第二讲 格点与割补
小学数学奥数测试题格点与割补_人教版
4．如图，计算各个格点多边形的面积．
5．如图(a)，计算这个格点多边形的面积．
6．右图是一个方格网，计算阴影局部的面积．
7．区分计算图中两个格点多边形的面积．
8．我们末尾提到的〝乡村小屋〞的面积是多少？
9．右图是一个 面积单位的图形．求矩形内的箭形 的面积．
10．右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只〝狗〞所占的面积是多少？
13．两个边长相等的正方形各被分红25个大小相反的小方格．现将这两个正方形的一局部堆叠起来，假定左上角的阴影局部(块状)面积为 ，右下角的阴影局部(线状)面积为 ，求大正方形的面积．
14．图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．
15．如图(a)，有21个点，每相邻三个点成〝∵〞或〝∴〞，所构成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC的面积．
23．11
【解析】由于 ； ：所以 (面积单位)．
24．15,20,14,17
【解析】⑴∵ ； ，∴ (面积单位)；
⑵ ∵ ； ，∴ (面积单位)；
⑶ ∵ ； ，∴ (面积单位)；
⑷ ∵ ； ，∴ (面积单位)．
25．6.5
【解析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+ -1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
16．19，19,18,21
【解析】⑴∵ ； ，∴ (面积单位)；
⑵ ∵ ； ，∴ (面积单位)；
⑶ ∵ ； ，∴ (面积单位)；
⑷ ∵ ； ，∴ (面积单位)．
17．52
【解析】图中有 (个)小三角形，那么一个小三角形的面积是 ，
图形外部格点数为12，图形周界上格点数为4；
高中数学中的格点问题-文档资料
高中数学中的格点问题随着计算机技术的发展，高考中出现了很多以计算机为背景的试题，其中格点（整点）问题成为一个热点.所谓格点（或整点）就是在坐标平面上横、纵坐标都是整数的点，这类试题注意以计数为主，借助坐标概念，格点问题解答都很有特色.例1 （2011年北京）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R），记N（t）为ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（）.A{9，10，11} B{9，10，12}C{9，11，12}D{10，11，12}答案 C例2 （2011年安徽）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b 都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线.答案①③⑤例3 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫作整点，那么满足不等式：(|x|-1)2+(|y|-1)212x,x+y=60的整数解的个数.线段OA有21个整点，线段AB上有21个整点，线段OB上有61个整点.因此所求三角形上有21+21+61-3=100（个）整点.注释对于问题（1），△OAB及其内部区域有(61+1)×212=31×21=651（个）整点.（2）考虑下右图，△OCD及其内部区域有(61+1)×212=31×21（个）整点.因此所求整数解的个数为612+612-2×31×21+1=61×31-42×31+1=590.例5 xy平面上，顶点的坐标（x,y）满足1≤x≤4，1≤y≤4，且x,y是整数的三角形有多少个？解由题设知，在xy平面上有16个整点，共有C316=560（个）三点组，要从中减去那些三点共线的.平面上有4条垂直线和4条水平线，每条上有4个点，这8条线上含有8C34=32（个）三点共线的三点组（如图（1））.类似的，在斜率为±1的线上三点共线的三点组有2C34+4C33=8+4=12（个）（如图（2））.此外，没有其他的三点共线的三点组，所以，组成的三角形的个数是560-32-12=516（个）.例6 （2011年江苏）设整数n≥4，P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a,b∈{1,2,3,…,n},a>b.（1）记An为满足a-b=3的点P的个数，求An；（2）记Bn为满足13(a-b)是整数的点P的个数，求Bn.解析（1）因为满足a-b=3，a,b∈{1,2,3,…,n},a>b的每一组解构成一个点P,所以An=n-3.（2）设13(a-b)=k∈N*，则a-b=3k，0。
高中数学竞赛讲义——格点问题
⾼中数学竞赛讲义——格点问题格点问题[赛点直击]1．格点，是指⽅格纸上纵线和横线的交点，如果取⼀个格点为原点，通过该点的横线与纵线为x 轴和y 轴，且设⼀个⽅格的边长为1，那么，格点就是平⾯直⾓坐标系中宗横坐标都为整数的点。
因此，格点⼜称为整点。
2．坐标平⾯内顶点为格点的三⾓形称为格点三⾓形，类似地也有格点多边形的概念。
3．格点多边形的⾯积必为整数或半整数（奇数的⼀半）。
4．格点关于格点的对称点为格点。
5．设格点多边形内部有I 个格点，边界上有p 个格点，则格点多边形的⾯积为 S=I+P/2-1（见例5）。
[赛题精析]例1 平⾯上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线s=5/3x+4/5的距离中的最⼩值是（）A B ．120 D ．130 思路点拨：可以引进整点坐标，利⽤点到直线的距离公式，建⽴整点到直线距离的⼆元函数。
通过对距离函数最值的探求获得问题的解。
⽽不同⾓度的探求⼜能得到不同的解法。
解法⼀已知直线可写成25x-15y+12=0整点()00,x y 到直线的距离为d =由0x ，0y 均可为整数知00251512x y -+必为整数，从⽽d 为⽆理数，否定C,D. 若选A ，则002515121x y -+=即0025151x y -=±有00251513x y -=-或00251511x y -=-但()00002515553x y x y -=-是5的倍数，不会取-13，-11。
故否定A ，从⽽选B 解法⼆距离d 的⼤⼩完全有12152500+-y x 来确定，当12152500+-y x 最⼩时，d 也相应的取最⼩值。
由于)35(515250000y x y x -=-是5的倍数，故212152500≥+-y x 。
另⼀⽅⾯，当4,200-=-=y x 时，212152500=+-y x .∴d 取最⼩值85343452=。
故选B 。
评注：（1）直线0121525=+-y x 上设有格点，因为如果有，则)53(5152512x y y x -=+-=是5的倍数，与相⽭盾。
《割补法巧算面积》课件
在本次PPT课件中，我们将讨论割补法巧算面积的方法。通过定义、原理、 应用范围、步骤与注意事项、示例演示、优缺点以及结论与展望，带您深入 了解这一计算面积的方法。
问题引入
我们经常需要计算不规则图形的面积，但传统的计算方法难以适用。割补法 是一种新颖而高效的解决方案，能够应对各种复杂的图形。接下来，我们将 介绍割补法的定义与原理。
割补法的定义与原理
割补法是一种将复杂图形分割成简单图形进行面积计算的方法。通过将图形 分解为多个易于计算的形状，然后逐个计算它们的面积，最后将所有结果相 加，我们可以准确而高效地得出整个图形的面积。
割补法的应用范围
割补法适用于各种复杂的几何图形，包括不规则多边形、曲线形状和非传统形状。它可以在建筑设计、土地测 量、地理学研究等领域发挥重要作用。
Hale Waihona Puke 2 优点：适用面广割补法适用于各种复杂图形，无论形状多么 奇特，都能计算其面积。
3 缺点：分割过程复杂
4 缺点：对计算要求较高
分割复杂图形可能需要耗费一些时间和努力。
使用割补法需要熟悉面积计算的相关公式和 方法，对于初学者可能有一定难度。
结论及展望
割补法是一种强大而实用的计算面积的方法，它可以解决传统方法难以处理 的复杂图形。未来，我们将继续研究和改进割补法，使其在更广泛的领域和 场景中发挥作用。
割补法的步骤与注意事项
步骤一：分割图形
将复杂图形分割为简单的几何形状，例如矩形、 三角形和圆。
步骤二：计算各个形状的面积
使用适当的公式计算每个简单图形的面积。
步骤三：求和
将所有计算出的面积相加，得出整个图形的面积。
注意事项
确保分割图形时不会产生重叠或遗漏的部分，以 确保计算的准确性。
小学奥数精讲 格点型面积.教师版
模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵ ⑶【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】判断 【解析】 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形． 【答案】⑴是格点多边形【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．⑶⑵⑴【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)； 图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)； 图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-． 例题精讲4-2-7.格点型面积图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1） （2） （3） （4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)． 【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)． 【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。
格点与割补
趣味数学
• 体育运动会授奖台的图形如下，你能否 只剪一刀，把它拼成一个正方形？
基础热身
• 1.有一块长方形麦地，长200米，宽50 米，这块麦地的面积有多少公顷？
• 2.某乡沿江种植一个长15千米，宽8米的 林带，如果每公顷植树2000棵，这个林 带共植树多少棵？
知识导学
• 这一讲我们来研究借助格点计算图形面积的方 法.
• （1）数格子 • （2）合理分割法：把图形分割成若干个可直
接计算面的规则图行 • （3）扩展法：把图形先扩展成易算面积的规
则图形，在减去扩展的部分 • （4）毕克公式：若N表示内部的格点数，L表
示边界上的格点数，S表示面积。
知识导学
• 正方形格点： • S＝N＋L÷2－1 • 三角形格点： • S＝（N＋L÷2－1）×2
• （1）多边形内包含的格点数有7个，多 边形周界上的格点数是7个，所以面积 是2×7＋7－2＝19（面积单位）
• （2）多边形包含的格点数有8个，多边 形周界上的格点数是5个，所以面积是 2×8＋5－2＝19（面积单位）
一题一练
• 下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求 出它的面积。
• （图见课本29页“课堂练习 ”）
一题一练
• 计算下例题各多边形的面积（点与点之 间的距离都是1厘米）
• （图见课本26页“课堂练习”）
• 例4. 在下图中有21个点，每相邻三点 构成一个单位面积的等边三角形，计算 三角形ABC的面积
A
C
B 图1
• 方法一：（图2）三角形ABC的面积是：
• 25－3－4－8＝10（面积单位）
•.
例1：计算下图中各图形的 面积.
初中数学中的格点问题ppt课件
1.“格点”是什么？
y
数学上把在平面直角坐标系中 横纵坐标均为整数的点称为格 点或整点。
·A
2 1
0 12
隐藏掉坐标轴后，左边便是 由水平线和垂直线组成的方 x 格，我们同样把水平线和垂 直线的交点称为“格点”。
2
2.“格点线段”、“格点三角形”、“格点多边形” 是什么？
A1 A2
A3
An A7 A6
(3)5
bcaΒιβλιοθήκη a2 b2 c2∴ c a2 b2 5
练习.已知网格中的每个小正方形的边长均为1，请画以格点
为顶点且三边长分别是 4、10、3 2 的△ABC
C
A
B
6
例2.如图所示，在网格中有一线段AB和点P，请你画出过 点P且平行线段AB的直线a，并说明理由。
练习：你还能画出过点P垂直线段AB的直线b吗？
形的边长为1. 以A、B、C为顶点的三角形为等腰三角形的所
有格点C的位置有 3
个；并在图中标出。
·C ·C
·C
13
例7.在6×6的正方形网格中，以点D、E为两个顶点作位置不 同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样
的格点三角形最多可以有 4 个
··
··
14
练习.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1， A、B两点在网格点上。若点C也在网格点上，以A、B、C为顶
9
练习.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图。图中四个角 上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示
的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入
的球袋是2号袋
光的反射规律
入射角 反射角
法线
平面镜
小学数学奥数测试题格点与割补_人教版-最新教育文档
7．分别计算图中两个格点多边形的面积．
8．我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？
9．右图是一个 面积单位的图形．求矩形内的箭形 的面积．
10．右图中每个小正格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是（ ）平方厘米．
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。3．判断下列图形哪些是格点多边形？
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格点与面积
知识要点：
毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1
（1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.
正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1
（2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.
三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2
三角形格点问题
所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．
关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有22
S N L
=⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．
例1：计算下列各图的面积。
总结：面积=
(注：内部点，外部点关系)（毕克定理）
例2：判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴
⑵
⑶
例3：如图，计算各个格点多边形的面积．
例4：求下列各个格点多边形的面积．
例5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？
例6：右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．
⑵
⑴⑷
⑶H G
F
E
D C B
A
例7：右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？
例8：求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．
⑴⑵⑶⑷
例9：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形, 的面积.
试计算ABC
例10：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.
例11：.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为cm,试求图中三角形DEF的面积.
12
例12：图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形CEPQ 的面积。
Array
例13：图中每个小正方形的面积都是4 平方厘米，求图中阴影部分的面积。
家庭作业
1．计算下图中各多边形的面积（点与点之间的距离都是1厘米）
2．下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？
3．求下图中梯形的面积。
4、计算下面三角形格点多边形的面积。