格点与割补
高思导引-四年级第十九讲-格点与割补教师版
第19讲ﻩﻩ格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米)有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米）有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米)2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数.有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米)3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?答案:19平方厘米【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米)4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米?答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米).有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）.有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米?答案：20平方厘米10平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)．有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）．６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)答案：32平方厘米【分析】3×２+2×4+（5-2)×(3＋1+２）=32７．如图19-７所示，在正方形A ＢＣD 内部有一个长方形.EFGH ．已知正方形A ＢＣＤ的边长是６厘米,图中线段ＡE 、AH 都等于2厘米.求长方形EFGH 的面积．答案：16平方厘米【分析】先算正方形面积６×６=36 再算左上角和右下角三角形面积２×2÷２×2＝4 后算左下角和右上角三角形面积４×4÷2×2＝16 ３6－４-1６=168．如图19-8所示,四边形ABCD 是长方形，长ＡD 等于７厘米,宽AB 等于5厘米，四边形C ＤＥF 是平行四边形.如果BH 的长是3厘米,那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？答案：２5平方厘米【分析】 CDEF S 平行四边形=DC×BC=5×7=35,HC=BC-B Ｈ＝7－3＝4，所以CDH S ＝12×CD×HC=12×5×４=10． S 阴影＝CDEF S 平行四边形-CDHS =35-１0=2５（平方厘米）.9.如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连.请问:图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?答案：50平方厘米【分析】如下图,我们将大正方形中的所有图形分成A、Ｂ两种三角形.其中含有Ａ形三角形8个,B形三角形１６个,其中阴影部分含有A形三角形４个，B形三角形８个．方形面积的12,即为12×１所以,阴影部分面积恰好为大正0×10=50(平方厘米)．10.在图19-10中,五个小正方形的边长都是２厘米,求三角形ABC的面积．答案:14平方厘米【分析】方法：转化为正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数.有N=３,L＝３,则用粗线围成图形的面积为：（3+3÷2-１）×4=1４（平方厘米)拓展篇1. 图1９-1１中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为ｌ平方厘米.这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：7．5平方厘米 6.5平方厘米９平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：(Ｎ+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数．有N＝４,L=9,则用粗线围成图形的面积为:（4＋9÷２-１）×１=7.5(平方厘米）有N=３,L=9，则用粗线围成图形的面积为：(3＋９÷2-1)×１＝６．5(平方厘米)有N=4,L=12，则用粗线围成图形的面积为：(４＋１2÷２-1)×1=9(平方厘米)2．(１)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米?(２）图1９-１３中每个小正三角形的面积是4平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米? 答案:１7平方厘米56平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.有N=3,L=13,则用粗线围成图形的面积为:（３+１３÷2-１)×２=17(平方厘米)【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+Ｌ-2)x单位正三角形面积,其中Ｎ为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=4，Ｌ＝8，所以用粗线围成的图形的面积为:(4×2＋8-2)×４＝56(平方厘米）．3.图19－14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？答案:１4平方厘米【分析】方法：可用公式先算出整个图形的面积,在减去中间空白部分的面积。
第6讲格点与割补
【内容概述】正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题. 通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题. 【典型问题】1 •如图6-1，每一个小方格的面积都是I平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米图6-1【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L-1）X单位正方形面2积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=4, L=7,贝U用粗线围成图形的面积为：（4+7-1 ） X 1=（平方厘米）2方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3- 2=，②=2- 2=1，③=2- 2=1，④=2 - 2=1，⑤=2- 2=1，⑥=2- 2=1,还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为+1+1+1+1+1+3=,而整个格点阵所围成的图形的面积为16, 所以粗线围成的图形的面积为：=平方厘米.2.如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD勺面积是多少平方厘米【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L-2）x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=9, L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（9 X 2+4- 2）XI =20（平方厘米）.方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4,所以①部分的面积为2, ②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2, 8, 6,所以②、③、④部分的面积分别为1, 4, 3•所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20（平方厘米）.北京市第十二矿'迎春杯”数学竟轟快骞弟一题第3题3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房 子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几第 4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几【分析与解】 如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置.1 积为-x2所以第2块板的面积等于整幅图面积的1 2，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积8的 - +] = ?.16 8 164 .把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六 角形.再将这个六角形的各个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它们的中间段向 外作更小的正三角形，这样就得到图 6-5所示的图形.如果这个图形面积是 1,那么原来1有S a =S 4 ,S 2=S 5 = S 7=2S 3，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为-，所以S 4=S 长方形品，21 S7= 8设整个七巧板组成的正方形的边长为 1,显然整幅图形的面积为1,且有第2块的面图—3的正三角形面积是多少【分析与解】 方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小 正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三 角形.120 块小正三角形的面积为1,所以每块为丄，那么原来的正三角形由120方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成 A B C 三种，设A 形正三角形面积在图6-5中，A 种、B 种、C 种正三角形的个数依次为1, 3，12,所以图6-5中图形的第五届“华罗廉金杯"艺年数曾邀请赛♦决賽口试第4題5.如图6-6，正六边形ABCDE 的面积是6平方厘米，M 是AB 中点，N 是CD 中点，P81块小正三角形组成，其面积显然为27 401 1 40面积为1+3X 丄+12X -=40•所以有981 2727T 对应27，而原来的正三角形即为三角形 40A ,所以原来的正三角形的面积为27 40为“1”是EF 中点•问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米【分析与解】 如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF 包含有24个小正三角形，而阴影部分 MNP 包含有9个小正三角形.正六边形ABCDE 的面积为6,所以每个小正三角形的面积为1的面积为9X 丄=（平方厘米）.4般觀级数：車* ■-厂I第四届“小学柚学报橄數学竟决赛填空题第3題6 .把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若 干个面积相等的小三角形•已知图 6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中 的阴影部分的面积是多少平方分米【分析与解】 在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有 12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294-12=,所以原正三角形的面积为X 25=（平方分米）•16-24=-,所以三角形MNP4A' S6-6而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为十49 X 16=200（平方分米）.T992年仝国小学數学真林匹克・初* C雄第7題7. 图6-9是5X 5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点.请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大.那么所围图形的面积是多少平方厘米【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形•为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小.如下切法得到的七边形的面积最大，为25-3 X =（平方厘米）.鑛錮级数；車車8. 在图6-10中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米, CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米圈20【分析与解】 方法一：如图（a ），将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形. △ ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形， S^ABC =9X 9十2=（平方厘米），所以阴影部分的面积为宁9X 6=27（平方厘米）.方法二：如图（b ），连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知FG=FC=3厘米），所以 DG=DF-FG=9-3=6厘米），于是=- X s 正方形逍=-X 62 =9.44而四边形IGFB 为长方形，有BF=AD=DG 二厘米）,GF=3（厘米），所以S 长方形品=6X 3=18.阴影部分面积为A HIG 与长方形IGFB 的面积和，即为9+18=27（平方厘米）.方法三：如图（C ），为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母. 易知三角形BIE 、CGF AIH 、DGH 匀为等腰直角三角形.先求出等腰直角三角形 AHI 、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形 ABC 的面积与其作差, 即为需求阴影部分的面积.因为 CF=FG=3 所以 DG=DF-FG=6如图（d ），可以将4个三角形DGH 拼成一个边长为DG 的正方形.所以，S^ACD S^DGH =4X DG>< DG=9，而 S^AIH S]ABC-S^CGF - ^AIH =81 - 9 -9=27（平方厘米）.即阴影部分的面积为27平方厘米.有 S^ABC =S 』DEF=—2X EF X DF=81， i 19 Si^cGF = X CF X FG=—. 2 2=9，所以S 阴影 BFGHI图（町9. 如图6-11，在长方形ABCD 中，0是长方形的中心，BC 长20厘米，AB 长12厘米, DE=4AE CF=3DF 那么阴影部分的面积是多少平方厘米由题意知 AE=4 ED=16 DF=3 FC=9有 S^AOD = — S 矩形 ABCD 4=-X 20 X 12=60,41 1=丄 X DF X( 3 4 AD)=2 41 X 3X 1 X 20=15.2 211丄 X 4X 1 X12=12,221 1=丄 X EDX DFr 1 X 16X 3=24. 2 2有S 阴影 =(S^AOD +S^ODF )- S J A EO - S EFD =60+15-12-24=39(平方厘米).即阴影部分的面积为39平方厘米.越酸徴鞍译章・导呼全珂小垄敬学奥林匹克*主膵芒卷心题3 1=丄 X AE X(丄 AB)= 4 2【分析与解】 我们只用先求出四边形 ADFO 勺面积，再将其减去两个三角形 AEO EFD的面积和，即为所求阴影部分的面积.而四边形ADFO 勺面积等于两个三角形 AOD ODF 的面积和.10. 如图6-12，大正方形的边长为10厘米•连接大正方形的各边中点得小正方形, 将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影 部分的面积总和等于多少平方厘米【分析与解】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成 A 、B 两种三角形.其中含有A 形三角形8个，B 形三角形16个，其中阴影部分含有 A 形三角形4个，B 形三角形8个.11 .如图6-13，ABCD 是边长为8厘米的正方形，梯形 AEBD 勺对角线相交于0,三角 形AOE 的面积比三角形BOD 勺面积小16平方厘米，则梯形AEBD 勺面积是多少平方厘米【分析与解】如下图，将梯形AEBD 内 4个三角形的面积分别记为①、②、③、④.在梯形AEBD 中,有厶EBD △ ABD 同底等高，所以有S EBD =S ABD ，即③+②二①+②.显 然有①=③.由题意知S /D - S^AOE =16，即②-④=16，于是有（①+②）-（③+④）=16 .已知①所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的1 1-，即为-X 10X 10=50（平方厘米）. 2 26 - 12BC\国 6- 13+②二 S^BD 冷 X 8X 8=32,所以③ +④=（① +®） -16=16 .所以有S 梯形AEBD =（①+②）+（③+④）=32+16=48（平方厘米）.评注：在任意梯形ABCD 中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、 “下”、“左”、“右”，有:左二右；左X 右=±X 下；上：下=AD 2 : B C 2 .㈱矽级数；車* ‘二I1994年全国小学数学奥沐匹克•决宴民族毎第3建12.如图6-14 , ABCD 是长方形，长 AD 等于厘米，宽 AB 等于5厘米，CDEF 是平行四 边形.如果BH 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米 IL8 £ /DC【分析与解】 S 平行四边形CDEF =DC X BC=X =36, HC=BC-BH==所以S'ICDH =X CD^ HC^ X 5X =.2 21期年金段小学數学真林匹克z 决纂第6理13 .如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是 多少S 阴影=$平行四边形CDEF -S^cDH ==（平方厘米）.级数：車車車H【分析与解】 将AD BC 延长交于E ,有/ EDC=45，/ ECD=90，所以△ CDE 为等腰直角三角形，有EC=DC而/ ECD =45，/ EAB=90，所以△ ABE 也是等腰直角三角形，有 EA=AB1 9 =—X EC X DC=-2 21994年仝国小辛數学凑棘匹丸•利賽B 卷鈿10题14•图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬” •梯形的上底长 1.5米,A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，长为0.5米，CD 长为丢米.那 么图中阴影部分的面积是多少平方米【分析与解】 方法一：为了方便叙述. 母•延长AB 交正方形边EF 于H 点，我们先求出梯形JICK 与正方形IFEC 的面积和，再求 AFH 与梯形AHEM 面积和，将前者与后者做差所得到的值 影部分的面积.有S四边形ABCD==1 X ABX EA=4949ABE2级数：审車車出三角形 即为所求阴1s 梯形 J |CK =2 X +1) X=，S 正方形 IFEC =1 X 1=1.L 11 1 11S^FH =^x AH X FH=1 X( AB+BH X( 1 FE)= 1 X +1)-(1 X 1)=,111 X (AH+DE X HE= 1X (AB+BH+CECD)X( 丄 FE)= 1X2 22213有S阴影=S梯形JICK+S正方形IFEC-SlAFH- S梯形AHED=+刃=万（平方米），17即阴影部分的面积为 乂平方米.24方法二：如下图，连接AI 、AC 将阴影部分分成四个部分.△ AJI 可以看作以AJ 为底，AB 的长为高的三角形；△ AKC 可以看作以AK 为底，AB 的 长为高的三角形；△ AJF 可以看作以IF 为底，IB 的长为高的三角形；△ ACD 可以看作CD 为底.CB 的长为高的三角形.阴影部分面积为S^AJI+ SAKC+SL AIF +s£ACD1= X 十 2+X 十 2+l X 十 2+ — X 十 2 3 1=+++ 12=口(平方米)24觀題级皺♦♦♦♦鷲一心更盒赫”少年敕学還请赛•决赛一试第S梯形AHED11 13+ 1+1--) X(丄 X 1)=3 2 2415.从一块正方形木板锯下宽为1米的一个木条以后，剩下的面积是 色平方米•问锯2 18下的木条面积是多少平方米【分析与解】 我们画出示意图（a ），则剩下的木块为图（b ），将4块剩下的木块如下 拼成一个正方形得到图（c ）.1 11，所以图（c ）中心的小正方形边长为5 6，2-65 1 1 529 23 23 23 于是大正方形AEHK 勺面积为65 X 4+丄X 1 =529=23 X 23，所以AK 长为竺.1822 36666即,长+宽=空，已知：长-宽=丄，得长=空，于是锯去部分的木条的面积为13X6 2 6 65=13=11（平方米）.6 12 2我们称AB 为长，AD 为宽，有长与宽的差为 图T。
五年级上学期几何问题第06讲 格点与割补
《华罗庚学校思维训练导引》五年级第三节五年级上学期 第06讲 几何问题第06讲 格点与割补【内容概述】正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线性的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。
通过恰当的分割与拼补进行计算的面积问题。
【例题分析】1、 如下图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？分析：颜色相同的点，面积形同，将其进行互相转换，拼成一个正方形。
详解：正方形２个，转换而成的正方形４个，蓝点的正方形面积是21正方形面积 ∴用粗线围成的图形的面积是２＋４＋０.５＝６.５平方厘米评注：本题主要考察相同面积图形的转换。
2、 如下图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 面积是多少平方厘米？分析：同上。
答案：２０平方厘米3、 如图（1）是常见的一副七巧板的图，图（２）使用这副七巧板的７块板拼成的小房子图，那么，第２块板的面积等于整副图的面积的几分之几？第４块板与第７块板的面积的和等于整副图的面积的几分之几？（１） （２） （３）分析： 颜色相同的点，面积形同详解：图中每个红色点的面积等于整副图的面积的161 ∴第２块板的面积等于整副图中两个红色点的图形面积和，即整个图形的81。
同理，第４块板与第７块板的面积的和等于整副图的面积的163。
4、 把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面做小正三角形，得到一个六角形。
再将这个六角形的各个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到如图所是的图形。
如果这个图形的面积是１，那么原来的正三角形面积是多少？分析：要计算的是红色三角形的面积，通过连线计算出红色三角形中所含的紫色三角形的个数占原图形中紫色三角形个数的几分之几。
详解：红色三角形中所含的紫色三角形（１＋１７）×９÷２＝８１原图形中紫色三角形个数８１＋２×３＋１１×３＝１２０原来的正三角形面积是4027112081=⨯5、 如图，正六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积是６平方厘米，Ｍ是ＡＢ中点，Ｎ是ＣＤ中点，Ｐ是ＥＦ中点。
第二讲 格点与割补
格点与面积知识要点：毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1（1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1（2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有22S N L=⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．例1：计算下列各图的面积。
总结：面积=(注：内部点，外部点关系)（毕克定理）例2：判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶例3：如图，计算各个格点多边形的面积．例4：求下列各个格点多边形的面积．例5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？例6：右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．⑵⑴⑷⑶H GFED C BA例7：右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？例8：求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷例9：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形, 的面积.试计算ABC例10：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.例11：.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为cm,试求图中三角形DEF的面积.12例12：图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形CEPQ 的面积。
格点与割补
趣味数学
• 体育运动会授奖台的图形如下，你能否 只剪一刀，把它拼成一个正方形？
基础热身
• 1.有一块长方形麦地，长200米，宽50 米，这块麦地的面积有多少公顷？
• 2.某乡沿江种植一个长15千米，宽8米的 林带，如果每公顷植树2000棵，这个林 带共植树多少棵？
知识导学
• 这一讲我们来研究借助格点计算图形面积的方 法.
• （1）数格子 • （2）合理分割法：把图形分割成若干个可直
接计算面的规则图行 • （3）扩展法：把图形先扩展成易算面积的规
则图形，在减去扩展的部分 • （4）毕克公式：若N表示内部的格点数，L表
示边界上的格点数，S表示面积。
知识导学
• 正方形格点： • S＝N＋L÷2－1 • 三角形格点： • S＝（N＋L÷2－1）×2
• （1）多边形内包含的格点数有7个，多 边形周界上的格点数是7个，所以面积 是2×7＋7－2＝19（面积单位）
• （2）多边形包含的格点数有8个，多边 形周界上的格点数是5个，所以面积是 2×8＋5－2＝19（面积单位）
一题一练
• 下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求 出它的面积。
• （图见课本29页“课堂练习 ”）
一题一练
• 计算下例题各多边形的面积（点与点之 间的距离都是1厘米）
• （图见课本26页“课堂练习”）
• 例4. 在下图中有21个点，每相邻三点 构成一个单位面积的等边三角形，计算 三角形ABC的面积
A
C
B 图1
• 方法一：（图2）三角形ABC的面积是：
• 25－3－4－8＝10（面积单位）
•.
例1：计算下图中各图形的 面积.
五年级奥数解析6.格点和割补
正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+72-1)×1=6.5(平方厘米)方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【分析与解】 如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置．设整个七巧板组成的正方形的边长为1，显然整幅图形的面积为1，且有第2块的面积为12×12×12=18．有3S =4S ，2S =5S =7S =23S ，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为12，所以4S =IGFB S 长方形，7S =18．所以第2块板的面积等于整幅图面积的18，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积的116+18=316．4．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?【分析与解】 方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形．120块小正三角形的面积为1，所以每块为1120，那么原来的正三角形由81块小正三角形组成，其面积显然为2740．方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A 、B 、C 三种，设A 形正三角形面积为“1”，则B 、C 两种正三角形的面积依次为“19”、“181”．在图6-5中，A 种、B 种、C 种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5中图形的面积为1+3×19+12×181=4027．所以有“1”对应2740，而原来的正三角形即为三角形A ，所以原来的正三角形的面积为2740.5．如图6-6，正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF 包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP 包含有9个小正三角形．正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为6÷24=14，所以三角形MNP的面积为9×14=2.25(平方厘米)．6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5，所以原正三角形的面积为24.5×25=612.5(平方分米)．而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为612.5÷49×16=200(平方分米)．7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么所围图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形.为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小．如下切法得到的七边形的面积最大，为25-3×0.5=23.5(平方厘米)．8.在图6-10中，三角形ABC 和DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF 长9厘米，CF 长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 方法一：如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．△ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，SABC=9×9÷2=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方厘米)．方法二：如图(b)，连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知FG=FC=3(厘米)，所以DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是S HIG =14×AIGD S 正方形=14×26=9.而四边形IGFB 为长方形，有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以IGFB S 长方形=6×3=18．阴影部分面积为A HIG 与长方形IGFB 的面积和，即为9+18=27(平方厘米)．方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母． 易知三角形BIE 、CGF 、AIH 、DGH 均为等腰直角三角形．先求出等腰直角三角形AHI 、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形ABC 的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．有S ABC =DEF S =12×EF ×DF=812，CGF S =12×CF×FG=92．因为CF=FG=3，所以DG=DF-FG=6．如图(d)，可以将4个三角形DGH 拼成一个边长为DG 的正方形．所以，ACD S DGH S =14×DG×DG=9，而A I H S =DGH S =9，所以BFGHI S 阴影=S ABC -CGF S -AIH S =812 -92-9=27(平方厘米)．即阴影部分的面积为27平方厘米．9．如图6-11，在长方形ABCD 中，O 是长方形的中心，BC 长20厘米，AB 长12厘米，DE=4AE ，CF=3DF ，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 我们只用先求出四边形ADFO 的面积，再将其减去两个三角形AEO 、EFD 的面积和，即为所求阴影部分的面积．而四边形ADFO 的面积等于两个三角形AOD 、ODF 的面积和．由题意知AE=4，ED=16，DF=3，FC=9．有AOD S =14ABCD S 矩形=14×20×12=60，ODF S =12×DF×(14AD)= 12×3×12×20=15．AEO S =12×AE×(12AB)= 12×4×12×12=12，EFD S =12×ED×DF=12×16×3=24．有S 阴影=(AODS +ODFS)-AEOS-EFDS=60+15-12-24=39(平方厘米)．即阴影部分的面积为39平方厘米．10．如图6-12，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【分析与解】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A 、B 两种三角形．其中含有A 形三角形8个，B 形三角形16个，其中阴影部分含有A 形三角形4个，B 形三角形8个．所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的12，即为12×10×10=50(平方厘米)．11．如图6-13，ABCD 是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD 的对角线相交于0，三角形AOE 的面积比三角形BOD 的面积小16平方厘米，则梯形AEBD 的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，将梯形AEBD 内4个三角形的面积分别记为①、②、③、④．在梯形AEBD 中，有△EBD、△ABD 同底等高，所以有EBDS =ABDS，即③+②=①+②．显然有①=③．由题意知B O DS-AOES=16，即②-④=16，于是有(①+②)-(③+④)=16．已知①+②=ABD S=12×8×8=32，所以③+④=(①+②)-16=16．所以有AEBD S 梯形=(①+②)+(③+④)=32+16=48(平方厘米)．评注：在任意梯形ABCD 中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、“下”、“左”、“右”，有：左=右；左×右=上×下；上：下=A 2D ：B 2C ．12．如图6-14，ABCD 是长方形，长AD 等于7.2厘米，宽AB 等于5厘米，CDEF 是平行四边形．如果BH 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 CD ES 平行四边形=DC×BC=5×7.2=36，HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以CDH S =12×CD×HC=12×5×4.2=10.5．S 阴影=CDEF S 平行四边形-CDHS=36-10.5=25.5(平方厘米).13．如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少?【分析与解】 将AD 、BC 延长交于E ，有∠EDC=45°，∠ECD=90°，所以△CDE 为等腰直角三角形，有EC=DC ．而∠ECD =45°，∠EAB=90°，所以△ABE 也是等腰直角三角形，有EA=AB ．有ABE S =12×AB×EA =492，EDC S =12×EC×DC=92．有ABCD S 四边形=ABE S -EDC S =492-92=20．14．图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5米，A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，长为0.5米，CD 长为丢米．那么图中阴影部分的面积是多少平方米?【分析与解】 方法一：为了方便叙述．将下图中一些点标上字母．延长AB 交正方形边EF 于H 点，我们先求出梯形JICK 与正方形IFEC 的面积和，再求出三角形AFH 与梯形AHED 的面积和，将前者与后者做差所得到的值即为所求阴影部分的面积．JICK S 梯形=12×(1.5+1)×0.5=0.625，IFEC S 正方形=1×1=1．=12×AH ×FH=12×（AB+BH ）×(12FE)= 12×(0.5+1)-（12×1）=0.375，AHED S 梯形=12×(AH+DE)×HE=12×(AB+BH+CE -CD)×(12FE)=12×(0.5+1+1-13)×(12×1)=1324． 有S阴影=JICK S 梯形+IFEC S 正方形--AHED S 梯形=0.625+l-0.375-1324=1724(平方米)．即阴影部分的面积为1724平方米．方法二：如下图，连接AI 、AC ，将阴影部分分成四个部分．△AJI 可以看作以AJ 为底，AB 的长为高的三角形；△AKC 可以看作以AK 为底，AB 的长为高的三角形；△AJF 可以看作以IF 为底，IB 的长为高的三角形；△ACD 可以看作CD 为底．CB 的长为高的三角形．阴影部分面积为AJI S +AKC S +AIF S +ACD S=0.75×0.5÷2+O .75×O .5÷2+l×O .5÷2+13×0.5÷2 =0.1875+O.1875+0.25+112=1724（平方米)15．从一块正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，剩下的面积是6518平方米．问锯下的木条面积是多少平方米?【分析与解】 我们画出示意图(a)，则剩下的木块为图(b)，将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图(c)．我们称AB 为长，AD 为宽，有长与宽的差为12，所以图(c)中心的小正方形边长为12，于是大正方形AEHK 的面积为6518×4+12×12=52936=236×236，所以AK 长为236．即，长+宽=236，已知：长-宽=12，得长=136，于是锯去部分的木条的面积为136×12=1312=112(平方米)．。
小学四年级培优数学第三章第五课：几何问题之格点与割补
培优数学 第三部分
几何问题
“独学而无友，则孤陋而寡闻。”
第5讲
格点与割补
明确格点多边形的概念，学会通过 分割和添补的方法计算其面积； 学会利用割补法计算不规则图形的 面积； 掌握格点多边形的面积计算公式.
典型问题
1、图中相邻两格点间的距离均为1厘米， 三个多边形的面积分别是多少平方厘米？
①
③
②
典型问题
2、图中相邻两格点间的距离均为1厘米， 三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？
①
②
③
典型问题
3、图中的每个小正方形的面积均为2平 方厘米，阴影多边形的面积是多少平方 厘米？
典型问题 4、图中是一个三角形点阵，其中能连出 的最小的等边三角形的面积为1平方厘米， 三个多边形的面积分别是多少平方厘米？
① ③
②
典型问题
5、图中的数字代表对应线段的长度， 试求这个多边形的面积.(单位：厘米)
2
3
4
2
5
1
《格点与割补》课件
9＋11.5＝20.5（平方厘米）
我用四种方法分割，能求出阴影部分面积。
20.4÷4＝5.1（平方米）
答：阴影部分面积是5.1平方米。
我用另外四种方法分割，能求出阴影部分面积。
20.4÷4＝5.1（平方米）
答：阴影部分面积是5.1平方米。
1．如下图，通过割补，由三角形ABC变成了BCGF长方形。
4．如下图，在长方形ABCD中，O是长方形的中心， BC长20厘米，AB长12厘米，DE＝4AE，CF＝3DF， 那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
想：我们只要先求出四边形ADFO的面积， 再将其减去两个三角形AEO、EFD的面积 和，即为所求阴影部分的面积。 而四边形ADFO的面积等于两个三角形AOD、ODF的面积和。由 题意知AE＝4厘米， ED＝16厘米，DF＝3厘米，FC＝9厘米。
方法一：如上右图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有Biblioteka ①=3÷2=1.5( ④=2÷2=1
cm ( cm )
2
2
)，②=2÷2=1 ( cm ) ，③=2÷2=1 ( cm ) ， ， ⑤=2÷2=l ( cm 2) ，⑥=2÷2=1 (
2
2
cm
2
) ，
还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为
1.5+l+1+1+1+1+3=9.5 (
cm
2
) ，而整个格点阵所围成的图形的面积
为16 cm 2 ，所以粗实线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5( cm 2)．
方法二：正方形格点阵中多边形面积公式：
L （N+ -1)×单位正方形面积，其中N 为图形内格点数， 2
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学科：奥数教学内容：格点与面积生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例1 计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。
（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。
（5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。
所以梯形的面积为：（2＋4）×3÷2=9。
（6）将图中梯形用虚线分成3块，它包含有5个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有6个面积单位，所以它的面积为6。
例2 计算下面这个格点多边形的面积。
分析：这是一个不规则的多边形，不能直接求出它的面积。
可用长方形的面积减去4个直角三角形的面积，如图1所示；另外还可将该四边形分割成几块，如图2。
解答：方法一：3×4－（2×1÷2＋2×1÷2＋2×2÷2＋3×1÷2）=6.5（面积单位）方法二：1×2÷2＋1×3÷2＋1×1÷2＋3×1÷2＋1×2=6.5（面积单位）例3 相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。
分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？算出各图形的面积。
找出图形外面一周的点子数、中间的点子数与面积三者之间的关系。
分析：仔细观察图形：横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不变；竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐渐增多。
图形一周的格点数、中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有个点、中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。
1－1）2－1）解答：（1）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积同样随着中间的格点数增加而增加。
（2）各图形的面积见表格。
各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有关系，格点图形的面积计算公式是：图形面积=图形一周的格点数÷2＋（中间格点数－1）说明：格点图形的面积求法很灵活，不要死记公式，要具体题目具体研究。
例4 下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积：分析：这是一个组合图形，面积可分成几个部分来求。
本图可分为两个三角形和一个长方形三部分。
每一部分面积的求法，因图而异。
如两个三角形需要扩展成长方形再求面积，而长方形只要直接数单位面积即可。
解答：左边三角形面积=4×4－1×2÷2－4×3÷2－4×2÷2=5；右边三角形面积=4×4－1×3÷2×2－4×4÷2－1×1=4；长方形的面积为6×2=12；所以礼盒面积为：5＋4＋12=21说明：此题还可以直接用公式，请你自己试一试。
例5 在下图中有21个点，每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，计算三角形ABC的面积。
分析：此题是一个三角形格点图。
每三个相邻的格点构成一个正三角形，为一个面积单位。
三角形格点图形面积的计算类似于正方形格点图形面积的计算，可以直接数图形所包含的面积单位，也可将之转化为几个易求的三角形，在通过加减运算得到。
此题中三角形ABC的面积不能通过直接数格点面积来求，可以把它扩展成三一个大三角形，再减；也可以把它分成几个小的三角形，然后再加。
解答：方法一：给三角形ABC添加Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ部分小的三角形，则得到由25个单位三角形构成的大三角形，现在只要分别求出Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ三个小三角形的面积即可。
三角形Ⅰ是一个平行四边形的面积的一半，如图4中的虚线平行四边形。
这个平行四边形包含6个面积单位，所以他的面积为6，三角形Ⅰ的面积为：6÷2=3同理，三角形Ⅱ及Ⅲ的面积分别为4和8，所以三角形ABC的面积为：25－3－4－8=10（面积单位）方法二：将三角形分成几个易求面积的三角形（如图3）。
Ⅰ的面积为1×3=3，Ⅱ的面积可直接数为1，Ⅲ的面积为1×2=2，Ⅳ的面积为2×2=4，于是三角形ABC的面积为：3＋1＋2＋4=10。
想一想：以三角形Ⅰ为例，为什么这里三角形的面积可以用1×3计算？可联系方法一中三角形Ⅰ面积的求法。
说明：关于三角形格点多边形的面积也有类似于正方形格点多边形的面积计算公式。
可以按照例3的方法归纳总结，就可以得到三角形格点多边形面积的计算公式：三角形格点多边形的面积=多边形内包含的格点数×2＋多边形周界上的格点数－2。
例6 在下图中有45个正方形格点，过图中三点连一个三角形，并且至少有一条边水平或垂直。
问共有多少个这样的格点三角形？分析：如果要在图中找一个面积为8的格点三角形很容易，但是要求出有多少个这样的格点三角形就有些困难，不过功夫不负有心人，一定能找到方法。
注意到待计数的格点三角形的底与高的乘积为16，所以可以分类计数。
解答：因为16=4×4=2×8=8×2，所以可以分为以下几类来计数：（1）每个4×4的正方形中有4个直角三角形符合要求，总数为4×5=20（个）；（2）每个2×8的长方形中也有4个直角三角形符合要求，总数为4×3=12（个）；（3）符合要求的不是直角三角形的三角形有：4×4，状的有：5×7=35（个）；状的有：35个；状的有：5×3=15（个）；状的有：15个；8×2，状的有：3×7=21（个）；状的有：21个；2×8，状的有：3×3=9（个）；状的有：9个；共有：（35＋15＋21＋9）×2=160（个）所以符合要求的三角形一共有：20＋12＋160=192（个）阅读材料有形状的数最早把自然数和几何图形联系在一起的是古希腊数学家毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，寻找自然数与正三角形、正方形、正五边形……之间的关系。
毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫做正方形数；当小石子的数目是1、5、12、22等数时，小石子都能摆成正五边形，他把这些数叫做正五边形数……毕达哥拉斯还摆出了其它多边形数。
有趣的事，他还进一步发现了各种“形数之间的内在联系”。
比如，每个大于1的正方形数都可以表示成两个相邻三角形数的和。
4=1+3，9=3+6，16=6+10，……反过来，任意两个相邻的三角形数相加，必然是一个正方形数，也就是平方数。
这从下面的图形中可以得到证实。
毕达哥拉斯借助生动的几何直观发现，第n个三角形数等于1+2+3+…+n，第n个正方形数等于2n，……根据这些规律，人们就可以写出很多很多的形数了。
练习题1．计算下图中各多边形的面积（点与点之间的距离都是1厘米）分析与解答：（1）直接计数，图1中包含5个面积单位，所以它的面积为5；（2）直接计数，图2中包含6个面积单位，所以它的面积为6；（3）将图3分为上下两部分，上面的长方形包含有6个面积单位，下面的平行四边形可以转化为一个1×2的长方形，所以面积为2。
图3的面积为6＋2=8（面积单位）；（4）图中包含2个面积单位和4个单位面积的一半，所以图4的面积为4；（5）将图5按下图分割为上下两部分，上面的包含3.5个面积单位，下面的面积为3×1÷2=1.5（面积单位），所以图5的面积为5；（6）直接计数，图6中包含7个面积单位，所以它的面积为7。
2．下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？分析与解答：（1）喇叭图中包含2个面积单位和2个面积单位的一半，所以它的面积为3；（2）将小猫图分为左右两部分，头与身子部分的面积为（可直接计数）10，尾巴部分是一个平行四边形，它的面积与一个单位面积相同，所以小猫图的面积为11。
（3）小狗图面积的求法与小猫图形面积的求法相同，它的面积为6。
说明：此题还有其他的分割方法，请你自己想一想。
想一想：请你用格点图形面积的计算公式试求每一个图形的面积，你发现了什么？是不是每个图都可以用公式计算，哪个可以，哪个不可以，为什么？3．求下图中梯形的面积。
分析与解答：这个梯形图的一周共有6个格点，中间共有16个格点，运用正方形格点图形的面积公式的：6÷2＋16－1=18（面积单位）想一想：还有其他方法吗？请你试做。
4．下图中三角形的面积分析与解答：方法一：这个三角形图的一周共有6个格点，中间共有13个格点，运用正方形格点图形的面积公式的：6÷2＋13－1=15（面积单位）。
方法二：将三角形扩展成一个6×6的正方形时，增加了三个直角三角形，因为直角三角形的面积简单易求，所以我们将求三角形ABC的面积转化为求正方形的面积和直角三角形的面积，然后求差即可。