同的数可以先相加。
7、分母相同的数可以先相加。
8、几个数相加能得整数的可以先相加。
京改版八年级上册11.4无理数与实数优秀教学案例
3.设置疑问，引导学生思考无理数在实际生活中的应用，激发学生学习的积极性。
问题导向环节是教学过程中的重要环节，我会引导学生提出问题，激发学生的思考。通过小组讨论和探究，让学生主动探索无理数的性质，提高学生的思维能力。同时，设置疑问，引导学生思考无理数在实际生活中的应用，激发学生学习的积极性。
（三）小组合作
在教学过程中，我会采用讨论、自主学习等教学方法，引导学生主动探索，提高学生的动手能力和思维能力。同时，我会关注学生在学习过程中的思维过程，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，提高学生自主学习的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例引入无理数的概念，例如通过讨论圆周率π的值，让学生感受无理数的存在。
2.设计实际问题，让学生在解决问题的过程中自然地接触到无理数，例如计算物理中的自由落体运动的时间。
3.利用多媒体课件展示无理数在现实生活中的应用，如建筑设计中的圆周率计算等，激发学生的学习兴趣。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用生活实例引入无理数的概念，例如通过讨论圆周率π的值，让学生感受无理数的存在。
《实数》PPT课件
即实数可以分为有理数和无理数.
实数
有理数 无理数
无理数和有理数一样，也有正负之分.
如： 是__正__的，
是_负____的.
【正数】 大于0的实数 【负数】 小于0的实数
包括所有的正有理数和正无理数. 包括所有的负有理数和负无理数.
议一议
1.你能把下列各数分别填入相应的集合内吗?
正数集合
负数集合
议一议
77，绝对值 7
.
（3）相反数 -7，倒数 1 ，绝对值7.
7
3.在数轴上作出与 对应的点．
课堂小结
通过今天的学习，说说你的收获和体会?
作业布置
1. 习题2.8.
2.求
的相反数和绝对值.
的相反数为
；绝对值为
.
2.0属于正数吗？属于负数吗？
3.实数还可以怎样分类？
实数的 第一种分类
实数的 第二种分类
实数
有理数 无理数
实数
正实数 0
负实数
Байду номын сангаас
实数的相关概念
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义 ，和有理数范围 内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
与______互为相反数.
与______互为倒数.
_____，
____，
___.
1.在有理数范围内，能进行哪些运算？用哪些运算律？ 2.判断下列各式成立吗？
有理数的运算及运算律对实数仍然适用.
想一想
1.
的绝对值是________.
2. a是一个实数，它的相反数是_______.
绝对值是__________________. 当a≠0时，它的倒数是___________.
《认识无理数》实数
03
无理数与有理数的关系
有理数和无理数的区别
定义不同
有理数可以表示为两个整数之比 ，而无理数不能。
性质不同
有理数具有许多良好的性质，如 可加性、可乘性等，而无理数则
不满足这些性质。
表现形式不同
常见的无理数包括开方开不尽的 数、与π有关的数、有规律的无 限不循环小数等，而有理数都可 以表示为有限小数或无限循环小
为什么需要研究无理数
实际应用
无理数在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。例如 ，圆周率π就是一个典型的无理数，它在圆的周长和面积计算 中起着关键作用。
理论价值
无理数的研究不仅具有实际应用价值，还对数学理论的发展 起到了推动作用。无理数的发现挑战了古希腊数学家的观念 ，引发了数学史上的第一次危机，推动了数学理论的进步。
《认识无理数》实 数
汇报人： 日期:
目录
• 引言 • 无理数的类型与特性 • 无理数与有理数的关系 • 无理数在实际生活中的应用 • 结论与展望
01
引言
无理数的定义及背景
定义
无理数是指不能表示为两个整数的比的实数 ，即不能用有限小数或无限循环小数来表示 的数。
发现历程
无理数的概念最早可以追溯到古希腊时期。 当时，著名的数学家毕达哥拉斯提出了“万 物皆数”的观点，认为世界上所有的事物都 可以用整数或整数之比来表示。然而，他的 学生希帕索斯却发现了一个无法用整数之比 来表示的数，即根号2，从而打破了毕达哥 拉斯学派的观念，也揭示了无理数的存在。
在统计学和数据分析领域，无理数也经常出现。比如，正 态分布中的标准差就是一个无理数，它能够描述数据的离 散程度和分布情况，对于决策和分析都有重要意义。
05
结论与展望
人教版数学八上13.3实数实数的概念ppt课件
实数
有理数:有限小数或无限循环小数 无理数:无限不循环小数
(2)按性质分类：
正实数正 正有 无理 理数 数
实数
0
负实数
负有理数 负无理数
4．实数与数轴上的点的对应关系 (1)实数与数轴上的点是_一__一__对__应_的． 即每个实数都可以用数轴上的一个__点__来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个__实__数__． (2)在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点 表示的实数大．
实数的分类(难点) 例 1：下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？
3．14，25， 3，0.4·1·2·，0.101 001 000 1…， π，－ 3 343 ，－ 7，π2. 思路导引：判断一个数是不是无理数，关键看它是不是无 限不循环小数，是不是开方开不尽的数，是不是含有π的数．如 果一个数是整数或分数，则一定是有理数．
1．无理数 (1)无限不循环Байду номын сангаас数叫做__无__理__数__． (2)无理数的常见形式： ①圆周率π及一些含有π的数； ②开不尽方的数，如 2； ③有一定的规律，但不循环的无限小数，如 0.101 001 000 1…. 2．实数的概念 _有__理__数___和__无__理__数__统称实数.
3．实数的分类 (1)按定义分类：
解：有理数有：3.14，25，0.4·1·2·，－ 3 343 ； 无理数有： 3，0.101 001 000 1…，π，－ 7，π2.
【易错警示】判断一个数是否为无理数，不能仅从形式上 看，带根号的数不都是无理数．
1．下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？
0，13， 2，3.5．，－2.143，π. 有理数：___0_，_13_，__3_._5_，__－__2_.1_4_3__；
《无理数、实数概念》PPT课件4
是无理数 输出y
A.9 B.3 C. 3 D.±3
四、课堂小结
通过本节课的学习，你觉得自己有哪些收获愿意
和同学们一起分享呢？ 1.两个概念：
无理数：无限不循环小数又叫做无理数 实数：有理数和无理数统称为实数
2.实数的两种分类方法：
①根据实数的定义 ②根据实数的正负性
3.实数与数轴上的点成一一对应关系
正有理数
正实数
实
正无理数
数
0
负有理数
负实数
负无理数
探究（三）、实数与数轴上的点
思考1： 如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数 轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴 上表示点A的数是多少？
●
●
● ●
●
-2 -1
●
●
●●
0
1
π ● ●
2
A●●
3
4
因为圆的周长为π,所以数轴上表示点A的数是π.这样，
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
★实数和数轴上的点是一一对应的.
三、巩固练习
1.判断快枪手——看谁最快最准！
（1）实数不是有理数就是无理数. （ ）
（2）无理数都是无限不循环小数. （
）
（3）带根号的数都是无理数.
（× ）
（4）无理数都是无限小数.
是什么数？学过的数是否都是有理数呢？请举例说明。
2 1.414 213 56...
3 1.732 050 807...
2、常见的无理数有哪些形式？
π 思考： 是无理数吗？1.010 010 001 000 01…是无
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代数（二）根式计算（二）——无理数与实数【知识要点】 1．无理数：定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=…，21.414213=， －…，都是无理数。
注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。
2．实数：有理数和无理数统称为实数。
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a、b互为相反数。
②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。
1ab a=⇔、b互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即()()()00a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩【典型例题】例1 在实数，25，3.3333，3，0.412⋅⋅，…，π，256-中，哪些是有理数，哪些是无理数例2 （1）下列说法中，正确的是（）A．带根号的数是无理数 B．无理数都是开不尽方的数C．无限小数都是无理数 D．无限不循环小数是无理数（2）下列说法正确的是（）A．若a为实数，则a大于－a B．实数m的倒数一定是1mC ．若实数x 、y ，有x y =，则x =yD ．任何负数的倒数都小于它的相反数例的相反数之和的倒数的平方为 。
例4 设a 、b 互为相反数，但不为0，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭的结果是 。
例5 试比较下列各组数的大小；①和②，1π-，310-例6 （1）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，化简a b b c c a -+---（2）当01x <<时，2x 、x 、1x的大小顺序是（ ）A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x <<D ．21x x x<<例7 （1）已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=（2）若210x -=，求20012002x y +的值。
例8 已知12a+=，31b+=，求a+b的最小值。
【练习】A 组1．小数，叫做无理数。
2．大于10-的负整数是。
3．12-的相反数是，绝对值是，倒数是。
4．比较大小：－7 －43（填“＞”，“＜”或“＝”）5．在数144，6，()22-，1.23⋅，913，3π，…（两个3之间依次多一个2）中无理数的个数有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个6．下列命题中，正确的个数是（）①两个有理数的和是有理数；②两个无理数的和是无理数；③两个无理数的积是无理数；④无理数乘以有理数是无理数；⑤无理数除以有理数是无理数；⑥有理数除以无理数是无理数。
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个7．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）①带根号的数是无理数；（）②一定没有意义；（）③绝对值最小的实数是0；（）④平方等于3（）⑤有理数、无理数统称为实数；（）⑥1的平方根与1的立方根相等；（）⑦无理数与有理数的和为无理数；（）⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。
（）8．已知x，则x等于（）A．1.414 C． D． 1.414±9．已知实数x满足x x=-，则（）A．0x≤x< D．0x> B．0x≥ C．0的大小关系是（）10，215A 215<<B ．215<215<<215<<B 组11．13，2π，，227中，有理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．a 一定是（ ）A ．有理数B ．正无理数C ．正实数D ．正有理数 13．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．倒数等于本身的数只有1B ．绝对值等于本身的数只有0C ．相反数等于本身的数只有0D ．算术平方根等于本身的数只有1 14．下列说法不正确的是（ ）A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数B ．整数可以看成是分母为1的分数C ．有理数都可以化为分数D ．无理数是开方开不尽的数15．代数式21a +，y ，()21a -中一定是正数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16 ）A ．m 是完全平方数B ．m 是负有理数C ．m 是一个完全平方数的相反数D ．m 是一个负整数 17．－3的负倒数是（ ） A ．3 B ．－3 C ．13D ．13-18．已知2x =，3y =，且0xy <，则x y +的值为（ ） A ．1 B ．±1 C ．5 D ．±519．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 20．一个数是它的倒数的4倍，则这个数是（ ） A ．4 B ．±4 C ．2 D ．±22110b -=，则33a b -+= 。
22．()02234π-+-= 。
C 组23．一个正数扩大到原来的9倍，则它的算术平方根扩大到原来的 。
24．若a π-=a π-，则4a -= 。
25．若a=5，b=-a -= 。
26．比较下列各组实数的大小：（1）11-与； （2）227π--与（3）（4）1127π--与27．已知4y =，求y x28．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数。
求：2222a b a b--+的值。
29．化简1230y x 和()1xy -的值。
D 组31．已知x 、y 是实数，且()21x y +-x y 的负倒数。
32．已知224410260x y x y +-++=，求12x y -的算术平方根。
33．若b a b a b a -≠,,,都是有理数，那么a 和b （ ）（A ）都是有理数 （B ）一个是有理数，另一个是无理数 （C ）都是无理数 （D ）是有理数还是无理数不能确定34．已知实数a 满足a a a =-+-19931992，那么21992-a 的值是（ ）（A ）1991 （B ）1992 （C ）1993 （D ）199435．若014)2003(2=++-y x ，则=+--y y x 3)2(102 。
36．如果实数y x ,满足,04496222=+-+-x y xy x 那么x y = 。
【趣数什锦】第一次数学危机公元前五百多年，在古希腊出现了一个毕达哥拉斯学派，那是一个集政治、宗教、学术于一体的组织，它的领导人是毕达哥拉斯（Pythagoras ，公元前572～公元前497年）。
毕达哥拉斯学派继承和发展了泰勒斯的数学思想，认识到数学是以演绎推理为特点的，演绎推理所得到的结果常常与由观察得到的结果相符合，并且有些由观察难以得出的结论却可以由演绎推理得出，还注意到有些本质上完全不同的现象却表现出相同的数学性质，毕达哥拉斯学派无法解释这种现象，从而把它神秘化，产生了一种幻觉，认为数是万物的本原，即所谓“万物皆数”。
宇宙中的一切事物，都可以通过数来表达。
不过，他们所说的“数”，指的是整数和分数。
即我们今天所接触的正有理数。
毕达哥拉斯学派据说还发现并证明了勾股定理，勾股定理在我国称为商高定理：“直角三角形两直角边（长的直角边叫股，短的直角边叫勾）的平方和等于斜边的平方”。
这是数学中一个十分重要的定理。
当毕达哥拉斯发现这一定理后，马上预见到它的重要性，欣喜若狂。
当即下令杀了100头牛，举行“百牛大祭”，来感谢神的启示，并庆祝自己的成功。
勾股定理的发现，给毕达哥拉斯学派带来了极大的荣誉，可是乐极生悲，正是这一定理的发现，给毕达哥拉斯学派的信仰带来了致命的打击，原来毕达哥拉斯学派所说的“万物皆数”指是都是整数或分数（两整数之比）。
但是根据勾股定理，如果设一个正方形各边的长度为1，那么它的对角线长的平方就等于2。
什么样的数的平方等于2呢毕达哥拉斯学派找不到这样的整数和分数，既然如此简单的正方形的对角线之长都不能用数来表示，还谈什么“万物皆数”呢毕达哥拉斯的一个学生希伯斯指出“这个数不是整数，也不是分数，而是一种人们尚未认识的新数”。
希伯斯一语中的，石破天惊，这一下彻底动摇了“万物皆数”的神秘哲学的基础。
毕达哥拉斯大为震骇，下令封锁这一发现，并声称谁胆敢泄露这一机密给局外人，就要将他处以极刑。
可是，严刑重罚从来就禁锢不住真理，这一事实很快被公之于众，宣布了“万物皆数”的破产，引发了数学史上所谓的“第一次数学危机”，从而导致了实数理论的诞生。
据说，毕达哥拉斯的弟子希伯斯等人因为坚持真理，违背了毕达哥拉斯的禁令，公布了事实的真象，因而遭到同伴的杀害，被抛尸大海，葬身鱼腹。