第三讲 无理数与实数
第三讲-无理数与实数
代数（二）根式计算（二）——无理数与实数【知识要点】 1．无理数：定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=…，21.414213=， －…，都是无理数。
注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。
2．实数：有理数和无理数统称为实数。
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a、b互为相反数。
②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。
1ab a=⇔、b互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即()()()00a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩【典型例题】例1 在实数，25，3.3333，3，0.412⋅⋅，…，π，256-中，哪些是有理数，哪些是无理数例2 （1）下列说法中，正确的是（）A．带根号的数是无理数 B．无理数都是开不尽方的数C．无限小数都是无理数 D．无限不循环小数是无理数（2）下列说法正确的是（）A．若a为实数，则a大于－a B．实数m的倒数一定是1mC ．若实数x 、y ，有x y =，则x =yD ．任何负数的倒数都小于它的相反数例的相反数之和的倒数的平方为 。
例4 设a 、b 互为相反数，但不为0，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭的结果是 。
例5 试比较下列各组数的大小；①和②，1π-，310-例6 （1）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，化简a b b c c a -+---（2）当01x <<时，2x 、x 、1x的大小顺序是（ ）A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x <<D ．21x x x<<例7 （1）已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=（2）若210x -=，求20012002x y +的值。
第3讲.实数
第3讲 实数⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩实数的分类实数的相关概念：平方根、算术平方根、立方根实数的运算法则：加、减、乘、除、乘方、开方实数实数的运算律实数的相关计算实数的运算顺序实数的比较大小估算一个实数的大小1． 算术平方根、平方根及立方根的概念及表示方法是什么？2． 算术平方根、平方根及立方根之间有什么区别和联系3． 算术平方根有哪些性质？前章回顾知识网络图中考说明3.1无理数与实数一．无理数1． 概念：无限不循环的小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．（3）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2． 性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a b +，a b -是无理数； 二． 实数1． 概念：有理数和无理数统称为实数． 2． 实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数0⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数3． 实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数a -． （2）任何非0实数a ，都有倒数1a． （3）正实数的绝对值是它本身；负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 4． 实数与数轴上的点是一一对应：每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 数轴上的任意两点．概念辨析【例1】 （2013年房山期末）在0.25，，，，，0.021021021…中，无理数的个数（）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个【例2】 有下列说法中正确的说法的个数是（）（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示．【例3】 判断正误．（1） 实数是由正实数和负实数组成．（） （2）0属于正实数．（）（3） 数轴上的点和实数是一一对应的．（） （4） 若x =x =．（）2π72239121例题精讲【例4】 把下列各数填入相应的集合：1－、π、 3.14-、120.7、0． （1）有理数集合｛｝； （2）无理数集合｛｝； （3）整数集合｛｝； （4）正实数集合｛｝； （5）负实数集合｛｝．【例5】A ．B ．2E ．0，问题的答案是（只需填字母）：_________________【例6】 （2011_______；3π-= __________． 【例7】 若直径为2个单位长度的圆上的点A 的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B ，则B 点表示的实数是（）A 2πB ．4πC 2πD 4π3.2实数的大小比较及估算一．实数大小的比较方法： 1． 正实数大于0，负实数小于0． 2． 两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的反而小．3． 数轴上的两个实数右边的实数比左边的实数大． 二． 无理数大小的比较方法： 1． 通过被开方数比较两数的大小：0a >，0b >时，若a b >；若a b < 若a b =2． 平方法：0a >，0b >时，若22>若22<； 若2＝23． 作差法：若0a b ->，则a b >；若0a b -=，则a b =；若0a b -<，则a b <． 4． 作商法：0a >，0b >时，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <．【例8】 把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1414．，π，0.6，34-，例题精讲概念辨析【例9】 实数2.6A．2.6< B．2.6<C2.6<D2.6【例10】化简：（1）21（2【例11】（2012的大小应在（）A ．7.0~8.0之间B ．8.0~8.5之间C ．8.5~9.0之间D ．9~10之间【例12】（2012年第44中学）已知a b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值3.3实数的综合【例13】已知m A =3n m -+的算术平方根，2m n B -=7m n +的立方根，求B A +的平方根．【例14】设x 、y 都是有理数，且满足方程11402332x y πππ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求x y -的值.试一试：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的x 、y 的值.例题精讲【例15】（2013年西城期末）阅读与思考：我们规定：用[]x 表示实数x 的整数部分，如[]3.143=，2=，在此规定下解决下列问题： （1）填空：++++ =_________； （2）求+++++ 的值．基础演练【练1】 下列说法正确的是（）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【练2】 下列说法正确是（）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【练3】 （2014杨浦区三模）点A 是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（）A ．点A 表示的数一定是正数B ．点A 表示的数一定是分数C ．点A 表示的数一定是有理数D ．点A 表示的数可能是无理数【练4】 （2012年北京四中期末）下列说法正确的是（）．A ．一个无理数不是正数就是负数B ．8的立方根是2±C ．3D【练5】 （2012年东城期末）下列实数12-，4π13，A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【练6】 写出一个有理数和无理数，是它们都是大于2-的负数：___________（答案不唯一） 【练7】 ________；的倒数是________的绝对值是________．【练8】 （2011年北师大月考）81的平方根是_________________；64-的立方根是_________．【练9】 （2012年北京四中期末）若2x -是8的立方根，则x 的平方根是___________．【练10( )A ．6-B ．6C ．6±D ．【练11】 数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是___________．全能突破【练12】 计算：（1（2【练13】 3.141π-＝______；|=______．【练14】 （2013年怀柔期末）如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点共有__________个．【练15】 （2012年北京四中期末）大于_____________【练16】 （2012年海淀期末）已知整数m满足1m m <+，则m 的值为（）A ．4B ． 5C ．6D ．7【练17】 如果a的整数部分，b的小数部分，a b -=__________．【练18】 计算下列各组算式，观，察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1； （2（3（4（5；（6(0,0)a b ≥≥．能力提升【练192___________；_________；2的绝对值是________【练20】 最大的负整数是_________，最小的正整数是_________，绝对值最小的实数是_______，不超过__________.【练21】 下列命题中，错误的命题个数是（）（1）2a -没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作10（34）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个．【练22】 （2013年北大附中）求下列各题中字母的值：（1） 若24x =，求x 的值； （2） 若3a -=-，求a 的值； （3） 若a a >-，那么a 可能是什么数？【练23】 已知01x <<，则21x x x、的大小关系是__________________________（用“>”连接）．【练24】 计算:（12）2(2)-【练25】 （134+（2）1-+++【练26】 （2012年东城期末）估计2A ．6到7之间B ．5到6之间C ．4到5之间D ．3到4之间【练27】 【巩固】（2013年大兴期末）已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <<，则a b +=____________【练28】 若a 2的整数部分，1b -是9的平方根，且||a b b a -=-，求a b +的算术平方根．【练29】 先阅读理解，再回答下列问题：，且121；23<2；=343；n 为正整数）的整数部分为______，请说明理由．【练30】 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子.144=⨯=；4=4=【练31】 观；==然数()1n n ≥的等式表示出来：_____________________巅峰突破【练32】设A，B=则A、B中数值较小的是________．【练33】已知20152(4axa-=+，求x的个位数字。
北京课改版数学八年级上册11.4《无理数与实数》说课稿
北京课改版数学八年级上册11.4《无理数与实数》说课稿一. 教材分析《无理数与实数》是北京课改版数学八年级上册第11.4节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数、实数等知识的基础上，进一步引导学生认识无理数，理解无理数与实数的关系，以及了解无理数的性质。
教材通过实例引入无理数的概念，让学生通过观察、思考、探究，自主发现无理数的特点，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的概念和性质，对实数有一定的了解。
但学生对无理数的认识还比较陌生，无理数的概念和性质比较抽象，学生理解和接受起来可能会有一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、思考、探究，自主发现无理数的特点，降低学生学习的难度。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解无理数的概念，掌握无理数的性质，能够正确判断一个数是无理数还是非无理数。
2.过程与方法：培养学生通过观察、思考、探究，自主发现无理数的特点，提高学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：无理数的概念和性质。
2.教学难点：无理数的判断，以及无理数与实数的关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、引导发现法、合作交流法等，引导学生自主学习，培养学生的抽象思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数学软件等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过实例引入无理数的概念，让学生感受无理数的存在。
2.自主探究：让学生观察、思考、探究，自主发现无理数的特点，引导学生理解无理数的概念。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自对无理数的理解和发现，培养学生的合作交流能力。
4.性质探究：引导学生探究无理数的性质，如无理数的大小比较、无理数的运算等。
5.应用拓展：让学生运用无理数的知识解决实际问题，提高学生的知识运用能力。
有理数,无理数,实数的区别
有理数,无理数,实数的区别
实数（R）可以分为有理数（Q）和无理数，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就是有限小数和无限循环小数；其中有理数又可以分为整数（Z）和分数；整数按照能否被2整除又可以分为奇数（不能被2整除的整数）和偶数（能被2整除的整数）。
1
1、性质不同
有理数：有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
实数：实数是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
2、所属不同
有理数：有理数属于实数，有理数包括正整数、0、负整数，又包括正整数和正分数，负整数和负分数。
实数：实属包括有理数，实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
2
1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、互为相反数的两数相加得0。
4、一个数同0相加仍得这个数。
5、互为相反数的两个数，可以先相加。
6、符号相同的数可以先相加。
7、分母相同的数可以先相加。
8、几个数相加能得整数的可以先相加。
《认识无理数》实数PPT教学课件3
实数
认识无理数
1.理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是
无理数. 2.能在数轴上表示某些简单的无理数.
把两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形
a
设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？
【解析】因为S大正方形 2,
所以a 2.
2
议一议
上式中的a可能是整数吗？
a
a可能是分数吗？ 因为 a不是整数， a也不是分数， 所以 a不是有理数.
数，所以选项A,B,D都是有理数； 0.305 305 530 555 是无 限不循环小数，所以是无理数.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
无理数的概念：无限不循环小数称为无理数.
挫折像一把火，既可以把你的意志烧得更坚，
也可以把你的意志烧成粉末.
梦想的力量
当我充满自信地，朝着梦想的方向迈进 并且毫不畏惧地，过着我理想中的生活
成功，会在不期然间忽然降临！
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勇于探索真理是人的天职。 ──哥白尼 有很多人是用青春的幸福作成功代价的。 ──莫扎特 越学习，越发现自己的无知。 ──笛卡尔 在观察的领域中，机遇只偏爱那种有准备的头脑。 ──巴斯德 在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。 ──爱因斯坦 在知识的山峰上登得越高，眼前展现的景色就越壮观。 ──拉吉舍夫 正确的道路是这样：吸取你的前辈所做的一切，然后再往前走。 ──托尔斯泰 知识就是力量。 ──培根 知识是引导人生到光明与真实境界的灯烛。 ──李大钊 只有不畏攀登的采药者，只有不怕巨浪的弄潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得骊珠。 ──华罗庚 只有满怀自信的人，才能在任何地方都怀有自信沉浸在生活中，并实现自己底意志。 ──高尔基 重要的不是知识的数量，而是知识的质量。有些人知道得很多，但却不知道最有用的东西。 ──托尔斯泰 追求真理比占有真理更加难能可贵。 ──爱因斯坦 走你的路，让别人去说罢！ ──但丁 最有成就的科学家都具有狂热者的热情。 ──贝弗里奇 昨天不能唤回来，明天还不确实，而能确有把握的就是今天。今日一天，当明日两天。 ──耶曼逊 只有天才和科学结了婚才能得到最好的结果。 ──斯宾塞 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ──罗曼· 罗兰 在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。 ──马克思 人只有为自己同时代人的完善，为他们的幸福而工作，他才能达到自身的完善。─马克思 生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 ──马克思 人的价值蕴藏在人的才能之中。 ──马克思 万事开头难，每门科学都是如此。 ──马克思 一切节省，归根到底都归结为时间的节省。 ──马克思 利用时间是一个极其高级的规律。 ──恩格斯 社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进。──恩格斯 在马克思看来，科学是一种在历史上起推动作用的、革命的力量。任何一门理论科学中的每一个新发现，即使它的实际应用甚至还无法预见，都使马克思感到衷心的喜悦，但是当有了立即会对工业、对一般历史发展产生革命影响的时候，他的喜悦就完全不同了。
无理数与实数(北京课改版)课件
实数的定义
实数是有理数和无理数的总称 。
实数包括有理数、无理数以及 有理数和无理数的混合数。
实数具有完备性和连续性，即 任意两个不相等的实数之间必 存在另一个实数。
无理数与实数的关系
无理数是实数的一个子集，即所有无理数都是实数，但不是所有实数都是无理数。
有理数和无理数共同构成了实数的完整集合，两者缺一不可。
总结1
无理数与实数的定义。无理数是 不能表示为两个整数的比的数， 而实数包括有理数和无理数。
总结2
无理数与实数的性质。无理数具 有无限不循环的小数表示，而实 数具有连续性和完备性等性质。
分析无理数与实数在实际应用中的重要性
分析1
无理数在几何学中的应用。无理数在 解决一些几何问题中起到关键作用， 例如计算圆的周长和面积。
无理数与实数(北京课改版 )ppt课件
contents
目录
• 无理数与实数的定义 • 无理数的性质与表示 • 实数的性质与表示 • 无理数与实数的应用 • 总结与展望
01
无理数与实数的定义
无理数的定义
无理数是不能表示为 两个整数的比的数。
无理数在实数范围内 是不可数的。
无理数既不是有限小 数，也不是无限循环 小数。
分析2
实数在数学分析中的应用。实数的连 续性和完备性为数学分析提供了基础 ，使得数学分析中的定理和结论得以 成立。
展望无理数与实数未来的研究方向
展望1
探索无理数与实数的更多应用领域。随着科学技术的发展，无理数与实数将会 在更多领域得到应用，例如物理学、工程学等。
展望2
深入研究无理数与实数的性质和结构。目前关于无理数与实数的性质和结构仍 有许多未知领域，未来可以进一步深入研究，以揭示其更深层次的数学规律。
11.4无理数与实数
课后实践，拓展延伸
基础达标 1.数学书P49：8、9. 2.操作实践：制作一个表面积是12平方分 米的正方体纸盒. （1）这个正方体纸盒的棱长是多少？ （2）做出这个正方体纸盒.
Thank You!
人们发现的第一个无理数是 2 。据说，它的发现还曾掀 起一场巨大的风波。
古希腊毕达哥拉斯 学派是一个研究数学、科学、哲学的
团体，他们推崇比例论，即认为一切数都是整数或者是整数
之比。有一个名叫希帕蒂斯 的学生，他画一边长为1的正方
形，ห้องสมุดไป่ตู้对角线为x，他想：x代表正方形对角线长，而x×x=2， 那么x必定是确定的数。但它是整数还是分数呢? 他证明x不 能是整数，因1×1=1, 2×2=4, x×x=2，x必定大于1而小于2， 1与2之间却没有别的整数。那么x会不会是分数呢? 毕达哥拉 斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个分数。
（2）无理数是无限小数（ ）
（3）无理数是带根号的数（ ）
（4）带根号的数是无理数（ ）
（5） 3 15 4
（）
（6）形如 a, 3 a 的数是无理数（ ）
应用新知，强化理解
1.估计 11 ，3 5 介于哪两个连续的整数之间， 更接近哪个整数？
应用新知，强化理解
我们班的学农基地是一块400平方米的正方形 土地，老师想沿着朝南一边的方向划分出一块面积 为300平方米的长方形土地种植芝麻，使它的长宽 之比为3:2，老师不知能否划分出来.体育委员见了 说：“老师不用愁，一定能从面积大的土地中划分 出一块面积小的芝麻地的”，你同意体育委员的看 法吗？老师能划分出符合条件的芝麻地吗？为什么？
探究活动
整数 精确到0.1 精确到0.01 精确到0.001
小于 2
人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教案1
人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教案1一. 教材分析人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》这部分内容，主要让学生了解无理数和实数的概念，理解无理数和实数在数轴上的位置关系，以及它们在数学中的应用。
这部分内容是初中的重要知识，也是高中数学的基础。
二. 学情分析初中的学生已经有了一定的数学基础，但是对于无理数和实数这样的抽象概念，可能还比较难以理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出无理数和实数的概念，并通过具体的例子，让学生感受无理数和实数在生活中的应用。
三. 教学目标1.让学生了解无理数和实数的概念，理解它们在数轴上的位置关系。
2.让学生能够运用无理数和实数的知识，解决实际问题。
3.培养学生抽象思维的能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：无理数和实数的概念，无理数和实数在数轴上的位置关系。
2.难点：无理数和实数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出无理数和实数的概念。
2.使用多媒体教学，通过动画、图片等形式，让学生更直观地理解无理数和实数。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中巩固无理数和实数的知识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.无理数和实数的教学素材。
3.小组合作学习的指导手册。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出无理数和实数的概念。
问题：如果一个正方形的边长是2，那么它的对角线的长度是多少？2.呈现（10分钟）通过多媒体教学，呈现无理数和实数的定义，以及它们在数轴上的位置关系。
3.操练（10分钟）让学生通过小组合作学习的方式，解决一些与无理数和实数有关的问题。
4.巩固（10分钟）让学生回答一些关于无理数和实数的问题，以巩固他们刚刚学到的知识。
5.拓展（10分钟）让学生通过一些实际的例子，了解无理数和实数在生活中的应用。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生了解他们今天学到了什么。
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代数（二）根式计算（二）——无理数与实数【知识要点】1．无理数：定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.14159261.414213=，－1.010010001…，都是无理数。
注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；2．实数：有理数和无理数统称为实数。
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a 、b 互为相反数。
②倒 数：若0a ≠，则1a称为a 的倒数，0没有倒数。
1ab a =⇔、b 互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩【典型例题】例1 在实数3.14，25， 3.33330.412⋅⋅，0.10110111011110…，π，中，哪些是有理数，哪些是无理数？例2 （1）下列说法中，正确的是（ ）A ．带根号的数是无理数B ．无理数都是开不尽方的数C ．无限小数都是无理数D ．无限不循环小数是无理数（2）下列说法正确的是（ ）A ．若a 为实数，则a 大于－aB ．实数m 的倒数一定是1mC ．若实数x 、y ，有x y =，则x =yD ．任何负数的倒数都小于它的相反数例的相反数之和的倒数的平方为 。
例4 设a 、b 互为相反数，但不为0，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭的结果是 。
例5 试比较下列各组数的大小；①②，1π-，310-例6 （1）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，化简a b b c c a -+---（2）当01x <<时，2x 、x 、1x的大小顺序是（ ） A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x << 例7 （1）已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=（2）若210x -=，求20012002x y +的值。
例8 已知12a +=，31b +=，求a+b 的最小值。
【练 习】A 组1． 小数，叫做无理数。
2．大于的负整数是 。
3．1的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。
4．比较大小：－7 －（填“＞”，“＜”或“＝”）5，(2，1.23⋅，913，3π，0.232232223…（两个3之间依次多一个2）中无理数的个数有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．下列命题中，正确的个数是（ ）①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数；③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数；⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。
A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）①带根号的数是无理数；（ ）（ ）③绝对值最小的实数是0；（ ）④平方等于3；（ ）⑤有理数、无理数统称为实数；（ ）⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ）⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ）⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。
（ ）8．已知x ，则x 等于（ ）A B ．1.414 C ． D ． 1.414±9．已知实数x 满足x x =-，则（ ）A ．0x >B ．0x ≥C ．0x <D ．0x ≤10，215的大小关系是（ ）A 215<< B ．215<215<<215<<B 组11．13，2π，3.1416，0.5,227中，有理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．a 一定是（ ）A ．有理数B ．正无理数C ．正实数D ．正有理数13．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．倒数等于本身的数只有1B ．绝对值等于本身的数只有0C ．相反数等于本身的数只有0D ．算术平方根等于本身的数只有114．下列说法不正确的是（ ）A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数B ．整数可以看成是分母为1的分数C ．有理数都可以化为分数D ．无理数是开方开不尽的数15．代数式21a +，y ，()21a -中一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个16 ）A ．m 是完全平方数B ．m 是负有理数C ．m 是一个完全平方数的相反数D ．m 是一个负整数17．－3的负倒数是（ ）A ．3B ．－3C ．13D ．13- 18．已知2x =，3y =，且0xy <，则x y +的值为（ ）A ．1B ．±1C ．5D ．±519．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ）A ．整数B ．分数C ．有理数D ．无理数20．一个数是它的倒数的4倍，则这个数是（ ）A ．4B ．±4C ．2D ．±22110b -=，则33a b -+= 。
22．()02234π-+-= 。
C 组23．一个正数扩大到原来的9倍，则它的算术平方根扩大到原来的 。
24．若a π-=a π-，则4a -= 。
25．若a=5，b=-a -= 。
26．比较下列各组实数的大小：（1）11与； （2）227π--与（3）（4）1127π--与27．已知4y =，求y x28．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数。
求：2222a b a b--+的值。
29．化简1230y x 和()1xy -的值。
D 组31．已知x 、y 是实数，且()21x y +-x y 的负倒数。
32．已知224410260x y x y +-++=，求12x y -的算术平方根。
33．若b a b a b a -≠,,,都是有理数，那么a 和b （ ）（A ）都是有理数 （B ）一个是有理数，另一个是无理数（C ）都是无理数 （D ）是有理数还是无理数不能确定34．已知实数a 满足a a a =-+-19931992，那么21992-a 的值是（） （A ）1991 （B ）1992 （C ）1993 （D ）199435．若014)2003(2=++-y x ，则=+--y y x 3)2(102 。
36．如果实数y x ,满足,04496222=+-+-x y xy x 那么x y = 。
【趣数什锦】第一次数学危机公元前五百多年，在古希腊出现了一个毕达哥拉斯学派，那是一个集政治、宗教、学术于一体的组织，它的领导人是毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572～公元前497年）。
毕达哥拉斯学派继承和发展了泰勒斯的数学思想，认识到数学是以演绎推理为特点的，演绎推理所得到的结果常常与由观察得到的结果相符合，并且有些由观察难以得出的结论却可以由演绎推理得出，还注意到有些本质上完全不同的现象却表现出相同的数学性质，毕达哥拉斯学派无法解释这种现象，从而把它神秘化，产生了一种幻觉，认为数是万物的本原，即所谓“万物皆数”。
宇宙中的一切事物，都可以通过数来表达。
不过，他们所说的“数”，指的是整数和分数。
即我们今天所接触的正有理数。
毕达哥拉斯学派据说还发现并证明了勾股定理，勾股定理在我国称为商高定理：“直角三角形两直角边（长的直角边叫股，短的直角边叫勾）的平方和等于斜边的平方”。
这是数学中一个十分重要的定理。
当毕达哥拉斯发现这一定理后，马上预见到它的重要性，欣喜若狂。
当即下令杀了100头牛，举行“百牛大祭”，来感谢神的启示，并庆祝自己的成功。
勾股定理的发现，给毕达哥拉斯学派带来了极大的荣誉，可是乐极生悲，正是这一定理的发现，给毕达哥拉斯学派的信仰带来了致命的打击，原来毕达哥拉斯学派所说的“万物皆数”指是都是整数或分数（两整数之比）。
但是根据勾股定理，如果设一个正方形各边的长度为1，那么它的对角线长的平方就等于2。
什么样的数的平方等于2呢？毕达哥拉斯学派找不到这样的整数和分数，既然如此简单的正方形的对角线之长都不能用数来表示，还谈什么“万物皆数”呢？毕达哥拉斯的一个学生希伯斯指出“这个数不是整数，也不是分数，而是一种人们尚未认识的新数”。
希伯斯一语中的，石破天惊，这一下彻底动摇了“万物皆数”的神秘哲学的基础。
毕达哥拉斯大为震骇，下令封锁这一发现，并声称谁胆敢泄露这一机密给局外人，就要将他处以极刑。
可是，严刑重罚从来就禁锢不住真理，这一事实很快被公之于众，宣布了“万物皆数”的破产，引发了数学史上所谓的“第一次数学危机”，从而导致了实数理论的诞生。
据说，毕达哥拉斯的弟子希伯斯等人因为坚持真理，违背了毕达哥拉斯的禁令，公布了事实的真象，因而遭到同伴的杀害，被抛尸大海，葬身鱼腹。