解析几何部分公式、方法
解析几何结论大全
解析几何结论大全
解析几何结论大全是一个非常广泛的主题，涵盖了许多方面。
以下是一些常见的解析几何结论：
1. 两点之间的距离公式：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
2. 直线方程：点斜式 $y-y_1=m(x-x_1)$，斜截式 $y=mx+b$，两点式$y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x+y_1$
3. 圆的方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，圆心 $(a,b)$，半径 $r$
4. 圆与圆的位置关系：相交、相切、相离
5. 圆锥曲线的标准方程：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\frac{y^2}{a^2}-
\frac{x^2}{b^2}=1$，抛物线 $y^2=2px$ 或 $x^2=2py$
6. 圆锥曲线的焦点、准线、离心率等性质
7. 空间向量的加法、数乘、向量的模
8. 向量的数量积、向量积、向量的混合积
9. 向量的坐标表示：$(a,b,c)$，向量的模 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
10. 空间直角坐标系中的点 $(x,y,z)$ 与其相邻三个坐标面围成的单位体积为$\frac{1}{6}$。
以上只是解析几何的一部分结论，还有许多其他结论和定理，可以根据需要进行查阅和学习。
高中数学解析几何总结(非常全)
高中数学解析几何第一局部:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围：︒<≤︒1800α2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.αtan =k〔1〕.倾斜角为︒90的直线没有斜率。
〔2〕.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率〔直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否那么会产生漏解。
〔3〕设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 那么当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o90=α；斜率不存在；二、直线的方程 1.点斜式：直线上一点P 〔x 0,y 0〕及直线的斜率k 〔倾斜角α〕求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；2.斜截式：假设直线在y 轴上的截距〔直线与y 轴焦点的纵坐标〕为b ，斜率为k ，那么直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y = 注意：正确理解“截距〞这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离〞有区别。
3.两点式：假设直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且〔2121,y y x x ≠≠那么直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：假设直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b 〔0,0≠≠b a 〕那么直线方程：1=+bya x ； 注意：1〕.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
(完整版)高中数学解析几何公式大全
(完整版)高中数学解析几何公式大全一、直线方程1. 点斜式：y y1 = m(x x1)，其中m是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一个点。
2. 斜截式：y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
3. 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
二、圆的方程1. 标准式：(x a)2 + (y b)2 = r2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2. 一般式：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是常数。
三、椭圆的方程1. 标准式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。
2. 一般式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。
四、双曲线的方程1. 标准式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。
2. 一般式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。
五、抛物线的方程1. 标准式：y2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
2. 一般式：y2 = 4ax + b，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，b是抛物线在y轴上的截距。
六、直线与圆的位置关系1. 判定直线与圆的位置关系：计算直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系。
如果d < r，直线与圆相交；如果d = r，直线与圆相切；如果d > r，直线与圆相离。
2. 直线与圆的交点：解直线方程和圆的方程，得到两个交点的坐标。
七、直线与椭圆的位置关系1. 判定直线与椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆方程，得到一个关于x的一元二次方程。
解析几何的基础知识
解析几何的基础知识解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质和关系。
通过引入坐标系，解析几何将几何问题转化为代数问题，从而使得几何问题的研究更加简洁和精确。
本文将介绍解析几何的基础知识，包括平面直角坐标系、点的坐标、直线的方程和距离公式等内容。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何的基础，它由两条相互垂直的坐标轴组成。
通常我们用x轴和y轴表示，x轴水平向右延伸，y轴垂直向上延伸。
坐标轴的交点称为原点，用O表示。
平面直角坐标系将平面划分为四个象限，分别记作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
二、点的坐标在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对表示，称为点的坐标。
设点P的坐标为(x, y)，其中x表示点P在x轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度。
例如，点A的坐标为(2, 3)，表示点A在x轴上的投影长度为2，在y轴上的投影长度为3。
三、直线的方程在解析几何中，直线可以用方程表示。
一般来说，直线的方程有两种形式：一般式和斜截式。
1. 一般式方程一般式方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
例如，直线L的一般式方程为2x + 3y - 6 = 0。
2. 斜截式方程斜截式方程的形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
斜率表示直线的倾斜程度，斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜。
例如，直线L的斜截式方程为y = 2x + 3。
四、距离公式在解析几何中，我们经常需要计算两点之间的距离。
设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B之间的距离可以用以下公式表示：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中d表示点A和点B之间的距离。
例如，点A的坐标为(2, 3)，点B的坐标为(5, 7)，则点A和点B之间的距离为d = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2) = √(3^2 +4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。
几何问题的解析几何解法
几何问题的解析几何解法几何问题是数学中一类常见的问题类型，而解析几何则是解决这类问题的一种有效方法。
解析几何通过运用代数和几何的相互联系，以坐标系为基础，利用代数符号和方程式来研究几何图形的性质和变换。
本文将介绍几何问题的解析几何解法，并提供一些实例来加深理解。
一、直线的解析几何解法直线是几何中最基本的元素之一，通过坐标系的引入，我们可以用解析几何的方法来研究直线的性质和特点。
对于已知两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，要确定这两点之间的直线方程，可以使用以下公式：\[\frac{{y-y₁}}{{x-x₁}} = \frac{{y₂-y₁}}{{x₂-x₁}}\]这个公式称为点斜式，其中斜率为 \(\frac{{y₂-y₁}}{{x₂-x₁}}\)。
通过这个方程，我们可以得到直线的斜率、截距等重要信息，从而进一步理解和分析直线的特性。
二、圆的解析几何解法圆是另一类常见的几何图形，在解析几何中也有相应的解法。
已知圆心为C(a, b)，半径为r的圆，其方程可以表示为：\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\]在解析几何中，我们可以根据圆心和半径的信息，推导出关于圆的性质和变换的一系列公式。
例如，通过对圆心的平移、旋转和缩放等操作，我们可以得到新的圆的方程和特征。
这些解析几何的方法在实际问题中具有广泛的应用，例如在计算机图形学和物理学领域。
三、多边形的解析几何解法多边形是由多条线段组成的几何图形，其解析几何解法也是基于坐标系的引入和运用。
对于一个n边形，我们可以通过提取顶点的坐标，组成一个由点组成的集合。
通过连接这些顶点，我们可以得到多边形的边界。
进一步，我们可以运用向量加法、平移以及旋转等解析几何的方法来研究多边形的性质和变换。
除了以上提到的几何图形，解析几何还可以用于研究曲线、立体图形等问题。
通过引入坐标系，用代数的方法来解决几何问题，解析几何在数学领域扮演着重要的角色。
解析几何的出现极大地促进了几何学和代数学的发展。
解析几何公式大全
解析几何中的基本公式1、两点间距离：若 A （x 1，y 1), B （X 2，y 2)，则 AB=J(X 2 — X i ）2+(y 2 — yj 22、平行线间距离：若 l 1 : AX By C^ 0, 12 : AX By C 0注意点：X ，y 对应项系数应相等。
则P到—S BJ4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 丿y一 kX + bJ z (x ，y) =0消y ： ax 2∙ bx ∙ c = 0 ，务必注意 厶∙0. 若l 与曲线交于A （x 1, y 1）， B （X 2 ，y 2） 贝 V ： AB = (1一k 2）（x2=xj 25、若A （X 1,y 1）， B （X 2,y 2） , P （X ， y )。
P 在直线AB 上,且P 分有向线段AB 所成的比为入,X I HL X 2 1 ■ W 丁2 1 ■X 2 -Xy 2 一 y6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为 二很三（0，二)则:CI - C 2..A 2 B 23、点到直线的距离:P(X , y ), l: AXByC=O,特别地:变形后:X-X ly 一 y 1'=1时，P 为AB 中点且X 1 X 22 y 「y 22或适用范围：k ι, k 2都存在且k ιk 2= — 1 ，若I i 与12的夹角为R 则tan ，=k1^k 2， —（0,上]1 + k 1k 22IIJmnJnJ注意:(1） ∣1到∣2的角，指从∣1按逆时针方向旋转到∣2所成的角,范围（0，二）∣1到∣2的夹角：指 丨1、∣2相交所成的锐角或直角.（2）∣1 _12时，夹角、到角 =—。
tan _1 + k k― 28、直线的倾斜角：'与斜率k的关系a）每一条直线都有倾斜角-,但不一定有斜率。
(2）斜率存在时为 y - y = k （x — X ) y - y 1 _ X - X 1 y ? 一 y 1 χ2 F其中I 交X 轴于(a,0），交y 轴于（0，b)当直线I 在坐标轴上,距相等时应分： (1) 截距=0 设y=kxb)若直线存在斜率k ,而倾斜角为：■,则k=tan ：•。
数学解析几何二级结论公式
数学解析几何二级结论公式一、椭圆部分。
1. 焦半径公式。
- 对于椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，设F_1,F_2为左右焦点，P(x,y)为椭圆上一点。
- 当P在椭圆上时，| PF_1|=a + ex，| PF_2|=a - ex（其中e=(c)/(a)，c=√(a^2)-b^{2}）。
- 对于椭圆frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2} = 1(a>b>0)，设F_1,F_2为上下焦点，P(x,y)为椭圆上一点。
- | PF_1|=a+ey，| PF_2|=a - ey（其中e=(c)/(a)，c=√(a^2)-b^{2}）。
2. 椭圆的切线方程。
- 过椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1上一点P(x_0,y_0)的切线方程为frac{x_0x}{a^2}+frac{y_0y}{b^2} = 1。
- 过椭圆frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2} = 1上一点P(x_0,y_0)的切线方程为frac{y_0y}{a^2}+frac{x_0x}{b^2} = 1。
3. 中点弦结论（点差法）- 设椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，弦AB的中点为M(x_0,y_0)。
- 设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，将A、B两点代入椭圆方程相减得：k_AB=-frac{b^2x_0}{a^2y_0}（k_AB为弦AB的斜率）。
二、双曲线部分。
1. 焦半径公式。
- 对于双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1，设F_1,F_2为左右焦点，P(x,y)为双曲线上一点。
- 当P在双曲线右支上时，| PF_1|=ex + a，| PF_2|=ex - a（其中e=(c)/(a)，c=√(a^2)+b^{2}）。
解析几何公式大全
解析几何中的基本公式1、两点间距离：若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则AB2、平行线间距离：若l 1:Ax By C 1 0,则：d(x 2 x 1)2 (y 2 y 1)2l 2:Ax By C 2 0C 1 C 2A B 22注意点：x ，y 对应项系数应相等。
3、点到直线的距离：P(x ,y ),l :Ax By C 0则P 到l 的距离为：dAx By CA B 224、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：2 y kx b F(x,y) 0消y ：ax bx c 0，务必注意 0.若l 与曲线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)则：AB(1 k 2)(x 2 x 1)25、若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，P （x ，y ）。
P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为 ，x 1 x 2x 1 x 2x x 1 2则，特别地： =1时，P 为AB 中点且y y y y 22 y 1 y 1 1 2变形后：x x 1y y 1或 x 2 x y 2 y6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为 , (0, )适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2 －1 ，tank 2 k 11 k 1k 2若l 1与l 2的夹角为 ，则tank 1 k 2， (0,]21 k 1k 2注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围(0, )l 1到l 2的夹角：指l 1、l 2相交所成的锐角或直角。
（2）l 1 l 2时，夹角、到角=。
2（3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
7、（1）倾斜角 ， (0, )；（2）a ,b 夹角 ， [0， ]；（3）直线l 与平面 的夹角 ， [0， 2]；（4）l 1与l 2的夹角为 ， [0，2]，其中l 1//l 2时夹角 =0；（5）二面角 , (0, ]；（6）l 1到l 2的角 ， (0， )8、直线的倾斜角 与斜率k 的关系a)每一条直线都有倾斜角 ，但不一定有斜率。
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解析几何部分公式、方法、技巧《直线和圆的方程》（1）①与直线0Ax By C ++=平行的直线方程为：0()Ax By m m C ++=≠ 与直线y kx b =+平行的直线为：()y kx m m b =+≠ ②与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程为：0Bx Ay m -+= 与直线(0)y kx b k =+≠垂直的直线为：1y x m k=-+ ③给定直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=： 若12//l l ⇔讨论12,B B ； 若12l l ⊥⇔ 12120A A B B +=； （2）过直线1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=的交点的直线方程为： 111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（当0λ=时表示1l ，但不表示2l ） （3）点00(,)A x y 关于直线0Ax By C ++=对称的点的坐标为(,)x y ''，则： 000222Ax By C x x A A B ++'=-⋅+ 000222Ax By Cy y B A B++'=-⋅+ （填空题、选择题可用上面公式，解答题一定要写出下列过程：00000221x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⋅+⋅+=⎪⎪⎨'-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪'⎪-⎝⎭⎩ 即 ⎧⎨⎩中点在直线上斜率之积为-1 解得：x y '=⎧⎨'=⎩（4）1l 到2l 的角θ：21121221tan (,1)1k k k k k k k k θ-=⋅≠-+适用于存在且1l 与2l 的夹角θ：21121221tan (,1)1k k k k k k k k θ-=⋅≠-+适用于存在且（5）斜率为k 的直线与二次曲线相交于,A B 两点，且1122(,),(,)A x y B x y ，则有：21AB x =-=（此即弦长公式）【注】该公式在圆锥曲线上有着广泛的应用，但在抛物线的焦点弦问题上，最好能从焦半径公式入手简化计算量，另外用该公式时，求出值往往要用判别式验证。
（6）①点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =②两平行直线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=的距离：d =（注意：应用该公式时一定要使得1l 与2l 的A ，B 一致）（7）① 求曲线1:(,)0C f x y =关于点00(,)x y 对称的曲线2C ：在曲线2C 上任取一点(,)x y 关于00(,)x y 对称的点为00(2,2)x x y y --代入曲线1C 方程，即可得曲线2C 方程为：00(2,2)0f x x y y --=【注】上述方法也适用于曲线关于特殊直线的对称曲线的求法！（且极为好用！） ② 点关于特殊直线的对称点坐标的求法：（理解记忆）(,)(,)x a b a b ←−−−→-关于轴 (,)(,)y a b a b ←−−−→-关于轴(,)(,)y xa b b a =←−−−−→关于直线 (,)(,)y xa b b a =-←−−−−→--关于直线 (,)(,)x ma b b a =←−−−−→关于直线 (,)(,2)y na b a n b =←−−−−→-关于直线 ③ 给定点11100222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，若12PP PP =，则： 1201x x x λλ+=+ 1201y y y λλ+=+（8）① 过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程为：200x x y y r +=② 过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的切线方程：【求法】考虑切线方程：0y y =是否满足设方程为00()y y k x x -=-，再利用点到切线的距离等于半径列出方程求出k 即可！【与①类似结论】200()()()()x a x a y b y b r --+--=（9）①二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆220040A C B D E AF ⎧=≠⎪⇔=⎨⎪+->⎩②二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆2240D E F ⇔+->其中圆心为(,)22D E--，半径为2r =（10）已知点00(,)P x y 在圆220x y Dx Ey F ++++=的外部，过P 作圆的切线，切点分别为A,B，则切线长PA PB ==（11）若直线0Ax By C ++=与圆222()()x a y b r -+-=r ≤（即圆心到直线的距离小于或等于半径！）（12）给定点00(,)P x y 和圆222()()x a y b r -+-=，则：点在圆内22200()()x a y b r ⇔-+-<； 点在圆上22200()()x a y b r ⇔-+-= 点在圆外22200()()x a y b r ⇔-+->【注】圆锥曲线有着类似的性质，比如给定椭圆22221x y a b +=：点在椭圆内2200221x y a b⇔+<； 点在椭圆上2200221x y a b ⇔+=；点在椭圆外2200221x y a b⇔+>；（13）判断直线与圆的位置关系，主要有两条路：① 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系的比较加以判断；（首选）② 联立直线与圆的方程然后判断∆的符号加以判断;(二次曲线与直线位置判断通法) （14）圆系方程：①过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程可设为：22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=②过两圆221111:0C x y D x E y F ++++=与222222:0C x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程为：2222111222()(1)()0x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++-++++=【推广】过两曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的曲线系方程为： (,)(1)(,)0f x y g x y λλ+-=（15）过两圆221111:0C x y D x E y F ++++=与222222:0C x y D x E y F ++++=的交点的直线（公共弦）的方程为：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=《椭圆》（1）椭圆的一般式方程：221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠ （2）椭圆的面积公式S ab π=（3）① 椭圆的第一定义：12(2(2)PF PF a c +=>常数即）定点距离即 （其中12,F F 称为焦点，a 为长半轴长，c 为半焦距，P 为椭圆上任一点）② 椭圆第二定义：(01)PF e e d =<<（即()=∈到定点的距离常数(0,1)到定直线的距离） 其中F 为椭圆的焦点，d 为任意点P 到该焦点的相应准线的距离，e 为离心率。
【推论】过焦点1F 的直线与椭圆交于P Q 、两点，则2PQF ∆的周长为4a （3）椭圆标准方程中的基本量的计算公式：（离心率越大，椭圆越扁；）222a b c =+ c e a ==2221b e a =- 准线计算为2a c ±（4）椭圆焦半径公式：1F 为左焦点（下焦点） 2F 为右焦点（上焦点）10PF a ex =+（或0a ey +） 20PF a ex =-（或0a ey -） 【推论】椭圆上一点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -（5）焦点在x 轴上的椭圆上不同三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则相应三条焦半径成等差数列⇔三点横坐标成等差数列，即2132x x x =+（6）①以椭圆上任一点P 的一条焦半径为直径作圆，此圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切。
②以焦点弦为直径的圆必与相应准线相离。
（7）过焦点F 焦点弦PQ 的两端点P 、Q 在相应准线上的射影为,P Q ''，则(0,)2P FQ π''∠∈ （只需证明0P F Q F ''⋅>即可！）（8）已知P 为椭圆上任一点，12F PF θ∠=,则122tan2F PF S b θ∆=（其中b 为短半轴长）【注】关于12F PF ∆,很多资料书称之为焦点三角形，试题经常给定该三角形的一些条件，求椭圆的离心率、面积、周长等；此时须记：因为它是出现在椭圆里的特殊三角形，所以在解题时能立马想到椭圆第一定义、余弦定理、正弦定理等知识。
（9）椭圆的通径（过焦点与长轴垂直的弦）端点的坐标是2(,)b c a±±《双曲线部分》（1）双曲线的一般式方程：221(0)mx ny mn +=<（2）① 双曲线2222(0)x y a b λλ-=≠与双曲线22221x y a b -=共渐近线为：0x ya b ±=② 渐近线为0x ya b±=的双曲线的方程可以写成2222(0)x y a b λλ-=≠（3）① 双曲线的第一定义：122)(2)PF PF a c -=<常数(即（其中12,F F 称为焦点，a 为实半轴长，c 为半焦距，P 为双曲线上任一点）【注意】若将定义中的绝对值去掉，则为双曲线一支；若将定义中的常数改为0，则为线段12F F 的中垂线；若将定义中的‘2c <’改为‘2c =’，则为两条射线；若将定义中的‘2c <’改为‘2c >’，则轨迹不存在；② 双曲线第二定义：(1)PF e e d =>（即()=∈∞到定点的距离常数(1,+)到定直线的距离） 其中F 为双曲线的焦点，d 为任意点P 到该焦点的相应准线的距离，e 为离心率。
【推论】过焦点1F 的直线与双曲线的一支交于P Q 、两点，若焦点弦PQ m =，则2PQF ∆的周长为42a m +（3）双曲线标准方程中的基本量的计算公式：（离心率越大开口越大；）222c a b =+ c e a ==2221b e a =+ 准线计算为2a c ±（4）双曲线焦半径公式：1F 为左焦点（下焦点） 2F 为右焦点（上焦点） 10PF a ex =+（或0a ey +） 20PF a ex =-（或0a ey -） 遵循“左加右减、长正短负”八字规则。