立体几何经典大题(各个类型的典型题目)

1．如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点．（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ．2．已知线段PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。

（1）求证：MN //平面PAD ；（2）当∠PDA ＝45°时，求证：MN ⊥平面PCD ；FCBAEDA B C D EF 3．如图，在四面体ABCD 中，CB=CD,BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB,BD 的中点．求证： （1）直线EF// 面ACD ；（2）平面⊥EFC 面BCD ．4．在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC （1）若D 是BC 的中点，求证AD ⊥CC 1；（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1， 求证截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由]立体几何大题训练(3)C15. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点． 求证：（1）MN//平面ABCD ；（2）MN ⊥平面B 1BG ．6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．立体几何大题训练(4)7、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB=4，BC=CD=2，AA 1=2，_ G_ M _ D_1_ C_1_ B_1_ A_1_ N_ D _ C_ B _ ABA 1FE、E1分别是棱AD、AA1的中点(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥面BB1C1C。

8．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a2，点E，F分别在PD，BC上，且PE：ED=BF：FC。

（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求证：EF//平面PAB。

立体几何大题训练(5)9．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC 上的一点，且PF :FC=3:1． （1）求证：PA ⊥BC ；（2）试在PC 上确定一点G ，使平面ABG ∥平面DEF ； （3）求三棱锥P-ABC 的体积．10、直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，31=AB ．（1）求证：平面⊥C AB 1平面CB B 1； （2）求三棱锥C AB A 11-的体积．立体几何大题训练(6)APBCD EFABCCAB11、如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都是2，D 、E 分别为CC 1、A 1B 1的中点． （1）求证C 1E ∥平面A 1BD ； （2）求证AB 1⊥平面A 1BD ；12.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=2，AA 1=1，D 是BC 的中点，点P 在平面BCC 1B 1内，PB 1=PC 1=.2 （I ）求证：PA 1⊥BC ；（II ）求证：PB 1//平面AC 1D ；立体几何大题训练(7)13.如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，EDCB 1C1 A 1 AB使平面EDB ⊥平面ABD（I ）求证：AB DE ⊥（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。

14. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,侧棱PA PD ⊥,底面ABCD 是直角梯形,其中//BC AD ,090BAD ∠=,3AD BC =,O 是AD 上一点. (Ⅰ)若//CD PBO 平面,试指出点O 的位置； (Ⅱ)求证:PAB PCD ⊥平面平面.立体几何大题训练(8)15、如图所示：四棱锥P-ABCD 底面一直角梯形，BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点.OPDCBA第14题（1）证明：EB∥平面PAD；（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC；16．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。

（I）求证：CD⊥平面A1ABB1；（II）求证：AC1//平面CDB1。

立体几何大题训练(9)17．如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；D C（2）求证：AE ∥平面BFD ．18．如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AB BB =，1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点． （1）求证：//1C B 平面BD A 1；（2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；（3）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面BDE ，并说明理由．立体几何大题训练(10)19．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AB AC =，D 、E 分别为BC 、C B 1的中点，（1）求证：11//DE ABB A 平面； （2）求证：1ADE B BC ⊥平面平面A 1B 1C 1AB CD20．如图，E 、F 分别为直角三角形ABC 的直角边AC 和斜边AB 的中点，沿EF 将AEF ∆折起到'A EF ∆的位置，连结'A B 、'A C ，P 为'A C 的中点． （1）求证：//EP 平面'A FB ；（2）求证：平面'A EC ⊥平面'A BC ；立体几何大题训练(11)21．如图，四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E 、O 分别为PC 、BD 的中点．求证：（1）EO ∥平面PAD ；（2）平面PDC ⊥平面PAD ． P22．在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ； （Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求证CE ∥平面PAB ．立体几何大题训练(12)23.在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 为菱形，ABCD OA 平面⊥,E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，连接EF ，求证：P A BCDEF（1） BDO ACO ⊥平面平面 (2) OCD EF 平面直线//24、已知：等边ABC ∆的边长为2，E D ,分别是AC AB ,的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使DB AD ⊥，连AC AB ,,得如图所示的四棱锥BCED A -(Ⅰ)求证：⊥AC 平面ABD (Ⅱ)求四棱锥BCED A -的体积立体几何大题训练(13)25、如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，E 是PD 的中点（1）求证：PB ∥平面AECABEDCABCE DEP（2）求证：平面PDC ⊥平面AEC26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。

求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .立体几何大题训练(14)27、如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ；（2）求证：1EF B C ⊥；（3）求三棱锥EFC B V -1的体积．28.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长与侧棱长都是2，,D E 分别是11,BB CC 的中点. （Ⅰ）求三棱柱111ABC A B C -的全面积； （Ⅱ）求证：BE ∥平面1ADC ;（Ⅲ）求证：平面1ADC ⊥平面11ACC A .立体几何大题训练(15)CD BFED 1C 1B 1A A 1C 1B 1A 1EDCBA29.已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等腰直角三角形，090BAC ∠=，且12AB AA ==，,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点， （1）求证：DE //平面ABC ； （2）求证：1B F ⊥平面AEF ； （3）求三棱锥E-AB 1F 的体积。

30．已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 为 CD 的中点，沿AE 将AED 折起，使DB ＝O 、H 分别为AE 、AB 的中点．（1）求证：直线OH//面BDE ； （2）求证：面ADE ⊥面ABCE.立体几何大题训练(16)BCAB CD EABCDE OH31．（本小题满分14分）已知直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD=DD 1=4，AD=AB=2，E 、F 分别为BC 、CD 1中点． (I)求证：EF ∥平面BB 1D 1D ； (Ⅱ)求证：BC ⊥平面BB 1D 1D ； (Ⅲ)求四棱锥F-BB 1D 1D 的体积.32、如图，已知AB ⊥平面ACD ACD ∆，DE//AB,是正三角形，2AD DE AB ==，且F 是CD 的中点。

（I ）求证：//AF 平面BCE ；（II ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；立体几何大题训练(17)33.如图已知平面,αβ，且,,AB PC αβα=⊥,,PD C D β⊥是垂足．AB C DEA 1B 1C 1FD 1第31题图（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若1,PC PD CD ===，试判断平面α与平面β的位置关系，并证明你的结论．34．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长和侧棱长均为1，1160,BAD BAA DAA ∠=∠=∠=1O 为11A C 中点．（I ）求证：11//.AO C BD 平面；（II ）求证：1BD AC ⊥； （III ）求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积．立体几何大题训练(18)35.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，已知1AB AA =，M 为1CC 的中点．C 1B A（Ⅰ）求证：1BM AB ⊥；（Ⅱ）试在棱AC 上确定一点N ，使得1//AB 平面BMN ．36．正三棱柱111A B C ABC -中，点D 是BC 的中点，12BC BB =．设11B D BC F =．（Ⅰ）求证:1A C ∥平面1AB D ;（Ⅱ）求证:1BC ⊥平面1AB D ．答案与评分标准1.证明（1）取AB 的中点M ，连FM ，MC ，∵ F 、M 分别是BE 、BA 的中点，ABC A 1C 1B 1M∴ FM ∥EA ，FM=12EA ． ∵ EA 、CD 都垂直于平面ABC ，∴ CD ∥EA ，∴ CD ∥FM ．………………3分 又 DC=a ，∴FM=DC ．∴四边形FMCD 是平行四边形，∴ FD ∥MC ．即FD ∥平面ABC ．……………7分 （2）∵M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形， ∴CM ⊥AB ，又CM ⊥AE ，∴CM ⊥面EAB ，CM ⊥AF ，FD ⊥AF ，………………………………11分 又F 是BE 的中点，EA=AB ，∴AF ⊥EB ． 即由AF ⊥FD ，AF ⊥EB ，FD ∩EB ＝F ，可得AF ⊥平面EDB ．……………………………………………………14分 2. （1）取PD 的中点E ，连接AE 、EN∵EN 平行且等于12DC ，而12DC 平行且等于AM ∴AMNE 为平行四边形MN ∥AE ∴MN ∥平面PAD（2）∵PA ⊥平面ABCD ∴CD ⊥PA 又∵ABCD 为矩形 ∴CD ⊥AD, ∴CD ⊥AE ，AE ∥MN ，MN ⊥CD ∵AD ⊥DC ，PD ⊥DC ∴∠ADP=45°, 又E 是斜边的PD 的中点∴AE ⊥PD ， ∴MN ⊥PD ∴MN ⊥CD ，∴MH ⊥平面PCD. 3、证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点．∴EF 是△ABD 的中位线，∴E F ∥AD ，∵E F ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴直线E F ∥面ACD ； （2）∵AD ⊥BD ，E F ∥AD ，∴E F ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F,∴BD ⊥面EFC ， ∵B D ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD4、(1)证明∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴AD ⊥CC 1(2)证明延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N∵AM =MA 1，∴NA 1=A 1B 1∵A 1B 1=A 1C 1，∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1 ∴C 1N ⊥C 1B 1∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C(3)解结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性过M 作ME ⊥BC 1于E ，∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ，又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE ∵CC 1⊥AM ，∴DE ∥CC 1∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点∴AM =DE =21211=CC AA 1，∴AM =MA 15.证明：（1）取CD 的中点记为E ，连NE ，AE ． 由N ，E 分别为CD 1与CD 的中点可得NE ∥D 1D 且NE=12D 1D ， ………………………………2分 又AM ∥D 1D 且AM=12D 1D ………………………………4分所以AM ∥EN 且AM=EN ，即四边形AMNE 为平行四边形 所以MN ∥AE ， ………………………………6分 又AE ⊂面ABCD,所以MN ∥面ABCD ……8分（２）由AG ＝DE ，90BAG ADE ∠=∠=︒，DA ＝AB可得EDA ∆与GAB ∆全等 ……………………………10分所以ABG DAE ∠=∠， ……………………………………………………………11分 又90DAE AED AED BAF ∠+∠=︒∠=∠，，所以90BAF ABG ∠+∠=︒，所以AE BG ⊥， ………………………………………………12分 又1BB AE ⊥,所以1AE B BG ⊥面， ……………………………………………………13分 又MN ∥AE ，所以MN ⊥平面B 1BG ……………………………………………15分 6.（1）证明:连结BD .在长方体1AC 中，对角线11//BD B D . 又E 、F 为棱AD 、AB 的中点，//EF BD ∴. 11//EF B D ∴.又B 1D 1⊂≠平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴EF ∥平面CB 1D 1. （2）在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面CAA 1C 1.又B 1D 1⊂≠平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．7、证明:（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CDA 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A 1D ， 又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A 1D ，所以CF 1//EE 1，又因为1EE ⊄平面FCC 1，1CF ⊂平面FCC 1，所以直线EE 1//平面FCC 1.（2）连接AC,在直棱柱中，CC 1⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, 所以CC 1⊥AC,因为底面ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2, F 是棱AB 的中点,所以CF=CB=BF ，△BCF 为正三角形，60BCF ∠=︒,△ACF 为等腰三角形，且30ACF ∠=︒所以AC ⊥BC, 又因为BC 与CC 1都在平面BB 1C 1C 内且交于点C, 所以AC ⊥平面BB 1C 1C,而AC ⊂平面D 1AC, 所以平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.8．（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AD=AC=a.在△PAB 中， ∵PA 2+AB 2=2a 2=PB 2,∴PA ⊥AB ，同时PA ⊥AD ，又AB AD=A ， EABCFE 1A 1B 1C 1D 1DF 1EA BCFE 1 A 1B 1C 1D 1D∴PA ⊥平面ABCD.……………………4分 （2）作EG//PA 交AD 于G ，连接GF.………………6分则,FCBFED PE GD AG == ∴GF//AB.……………………8分 又PA AB=A ，EG GF=G ，∴平面EFG//平面PAB ，……………………9分 又EF ⊂平面EFG ，∴EF//平面PAB.……………………10分 9．(1)在△PAC 中，∵PA=3，AC=4，PC=5，∴222PC AC PA =+，∴AC PA ⊥；又AB=4，PB=5，∴在△PAB 中， 同理可得 AB PA ⊥∵A AB AC = ，∴ABC PA 平面⊥ ∵⊂BC 平面ABC ，∴PA ⊥BC.(2) 如图所示取PC 的中点G ，连结AG ，BG ，∵PF:FC=3:1,∴F 为GC 的中点 又D 、E 分别为BC 、AC 的中点，∴AG ∥EF ，BG ∥FD ，又AG∩GB=G ，EF∩FD=F ∴面ABG ∥面DEF 即PC 上的中点G 为所求的点。