必修二立体几何典型例题
必修二立体几何典型例题
【知识要点】
1.空间直线和平面的位置关系:
(1)空间两条直线:
①有公共点:相交,记作:a∩b=A,其中特殊位置关系:两直线垂直相交.
②无公共点:平行或异面.
平行,记作:a∥b.
异面中特殊位置关系:异面垂直.
(2)空间直线与平面:
①有公共点:直线在平面内或直线与平面相交.
直线在平面内,记作:a?α .
直线与平面相交,记作:a∩α =A,其中特殊位置关系:直线与平面垂直相交.
②无公共点:直线与平面平行,记作:a∥α .
(3)空间两个平面:
①有公共点:相交,记作:α ∩β =l,其中特殊位置关系:两平面垂直相交.
②无公共点:平行,记作:α ∥β .
2.空间作为推理依据的公理和定理:
(1)四个公理与等角定理:
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理:
①判定定理:
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
②性质定理:
如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.
如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理,得到下面的位置关系图:
【例题分析】
例2 在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,求证:MN ∥平面P AD .
【分析】要证明“线面平行”,可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化;题目中出现了中点的条件,因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.
证明:方法一,取PD 中点E ,连接AE ,NE .
∵底面ABCD 是平行四边形,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,
∴MA ∥CD ,.21
CD MA = ∵E 是PD 的中点, ∴NE ∥CD ,.2
1
CD NE =
∴MA ∥NE ,且MA =NE , ∴AENM 是平行四边形, ∴MN ∥AE .
又AE ?平面P AD ,MN ?平面P AD , ∴MN ∥平面P AD .
方法二取CD 中点F ,连接MF ,NF . ∵MF ∥AD ,NF ∥PD , ∴平面MNF ∥平面P AD , ∴MN ∥平面P AD .
【评述】关于直线和平面平行的问题,可归纳如下方法:
(2)
例3在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC,AB⊥AC,求证:A1C⊥BC1.
【分析】要证明“线线垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可.
证明:连接AC1.
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,
∴AA1⊥平面ABC,
∴AB⊥AA1.
又AB⊥AC,
∴AB⊥平面A1ACC1,
∴A1C⊥A B.①
又AA1=AC,
∴侧面A1ACC1是正方形,
∴A1C⊥AC1.②
由①,②得A1C⊥平面ABC1,
∴A1C⊥BC1.
【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的.如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化.例4在三棱锥P-ABC中,平面P AB⊥平面ABC,AB⊥BC,AP⊥PB,求证:平面P AC ⊥平面PBC.
【分析】要证明“面面垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化.
证明:
∵平面P AB⊥平面ABC,平面P AB∩平面ABC=AB,且AB⊥BC,
∴BC⊥平面P AB,
∴AP⊥BC.
又AP⊥PB,
∴AP⊥平面PBC,
又AP ?平面P AC ,
∴平面P AC ⊥平面PBC .
【评述】关于直线和平面垂直的问题,可归纳如下方法:
例5 如图,在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面A 1ABB 1是菱形,且垂直于底面ABC ,∠A 1AB =60°,E ,F 分别是AB 1,BC 的中点.
(Ⅰ)求证:直线EF ∥平面A 1ACC 1;
(Ⅱ)在线段AB 上确定一点G ,使平面EFG ⊥平面ABC ,并给出证明. 证明:(Ⅰ)连接A 1C ,A 1E .
∵侧面A 1ABB 1是菱形, E 是AB 1的中点, ∴E 也是A 1B 的中点,
又F 是BC 的中点,∴EF ∥A 1C .
∵A 1C ?平面A 1ACC 1,EF ?平面A 1ACC 1, ∴直线EF ∥平面A 1ACC 1. (2)解:当
3
1
=GA BG 时,平面EFG ⊥平面ABC ,证明如下: 连接EG ,FG .
∵侧面A 1ABB 1是菱形,且∠A 1AB =60°,∴△A 1AB 是等边三角形. ∵E 是A 1B 的中点,
3
1
=GA BG ,∴EG ⊥AB . ∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ,且平面A 1ABB 1∩平面ABC =AB , ∴EG ⊥平面ABC .
又EG ?平面EFG ,∴平面EFG ⊥平面ABC .
例6 如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,E 是AC 的中点.
(Ⅰ)求证:平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1;(Ⅱ)求证:AB 1∥平面BEC 1. 【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图,这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求,可以根据几何体自身的性质,适当添加辅助线帮助思考.
证明:(Ⅰ)∵ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱,∴AA 1⊥平面ABC , ∴BE ⊥AA 1.
∵△ABC 是正三角形,E 是AC 的中点,∴BE ⊥AC ,∴BE ⊥平面ACC 1A 1,又BE ?平面BEC 1,
∴平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1.
(Ⅱ)证明:连接B 1C ,设BC 1∩B 1C =D .
∵BCC 1B 1是矩形,D 是B 1C 的中点, ∴DE ∥AB 1. 又DE ?平面BEC 1,AB 1?平面BEC 1, ∴AB 1∥平面BEC 1.
例7 在四棱锥P -ABCD 中,平面P AD ⊥平面ABCD ,AB ∥DC ,△P AD 是等边三角形,已知BD =2AD =8,542==DC AB .
(Ⅰ)设M 是PC 上的一点,证明:平面MBD ⊥平面P AD ; (Ⅱ)求四棱锥P -ABCD 的体积.
【分析】本题中的数量关系较多,可考虑从“算”的角度入手分析,如从M 是PC 上的动点分析知,MB ,MD 随点M 的变动而运动,因此可考虑平面MBD 内“不动”的直线BD 是否垂直平面P AD .
证明:(Ⅰ)在△ABD 中,
由于AD =4,BD =8,54=AB ,
所以AD 2+BD 2=AB 2. 故AD ⊥BD .
又平面P AD ⊥平面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD =AD ,BD ?平面ABCD , 所以BD ⊥平面P AD ,
又BD ?平面MBD ,故平面MBD ⊥平面P AD .
(Ⅱ)解:过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ,
由于平面P AD ⊥平面ABCD ,所以PO ⊥平面ABCD . 因此PO 为四棱锥P -ABCD 的高,
又△P AD 是边长为4的等边三角形.因此.3242
3
=?=PO 在底面四边形ABCD 中,AB ∥DC ,AB =2DC ,
所以四边形ABCD 是梯形,在Rt △ADB 中,斜边AB 边上的高为55
85
484=?,即为
梯形ABCD 的高,
所以四边形ABCD 的面积为.2455
82
5452=?+=
S 故
.31632243
1
=??=-ABCD P V
练习
一、选择题:
1.已知m ,n 是两条不同直线,α ,β ,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) (A)若m ∥α ,n ∥α ,则m ∥n (B)若m ⊥α ,n ⊥α ,则m ∥n (C)若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β (D)若m ∥α ,m ∥β ,则α ∥β 2.已知直线m ,n 和平面α ,β ,且m ⊥n ,m ⊥α ,α ⊥β ,则( ) (A)n ⊥β (B)n ∥β ,或n ?β (C)n ⊥α (D)n ∥α ,或n ?α
3.设a ,b 是两条直线,α 、β 是两个平面,则a ⊥b 的一个充分条件是( ) (A)a ⊥α ,b ∥β ,α ⊥β (B)a ⊥α ,b ⊥β ,α ∥β (C)a ?α ,b ⊥β ,α ∥β (D)a ?α ,b ∥β ,α ⊥β 4.设直线m 与平面α 相交但不垂直,则下列说法中正确的是( ) (A)在平面α 内有且只有一条直线与直线m 垂直 (B)过直线m 有且只有一个平面与平面α 垂直 (C)与直线m 垂直的直线不可能与平面α 平行 (D)与直线m 平行的平面不可能与平面α 垂直 二、填空题:
5.在三棱锥P -ABC 中,6=
=PB PA ,平面P AB ⊥平面ABC ,P A ⊥PB ,AB ⊥BC ,∠
BAC =30°,则PC =______.
6.在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,当底面ABCD 满足条件______时,有A 1C ⊥B 1D 1.(只要求写出一种条件即可)
7.设α ,β 是两个不同的平面,m ,n 是平面α ,β 之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ⊥n ②α ⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α
以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出正确的一个命题______. 8.已知平面α ⊥平面β ,α ∩β =l ,点A ∈α ,A ?l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α ,m ∥β ,给出下列四种位置:①AB ∥m ;②AC ⊥m ;③AB ∥β ;④AC ⊥β , 上述四种位置关系中,不一定成立的结论的序号是______. 三、解答题:
9.如图,三棱锥P -ABC 的三个侧面均为边长是1的等边三角形,M ,N 分别为P A ,BC 的中点.
(Ⅰ)求MN 的长; (Ⅱ)求证:P A ⊥BC .
10.如图,在四面体ABCD 中,CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点.求
证:
(Ⅰ)直线EF ∥平面ACD ; (Ⅱ)平面EFC ⊥平面BCD .
11.如图,平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,∠BAD =∠F AB
=90°,BC ∥AD ,AF BE AF BE AD BC 2
1
,//,21==
,G ,H 分别为F A ,FD 的中点.
(Ⅰ)证明:四边形BCHG 是平行四边形;
(Ⅱ)C ,D ,F ,E 四点是否共面?为什么?
(Ⅲ)设AB =BE ,证明:平面ADE ⊥平面CDE .
专题七 立体几何参考答案
练习
一、选择题:
1.B 2.D 3.C 4.B 二、填空题:
5.10 6.AC ⊥BD (或能得出此结论的其他条件)
7.②、③、④?①;或①、③、④?② 8.④ 三、解答题:
9.(Ⅰ)解:连接MB ,MC .
∵三棱锥P -ABC 的三个侧面均为边长是1的等边三角形,
∴2
3
=
=MC MB ,且底面△ABC 也是边长为1的等边三角形. ∵N 为BC 的中点,∴MN ⊥BC . 在Rt △MNB 中,?=
-=
2
222BN MB MN (Ⅱ)证明:∵M 是P A 的中点, ∴P A ⊥MB ,同理P A ⊥MC .
∵MB ∩MC =M ,∴P A ⊥平面MBC , 又BC ?平面MBC ,∴P A ⊥BC .
10.证明:(Ⅰ)∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点,
∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF ∥AD .
又EF ?平面ACD ,AD ?平面ACD ,∴直线EF ∥平面ACD .
(Ⅱ)∵EF ∥AD ,AD ⊥BD ,∴EF ⊥BD .
∵CB =CD ,F 是BD 的中点,∴CF ⊥BD . ∵CF ∩EF =F ,∴BD ⊥平面CEF .
∵BD ?平面BCD ,∴平面EFC ⊥平面BCD .
11.(Ⅰ)由题意知,FG =GA ,FH =HD ,∴GH ∥AD ,,2
1
AD GH =
又BC ∥AD ,AD BC 2
1
=
,∴GH ∥BC ,GH =BC ,
∴四边形BCHG 是平行四边形. (Ⅱ)C ,D ,F ,E 四点共面.理由如下: 由BE ∥AF ,AF BF 2
1
=
,G 是F A 的中点, 得BE ∥FG ,且BE =FG .∴EF ∥BG .
由(Ⅰ)知BG ∥CH ,∴EF ∥CH ,故EC ,FH 共面,又点D 在直线FH 上, 所以C ,D ,F ,E 四点共面. (Ⅲ)连结EG ,
由AB =BE ,BE ∥AG ,BE =AG 及∠BAG =90°,知ABEG 是正方形, 故BG ⊥EA .
由题设知F A ,AD ,AB 两两垂直,故AD ⊥平面F ABE ,∴BG ⊥AD . ∴BG ⊥平面EAD ,∴BG ⊥ED . 又ED ∩EA =E ,∴BG ⊥平面ADF . 由(Ⅰ)知CH ∥BG ,∴CH ⊥平面ADE .
由(Ⅱ)知F ∈平面CDE ,故CH ?平面CDE ,得平面ADE ⊥平面CDE .
高一数学必修二立体几何测试题
A A 1 P 1一 :选择题(4分10?题) 1.下面四个条件中,能确定一个平面的条件是( ) A . 空间任意三点 B.空间两条直线 C.空间两条平行直线 D.一条直线和一个点 2.1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ). A.12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ? ? B.12l l ⊥,23//l l ?13l l ⊥ C.233////l l l ?1l ,2l ,3l 共面? ? D.1l ,2l ,3l 共点?1l ,2l ,3l 共面 3.已知m,n是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,下列命题中正确的是: A.若,αγβγ⊥⊥,则α∥β B.若,m n αα⊥⊥,则m ∥n C .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n D .若m ∥α,m ∥β,则α∥β 4.在四面体ABC P -的四个面中,是直角三角形的面至多有( ) A .0 个 B.1个 C. 3个 D .4个 5,下列命题中错误..的是?? A .如果平面αβ⊥平面,那么平面α内一定存在直线平行于平面β ?B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C .如果平面αγ⊥平面,平面βγ⊥平面,l =βα ,那么l γ⊥平面 ?D.如果平面αβ⊥平面,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 6.如图所示正方体1AC ,下面结论错误的是( ) A. 11//D CB BD 平面 B . BD AC ⊥1 C . 111 D CB AC 平面⊥ D . 异面直线1CB AD 与角为? 60 7.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是( ) A. ?120 B. ?150 C. ?180 D . ? 240 8.把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后,下列命题正确的是( ) A. BC AB ⊥ B . BD AC ⊥ C . ABC CD 平面⊥ D . ACD ABC 平面平面⊥ 9某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) .A 180 .B 200 .C 220 .D 240 左视图
高中立体几何典型题及解析
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求:AM 及CN 所成的角的余弦值; 解析:(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ,则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1, 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中,CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注:1、本题的平移点是N ,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长,再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角)。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示,在空间四边形ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、AD 上的点,已知AB=4,CD=20,EF=7, 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析:在BD 上取一点G ,使得3 1 =GD BG ,连结EG 、FG 在ΔBCD 中,GD BG EC BE = ,故EG//CD ,并且4 1==BC BE CD EG , 所以,EG=5;类似地,可证FG//AB ,且 4 3 ==AD DF AB FG , 故FG=3,在ΔEFG 中,利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ,故∠FGE=120°。 另一方面,由前所得EG//CD ,FG//AB ,所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角,于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=c ,AB=a ,AD=b ,且a >b .求AC 1及BD 所成的角的余弦. A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O
必修二立体几何测试题资料
2015-2016学年第一学期立体几何测试 高二理科数学 参考公式: 圆柱的表面积公式:rl r S ππ222 +=,圆锥的表面积公式:rl r S ππ+=2 台体的体积公式h S S S S V )(3 1'' ++= ,球的表面积公式:24r S π= 圆台的表面积公式Rl rl R r S π+π+π+π=2 2,球的体积公式:33 4r V π= 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.下列四个几何体中,是棱台的为( ) 2.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( ) 3.给出下列命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②若直线a ,b ,c 满足a ∥b ,b ⊥c ,则a ⊥c ; ③若直线l 1,l 2是异面直线,则与l 1,l 2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4
4.空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为( ) A .96 B .136 C .152 D .192 5.若棱长为1的正方体的各棱都与一球面相切,则该球的体积为( ) A .3π2 B .2π3 C .2π12 D .π 6 6.对于直线m ,n 和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( ) A .m ⊥n ,m ∥α,n ∥β B .m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α C .m ∥n ,n ⊥β,m ?α D .m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β 7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A .10π+96 B .9π+96 C .8π+96 D .9π+80 8.m,n 是空间两条不同直线,α,β是空间两个不同平面,下面有四种说法: 其中正确说法的个数为 ( ) ①m ⊥α,n ∥β,α∥β?m ⊥n; ②m ⊥n,α∥β,m ⊥α?n ∥β; ③m ⊥n,α∥β,m ∥α?n ⊥β; ④m ⊥α,m ∥n,α∥β?n ⊥β. A.1 B.2 C.3 D.4