方阵问题
方阵问题日常生活中，我们经常见到把人或物排成正方形的形状，比如用花盆摆成正方形，同学们要参加运动会入场式，要进行队列操练，解放军排着整齐的方队接受检阅等，无论是训练或接受检阅，都要按一定的规则排成一定的队形，于是就产生了这一类的数学问题，在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题。
掌握这类问题的解题规律，可以提高我们的解题能力，培养思维的灵活性。
今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，恰好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它中空方阵。
观察中实方阵，我们不难发现方阵的基本特点：①方阵的每行物体个数与每列物体个数相等。
②去掉横竖各一排时，有且只有1个物体是同时属于被减去的一行和一列。
③如果把最外圈形成的正方形叫第一层，再向里一圈叫第二层的话，会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2，相邻两层相差总个数为8。
④每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1⑤中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数观察中空方阵，我们不难发现方阵的基本特点：中空方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－中空方阵的层数）×中空方阵的层数×4下面我们就利用以上特点进行解题。
例1 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？分析与解答：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数。
（2）去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A所示。
因此去掉的总人数＝原每行人数×2－1，或去掉的总人数＝减少后每行人数×2＋1。
本题中所求，即去掉的人数＝7×2－1＝13（人）或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人）还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人）或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人）答：如果去掉一行一列，要去掉13名学生，还剩下36名学生。
例2 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？分析与解答：如图，最外一层每边摆6枚，根据方阵每行每列个数相等特点，因此一共有6×6＝36枚棋子。
最外一层每边有6枚，如果用6×4＝24枚，就认为是最外一层棋子数的答案的话，那就错了。
因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列，这样棋子在计算总数时就被多数了一次，这样的顶点一共有4个，需要把多数的减去，才能得到正确的结果。
列式是6×4－4＝20枚。
说明：这道题还可以这样想：数每边棋子时，可以按上图先划分成4个相等的块，这样每边就有5枚了，因此用5×4＝20枚，也可以得到正确答案。
按照划分块的方法不同，至少还有两种方法，请同学们试一试。
例3 有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？分析与解答：要想求出方阵中一共有多少士兵，就应先求出方阵的最外层每边有多少人。
已知方阵最外一层有100人，用100÷4＝25人，每边是不是25人呢？不是的，因为平均分成4份后，还需要再加上1，才正好是每边上的人数，列式应该为100÷4＋1＝26人。
因此方阵中一共有26×26＝676人。
答：一共有676人。
说明：这道题关键是求出每边人数。
在求每边人数时，不要认为和“知道了正方形周长，求边长”一样，还必须要加上1。
例4 若干名同学排成中实方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满，请问：原有学生多少人？分析与解：由于纵横两个方向各增加1人，因此不但将剩余12人摆上，而且还差9人，说明一横行与一竖行的人数总和是12＋9＝21人。
又由于纵横两个方向各增加1人，因此只有1人同属于横行与纵行，在数每边上的人数时，总被多数一次，因此可以用21人先加上被重复数过的1人，再除以2，也就得到每边人数。
列式为（21＋1）÷2＝11人。
求出每边人数，就可求出假设排满后的人数，列式为11×11＝121人，用121人减去差的9人就是原来人数，列式为121－9＝112人。
也可以根据原来的方阵再加上12，请你试一试。
答：原有学生112人。
前四个例题涉及的都是实心方阵问题。
下面我们来研究中空方阵问题。
例5 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？分析与解答1：请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图，不难发现，有如下特点：（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2；（2）每相邻两层之间，点的总数相差8个。
最外层队员的总数：12×4－4＝44（人）三层共有队员的总数：44+（44－8）+（44－8×2）＝44+36+28＝108（人）分析与解答2：如下图可分成相等的四部分，每一部分的人数：（12－3）×3＝9×3＝27（人）三层共有队员数：27×4＝108（人）答：彩车周围的少先队员共有108人。
这个问题还有别的解法，请同学们自己试着做一下。
例6 小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？分析与解答1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点，可知最外层共有棋子数：（200+8+8×2+8×3+8×4）÷5＝56（个）最外层每边的棋子数：56÷4+1＝15（个）分析与解答2：如例5的图，把棋子分成相等的四部分。
每一部分的棋子数：200÷4＝50（个）每一部分每排的棋子数：50÷5＝10（个）最外层每边的棋子数：10＋5＝15（个）综合列式为：200÷4÷5＋5＝15（个）答：最外边一层每边有15枚棋子。
练习题1．实验小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，请问：四年级原来准备多少人参加表演？分析与解答：此题刚好是例1的逆向思考问题。
根据正方形队列的特点，可知原每行人数＝（去掉一行一列的人数＋1）÷2即：原来每行人数：（27＋1）÷2＝14（人）原来准备参加表演的人数：14×14＝196（人）答：四年级原准备196人参加表演。
2．一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？分析与解答1：把去掉4行4列转化为一行一列的去掉，就可用例6的结论：去掉一行一列的总人数＝原每行人数×2－1反复利用4次这个公式，只要注意“原每行人数”的变化，即可列式为：去掉4行4列的总人数＝20×2－1+（20－1）×2－1＋（20－2）×2－1+（20－3）×2－1＝40－1=38－1+36－1+34－1＝144（人）分析与解答2：我们还可以这样想：原来是一个7行7列的方阵，若去掉4行4列后，仍剩下一个小正方形方阵，因此去掉4行4列的总人数＝原正方形方阵每边人数－4，即去掉的总人数＝20×20－（20－4）×（20－4）＝400－256＝144（人）答：去掉4行4列，要减少144人。
3．正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？分析与解1：自己画图可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：12×4－4＝44（盏）分析与解2：还可以把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：（12－1）×4＝44（盏）答：这个舞厅四周共装彩灯44盏。
4．“六一”儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵，请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆?分析与解答：分析思路参见例6，最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数204÷4÷3+3=20(盆)答：最外面一层每边有鲜花20盆5．四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析：根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。
解答：（1）方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6（人）（2）整个方阵共有学生人数：6×6=36（人）答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。
6．明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？分析：（1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数。
（2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘以层数，再乘以4，计算出这个中空方阵共用棋子多少个。
解答：（1）最里层一周棋子的个数是：（15-2-2-1）×4=40（个）（2）这个空心方阵共用的棋子数是：（15-3）×3×4=144（个）答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子。
7．若干战士排成一个四层中空方阵，只知道最外一层每边有12人，请你求出总人数。
分析与解：我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行解答：由于最外层每边有12人，因此最外层一共有（12－1）×4＝44人，又根据方阵相邻两层，外层比内层人数多8的特点，因此第二层有44－8＝36人，第三层有36－8＝28人，第四层有28－8＝20人。
因此一共有44+36+28+20＝128人。
还可以这样想，把四层中空方阵划分如例5的形状，我们发现每个长方形可以看成四排战士，每排有8人组成。
因此一个长方形有8×4＝32人，一共有4个长方形，32×4＝128人。
当然还可以先把中空方阵看成中实方阵，然后再减去补上的小中实方阵人数，也可以求出一共有多少人，看成中实方阵后，最外一层每边12人，因此一共有12×12＝144人。
方阵问题
方阵问题同学们要参加运动会入场式，要实行队列操练，解放军排着整齐的方队接受检阅等，无论是训练或接受检阅，都要按一定的规则排成一定的队形，于是就产生了这个类的数学问题，今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点：(1)方阵不论哪一层，每边上的人(或物)数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系；四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4例1.三年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？分析：根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数=四周人数÷4+1，能够求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就能够求了。
解：(1)方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数：6×6=36(人)答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子？分析：(1)方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，能够求出最里层每边的个数，就能够求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数，再乘以层数，再乘以4，计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解：(1)最里层一周棋子的个数是：(15-2-2-1)×4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是：(15-3)×3×4=144(个)答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。
小学数学中年级篇--方阵问题
方阵问题知识归纳：1.方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2.方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83.方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数习题精练：1. 100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列.问减少了多少人？分析与解：100人排成10行10列的方阵，减去一行一列后剩下的是9行9列的方阵.9×9=81 (人)100-(10-1)×(10-1)=19 (人)答：减少19人.2. 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵.求原来两个方阵各有多少人？分析与解：10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人.大方阵人数应该在50～100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出当大方阵人数是64人，小方阵人数为36人时满足条件.答：大方阵有64人，小方阵有36人.3. 有一个用棋子摆成的方阵，如果再放入19枚棋子，可使每行每列上的棋子各增加一枚.原来的方阵中有多少棋子？分析与解：增加的19枚棋子，使原方阵增加了一行一列，其中有一枚棋子是这一行一列的交点，被重复计算了.因此增加后每边棋子数为(19+1)÷2=10(枚)，则原来最外层每边有9枚棋子.原来每边上的棋子数(19+1)÷2-1=9 (枚)；原来方阵中棋子总数9×9=81 (枚).答：原来的方阵中有81枚棋子.4. 180枚棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层有多少棋子？最外层每边有多少棋子？分析与解：由于外层比中层多8枚棋子，中层比内层多8枚棋子，因此中层的棋子数为180÷3=60(枚)，外层的棋子数为60+8=68(枚).利用公式：每边棋子数=总数÷4+1，可以求出每边有多少棋子.180÷3+8=68 (枚)；68÷4+1=18 (枚).答：最外层的有68枚，最外层每边上有18枚棋子.5. 在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人.参加团体操表演的共多少人？分析与解：根据层外层和最内层的人数，可以分别求出内外层每边的人数.一个空心方阵，可以看作从一个最外层有64人的实心方阵中，减去一个小方阵.外层每边人数64÷4+1=17 (人)；内层每边人数32÷4+1=9 (人)；中空方阵人数17×17-(9-2)×(9-2)=240 (人).答：参加团体操表演的共240人.6. 将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的中空方阵，此中空方阵的最外层每边有多少棋子？分析与解：棋子总数为16×16=256(枚)，由于“中空方阵总个数=(每边个数-层数)×层数×4”，所以“每边个数=中空方阵总个数以÷层数÷4+层数”.16×16÷4÷4+4=20 (枚).答：最外层每边有20枚棋子.7. 252名同学组成一个三层的空心方阵.如果要在方阵内部再增加一层，组成四层空心方阵要增加多少人？如果要在外部增加一层，又要增加多少人？分析与解：首先求出原三层方阵中间层的人数，由于每向里或向外一层，人数减少或增加8人，因此可以求出答案.中间层人数252÷3=84 (人)；向里增加一层需84-8×2=68 (人)；向外增加一层需84+8×2=100 (人).答：向内部增加一层需增加68人，向外部增加一层需100人.8. 同学们要把操场的盆花摆成实心方阵，结果还剩4盆，如果增加一行一列，又少15盆.求共有多少盆花？分析与解：由题目可知要增加的这一行一列共需花4+15=19(盆)，因此生边上有花(19+1)÷2=10(盆).如果摆满，将是由100盆花组成的实心方阵，但实际上只有100-15=85(盆).增加的那条边上有花(4+15+1)÷2=10 (盆)；实际有花10×10-15=85 (盆).答：共有85盆花.9. 一群学生，如果排成三层空心方阵多10人，如果在中空部分增加一层又少6人，问有多少学生？分析与解：增加的那一层人数应为10+6=16(人)，从而可求出此每边人数及最外层每边人数.增加的那一层每边人数(10+6)÷4+1=5 (人)；最外层人数5+2×3=11 (人)；四层方阵总人数(11-4)×4×4=112 (人)；实有人数112-6=116 (人).答：共有学生106人.10. 有一群学生排成三层中空方阵，多9人.如中空部分增加两层，又少15人.问有学生多少人？分析与解：增加的两层人数为9+15=24(人)，这两层人数之差是8人.因此最里层有(24-8)÷2=8(人).现在的方阵共5层，那么最外层有8+8×4=40(人)，知道最外层人数及层数就不难求出总人数.最外层人数(9+15-8)÷2+8×4=40(人)；总人数40+(40-8)+(40-8×2)+9=105(人).答：有学生105人.11. 用若干围棋子摆成一个方阵，有两行两列都是黑棋，共48枚，其余都是白棋.白棋有多少枚？分析与解：方阵中的每行每列，棋子数都是一样的。
小学数学典型应用题16：方阵问题(含解析)
小学数学典型应用题16：方阵问题（含解析）方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）。
根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4解题思路和方法方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。
那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。
2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。
所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。
例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。
2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。
知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。
最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。
小学数学应用题之方阵问题
小学数学应用题之方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。
那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。
2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。
所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。
例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。
2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。
知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。
最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1）×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。
小学数学《方阵问题》
小学数学《方阵问题》方阵问题[含义]将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
[数量关系](1)方阵每边人数与四周人数的关系:四周人数=(每边人数-1)x4每边人数=四周人数÷4+1(2)方阵总人数的求法:实心方阵:总人数=每边人数x每边人数空心方阵:总人数=(外边人数)-(内边人数)内边人数=外边人数-层数x2(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则:总人数=(每边人数-层数)x层数x4[解题思路和方法]方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?解22x22=484(人)答:参加体操表演的同学一共有484人。
例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解10*10-(10-3x2)*(10-3x2)=84(人)答:全方阵84人。
练习题1.同学们围成一个正方形做游戏，每边站20人，四个顶点都有人，最外圈一共有()人.A. 72B.76C.802.一个8x8的方阵(每列8人，有8列)，如果想增加两行、两列，排成一个10x10的方阵，那么需要增加()人。
A.32B. 36C.40D.443.王大爷在一个正方形鱼池边上植树，每隔4米种一棵，每边等距离植10棵树(四个角上都植有树)，鱼池的一周长()米。
A.160B.156C.164D.1444.四年级同学举行队列表演，共组成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。
最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿红色运动服。
一共要准备()套红色运动服。
A.80B.64C. 36D. 165.若干名学生排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么，原有学生()人.A.902B.136C.240D.3606.一张正方形餐桌配4把椅子，一张圆形餐桌配6把椅子，某饭店买了5张正方形餐桌配把椅子，又买了4张圆形餐桌配-_把椅子，两次一共配了____把椅子。
方阵问题带答案版
层数： （9-1）÷2+1=5（层）
8、若干名同学站成一个10×10的实心方阵.请问： 最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？ 从里向外算起的第3层有多少人？
最外层人数：
（10-1）×4=36（人）
层数： 10÷2=5（层）
从里向外第3层人数：
4+8×2=20（人）
或 36-2×8=20（人）
最外层人数 ： （6-1）×4=20（人）
总人数 ： 20+（20-8）=32（人）
4、某校少先队员可以排成一个四层空心方阵，如果 最外层每边有20个学生, 问：（1）这个空心方阵最里边一周有多少个学生? （2）这个四层空心方阵共有多少个学生? （1）最外层人数：（20-1）×4=76（个）
最里边人数：76-3×8=52（个）
每边人数：48÷4+1=13（人）
总人数：13×13=169（人）
3、三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最 外层一周的人数为20人。 问：（1）方阵最外层每边的人数是多少? （2）这个方阵共有多少人?
（1）每边人数：20÷4+1=6（人） （2）总人数：6×6=36（人）
4、军训的学生进行队列表演，排成一个7行7列的 正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？ 还剩下多少人？
例题： 1、有一个正方形池塘。四个角都栽一棵树。棵）
2、用围棋排成三层空心方阵，最里层共有12颗， 求这个方阵共有棋子多少颗？
12+8=20（颗） 20+8=28（颗）
12+20+28=60（颗）
3、四（1）班的学生进行队列训练，排成两层空 心方阵，已知最外层每边有6人，求这个班共有多 少人？
（2）总人数：52+60+68+76=256（个） 或 （52+76）×4÷2=256（个）
简单的方阵问题
简单的方阵问题例1：聪聪和明明玩下五子棋的游戏，他们的小棋盘每横行和每竖行都有11个交叉点(如下下图所示)。
(1)最外层可以摆放多少个棋子？(2)把棋盘全部摆满可以摆放多少个棋子？【举一反三】：１、要在一个正六边形花坛上摆上一盆盆的鲜花，要使每一边上都摆7盆鲜花，每个顶点都摆一盆，一共需要多少盆鲜花？２、八角形亭子每边上放6把椅子，每个顶点上都放有一把。
一共需要多少把椅子？例2：四年级（3）班同学排成一个实心方阵跳集体舞，最外层一周的人数为24人，请问方阵最外层每边有多少人？四（3）班一共有多少人？【举一反三】：１、实验小学操练大型团体操，同学们排成一个方阵,最外层一周共有156人,问这个方阵共有多少人?2、有一块正三角形场地。
沿四周等距离地植了27棵树，每个顶点上都有一棵。
问每条边上有多少棵树？例３：小会议室的椅子摆成一个三层的空心方阵,最外层每边有11把椅子,这个方阵最外层一共有多少把椅子?这个三层空心方阵一共有多少把椅子?【举一反三】：１、国庆节前夕，解放公园举行菊展。
在一座塑像的周围，围成一个两层的菊花方阵。
最外层每边上有10盆菊花。
求最外面一层有多少盆菊花？一共有多少盆菊花？2、聪聪用围棋子摆了一个三层的空心方阵，最外层每边有9个棋子。
聪聪摆的这个方阵一共用了多少个棋子？3、战士们站成一个两层的空心方阵训练队列。
最里层每边有4人。
一共有多少个战士参加训练？例４：64名同学站成一个两层的空心方阵上体育课。
请问最外面一层每边有多少名同学？【举一反三】：1围一块正方形场地植两圈树，共80棵。
每一圈每边有多少棵树？2有72盆花摆成一个三层的空心方阵，这个方阵的最外层有多少盆花？数学冲浪1、在一块正方形地四周种树，每边都种了12棵，并且四个顶点都种有一棵树。
问这个场地四周共种树多少棵？？2、沿一块三角形场地插红旗，每边插6面，每个顶点插一面。
一共了插多少面红旗？3、四（5）班同学有44人，他们围成一个正方形。
方阵问题
自我尝试
老师解析
摘星自评
（1）学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？
例4：一个街心花园如图所示，它由四个大小相等的等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上载有多少棵花？整个花园中共栽有多少棵花？
（2）有战士若干，排成4层的中空方阵，最外层每边人数是10人，问战士多少人？
B．挑战自我
（1）有一队学生排列成一个中空方阵，最外层人数共有52人，最内层人数共28人，问这队学生有多少人？
方阵的基本特点：
1、方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同。每向里一层，每边上的人数就少2。
2、每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
自我尝试
老师解析
摘星自评
（1）同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人？
（1）小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子。请问：最外边一层每边有多少枚棋子？
A．强化自我
（1）明强小学有576名学生进行列队训练，若排成三层空心方阵，这个方阵的最外层有多少人？
四周人（或物）数 = [ 每边人（或物）数 -1 ]×4
每边人（或物）数 = 四周人（或物）数÷4 + 1
3、中实方阵总人（或物）数 = 每边人（或物）数×每边人（或物）数
（1）一个正方形棋盘，四边各放5枚围棋子（四个角上都要有一枚），那么一共有多少枚围棋子？
（2）有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人。如果每边站的人数相等，那么每边站多少个学生？
小学三年级奥数第7讲 方阵问题(含答案分析)
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
方阵问题
方 阵 问 题总说：中空方阵总人数为总数层数外边外边=⨯-22)2-()(（外边—层数）×层数×4=总数 2层数×4+层数（外边—层数×2）×4=总数这三个公式可以互相转换。
上面的公式由上图可以显见。
如上图中外边有11个圆点共三层，那么空心部分为每边11-3×2=5个小圆点，共计5×5=25个圆点，故圆点总数为112—52=96个。
或把空心方阵分四部分，每个矩形的长度为11-3=8，8×3=24，总共有24×4=96个。
1.将外边24人的实心方阵，改列为三层空心方阵。
问空心方阵外边几人？ 解： 242=576，576÷3÷4=48人2.有士兵8排，每排30人，列成5层中控方阵。
外一排几人？ 解：30×8÷5÷4+5=17人。
3.有兵士若干人列成3层中空方阵余9人，在中空部分增列一层缺7人，问士兵若干？ 解：中空部分增列一层为9+7=16人，中空部分每边为16÷4+1=5人，外边为5+2×3=11人方阵点人数为112－52=96人，士兵共计96+9=105人 4.学生若干排成一排方阵余42人，若纵横各加一列那么缺37人，问学生多少？（上海一中） 解：纵横各增一行，人数要多出42+37=79 人，此人数比原来最外层的人数2倍多1人，所以原来方阵外一层的人数是（79-1）÷2=39人，可知这队兵士有 39×39+42=1563人列式：[（43+37-1）÷2]2+43=1563人5.兵士有1728人排成12层的空心方阵，最外边的人数是多少？ 解：1728÷12÷4+12=48人或者（1728—122 ×4）÷4÷12+12×2=48人6.兵士一排排成实心方阵，后改为长方形方阵计减去12行，每行增加30人问士兵多少？ 解：图 中乙的部分 与甲的部分相等。