无理数与实数
实数可以分为有理数和无理数两类
实数可以分为有理数和⽆理数两类最后⼀条是区分实数和有理数的关键。
例如所有平⽅⼩于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在实数上界（因为不是有理数）。
实数通过上述性质唯⼀确定。
更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯⼀的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。
5相关性质基本运算实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘⽅等，对⾮负数（即正数和0）还可以进⾏开⽅运算。
实数加、减、乘、除（除数不为零）、平⽅后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次⽅，结果仍是实数，只有⾮负实数，才能开偶次⽅其结果还是实数。
4图册四则运算封闭性实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满⾜下列三个关系之⼀：ab.传递性实数⼤⼩具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.阿基⽶德性实数具有阿基⽶德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另⼀个实数，既有有理数，也有⽆理数.唯⼀性如果在⼀条直线（通常为⽔平直线）上确定O作为原点，指定⼀个⽅向为正⽅向（通常把指向右的⽅向规定为正⽅向），并规定⼀个单位长度，则称此直线为数轴。
任⼀实数都对应与数轴上的唯⼀⼀个点；反之，数轴上的每⼀个点也都唯⼀的表⽰⼀个实数。
于是，实数集R与数轴上的点有着⼀⼀对应的关系。
完备性作为度量空间或⼀致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：⼀.所有实数的柯西序列都有⼀个实数极限。
有理数集合就不是完备空间。
例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。
实际上，它有个实数极限√2。
初中数学无理数与实数
无理数与实数【知识要点】1．无理数：定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.14159261.414213 ，－1.010010001…，都是无理数。
注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；2．实数：有理数和无理数统称为实数。
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a 、b 互为相反数。
②倒 数：若0a ≠，则1a称为a 的倒数，0没有倒数。
1ab a =⇔、b 互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩【典型例题】例1 在实数3.14，25，3.33330.412⋅⋅，0.10110111011110…，π， 中，哪些是有理数，哪些是无理数？例2 （1）下列说法中，正确的是（ ）A ．带根号的数是无理数B ．无理数都是开不尽方的数C ．无限小数都是无理数D ．无限不循环小数是无理数（2）下列说法正确的是（ ）A ．若a 为实数，则a 大于－aB ．实数m 的倒数一定是1mC ．若实数x 、y ，有x y =，则x =yD ．任何负数的倒数都小于它的相反数例3的相反数之和的倒数的平方为 。
例4 设a 、b 互为相反数，但不为0，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭的结果是 。
例5 试比较下列各组数的大小；①和②，1π-，310-例6 （1）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，化简a b b c c a -+---（2）当01x <<时，2x 、x 、1x的大小顺序是（ ） A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x <<例7 （1）已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=（2）若210x -+=，求20012002x y +的值。
初一-实数复习(1)(教师版)
… … 有理数集合 无理数集合 OACB 题型2：实数的分类【例2-4】实数可分为正实数，零和__负实数__.正实数又可分为_正有理数_和_正无理数__，负实数又可分为_负有理数_和_负无理数__. 【例2-5】下列说法正确的是( D )A.实数包括有理数、无理数和零B.有理数包括正有理数和负有理数C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D.无论是有理数还是无理数都是实数【例2-6】 把下列各数分别填在相应的集合里：,722 1415926.3，7，8-，32，6.0，0，36，3π，⋅⋅⋅313113111.0。
举一反三 把下列各数填在相应的表示集合的大括号内.-6，π，-23，-|-3|，227，-0.4，1.6，6，0，1.101 001 000 1… 整数：{ -6，-|-3|，0 ,…}， 负分数：{ -23，-0.4 ,…}， 无理数：{ π，6，1.101 001 000 1… ,…}.知识点三：实数与数轴实数与数轴数轴定义： 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可。
实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小。
【例3-1】把无理数5在数轴上表示出来。
分析：类比2的表示方法，我们需要构造出长度为5的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示5。
解：如图所示，,1,2==AB OA 由勾股定理可知：5=OB ,以原点O 为圆心，以OB 长度为半径画弧，与数轴的正半轴交于点C ,则点C 就表示5。
【例3-2】下列结论正确的是( D ) A.数轴上任一点都表示唯一的有理数 B.数轴上任一点都表示唯一的无理数 C.两个无理数之和一定是无理数D.数轴上任意两点之间还有无数个点【例3-3】比较下列各组实数的大小：（1）4，15 （2）π，1416.3 （3）23,23-- （4）33,22举一反三 若将三个数-3，7，17表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_____7_____.举一反三 如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O ′,点O ′所对应的数值是____π______.三、课堂练习一、选择题1．下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对D ．是近似值，无法在数轴上表示准确22．下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数 3．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（ ）A ．±1B ．0和1C ．0和－1D ．0和±14．估计的大小应在（ ）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间5．－27的立方根与的算术平方根的和是（ ）A ．0B ．6C ．6或－12D ．0或66．实数和的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．7．一个正方体水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在（ ）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间8．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）A ．P 点B ．Q 点C ．M 点D ．N 点二、填空题9．__无限不循环小数____叫无理数，__有理数和无理数___统称实数． 10．___实数___与数轴上的点一一对应． 11．把下列各数填入相应的集合：－1、、π、－3.14、、、、． （1）有理数集合｛ －1、－3.14、 、 ｝；（2）无理数集合｛、π、、 ｝； 768176.2、227226.2<<226.27<<2276.2<<76.222<<153926-22-7.0&97.0&326-22-②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
第二讲 无理数与实数
第二讲 无理数与实数【基础知识精讲】一、实数有关概念1．有理数：整数和分数统称有理数。
有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2．无理数：无限不循环小数叫做无理数（eg:π）。
无理数必须满足三个条件：①小数；②是无限小数；③不循环，三者缺一不可。
3．有理数和无理数统称为实数. 4．实数的分类 ：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数)()()( 例1：将下列各数填在相应括号内：35，3.14，⋅⋅12.0，38-，32-，3333+-，π有理数集合{ }； 整数集合 { }； 正数集合 { }； 分数集合 { }； 实数集合 { }。
变式：下列各数中，哪些是正数？负数？有理数？无理数？.343555,3.1416,,27,0.64,0.4,,0.38,16,0.12112111211112,.47π----正数集合：{ } 负数集合：{ } 有理数集合：{ } 无理数集合：{ } 例2：判断正误（1）有理数包括整数、分数和零 （ ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ ） （3）不带根号的数都是有理数 （ ） （4）带根号的数都是无理数 （ ） （5）无理数都是无限小数 （ ） （6）无限小数都是无理数（ ）变式：在数0.222；－∙∙24.1；2.525252…；π-3；－43；1.1351335…；3.1416；32；(－1)2；－1.424224222…其中无理数的个数为（ ）. A ．1个 B.2个C.3个D.4个二、与实数有关的概念5．实数和数轴上点的对应关系:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的关系. 6．实数的几个概念. （1）相反数；（2）倒数；（3）绝对值都和有理数范围内的概念相同.例3：32-的相反数是________________；绝对值是_________________。
11.4无理数与实数(1)
教学过程：一、预设问题：1、 什么是无理数？怎样判断？2、 无理数能在数轴上表示吗？ 二、课前学习：1、9的平方根是 ,3的算术平方根是 .2、4的平方根是 ,2的算术平方根是 .3、 和 统称有理数。
4、下列各数，－，π，0.010010001……，既不是 ，也不是 ，所以它们都 （是，不是）有理数。
三、自学探究：按照教材P44—P45动手操作，并完成下列问题：1. 无理数的定义：我们把 叫做无理数。
2.无理数有不同的表现形式，如： 都是无理数四、合作探究：1.无限小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数。
2.把下列各数填入相应的集合内：213、8、0、27、、0.5、3.14159、--0.020020002、0.131131113……. 有理数集合（ ） 无理数集合（ ）3.下列说法正确的是 ( )A. 有理数是有限小数B. 无理数是无限小数C. 无限小数是无理数D. 是分数五、拓展提升233π3π你能在数轴上找到表示的点吗？六、归纳总结几种对无理数的错误认识：(1)“无理数就是没有理由的数”。
这是一种望文生义的错误认识。
实质上，无理数在现实世界中也是有意义的。
如a 2=2中的a 表示 .(2)“无理数就是无限小数”.这显然是错误的。
如∙3.0就不是无理数，=∙3.0 ,它是有理数.(3)“无理数的和、差、积、商仍是无理数.” 这显然是错误的。
如π－π = ，π÷π = .七、课后反思：八、课堂检测：1．_________小数或____________小数是有理数，____________小数是无理数． 2．2x = 8，则x______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”）3．以下各数：－1,23 ,3.14,－π,3.3,0,2,722 ,24 ,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1),其中，有理数有_____________，无理数有_______________.在以上有理数中，分数有__________，整数有____________.4．下列说法中正确的是（ ）A ．不循环小数是无理数B ．分数不是有理数C ．有理数都是有限小数D ．3.1415926是有理数5．下列语句正确的是（ ）A ．3.78788788878888是无理数B ．无理数分正无理数、零、负无理数C ．无限小数不能化成分数D ．无限不循环小数是无理数6．下列六种说法：○1无限小数都是无理；○2正数、负数统称有理数；○3无理数的相反数还是无理数；○4无理数与无理数的和一定还是无理数；○5无理数与有理数的和一定是无理数；○6 无理数与有理数的积一定仍是无理数。
北京四中七年级上册数学无理数与实数(提高)知识讲解
无理数与实数（提高）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，要点二、实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R 表示.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念 1、把下列各数分别填入相应的集合内：32147π，52-2203，538490，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）【答案与解析】 解：有理数有：14， 52-，38，490， 327，π，2203，5 0.3737737773…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……327，2203，5-. 举一反三：【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.(1)无理数都是开方开不尽的数.( )(2)无理数都是无限小数.( )(3)无限小数都是无理数.( )(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )(5)不带根号的数都是有理数.( )(6)带根号的数都是无理数.( )(7)有理数都是有限小数.( )(8)实数包括有限小数和无限小数.( )【答案】(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020 020 002…这类的数也是无理数.(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.(4)(×)0是有理数.(5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数. … 有理数集合 … 无理数集合(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.(7)(×)有理数还包括无限循环小数.(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示.类型二、实数大小的比较2、比较20101-与19491+的大小．【思路点拨】根据a b <，b c <，则a c <来比较两个实数的大小．【答案与解析】解：因为201012025145144-<-=-=，194911849143144+>+=+=．所以20101-＜19491+ 【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.举一反三：【变式】解：已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图所示，试化简：||||||||x z x y y z x z x z---++++-．【答案】由图知0x y <<，0z >，0x z -<．∴ 0x y -<，0y z +>，0x z +>，0x z -<．∴ ||||||||x z x y y z x z x z---++++- ()()()()1x z x y y z x z x z --=---++++=--． 类型三、实数的运算3323m m【答案与解析】解：（1）当m ≥02m m =33m m =，3232m m m m m =+=．（2）当m ＜02m m =-33m m =，3230m m m m =-+=．323m m 0或2m ．【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对m 的讨论，而开立方不需要讨论符号．举一反三：【变式】若a 的两个平方根是方程322x y +=的一组解．（1）求a 的值；（2）求2a 的算术平方根．【答案】解：（1）∵ a 的平方根是322x y +=的一组解，则设a 的平方根为1a ，2a ， 则根据题意得：1212322,0,a a a a +=⎧⎨+=⎩解得122,2.a a =⎧⎨=-⎩ ∴ a 为2(2)4±=．（2）∵ 22416a ==．∴ 2a 的算术平方根为4．类型四、实数的综合运用4、已知2(21)30a b b -++-=34c =333a b c ++ 【答案与解析】解：∵ 2(21)30a b b -++-=，且2(21)0a b -+≥30b -≥．∴ 2(21)0,30a b b -+=-=且，即210a b -+=，30b -=．解得 b ＝3，a ＝534c =得c ＝64．∴333333353642166a b c ++++==．【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由210a b -+=，30b -=可求a 、b 34c =，所以c ＝64333a b c ++举一反三： 23|9|0x y x -+-=，求x y 的值． 【答案】解：知条件得2309030x y x x -=⎧⎪-=⎨⎪+≠⎩①②③，由②得29x =，3x =±，∵ 30x +≠，∴ 3x ≠-，则3x =． 把3x =代入①得330y -=，y ＝1． ∴ 331xy ==．。
人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教案1
人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教案1一. 教材分析人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》这部分内容，主要让学生了解无理数和实数的概念，理解无理数和实数在数轴上的位置关系，以及它们在数学中的应用。
这部分内容是初中的重要知识，也是高中数学的基础。
二. 学情分析初中的学生已经有了一定的数学基础，但是对于无理数和实数这样的抽象概念，可能还比较难以理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出无理数和实数的概念，并通过具体的例子，让学生感受无理数和实数在生活中的应用。
三. 教学目标1.让学生了解无理数和实数的概念，理解它们在数轴上的位置关系。
2.让学生能够运用无理数和实数的知识，解决实际问题。
3.培养学生抽象思维的能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：无理数和实数的概念，无理数和实数在数轴上的位置关系。
2.难点：无理数和实数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出无理数和实数的概念。
2.使用多媒体教学，通过动画、图片等形式，让学生更直观地理解无理数和实数。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中巩固无理数和实数的知识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.无理数和实数的教学素材。
3.小组合作学习的指导手册。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出无理数和实数的概念。
问题：如果一个正方形的边长是2，那么它的对角线的长度是多少？2.呈现（10分钟）通过多媒体教学，呈现无理数和实数的定义，以及它们在数轴上的位置关系。
3.操练（10分钟）让学生通过小组合作学习的方式，解决一些与无理数和实数有关的问题。
4.巩固（10分钟）让学生回答一些关于无理数和实数的问题，以巩固他们刚刚学到的知识。
5.拓展（10分钟）让学生通过一些实际的例子，了解无理数和实数在生活中的应用。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生了解他们今天学到了什么。
实数的概念与分类
实数的概念与分类在我们的数学世界中，实数是一个极其重要的概念，它贯穿了从基础数学到高等数学的各个领域。
要理解实数，首先得清楚它的定义和分类。
实数，简单来说，就是有理数和无理数的统称。
有理数，大家应该都比较熟悉，像整数，比如－3、0、5 等等；还有分数，比如 1/2、－3/4 等等，这些都属于有理数的范畴。
有理数可以表示为两个整数的比值。
那什么是无理数呢？无理数是指那些不能表示为两个整数之比的数。
最常见的无理数就是圆周率π和自然对数的底数e 了。
还有像根号2 、根号 3 这样开方开不尽的数，也是无理数。
我们先来仔细看看有理数。
整数很好理解，就是像－2、－1、0、1、2 这样的数，它们没有小数部分。
而分数呢，比如 1/2 ，它表示把一个整体平均分成 2 份，取其中的 1 份。
有理数在我们的日常生活中应用非常广泛。
比如去买东西算价格，或者计算路程和时间的关系等等，很多时候用到的都是有理数。
接下来谈谈无理数。
以根号 2 为例，它的值约等于 141421356 是一个无限不循环小数。
为什么说它是无限不循环的呢？假设我们去计算根号 2 的小数部分，如果一直计算下去，是找不到任何规律的，不会像 1/3 等于 03333 这样循环。
无理数的发现其实还有一段有趣的历史。
在古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数指的是有理数。
但是后来他们的一个成员发现了根号2 不能表示为有理数，这在当时引起了巨大的震动。
实数的分类除了按照有理数和无理数来分，还可以从正负的角度来看。
正实数，就是大于 0 的实数，比如 2、35、π 等等。
负实数则是小于 0 的实数，像－1、－25 等等。
0 既不是正实数，也不是负实数。
在数轴上，实数与点是一一对应的。
也就是说，每一个实数都能在数轴上找到一个唯一对应的点；反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个唯一的实数。
这种一一对应的关系非常重要，它帮助我们更好地理解实数的连续性和稠密性。
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6.3 《无理数与实数》导学案
教学目标：
1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类
2.知道实数与数轴上点的一一对应关系
教学重点： 实数的概念及实数的分类 教学难点： 理解的无理数意义 教学过程：
【知识回顾，创设情境】
1、 把下列各数按要求填在横线上：
1.91， 0，-52，+75，18，-7.5，
，3.101001000100001 (4)
4
3-
整数 ；分数 ；正数 。
2、 有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准？请在小组内交流。
3、
4、
9
5
,9011,119,847,53,3-
发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 猜想：有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗？
验证：下列有限小数能化为分数吗 5、2.3、0.25、1.334, …… 验证：无限循环小数能转化为分数吗？ 阅读下列材料
设x=0.3=0.333…① 则10x ＝3.333… ② ②－①,得:９x=3,解得x=1/3，即0.3=1/3
仿此法：能把0.21，0.125化成分数吗？试试看。
【合作交流，探究新知】
【活动1】无理数的概念
问题： 我们在求一个数的平方根或立方根时发 现有些数的平方根或立方根是无限不循环数。
如
2=1.41421356 … ,又如 π＝3.14159265…,还有
1.101001000100001 …(每两个1
之间依次多一个0）。
这些小数有什么共同点？它们是有理数吗？如果不是，那么它们是什么数呢？
1、 无
2、 常
你们的结论是 【活动2】无理数与数轴的关系
我们知道有理数能用数轴上的点来表示；那么无理数是否也能用数轴上的点来表示呢？
探究1：如图，在数轴上，以一个单位长度为边长
画正方形，则对角线的长度就是2，以原
点为圆心，以对角线长为半径画弧，与正
半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点 就是 。
探究2：如图所示，直径为1个单位
长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O ′，那么点O ′所表示的数是 ；若向原
归纳：(1)无理数都是无限小数. (2)带根号的数是无理数.
(3)数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数 应用：在这些数5， 3.14， 0， 3 ，3
4- ， 0.57 ，4- ，- π，
0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中．
有理数有 ；无理数有 ； 整数有 ：分数有
【活动3】实数的概念及分类
定义： 统称为实数
分类：按照定义分类如下： 按照正负分类如下：
实数
【活动4】实数与数轴上点的对应关系
1、每一个有理数都可以用 的一个点来表示，每一个无理数都可以用 的一个点来表示
2
3
【应用举例，巩固拓展】
例1、把下列实数按要填在相应的集合中
① 理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④整数集合： ｛ …｝．
②有一定的规律，但不循环的无限小数；
③圆周率及一些含有的数。
例2、写出一个3到4之间的无理数 点拨1：按无理数的概念来构造
例3、如图，数轴上表示1 的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点
为点C ，则C 点表示的数是
点拨：①计算AB 两点间的距离
②利用点的对称性得AC 两点间的距离
【知识小结，反思提高】
１．通过今天的学习,用你自己的话说说你对下列三个问题的理解？
问题1 举例说明无理数的特点是什么？ 问题2 实数是由哪些数组成的？
问题3 实数与数轴上的点有什么关系？ ２．你的困惑是什么？请与同学们交流。
【课堂检测，提升能力】
１．判断正误，并说明理由．
⑴无限小数都是无理数； ⑵无理数都是无限小数； ⑶带根号的数都是无理数；
⑷有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；
⑸实数包括正实数、0、负实数； 2、把下列各数分别填在相应的括号里：
， ， ， ， ， ，
， ，0
①有理数（ ）；
②分数（ ）；
③正实数（ ）； ④非负整数（ ）．
3、观察数据，按规律填空2,2, 6
,
22, 10 …, (第n 个数) 4、满足—3＜x ＜5的整数X 是
【课堂作业，巩固提高】
1、下列各数π， 23）（-，3.14 ，2 ， 0 中有理数的个数有( ) A .2个 B . 3个 C .4个 D .5个
2、判断：
（1）无理数都是无限小数。
( )
（2） 是一个分数。
( )
（3）带根号的数都是无理数。
( ) （4）无理数一定都带根号。
( ) （5）两个无理数之积不一定是无理数。
( ) （6）两个无理数之和一定是无理数。
( ) (7）实数不是有理数就是无理数。
（ ） (8）无理数都是无限不循环小数。
（ ） (9）带根号的数都是无理数。
（ ） 3、把下列各数分别填入相应的集合里：
227
3.141,,,,,1.414,0.020202
,7378π----
正有理数{ …} 负有理数{ …} 正无理数{ … }
负无理数{ …}π
-
9-3564π
∙6.043-313.0240.157.5π0 2.33
∙
--，，，，，，．
2
π。