第五讲 格点与割补
初中中考中的格点图形问题
授课设计教师学生科目数学上课时间课次 1授课内容中考中的格点图形问题授课重难点解题方法授课设计：近来几年来，有关格点问题已成为中考的亮点，这类问题题型多样，形式爽朗，主要观察同学们的直觉推理能力和问题研究能力．格点问题操作性强、兴趣性浓，表现了新课标的“在‘玩’中学，在学中思，在思中得”的崭新理念．下面就中考中的几类格点问题归纳以下，望能对学习有所帮助．一、格点中的对称问题例 1 （绍兴市）如图 1，在网格中有两个全等的图形 (阴影部分 )，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图(1) 、(2) 中画出两种不同样的拼法．图1图2二、格点中的画图问题例 2 （黑龙江鸡西市）如图3，在网格中有一个四边形图案．（1）请你画出此图案绕点 O 顺时针方向旋转 900， 1800，2700的图案，你会获取一个美丽的图案，千万不要将阴影地址涂错；图 3图4（2）若网格中每个小正方形的边长为l ，旋转后点 A 的对应点依次为 A1、 A2、A3，求四边形 AA1A2A3的面积；(3)这个美丽图案可以说明一个出名结论的正确性，请写出这个结论．三、格点中的坐标问题例3 （苏州市）如图 5．围棋盘的左下角表现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示．纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的地址可记为(C，4)，白棋②的地址可记为( E， 3) 则白棋⑨的地址应记为＿＿＿．图 5四、格点中的相似问题例 4 （福州市罗源平潭）如图成的相似三角形有（）A ． 4 对B ． 3 对C． 2 对6，在 7×12 的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组DD ．1 对A C F析解：本题是一道以网格为背景的结论研究性问题， B E J H在正方形网格中画了一只可爱的小狐狸，增强了题目G I R L的兴趣性．由网格的特色结合勾股定理，可以获取三角图6形三边的长，从而利用“三边对应成比率，两三角形相似”的判断来求解．．五、格点中的位似问题例5 （广东省）如图 7，图中的小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 与△ A′B′C′是关于点 O 为位似中心的位似图形，它们的极点都在小正方形的极点上．（1）画出位似中心点 O；（2）求出△ ABC 与△ A/B/C/的位似比；（ 3）以点 O 为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ ABC的位似比等于．C/ C/C1B/ C B/ CA/BA/B1 BA A1 A O 图 7 图 8六、格点中的面积问题例 6 （浙江湖州市）一青蛙在如图8×8 的正方形（每个小正方形的边长为 1）网格的格点（小正方形的极点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为 5 ，青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到点 A，则所组成的封闭图形的面积的最大值是_______．图 9析解：本题以青蛙这一幽默且有益的动物为背景设计题目，增加了题目的兴趣性．解题时涉及无理数、勾股定理的应用、图形面积的计算等知识．只要正确画出图形，再运用割补法即可求得面积为 12．七、格点中等腰三角形问题例 7 （重庆市）以下列图，A、 B 是 4×5 网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为晰标出使以Ａ、B、C 为极点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的地址．1，请在图中清A AB B图10 图11析解：依照网格的特色及等腰三角形的有关知识易得，AB 只能为一腰，且AB= 13 ，由勾股定理即可知点C1、 C2、 C3吻合要求（如图11）．八、格点中的拼图问题例 8 （北京市）请阅读以下资料：问题：现有 5 个边长为画出切割线并在正方形网格图1 的正方形，排列形式如图①，请把它们切割后拼接成一个新的正方形．(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．要求：小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞ 0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5 ，解得x= 5 ．由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长．于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③ 所示的新正方形．图①图②图③图④图⑤图12请你参照小东同学的做法，解决以下问题：现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如图④，请把它们切割后拼接成一个新的正方形．要求：在图④中画出切割线，并在图⑤的正方形网格图 (图中每个小正方形的边长均为 1)中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写解析过程．析解：本题是一道综合型网格作图试题，涉及到无理数、勾股定理等知识，主要观察同学们的计算能力、着手操作能力．类比小东的作法，可设新正方形的边长为x(x>0)，便有 x2=10 ，解得 x=10 ．由此可知，新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长．于是，画出如图②所示的切割线，拼出如图③所示的新正方形．图 13图14温州历年中考中的格点问题19．（ 2009?温州） ( 本题 8 分 ) 在所给的 9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个极点以及对角线交点都在方格的极点上．(1) 在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数； (2) 在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数． ( 注：图甲、图乙在答题纸上 )19、（ 2011?温州）（本题8 分）七巧板是我们祖先的一项优异创立，用它可以拼出多种图形，请你用七巧板中标号为○1 ○2 ○3的三块板（如图1）经过平移、旋转拼成图形。
三年级奥数.几何.格点面积
一、 正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．二、 三角形格点问题1、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．2、公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．知识结构毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12LS N =+-．格点面积（1） 毕克定理 （2） 割补法 （3） 扩展法【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．IIIIII重难点例题精讲【巩固】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．1cmAB CDEF【例 4】分别计算图中两个格点多边形的面积．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【例 5】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例 6】如图(a)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC的面积．【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积．CBA【例 7】图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．【例 8】正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？【例 9】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 10】把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?课堂检测【随练1】“乡村小屋”的面积是多少？【随练2】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．（1）（2）（3）（4）家庭作业【作业1】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______①②【作业2】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB【作业3】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【作业4】55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【作业5】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【作业6】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？DCBA【作业7】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____平方厘米．学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：教学反馈。
高斯小学奥数四年级下册含答案第05讲_割补法巧算面积
第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？ 例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加． 32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2.例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积8平方厘米，正方形B 的面1 2 2 3 4 5 1 22 3 45积是32平方厘米．6. 例题6答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：1503 243 4124 9简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．12. 作业2答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积． 13. 作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6． 14. 作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15. 作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。
格点与割补
趣味数学
• 体育运动会授奖台的图形如下，你能否 只剪一刀，把它拼成一个正方形？
基础热身
• 1.有一块长方形麦地，长200米，宽50 米，这块麦地的面积有多少公顷？
• 2.某乡沿江种植一个长15千米，宽8米的 林带，如果每公顷植树2000棵，这个林 带共植树多少棵？
知识导学
• 这一讲我们来研究借助格点计算图形面积的方 法.
• （1）数格子 • （2）合理分割法：把图形分割成若干个可直
接计算面的规则图行 • （3）扩展法：把图形先扩展成易算面积的规
则图形，在减去扩展的部分 • （4）毕克公式：若N表示内部的格点数，L表
示边界上的格点数，S表示面积。
知识导学
• 正方形格点： • S＝N＋L÷2－1 • 三角形格点： • S＝（N＋L÷2－1）×2
• （1）多边形内包含的格点数有7个，多 边形周界上的格点数是7个，所以面积 是2×7＋7－2＝19（面积单位）
• （2）多边形包含的格点数有8个，多边 形周界上的格点数是5个，所以面积是 2×8＋5－2＝19（面积单位）
一题一练
• 下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求 出它的面积。
• （图见课本29页“课堂练习 ”）
一题一练
• 计算下例题各多边形的面积（点与点之 间的距离都是1厘米）
• （图见课本26页“课堂练习”）
• 例4. 在下图中有21个点，每相邻三点 构成一个单位面积的等边三角形，计算 三角形ABC的面积
A
C
B 图1
• 方法一：（图2）三角形ABC的面积是：
• 25－3－4－8＝10（面积单位）
•.
例1：计算下图中各图形的 面积.
五年级奥数解析6.格点和割补
正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+72-1)×1=6.5(平方厘米)方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【分析与解】 如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置．设整个七巧板组成的正方形的边长为1，显然整幅图形的面积为1，且有第2块的面积为12×12×12=18．有3S =4S ，2S =5S =7S =23S ，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为12，所以4S =IGFB S 长方形，7S =18．所以第2块板的面积等于整幅图面积的18，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积的116+18=316．4．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?【分析与解】 方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形．120块小正三角形的面积为1，所以每块为1120，那么原来的正三角形由81块小正三角形组成，其面积显然为2740．方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A 、B 、C 三种，设A 形正三角形面积为“1”，则B 、C 两种正三角形的面积依次为“19”、“181”．在图6-5中，A 种、B 种、C 种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5中图形的面积为1+3×19+12×181=4027．所以有“1”对应2740，而原来的正三角形即为三角形A ，所以原来的正三角形的面积为2740.5．如图6-6，正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF 包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP 包含有9个小正三角形．正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为6÷24=14，所以三角形MNP的面积为9×14=2.25(平方厘米)．6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5，所以原正三角形的面积为24.5×25=612.5(平方分米)．而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为612.5÷49×16=200(平方分米)．7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么所围图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形.为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小．如下切法得到的七边形的面积最大，为25-3×0.5=23.5(平方厘米)．8.在图6-10中，三角形ABC 和DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF 长9厘米，CF 长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 方法一：如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．△ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，SABC=9×9÷2=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方厘米)．方法二：如图(b)，连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知FG=FC=3(厘米)，所以DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是S HIG =14×AIGD S 正方形=14×26=9.而四边形IGFB 为长方形，有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以IGFB S 长方形=6×3=18．阴影部分面积为A HIG 与长方形IGFB 的面积和，即为9+18=27(平方厘米)．方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母． 易知三角形BIE 、CGF 、AIH 、DGH 均为等腰直角三角形．先求出等腰直角三角形AHI 、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形ABC 的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．有S ABC =DEF S =12×EF ×DF=812，CGF S =12×CF×FG=92．因为CF=FG=3，所以DG=DF-FG=6．如图(d)，可以将4个三角形DGH 拼成一个边长为DG 的正方形．所以，ACD S DGH S =14×DG×DG=9，而A I H S =DGH S =9，所以BFGHI S 阴影=S ABC -CGF S -AIH S =812 -92-9=27(平方厘米)．即阴影部分的面积为27平方厘米．9．如图6-11，在长方形ABCD 中，O 是长方形的中心，BC 长20厘米，AB 长12厘米，DE=4AE ，CF=3DF ，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 我们只用先求出四边形ADFO 的面积，再将其减去两个三角形AEO 、EFD 的面积和，即为所求阴影部分的面积．而四边形ADFO 的面积等于两个三角形AOD 、ODF 的面积和．由题意知AE=4，ED=16，DF=3，FC=9．有AOD S =14ABCD S 矩形=14×20×12=60，ODF S =12×DF×(14AD)= 12×3×12×20=15．AEO S =12×AE×(12AB)= 12×4×12×12=12，EFD S =12×ED×DF=12×16×3=24．有S 阴影=(AODS +ODFS)-AEOS-EFDS=60+15-12-24=39(平方厘米)．即阴影部分的面积为39平方厘米．10．如图6-12，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【分析与解】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A 、B 两种三角形．其中含有A 形三角形8个，B 形三角形16个，其中阴影部分含有A 形三角形4个，B 形三角形8个．所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的12，即为12×10×10=50(平方厘米)．11．如图6-13，ABCD 是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD 的对角线相交于0，三角形AOE 的面积比三角形BOD 的面积小16平方厘米，则梯形AEBD 的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，将梯形AEBD 内4个三角形的面积分别记为①、②、③、④．在梯形AEBD 中，有△EBD、△ABD 同底等高，所以有EBDS =ABDS，即③+②=①+②．显然有①=③．由题意知B O DS-AOES=16，即②-④=16，于是有(①+②)-(③+④)=16．已知①+②=ABD S=12×8×8=32，所以③+④=(①+②)-16=16．所以有AEBD S 梯形=(①+②)+(③+④)=32+16=48(平方厘米)．评注：在任意梯形ABCD 中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、“下”、“左”、“右”，有：左=右；左×右=上×下；上：下=A 2D ：B 2C ．12．如图6-14，ABCD 是长方形，长AD 等于7.2厘米，宽AB 等于5厘米，CDEF 是平行四边形．如果BH 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 CD ES 平行四边形=DC×BC=5×7.2=36，HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以CDH S =12×CD×HC=12×5×4.2=10.5．S 阴影=CDEF S 平行四边形-CDHS=36-10.5=25.5(平方厘米).13．如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少?【分析与解】 将AD 、BC 延长交于E ，有∠EDC=45°，∠ECD=90°，所以△CDE 为等腰直角三角形，有EC=DC ．而∠ECD =45°，∠EAB=90°，所以△ABE 也是等腰直角三角形，有EA=AB ．有ABE S =12×AB×EA =492，EDC S =12×EC×DC=92．有ABCD S 四边形=ABE S -EDC S =492-92=20．14．图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5米，A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，长为0.5米，CD 长为丢米．那么图中阴影部分的面积是多少平方米?【分析与解】 方法一：为了方便叙述．将下图中一些点标上字母．延长AB 交正方形边EF 于H 点，我们先求出梯形JICK 与正方形IFEC 的面积和，再求出三角形AFH 与梯形AHED 的面积和，将前者与后者做差所得到的值即为所求阴影部分的面积．JICK S 梯形=12×(1.5+1)×0.5=0.625，IFEC S 正方形=1×1=1．=12×AH ×FH=12×（AB+BH ）×(12FE)= 12×(0.5+1)-（12×1）=0.375，AHED S 梯形=12×(AH+DE)×HE=12×(AB+BH+CE -CD)×(12FE)=12×(0.5+1+1-13)×(12×1)=1324． 有S阴影=JICK S 梯形+IFEC S 正方形--AHED S 梯形=0.625+l-0.375-1324=1724(平方米)．即阴影部分的面积为1724平方米．方法二：如下图，连接AI 、AC ，将阴影部分分成四个部分．△AJI 可以看作以AJ 为底，AB 的长为高的三角形；△AKC 可以看作以AK 为底，AB 的长为高的三角形；△AJF 可以看作以IF 为底，IB 的长为高的三角形；△ACD 可以看作CD 为底．CB 的长为高的三角形．阴影部分面积为AJI S +AKC S +AIF S +ACD S=0.75×0.5÷2+O .75×O .5÷2+l×O .5÷2+13×0.5÷2 =0.1875+O.1875+0.25+112=1724（平方米)15．从一块正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，剩下的面积是6518平方米．问锯下的木条面积是多少平方米?【分析与解】 我们画出示意图(a)，则剩下的木块为图(b)，将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图(c)．我们称AB 为长，AD 为宽，有长与宽的差为12，所以图(c)中心的小正方形边长为12，于是大正方形AEHK 的面积为6518×4+12×12=52936=236×236，所以AK 长为236．即，长+宽=236，已知：长-宽=12，得长=136，于是锯去部分的木条的面积为136×12=1312=112(平方米)．。
小学数学奥数测试题格点与割补_人教版-最新教育文档
7．分别计算图中两个格点多边形的面积．
8．我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？
9．右图是一个 面积单位的图形．求矩形内的箭形 的面积．
10．右图中每个小正格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是（ ）平方厘米．
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。3．判断下列图形哪些是格点多边形？
五年级春季班第5讲(平面几何)教师版
第五讲平面几何一．角：1.锐角三角形：三个角都为锐角直角三角形：有一个角为直角，另外两个角互余（和为90）钝角三角形：有一个角为钝角2.三角形三个内角和为180n-⨯多边形内角和：(2)180二．边：1.等腰三角形：只有两条边相等的三角形．且两底角相等等边（正）三角形：三条边都相等的三角形．且三个角都相等（60）2.三角形两边之和大于第三边．（两边之差小于第三边）3.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方4.三线合一：等腰三角形底边的中线、高线、角平分线重合．5.巧求周长：平移法、割补法、标向法三．面积：1.公式法（格点法）2.割补法3.等积变形（五大模型）例题1【提高】如图,,AD BD AE CE BE BF ===，问：ACE ∠的度数【分析】36ACE ∠=．（2013年五春第六讲例1）【集训】如图，在ABD ∆中，AB CD =，求“？”的度数．40°30°?DCBA【分析】如图，由于AB CD =，可以将ABC ∆移动到DC E ∆，由于180(3040)110ACB ∠=︒-︒+︒=︒，18011070ACD ∠=︒-︒=︒，所以7040110ACE ∠=︒+︒=︒，又110CED ∠=︒，而A C D E =，所以四边形ACED 是等腰梯形，有180********ADE CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒，703040ADC ∠=︒-︒=︒． 点评：通过构造全等三角形来转化．D例题2【提高】【集训】如图，则A ∠+B ∠+C ∠+D ∠+E ∠+F ∠+G ∠=90n ∙︒，则n =_________．【分析】6n例题3【提高】智能机器猫从平面上的O 点出发．按下列规律行走：由O 向东走12厘米到1A ，由1A 向北走24厘米到2A ，由2A 向西走36厘米到3A ，由3A 向南走48厘米到4A ，由4A 向东走60厘米到5A ，…，问：智能机器猫到达6A 点与O 点的距离是多少厘米？【分析】60厘米（2013年五春第六讲例2）【集训】已知如图，一个六边形的6个内角都是120，其连续四边的长,,,AB BC CD DE 依次是1,9,9,5厘米．求这个六边形的周长．【分析】42厘米（2013年五春第六讲拓展3）例题4【提高】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20分米 、3分米、2分米．A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路是_________．【分析】 展开得到长方形，长方形的长为20分米，宽为15分米，AB 为最短距离，为25分米．A【集训】如图，某会展中心在会展期间准备将高5米，长13米，宽2米的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？513【分析】 地毯的面积是17234⨯=平方米，需要1834612⨯=元．例题5【提高】（1）求“乡村小屋”的面积是多少？【分析】图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)．（2013年五春第六讲基1）（2）把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【分析】图1中阴影部分占整个三角形面积的1225，图2中阴影部分占整个三角形面积的1649，故图2中阴影部分的面积为12162942002549÷⨯=(平方分米)．【集训】如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为________．【分析】1211．（2013年五春第六讲拓展4）例题6【提高】【集训】将边长分别为4,8,12,16,20的正方形并排在一起（如图），一条与正方形的边平行的直线CD 将该图形分为面积相等的两个部分，那么AB 的长是多少？【分析】656AB =．（2013年五春第六讲例5）例题7【提高】将边长分别为10,12,8的正方形并排在一起（如图），直线AB 将该图形分为面积相等的两个部分，那么BC的长是多少？【分析】1BC=．（2013年五春第六讲尖1）【集训】如图，大正方形被分成了面积相等的四块．若3CF=厘米，则大正方形的面积为________平方厘米．【分析】81．（2013年五春第六讲例6）例题8【提高】在右图的长方形ABCD中，3BC=厘米．将此长方形的顶点A与顶点C重叠在一起AB=厘米，5折成五边形ABEFG，则五边形ABEFG的面积是_______平方厘米．【分析】9.9．（2013年五春第六讲拓展6）例题9【提高】如图所示，在四边形ABCD中，线段BC长为6厘米，角ABC为直角，角BCD为135，而且点A 到边CD的垂线AE的长为12厘米，线段ED的长为5厘米，求四边形ABCD的面积．【分析】84平方厘米（2013年五春第五讲提2）【集训】如图，平面上CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底23AD =厘米，下底35BC =厘米．求三角形ADE 的面积．FECB DA【分析】如右图，作等腰梯形的两个高1AH 和2DH ，23523622BC AD CH --===．易知，将2H DC △旋转90°到HDE △的位置．则A ，D ，H 三点在一条直线上．EH AH ⊥，26EH H C ==是ADE △的底边AD上的高．所以，三角形ADE 的面积为623692⨯=．H 2H 1HADBCEF例题10【提高】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【解析】 把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：最上一层只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2=6根； 从上向下数第二层用了3×3=9根； ……从上向下数第二层用了3×20=60根；所以总共要用火柴3×（1+2+3+……+20）=630．【集训】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【解析】 通过观察每增加一层，恰好增加6根小棍，这6根恰好是增加那一层比上一层多摆出的两个正方形多用的，即前1层用4根，前2层用4+6根，前3层用4+6×2根，前n 层用4+6×(n -1)根，现在共用了60多根，应减去4是6的倍数，所以共用小棍64根，围成的图形有11层．例题11【提高】【集训】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【解析】 首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯长方形68296⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．练习1如图，,108,54AB BC CD C D ==∠=∠=，求A ∠和B ∠．【分析】30,168A B ∠=∠=．（2013年五春第六讲拓展1）练习2如图，八边形的8个内角都是135，已知,20,10,30AB EF BC DE FG ====，求AH 的长度【分析】20AH =（2013年五春第六讲例3）练习3科技小组演示自制的机器人．若机器人从点A 向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达B 点．则B 点与A 点的距离是（ ）米． 【分析】4BABA为5米．练习4已知ABC 中，18AB AC cm ==，ABC 的面积是281cm ，P 是BC 上任意一点，P 到,AB AC 的距离分别是,xcm ycm ，那么________x y +=．【分析】9x y +=．（2013年五春第六讲练习6）练习5(第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米．M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？SRQAB CD EF NM P EB【分析】将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形ABCDEF 被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是6240.25÷=(平方厘米)，三角形MNP 由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP 的面积0.259 2.2=⨯=(平方厘米)．练习6把边长为40厘米的正方形ABCD 沿对角线AC 截成两个三角形，在两个三角形内按图示剪下两个内接正方形,M N ，则,M N 的面积之差是________平方厘米．【分析】4009．（2013年五春第六讲基2）练习7孙老师用一张梯形纸做折纸游戏．先上下对折，使两底重合，可得如下左图，并测出为重叠部分的两个三角形面积和是20平方厘米．然后再将左图中两个小三角形向内翻折，得到右图．经测算，右图的面积相当于图1的56．这张梯形纸的面积是_____平方厘米．【分析】100平方厘米．（2013年五春第六讲练习3）练习8如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个．*【解析】分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1416++=(个)．11。
格点与面积
格点和面积【知识点与基本方法】这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。
见右图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1【典型例题】例1：计算下列各图的面积。
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法，显然第一、三、五图可以直接数出包含多少个面积单位，而二、四、六显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形的面积来求这些图形的面积。
解：(1)图中长方形的面积包括了3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。
(2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是3×2=6（个）面积单位。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含1个单位面积和2个单位面积的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积是2个面积单位。
（4）图中三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3个面积单位。
（5）将图中梯形用虚线分成3块，它包含了有5个单位面积和2个单位面积的一半。
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正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+72-1)×1=6.5(平方厘米)方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【分析与解】 如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置．设整个七巧板组成的正方形的边长为1，显然整幅图形的面积为1，且有第2块的面积为12×12×12=18．有3S =4S ，2S =5S =7S =23S ，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为12，所以4S =IGFB S 长方形，7S =18．所以第2块板的面积等于整幅图面积的18，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积的116+18=316．4．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?【分析与解】 方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形．120块小正三角形的面积为1，所以每块为1120，那么原来的正三角形由81块小正三角形组成，其面积显然为2740．方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A 、B 、C 三种，设A 形正三角形面积为“1”，则B 、C 两种正三角形的面积依次为“19”、“181”．在图6-5中，A 种、B 种、C 种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5中图形的面积为1+3×19+12×181=4027．所以有“1”对应2740，而原来的正三角形即为三角形A ，所以原来的正三角形的面积为2740.5．如图6-6，正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF 包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP 包含有9个小正三角形．正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为6÷24=14，所以三角形MNP的面积为9×14=2.25(平方厘米)．6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5，所以原正三角形的面积为24.5×25=612.5(平方分米)．而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为612.5÷49×16=200(平方分米)．7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么所围图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形.为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小．如下切法得到的七边形的面积最大，为25-3×0.5=23.5(平方厘米)．8.在图6-10中，三角形ABC 和DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF 长9厘米，CF 长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 方法一：如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．△ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，SABC=9×9÷2=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方厘米)．方法二：如图(b)，连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知FG=FC=3(厘米)，所以DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是S HIG =14×AIGD S 正方形=14×26=9.而四边形IGFB 为长方形，有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以IGFB S 长方形=6×3=18．阴影部分面积为A HIG 与长方形IGFB 的面积和，即为9+18=27(平方厘米)．方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母． 易知三角形BIE 、CGF 、AIH 、DGH 均为等腰直角三角形．先求出等腰直角三角形AHI 、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形ABC 的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．有S ABC =DEF S =12×EF ×DF=812，CGF S =12×CF×FG=92．因为CF=FG=3，所以DG=DF-FG=6．如图(d)，可以将4个三角形DGH 拼成一个边长为DG 的正方形．所以，ACD S DGH S =14×DG×DG=9，而A I H S =DGH S =9，所以BFGHI S 阴影=S ABC -CGF S -AIH S =812 -92-9=27(平方厘米)．即阴影部分的面积为27平方厘米．9．如图6-11，在长方形ABCD 中，O 是长方形的中心，BC 长20厘米，AB 长12厘米，DE=4AE ，CF=3DF ，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 我们只用先求出四边形ADFO 的面积，再将其减去两个三角形AEO 、EFD 的面积和，即为所求阴影部分的面积．而四边形ADFO 的面积等于两个三角形AOD 、ODF 的面积和．由题意知AE=4，ED=16，DF=3，FC=9．有AOD S =14ABCD S 矩形=14×20×12=60，ODF S =12×DF×(14AD)= 12×3×12×20=15．AEO S =12×AE×(12AB)= 12×4×12×12=12，EFD S =12×ED×DF=12×16×3=24．有S 阴影=(AODS +ODFS)-AEOS-EFDS=60+15-12-24=39(平方厘米)．即阴影部分的面积为39平方厘米．10．如图6-12，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【分析与解】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A 、B 两种三角形．其中含有A 形三角形8个，B 形三角形16个，其中阴影部分含有A 形三角形4个，B 形三角形8个．所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的12，即为12×10×10=50(平方厘米)．11．如图6-13，ABCD 是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD 的对角线相交于0，三角形AOE 的面积比三角形BOD 的面积小16平方厘米，则梯形AEBD 的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，将梯形AEBD 内4个三角形的面积分别记为①、②、③、④．在梯形AEBD 中，有△EBD、△ABD 同底等高，所以有EBDS =ABDS，即③+②=①+②．显然有①=③．由题意知B O DS-AOES=16，即②-④=16，于是有(①+②)-(③+④)=16．已知①+②=ABD S=12×8×8=32，所以③+④=(①+②)-16=16．所以有AEBD S 梯形=(①+②)+(③+④)=32+16=48(平方厘米)．评注：在任意梯形ABCD 中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、“下”、“左”、“右”，有：左=右；左×右=上×下；上：下=A 2D ：B 2C ．12．如图6-14，ABCD 是长方形，长AD 等于7.2厘米，宽AB 等于5厘米，CDEF 是平行四边形．如果BH 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 CD ES 平行四边形=DC×BC=5×7.2=36，HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以CDH S =12×CD×HC=12×5×4.2=10.5．S 阴影=CDEF S 平行四边形-CDHS=36-10.5=25.5(平方厘米).13．如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少?【分析与解】 将AD 、BC 延长交于E ，有∠EDC=45°，∠ECD=90°，所以△CDE 为等腰直角三角形，有EC=DC ．而∠ECD =45°，∠EAB=90°，所以△ABE 也是等腰直角三角形，有EA=AB ．有ABE S =12×AB×EA =492，EDC S =12×EC×DC=92．有ABCD S 四边形=ABE S -EDC S =492-92=20．14．图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5米，A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，长为0.5米，CD 长为丢米．那么图中阴影部分的面积是多少平方米?【分析与解】 方法一：为了方便叙述．将下图中一些点标上字母．延长AB 交正方形边EF 于H 点，我们先求出梯形JICK 与正方形IFEC 的面积和，再求出三角形AFH 与梯形AHED 的面积和，将前者与后者做差所得到的值即为所求阴影部分的面积．JICK S 梯形=12×(1.5+1)×0.5=0.625，IFEC S 正方形=1×1=1． AFH S=12×AH ×FH=12×（AB+BH ）×(12FE)= 12×(0.5+1)-（12×1）=0.375，AHED S 梯形=12×(AH+DE)×HE=12×(AB+BH+CE -CD)×(12FE)=12×(0.5+1+1-13)×(12×1)=1324．有S 阴影=JICK S 梯形+IFEC S 正方形-AFH S-AHED S 梯形=0.625+l-0.375-1324=1724(平方米)． 即阴影部分的面积为1724平方米．方法二：如下图，连接AI 、AC ，将阴影部分分成四个部分．△AJI 可以看作以AJ 为底，AB 的长为高的三角形；△AKC 可以看作以AK 为底，AB 的长为高的三角形；△AJF 可以看作以IF 为底，IB 的长为高的三角形；△ACD 可以看作CD 为底．CB 的长为高的三角形．阴影部分面积为AJI S +AKC S +AIF S +ACD S=0.75×0.5÷2+O .75×O .5÷2+l×O .5÷2+13×0.5÷2 =0.1875+O.1875+0.25+112=1724（平方米)15．从一块正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，剩下的面积是6518平方米．问锯下的木条面积是多少平方米?【分析与解】 我们画出示意图(a)，则剩下的木块为图(b)，将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图(c)．我们称AB 为长，AD 为宽，有长与宽的差为12，所以图(c)中心的小正方形边长为12，于是大正方形AEHK 的面积为6518×4+12×12=52936=236×236，所以AK 长为236．即，长+宽=236，已知：长-宽=12，得长=136，于是锯去部分的木条的面积为136×12=1312=112(平方米)．。