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高思导引-四年级第十九讲-格点与割补教师版
第19讲ﻩﻩ格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米)有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米）有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米)2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数.有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米)3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?答案:19平方厘米【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米)4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米?答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米).有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）.有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米?答案：20平方厘米10平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)．有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）．６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)答案：32平方厘米【分析】3×２+2×4+（5-2)×(3＋1+２）=32７．如图19-７所示，在正方形A ＢＣD 内部有一个长方形.EFGH ．已知正方形A ＢＣＤ的边长是６厘米,图中线段ＡE 、AH 都等于2厘米.求长方形EFGH 的面积．答案：16平方厘米【分析】先算正方形面积６×６=36 再算左上角和右下角三角形面积２×2÷２×2＝4 后算左下角和右上角三角形面积４×4÷2×2＝16 ３6－４-1６=168．如图19-8所示,四边形ABCD 是长方形，长ＡD 等于７厘米,宽AB 等于5厘米，四边形C ＤＥF 是平行四边形.如果BH 的长是3厘米,那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？答案：２5平方厘米【分析】 CDEF S 平行四边形=DC×BC=5×7=35,HC=BC-B Ｈ＝7－3＝4，所以CDH S ＝12×CD×HC=12×5×４=10． S 阴影＝CDEF S 平行四边形-CDHS =35-１0=2５（平方厘米）.9.如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连.请问:图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?答案：50平方厘米【分析】如下图,我们将大正方形中的所有图形分成A、Ｂ两种三角形.其中含有Ａ形三角形8个,B形三角形１６个,其中阴影部分含有A形三角形４个，B形三角形８个．方形面积的12,即为12×１所以,阴影部分面积恰好为大正0×10=50(平方厘米)．10.在图19-10中,五个小正方形的边长都是２厘米,求三角形ABC的面积．答案:14平方厘米【分析】方法：转化为正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数.有N=３,L＝３,则用粗线围成图形的面积为：（3+3÷2-１）×4=1４（平方厘米)拓展篇1. 图1９-1１中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为ｌ平方厘米.这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：7．5平方厘米 6.5平方厘米９平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：(Ｎ+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数．有N＝４,L=9,则用粗线围成图形的面积为:（4＋9÷２-１）×１=7.5(平方厘米）有N=３,L=9，则用粗线围成图形的面积为：(3＋９÷2-1)×１＝６．5(平方厘米)有N=4,L=12，则用粗线围成图形的面积为：(４＋１2÷２-1)×1=9(平方厘米)2．(１)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米?(２）图1９-１３中每个小正三角形的面积是4平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米? 答案:１7平方厘米56平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.有N=3,L=13,则用粗线围成图形的面积为:（３+１３÷2-１)×２=17(平方厘米)【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+Ｌ-2)x单位正三角形面积,其中Ｎ为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=4，Ｌ＝8，所以用粗线围成的图形的面积为:(4×2＋8-2)×４＝56(平方厘米）．3.图19－14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？答案:１4平方厘米【分析】方法：可用公式先算出整个图形的面积,在减去中间空白部分的面积。
第1讲.格点与割补.提高班
例 5
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图中相邻三点所形成的等边三角形的面积为 1 ，计算三角形 ABC 的面积．
【分析】 方法一（分割法） ：
四年级 第 1 讲 格点与割补 （提高班）
【分析】方法一：同正方形格点相似，将目标三角形分成容易求出面积的两个小三角形，如图. 易知左边小三角形面积为 2，右边小三角形面积为 4，则所求三角形面积为 6.
方法二：三角形毕克定理：图形内部有 1 个点，边上有 6 个点，由 S ( N （1+6÷2-1）×2=6.
L 1) 2 得面积为 2
S1
S1
S2
(a)
S3
S2(Leabharlann )方法三（正方形毕克定理） ：图形内部（N）有 8 个格点，图形边上（L）有 6 个格点，根据正方形
L 1 得面积为 8+6÷2-1=10. 2 注：请老师强调扩展法和割补法，避免孩子过分依赖毕克定理，为高年级的几何学习打好基础.
毕克定理： S N
图 2： 用毕克定理： 图形内部没有格点， 图形边上 （L） 有 6 个格点， 根据正方形毕克定理： SN
笔记整理
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四年级 第 1 讲 格点与割补 （提高班）
毕克定理：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形边界上的格点数， L 正方形格点： S N 1 2 三角形格点： S ( N
L 1) 2 2
1. 图中相邻两个格点的距离都是 1，请你求出葫芦和锤子的面积各是多少．
【分析】 （1）面积为 2 应当包含 2 个面积为 1 的“4 个相邻点组成的小正方形” ； （2）直角三角形的面积=两条直角边长的乘积÷2； （3）梯形面积=（上底+下底）×高÷2. 【答案】
五年级上学期几何问题第06讲 格点与割补
《华罗庚学校思维训练导引》五年级第三节五年级上学期 第06讲 几何问题第06讲 格点与割补【内容概述】正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线性的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。
通过恰当的分割与拼补进行计算的面积问题。
【例题分析】1、 如下图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？分析：颜色相同的点，面积形同，将其进行互相转换，拼成一个正方形。
详解：正方形２个，转换而成的正方形４个，蓝点的正方形面积是21正方形面积 ∴用粗线围成的图形的面积是２＋４＋０.５＝６.５平方厘米评注：本题主要考察相同面积图形的转换。
2、 如下图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 面积是多少平方厘米？分析：同上。
答案：２０平方厘米3、 如图（1）是常见的一副七巧板的图，图（２）使用这副七巧板的７块板拼成的小房子图，那么，第２块板的面积等于整副图的面积的几分之几？第４块板与第７块板的面积的和等于整副图的面积的几分之几？（１） （２） （３）分析： 颜色相同的点，面积形同详解：图中每个红色点的面积等于整副图的面积的161 ∴第２块板的面积等于整副图中两个红色点的图形面积和，即整个图形的81。
同理，第４块板与第７块板的面积的和等于整副图的面积的163。
4、 把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面做小正三角形，得到一个六角形。
再将这个六角形的各个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到如图所是的图形。
如果这个图形的面积是１，那么原来的正三角形面积是多少？分析：要计算的是红色三角形的面积，通过连线计算出红色三角形中所含的紫色三角形的个数占原图形中紫色三角形个数的几分之几。
详解：红色三角形中所含的紫色三角形（１＋１７）×９÷２＝８１原图形中紫色三角形个数８１＋２×３＋１１×３＝１２０原来的正三角形面积是4027112081=⨯5、 如图，正六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积是６平方厘米，Ｍ是ＡＢ中点，Ｎ是ＣＤ中点，Ｐ是ＥＦ中点。
第二讲 格点与割补
格点与面积知识要点：毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1（1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1（2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有22S N L=⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．例1：计算下列各图的面积。
总结：面积=(注：内部点，外部点关系)（毕克定理）例2：判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶例3：如图，计算各个格点多边形的面积．例4：求下列各个格点多边形的面积．例5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？例6：右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．⑵⑴⑷⑶H GFED C BA例7：右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？例8：求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷例9：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形, 的面积.试计算ABC例10：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.例11：.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为cm,试求图中三角形DEF的面积.12例12：图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形CEPQ 的面积。
小学数学奥数测试题格点与割补_人教版
小学数学奥数测试题格点与割补_人教版积尽可能大．那么，所围图形的面积是（）平方厘米．12．第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？13．两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为27.4cm，5.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为2求大正方形的面积．14．图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．15．如图(a)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC的面积．16．求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．17．把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．18．如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？19．把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．20．如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？21．正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M 是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？22．如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____平方厘米．23．如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC的面积．24．求下列各个格点多边形的面积．25．如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？参考答案1．8【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个．(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个)所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6(个) 1×2=2(个)所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．2．20【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如下图)．⨯的正方形：9个；22⨯的正方形：4个；33⨯的正11方形：1个；以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．3．（1）【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．4．16,15,10,15,12,18【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是⨯=(面积单位)；4416图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是⨯÷=(面积单位)；54210图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212（）(面积单位)；+⨯÷=图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218（）(面积单位)．+⨯÷=如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．5．10【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯÷=；⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是（）(面积单位)．2464410-++=方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．6．4【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF；另外三个分别是：ABE、FEC、DAF，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm．所以，图中阴影部分的1.5cm，22cm，2面积为：33 1.5224（）(2cm)．⨯-⨯+=7．9,10【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为9面积单位．⑵的面积均为10面积单位．“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．8．18【解析】图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182L S N =+-=(单位面积)．9．46【解析】箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)． 10．62.5【解析】图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．所以图形的面积为：54192162.5+÷-=(面积单位)． 11．23.5【解析】为了使这7个点围成最大的面积，这7个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成面积最大．最大面积为550.5323.5⨯-⨯=(平方厘米)．12．27【解析】要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．7所占的面积为：215218.5+÷-=；2所占的面积为：242111÷-=；1所占的面积为：17217.5÷-=．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5117.527++=．13．19【解析】块状部分与线状部分之间的部分称为D ，则D 与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个方格的面积是2197.4 5.121714cm 25-÷-=（）（）（） 大正方形的面积为219cm ． 14．31【解析】如图，将正六边形ABCDEF 等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，PEF 面积3=，CDE 面积9=，四边形ABQP 面积11=．上述三块面积之和为391123++=．因此，阴影四边形CEPQ 面积为542331-=．15．10【解析】方法一：如图(b)所示，在ABC 内连接相邻的三个点成DEF ，再连接DC 、EA 、FB 后是ABC 可看成是由DEF 分别延长FD 、DE 、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到2ACD S =， 3AEB S =，4FBC S =，所以123410S =+++=(面积单位)．方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出ABC 的面积为10．方法三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE 中有6个小正三角形，而ABE 的面积是平行四边形ARBE 面积的一半，即3AEB S =，平行四边形ADCH 中有4个小正三角形，而ADC 的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，即2ACD S =．平行四边形FBGC 中有8个小正三角形，而FBC 的面积是平行四边形FBGC 的一半，即：4FBC S =．所以123410S =+++=(面积单位)．16．19，19,18,21【解析】⑴ ∵7L =；7N =，∴22277219S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)；⑵ ∵5L =；8N =，∴22285219S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)；⑶∵6N=，∴22276218L=；7=⨯+-=⨯+-=(面积单位)；S N L⑷∵7N=，∴22287221L=；8=⨯+-=⨯+-=(面积单位)．S N L17．52【解析】图中有1357911131564+++++++=(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是128642÷=，图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；图形的面积为：2124226⨯+-=(面积单位)，进而得图形的面积为：26252⨯=．18．20【解析】法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N 为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．19．200【解析】图1中阴影部分占整个三角形面积的12，25，故图2图2中阴影部分占整个三角形面积的1649中阴影部分的面积为294÷1216⨯=200(平方分2549米)．20．48【解析】如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN全等(能完全重叠地放在一起)的小三角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PMN全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．21．2.25【解析】将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形ABCDEF 被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是6240.25÷=(平方厘米)，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积=⨯=(平方厘米)．0.259 2.2522．66【解析】 ABC ABD BCD ACD SS S S ∆∆∆∆=++21221229=⨯+⨯+⨯66()=平方厘米23．11【解析】因为5N =；3L =：所以22253211S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)．24．15,20,14,17【解析】⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)． 25．6.5【解析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+L 2-1)×单位正方形面积，其中N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+72-1)×1=6．5(平方厘米) 方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l+1+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9．5=6．5平方厘米．。
几何格点与割补
第十一、十二讲格点与割补本讲知识点1．分割法1）正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形，来进行计算.2）在对格点图形的分割计算时，不一定要分到最小的基本单位。
一般来说分为中等大小的，可以计算的规则形状比较方便。
2．割补法1）是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算.2）此外，在图形中进行适当的分割拼补，把不规则的形状拼成规则形状，也是常见的方法.3．格点面积公式1）在最小的正方形面积为1的图形中：正方形格点多边形面积=边界格点数÷2＋内部格点数-1.2）在最小正三角形面积为1的图形中：三角形格点多边形面积=边界格点数+内部格点数×2-1.3）在使用公式法计算格点多边形面积时，要注意公式的适用条件.4）在多个格点图形相关的问题中，要注重利用它们之间的共同点来帮助计算.5）对于很多非格点图形的面积计算，分割和添补的方法依然适用.6）特别的，在图形中恰当的添加格线进行分制，能更好的体现围形的结构，以及整体和部分的数量关系，而在添补中，看见某些特殊角度，如45°、60°、120°等时，可以联想到一些特殊的图形，如，等腰直角三角形，正三角形等等.精选例题例题1．如图，分别在如下三种情况中，求出图中格点图形的面积：（1）相邻格点距离为1；（2）相邻格点距离为2；（3）最小正方形面积为2.例题2．如图，下图的正方形格点，单位正方形面积为1，分别求出两个图形的面积.例题3．如图，下图的正方形格点中，单位正方形面积为3，求出图形面积.练习1．如图，分别在如下两种情况中，求出图中格点图形的面积：（1）最小正三角形面积为1；（2）最小正三角形形面积为2.例题4．如图，下图的三角形格点，单位正三角形面积为1，分别求出两个图形的面积.例题5．如图，下图的正三角形格点中，单位正三角形面积为5，求出图形面积.例题6．下图点阵间隔为1，请利用方形格点公式，填出下表：练习2．下图三角形点阵所能连出的最小三角形面积为1，请利用三角形格点公式，填出下表：例题7．如图，单位正方形面积为1，利用格点公式计算下面阴影图形的面积，并再用一种其他方法计算检查.例题8．（1）在图1的正方形格点中，左图面积是45，那么右图的面积是多少？（2）图2的左右两个大三角形相同，左图的单位正三角形面积为100，右图的单位正三角形面积是多少？例题9．把同一个三角形的三条边分别四等分、六等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形，已知图1中副影部分的面积是63平方厘米，那么图2中的阴影部分的面积是多少平方厘米？例题10．如图，对下列图形进行适当的格线划分，使得能恰当的体现出阴影部分与总面积的关系，并进行相应计算：（1）大正方形面积为90，连结各边中点得到阴影正方形，求阴影面积.（2）大正三角形面积为90．每边取三等分点，连结得到阴影正六边形，求阴影面积.（3）大正六边形面积为90，连结其中3个顶点得到阴影正三角形，求阴影面积.（4）大等腰直角三角形面积为90，如图放入一个阴影正方形，求阴影面积.例题11．在面积为72平方厘米的正六边形中，按图中不同方式切割（切割点均为等分），形成的阴影部分面积分别是多少？例题12．如图，大正方形和小正方形的边长分别为6厘米和2厘米，G、N、M分别为AF、AB、ED边上的中点，求四边形GNME的面积.例题13．如图，在长方形ABCD中，O是长方形的中心，BC长20厘米，AB长12厘米，=，3DE AE4=，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？CF DEBE=，三角形AEF的面积是37，那么长例题14．如图，在长方形ABCD中，3DF＝，11方形ABCD的面积是多少？例题15．甲乙两个六边形的内角都是120°，其边长如图所示，那么甲，乙面积分别是边长为1的正三角形面积的多少倍？例题16．求阴影部分面积：例题17．两个等腰直角三角形直角边分别长10厘米和6厘米，那么三角形DGE面积是多少平方厘米？思考创新思考1．下图为一个等边三角格点阵，可连出的最小的三角形面积是1，请在图中以给出点为顶点面一个面积为13的三角形.思考2．如图，平面上有16个点，每个点都钉上钉子，形成间隔为1厘米的4行4列的正方形钉阵，现在有许多皮筋，可以套出几种面积的三角形？请各举一例.思考3．正方形格点如图，原有格点的单位正方形面积为68，利用原有格点在图中划分新的格线，分别划出两种新的情况，那么这两种新格线的单位小正方形的面积分别是多少？思考4．如图，把长方形纸片ABCD的一角折起，使点D恰好与AB的中点F重合，若三角形EDC的面积是10．那么长方形ABCD的面积是多少？思考5．如下图，在一平行四边形纸片上割去了①，②两个直角三角形，已知三角形①两条直角边分别为2厘米和5厘米，三角形②两条直角边分别为5厘米和8厘米，求图中阴影部分的面积.第十一讲格点割补（一）思维冲浪1．如图所示，每一个小方格的面积都是1，那么用祖线围成的图形的面积是________.2．已知图中相邻两格点的距离均为2厘米，那么图中连出多边形的面积是______平方厘米.3．如图所示，图中最小的“□”面积是2，那么阴影部分面积分别为________.4．如图，如果每个小三角形的面积都是1cm2，那么连接A，B，C三点的三角形的面积是________cm2.5．如图，如果每一个小三角形的面积是2平方厘米，那么四边形ABCD的面积是________平方厘米.6．如图所示，图中最小的“Δ”面积是2，那么阴影部分面积分别为_______.7．如图所示，每个小方格格的边长为1．那么阴影部分的面积是多少？8．图中相邻三点所形成的等边三角形的面积为1，求五边形的面积.9．如图，大正六边形的面积为108，求阴影部分的面积为多少？10．图中水平，竖直方向相邻两个格点的距离都是1，请你求出图中“8”、“0”，“9”的面积各是多少.第十二讲格点割补（二）思维冲浪1．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，连接这账分点，便得到了若干个面积相等的小三角形，左图中阴影部分的面积是294平方分米，那么右图中阴影部分的面积是________平方分米.2．下图是一个面积为24的正六边形，阴影部分的面积是__________.3．如图所示，ABCD是长方形，长AD等于7.2厘米，宽AB等于5厘米，CDEF是平行四边形，如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是________平方厘米.4．在下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米.5．如图，大正方形和小正方形的边长分别为6厘米和2厘米，G、N分别为AF、AB边上的中点，那么四边形GNCE的面积是__________平方厘米.6．如图所示，三个长方形APHM、BNHP、CQHN的面积分别是7、4、6、则阴影部分的面积是__________.7．如图所示，为一个等边三角格点阵，可连出的最小的三角形面积是1，请在图中以给出点为顶点画一个面积为7的三角形.8．如图所示，为一个边长为2的正方形，其中阴影部分的面积为多少？9．图中大正方形边长为8，小正方形边长为4，求阴影部分面积.10．如图，一个正方形，与4个等腰直角三角形，恰好拼成了一个长方形，如果正方形的面积是16，那么，长方形的面积是________.。
小学四年级培优数学第三章第五课：几何问题之格点与割补
培优数学 第三部分
几何问题
“独学而无友，则孤陋而寡闻。”
第5讲
格点与割补
明确格点多边形的概念，学会通过 分割和添补的方法计算其面积； 学会利用割补法计算不规则图形的 面积； 掌握格点多边形的面积计算公式.
典型问题
1、图中相邻两格点间的距离均为1厘米， 三个多边形的面积分别是多少平方厘米？
①
③
②
典型问题
2、图中相邻两格点间的距离均为1厘米， 三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？
①
②
③
典型问题
3、图中的每个小正方形的面积均为2平 方厘米，阴影多边形的面积是多少平方 厘米？
典型问题 4、图中是一个三角形点阵，其中能连出 的最小的等边三角形的面积为1平方厘米， 三个多边形的面积分别是多少平方厘米？
① ③
②
典型问题
5、图中的数字代表对应线段的长度， 试求这个多边形的面积.(单位：厘米)
2
3
4
2
5
1
格点与割补(二)
格点与割补（二）
我是小精灵
小多多 来 了
我叫小马虎
如上图，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少 ?(单位： cm)
1．如下左图，ABCD是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD的对角线相交于O，三角形 AOE的面积比三角形BOD的面积小16平方厘米，则梯形AEBD的面积是多少平方厘米?
注意：在任意梯形ABCD中，为
“上”、“下”、“左”、“右”，其中：左＝右。
课后作业 P98页第2、3题
如上右图，将梯形AEBD内4个三角形的面积分别记为①、②、③、④。 在梯形AEBD中，有△EBD、△ABD同底等高，所以①＝③。 由题意知②-④＝16，于是有（①＋②）-（③＋④）＝16。 已知①＋②＝SABD＝ 1 ×8×8＝32，所以③＋④＝（①＋②）-16＝32-16＝16。
2
所以有S梯形AEBD＝（①＋②）＋（③＋④）=32＋16=48（平方厘米）。
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学科：奥数教学内容：格点与面积生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具” 。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位” 。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例 1计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3× 2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3× 2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成 3 块，它包含有 1 个面积单位和 2 个面积单位的一半，合起来有 2 个面积单位，所以它的面积为 2。
（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为 3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为 3。
（5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。
所以梯形的面积为：（2＋4）× 3÷2=9。
（6）将图中梯形用虚线分成 3 块，它包含有 5 个面积单位和 2 个面积单位的一半，合起来有 6 个面积单位，所以它的面积为 6。
例 2计算下面这个格点多边形的面积。
分析：这是一个不规则的多边形，不能直接求出它的面积。
可用长方形的面积减去 4 个直角三角形的面积，如图 1 所示；另外还可将该四边形分割成几块，如图2。
解答：方法一：3× 4－（ 2× 1÷ 2＋ 2× 1÷ 2＋ 2× 2÷ 2＋ 3×1÷2）=6.5 （面积单位）方法二：1× 2÷ 2＋1×3÷2＋1×1÷2＋3×1÷2＋1×2=6.5 （面积单位）例3 相邻四点连成的小正方形面积为 1 平方厘米。
分别连接各点，组成下面 12 个图形，你发现有什么排列的规律？算出各图形的面积。
找出图形外面一周的点子数、中间的点子数与面积三者之间的关系。
分析：仔细观察图形：横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不变；竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐渐增多。
图形一周的格点数、中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有个点、中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。
第（ 1）组图形编号①②③④一周格点数46841中间格点数0000面积（平方厘1236米）中间没有格点时，面积 =一周格点数÷ 2－1第（ 2）组图形编号⑤⑥⑦⑧一周格点数46841中间格点数1111面积（平方厘2347米）中间有一个格点时，面积=一周格点数÷ 2＋（ 1－ 1）第（ 3）组图形编号⑨⑩ 1112一周格点数46841中间格点数2222面积（平方厘3458米）中间有两个格点时，面积=一周格点数÷ 2＋（ 2－ 1）解答：（1）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积同样随着中间的格点数增加而增加。
（2）各图形的面积见表格。
各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有关系，格点图形的面积计算公式是：图形面积 =图形一周的格点数÷ 2＋（中间格点数－ 1）说明：格点图形的面积求法很灵活，不要死记公式，要具体题目具体研究。
例 4下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积：分析：这是一个组合图形，面积可分成几个部分来求。
本图可分为两个三角形和一个长方形三部分。
每一部分面积的求法，因图而异。
如两个三角形需要扩展成长方形再求面积，而长方形只要直接数单位面积即可。
解答：左边三角形面积 =4×4－1×2÷2－4×3÷2－4×2÷2=5；右边三角形面积 =4×4－1×3÷2×2－4×4÷2－1×1=4；长方形的面积为 6×2=12；所以礼盒面积为： 5＋4＋12=21说明：此题还可以直接用公式，请你自己试一试。
例5 在下图中有 21 个点，每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，计算三角形 ABC的面积。
分析：此题是一个三角形格点图。
每三个相邻的格点构成一个正三角形，为一个面积单位。
三角形格点图形面积的计算类似于正方形格点图形面积的计算，可以直接数图形所包含的面积单位，也可将之转化为几个易求的三角形，在通过加减运算得到。
此题中三角形ABC的面积不能通过直接数格点面积来求，可以把它扩展成三一个大三角形，再减；也可以把它分成几个小的三角形，然后再加。
解答：方法一：给三角形 ABC添加Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ部分小的三角形，则得到由25 个单位三角形构成的大三角形，现在只要分别求出Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ三个小三角形的面积即可。
三角形Ⅰ是一个平行四边形的面积的一半，如图 4 中的虚线平行四边形。
这个平行四边形包含 6 个面积单位，所以他的面积为6，三角形Ⅰ的面积为：6÷ 2=3同理，三角形Ⅱ及Ⅲ的面积分别为 4 和 8，所以三角形 ABC的面积为：25－3－4－8=10（面积单位）方法二：将三角形分成几个易求面积的三角形（如图3）。
Ⅰ的面积为1×3=3，Ⅱ的面积可直接数为 1，Ⅲ的面积为 1× 2=2，Ⅳ的面积为 2×2=4，于是三角形ABC的面积为： 3＋1＋2＋4=10。
想一想：以三角形Ⅰ为例，为什么这里三角形的面积可以用 1×3 计算？可联系方法一中三角形Ⅰ面积的求法。
说明：关于三角形格点多边形的面积也有类似于正方形格点多边形的面积计算公式。
可以按照例 3 的方法归纳总结，就可以得到三角形格点多边形面积的计算公式：三角形格点多边形的面积 =多边形内包含的格点数× 2＋多边形周界上的格点数－ 2。
例6 在下图中有 45 个正方形格点，过图中三点连一个三角形，并且至少有一条边水平或垂直。
问共有多少个这样的格点三角形？分析：如果要在图中找一个面积为 8 的格点三角形很容易，但是要求出有多少个这样的格点三角形就有些困难，不过功夫不负有心人，一定能找到方法。
注意到待计数的格点三角形的底与高的乘积为 16，所以可以分类计数。
解答：因为 16=4×4=2× 8=8×2，所以可以分为以下几类来计数：（1）每个 4×4 的正方形中有 4 个直角三角形符合要求，总数为 4× 5=20（个）；（2）每个 2×8 的长方形中也有 4 个直角三角形符合要求，总数为4×3=12（个）；（3）符合要求的不是直角三角形的三角形有：4×4，状的有：5× 7=35（个）；状的有： 35 个；状的有： 5× 3=15（个）；状的有： 15 个；8×2，状的有：3× 7=21（个）；状的有： 21 个；2×8，状的有：3×3=9（个）；状的有： 9 个；共有：（35＋ 15＋21＋9）× 2=160（个）所以符合要求的三角形一共有：20＋ 12＋160=192（个）材料有形状的数最早把自然数和几何形系在一起的是古希腊数学家达哥拉斯。
达哥拉斯把数描成沙上的小石子，又按小石子所能排列的形状，找自然数与正三角形、正方形、正五形⋯⋯之的关系。
达哥拉斯，当小石子的数目是1、 3、6、10 等数，小石子都能成正三角形，他把些数叫做三角形数；当小石子的数目是 1、4、9、16 等数，小石子都能成正方形，他把些数叫做正方形数；当小石子的数目是1、5、12、22 等数，小石子都能成正五形，他把些数叫做正五形数⋯⋯达哥拉斯出了其它多形数。
有趣的事，他一步了各种“形数之的内在系”。
比如，每个大于 1 的正方形数都可以表示成两个相三角形数的和。
4=1+3，9=3+6， 16=6+10，⋯⋯反来，任意两个相的三角形数相加，必然是一个正方形数，也就是平方数。
从下面的形中可以得到。
达哥拉斯借助生的几何直，第 n 个三角形数等于 1+2+3+⋯+n，第 n 个正方形数等于n2，⋯⋯根据些律，人就可以写出很多很多的形数了。
练习题1．计算下图中各多边形的面积（点与点之间的距离都是 1 厘米）分析与解答：（1）直接计数，图 1 中包含 5 个面积单位，所以它的面积为5；（2）直接计数，图 2 中包含 6 个面积单位，所以它的面积为6；（3）将图 3 分为上下两部分，上面的长方形包含有 6 个面积单位，下面的平行四边形可以转化为一个 1×2 的长方形，所以面积为 2。
图 3 的面积为 6＋ 2=8 （面积单位）；（4）图中包含 2 个面积单位和 4 个单位面积的一半，所以图 4 的面积为 4；（5）将图 5 按下图分割为上下两部分，上面的包含 3.5 个面积单位，下面的面积为 3×1÷ 2=1.5 （面积单位），所以图 5 的面积为 5；（6）直接计数，图 6 中包含 7 个面积单位，所以它的面积为7。
2．下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？分析与解答：（1）喇叭图中包含 2 个面积单位和 2 个面积单位的一半，所以它的面积为 3；（2）将小猫图分为左右两部分，头与身子部分的面积为（可直接计数） 10，尾巴部分是一个平行四边形，它的面积与一个单位面积相同，所以小猫图的面积为11。
（3）小狗图面积的求法与小猫图形面积的求法相同，它的面积为6。
说明：此题还有其他的分割方法，请你自己想一想。