第6章 二维变换及二维观察
chap6(2)
（2）若x>wxr，D1=1，否则D1=0；
（3）若y<wyb，D2=1，否则D2=0； （4）若y>wy口 0000 0001
1010 0010 0110 wxr
wyb 0101 wxl
0100
12
线段的端点编码
• 区域码为：
上 下 右 左 X X X X 任何位赋值为1，代表端点落在相应的位 置上，否则该位为0。
和 yB <= y <= yT
线段与裁剪窗口的关系：
(1)线段完全可见； (2)显然不可见；
a
(3)其它
如何提高裁剪效率？
快速判断情形(1)(2)， 对于情形(3)，设法减 少求交次数和每次求 交时所需的计算量。
b
c
线段裁剪有多种算法，但基本思想都是：
（1）线段是否全不在窗口内，是则结束。
（2）线段是否全在窗口内，是则显示该线段，结束。
裁剪：保留窗口内的部分
覆盖：保留窗口外 的部分。
用于标注
直线段裁剪算法
点的位置是裁剪中最基本的问题
(xR,yT )
假设矩形窗口的左下角坐标 为(xL,yB),右上角坐标为 (xR,yT)，则点P(x,y)在窗口 内的条件是： 满足： xL <= x <= xR 否则，P点就在窗口外。
P
(xL,yB )
若端点在矩形窗口内，区域码为0000。 如果端点落在矩形窗口的左下角，则区 域码为0101。
计算机图形学基础（第2版）课后习题答案__陆枫__何云峰
计算机图形学基础（第2版）课后习题答案__陆枫__何云峰第⼀章绪论概念：计算机图形学、图形、图像、点阵法、参数法、图形的⼏何要素、⾮⼏何要素、数字图像处理；计算机图形学和计算机视觉的概念及三者之间的关系；计算机图形系统的功能、计算机图形系统的总体结构。
第⼆章图形设备图形输⼊设备：有哪些。
图形显⽰设备：CRT的结构、原理和⼯作⽅式。
彩⾊CRT：结构、原理。
随机扫描和光栅扫描的图形显⽰器的结构和⼯作原理。
图形显⽰⼦系统：分辨率、像素与帧缓存、颜⾊查找表等基本概念，分辨率的计算第三章交互式技术什么是输⼊模式的问题，有哪⼏种输⼊模式。
第四章图形的表⽰与数据结构⾃学，建议⾄少阅读⼀遍第五章基本图形⽣成算法概念：点阵字符和⽮量字符；直线和圆的扫描转换算法；多边形的扫描转换：有效边表算法；区域填充：4／8连通的边界／泛填充算法；内外测试：奇偶规则，⾮零环绕数规则；反⾛样：反⾛样和⾛样的概念，过取样和区域取样。
5.1.2 中点 Bresenham 算法（P109）5.1.2 改进 Bresenham 算法（P112）习题解答习题5（P144）5.3 试⽤中点Bresenham算法画直线段的原理推导斜率为负且⼤于1的直线段绘制过程（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。
（P111）解： k<=-1 |△y|/|△x|>=1 y为最⼤位移⽅向故有构造判别式：推导d各种情况的⽅法(设理想直线与y=yi+1的交点为Q)：所以有： y Q-kx Q-b=0 且y M=y Qd=f(x M-kx M-b-(y Q-kx Q-b)=k(x Q-x M)所以，当k<0，d>0时，M点在Q点右侧（Q在M左），取左点 P l(x i-1,y i+1)。
d<0时，M点在Q点左侧（Q在M右），取右点 Pr(x i,y i+1)。
d=0时，M点与Q点重合（Q在M点），约定取右点 Pr(x i,y i+1) 。
计算机图形学第六章
关于原点对称
28
基本几何变换——对称变换
(4)关于y=x 对称
x=y p(x,y) p'(y,x) X
关于x＝y对称
0 1 0 1 0 0 0 0 1
Y
29
基本几何变换——对称变换
(5)关于y=-x 对称
x=-y
Y
0 1 0 1 0 0 0 0 1
0 cos 0
1 0 tg 1 0
0
tg 1 0
0 1
0
0 1
0
43
几何逆变换
所有的几何变换都有逆变换，所谓逆变换就是 指与原变换操作相反的操作过程。
平移变换的逆变换：反方向平移
旋转变换的逆变换：反方向旋转
缩放变换（sx,sy)逆变换：缩放变换（1/sx,1/sy) 镜面反射变换的逆变换与原变换一样
37
二维图形几何变换的计算
3. 多边形的变换
x x x ... x' n
' 1 ' 2 ' 3
y y y y
' 1 ' 2 ' 3
...
' n
1 x1 1 x2 1 x3 ... ... 1 xn
y1 y2 y3 ... yn
R R(1 ) R( 2 ) R(1 2 )
42
复合变换
cos sin 0 cos R sin cos 0 0 0 1 0 0 1 tg 0 cos 0 tg 1 0 0 cos 0 0 0 1 0
到另一个坐标位置的重定位过程。
Y
计算机图形学期末复习[1]
![计算机图形学期末复习[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/2155f416ff00bed5b9f31d9f.png)
计算机图形学期末复习第一章绪论●名词解释：图形、图像、点阵法、参数法。
图形：是指能够在人的视觉系统中形成视觉印象的客观对象。
点阵法：是具有灰度或颜色信息的点阵来表示图形的一种方法，它强调图形有哪些点组成，这些点具有什么灰度或色彩。
图形包括哪方面的要素参数法：是以计算机所记录的图形的形状参数与属性参数来表示图形的一种方法。
把参数法描述的图形叫做图形；把点阵法描述的图形叫做图像。
●图形包括哪两方面的要素，在计算机中如何表示它们？图形的要素可以分为两类，一类是刻画形状的点、线、面、体等几何要素；另一类是反应物体本身固有属性，如表面属性或材质的明暗、灰度、色彩（颜色信息）等非几何要素。
在计算机中表示带有颜色及形状的图和形常用两种方法：点阵法和参数法。
●什么叫计算机图形学？分析计算机图形学、数字图像处理和计算机视觉学科间的关系。
计算机图形学是研究怎样利用计算机来显示、生成和处理图形的原理、方法、和技术的一门学科。
计算机图形学试图将参数形式的数据描述转换生成（逼真的）图像。
数据图像处理则着重强调图像之间进行变换，它旨在对图像进行各种加工以改善图像的视觉效果，计算机视觉是研究用计算机来模拟生物外显或宏观视觉功能的科学和技术，它模拟对客观事物模式的识别过程，是从图像到特征数据对象的描述表达处理过程。
●有关计算机图形学的软件标准有哪些？标准有：计算机图形核心系统（GKS）及其语言联编、三维图形核心系统（GKS-3D）及其语言联编、程序员层次交互式图形系统（PHIGS）及其语言联编、计算机图形元文件(CGM)、计算机图形接口（CGI）、基本图形转换规范（IGES）、产品数据转换规范（STEP）等。
●试发挥你的想象力，举例说明计算机图形学有哪些应用范围，解决的问题是什么？近年来计算机图形学已经广泛地用于多种领域，如科学、医药、商业、工业、政府部门、艺术、娱乐业、广告业、教育和培训等。
第二章计算机图形系统及图形硬件●名词解释：刷新、刷新频率、像素点、屏幕分辨率、位平面、屏幕坐标系。
第三讲：二维观察与变换
二维观察与变换二维观察和变换问题内容提要•二维几何变换•二维观察变换•二维图形裁剪内容提要•二维几何变换•基本几何变换•复合变换•二维观察变换•二维图形裁剪内容提要•二维几何变换•基本几何变换•复合变换•二维观察变换•二维图形裁剪变换的矩阵表示变换的齐次坐标矩阵表示内容提要• 二维几何变换• 基本几何变换 • 复合变换• 二维观察变换 • 二维图形裁剪复合变换矩阵的合并或复合：利用矩阵表示，通过计算单个变换矩阵的乘积，将 任意顺序变换的矩阵建立为复合变换矩阵。
对于坐标位置的列矩阵表示，以从右向左的次序进行矩阵乘而形成复合 变换，来计算一系列变换的结果。
即：每个随后的变换矩阵左乘前面的变换矩阵。
复合平移：P1＝{T(txn,tyn) ·……·T(tx2,ty2) · T(tx1,ty1)}·P 复合旋转：P1＝{R(θn) ·…… · R(θ2) · R(θ1)}· P 复合缩放：P1＝{S(sxn,syn)·……· S(sx2,sy2) · S(sx1,sy1)}·P 复合变换：先缩放后平移再旋转： P1＝{R(θn) · T(txn,tyn) · S(sxn,syn)}·P 注意：矩阵乘法不满足交换率：M1•M2≠M2•M1， 变换的结果和变换执行的顺序有关。
只有在两个变换类型相同，或两者分别是一致缩放与旋转变换时， 两者可以交换。
其它变换：对称/反射变换反射/对称变换：产生物体镜像 物体绕反射 /对称轴旋转180度 生成镜像。
反射 / 对称轴： xy 平面内或垂 直于xy平面的线。
关于y轴反射 关于坐标轴及原点的反射/对称变 换：变换矩阵的对应于坐标轴的 元素值设置为±1。
关于x轴反射关于原点反射y=mx+b 逆 平 平 移 移设置值大于1：镜像移至远离 反射轴； 设置值小于1：镜像移至接近 反射轴。
计算机图形学知识要点
单元分解法优缺点
优点
表示简单 容易实现几何变换 基本体素可以按需选择，表示范围较广 可以精确表示物体 物体的表示不唯一 物体的有效性难以保证 空间位置枚举表示----同样大小立方体粘合在一起表示 物体 八叉树表示----不同大小的立方体粘合在一起表示物体 单元分解表示----多种体素粘合在一起表示物体
阴极射线管(CRT)：光栅扫描图形显示器； 平板显示器：液晶显示器、等离子体显示板等； 光点、像素、帧缓存（frame buffer）、位平面；三种 分辨率（屏幕、显示、存储）； 黑白、灰度、彩色图形的实现方法（直接存储颜色数据、 颜色查找表）； 光栅图形显示子系统的结构
基本概念
第四章 图形的表示与数据结构
2、规则三维形体的表示
形体表示的分类 线框模型
缺点 多边形表，拓扑信息： 显示和隐式表示
表面模型
显示表示：在数据结构中显式的存储拓扑结构。例如，翼边结构 表示（Winged Edges Structure） 隐式表示：即根据数据 之间的关系在运行时实
时的解算。 平面方程 多边形网格 分解表示、构造表示、边界表示
Bresenham算法绘制圆弧
基本原理 从（0，R）点，顺时针开始； 上一个确定像素点为p（x, y），则下一个像素点只 能是p1和p2中的一个；
P(x, y) P1(x＋1, y)
p2 (x＋1, y－1)
误差判据：像素点到圆心的距离平方与半径平方之 差； 一般关系式取值对应的几何意义，即和下一个像素 的对应关系；
3、椭圆的光栅化方法
第六章二维变换及二维观察
x
6.4：二维观察
6.4：二维观察
y
依据窗口的方向和形状在用户坐 标平面中定义的直角坐标系
o
用户坐标系
x
6.4：二维观察
y
窗口
观察坐标系下 进行裁剪
o x
6.4：二维观察
y
观察坐标系下的裁剪结果
o x
6.4：二维观察
1
视区
y
观察变换 窗口
o 1
规格化设备坐标系
1
观察坐标系
o
o
1 x
6.4：二维观察
完全落在窗口内 完全落在窗口外 与窗口边界相交
6.5：裁剪
直线段的裁剪之Cohen-Sutherland算法 基本思想： 基本思想 对每条直线段p1(x1,y1)p2(x2,y2)分三种情况处理： (1)直线段完全可见，“简取”之。 wxl “简取”的条件：≤ x ≤ wxr , 且wyb ≤ y ≤ wyt (2)直线段完全不可见，“简弃”之。 “简弃”的条件为下列之一： x1 < wxl , 且x2 < wxl
sin(−θ ) cos(−θ ) 0
0 1
0
6.3：复合变换
光栅变换之平移
6.3：复合变换
光栅变换之简单旋转
原图
逆旋90
逆旋180
逆旋270
6.3：复合变换
光栅变换之任意旋转
旋转的 象素阵列 A 光栅网格 1 3 A 2
6.3：复合变换
光栅变换之比例变换
缩小时原图 中的相应象 素区域
6.5：裁剪
直线段的裁剪之中点分割算法之一 实例：
6.5：裁剪
直线段的裁剪之中点分割算法之二 说明：
A、B分别为距p1、p2最近的可见点
计算机图形学二维几何变换
简记成p‘=P*S，
其中
是比例变换矩阵。
3
3.1.3 二维对称变换
二维对称变换（或称反射变换）是产生物体镜像的一种变 换，该变换实际上是比例变换的几种特殊情况。 1、以y轴为对称线的对称变换 2、以x轴为对称线的对称变换
3、以原点为对称的对称变换
4、以直线y=x为对称线的对称变换 5、以直线y=-x为对称线的对称变矩换阵表矩示阵形表式示为形：式为：
图元点的坐标值满足关系式 x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ
用矩阵形式表示成[x’ y’]=[x y] ·[
]
简记为P'=P·R，其中 转变换矩阵。
是旋
5
3.1.5 二维错切变换
二维错切变换：是一种会使物体形状发生变化的 变换。常用的错切变换有两种:
1、图形沿x方向的错切
2、图形沿y方向的错切
步骤（2）
变换后的图形
（1）平移物体使固定点与坐标原点重合； （2）相对于坐标原点的比例变换； （3）平移物体使固定点回到原始位置。
11
该变换顺序的复合变换矩阵为：
12
3.1 二维几何变换
二维几何变换就是在平面上对二维点的 坐标进行变换，从而形成新的坐标。主 要包括：平移、比例、对称、旋转、错 切、仿射和复合变换。
13Βιβλιοθήκη 1.1 二维平移变换如图所示，它使图形移动位置。新图p‘的每一图元点是 原图形p中每个图元点在x和y方向分别移动Tx和Ty产生， 所以对应点之间的坐标值满足关系式 x'=x+Tx y'=y+Ty
结论：平移、比例、对称、旋转和错切变换是 二维仿射变换的特例，任何常用的二维仿射变 换总可表示为这五种变换的组合。
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Y
P'
T
Ty
P Tx
X 图 6-1 平 移 变 换
2020/2/13
6
推导：
矩阵：
1 0 0
0
1
0
T x T y 1
Tx，Ty称为平移矢量
2020/2/13
7
6.2.2 比例变换
比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍， 沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比例系数。
0 0 1
(c)关 于 原 点 对 称
2020/2/13
19
(4)关于y=x轴对称
0 1 0
1
0
0
0 0 1
2020/2/13
Y
x=y p(x,y)
p'(y,x) X
(d)关 于 x=y对 称
20
(5)关于y=-x轴对称
0 1 0
1
0
0
Y
P'(4,3)
P(2,1)
X
图 6-2 比 例 变 换 (Sx=2,Sy=3)
2020/2/13
8
推导： 矩阵：
Sx 0 0
0
Sy
0
0 0 1
2020/2/13
9
原图
Sx=Sy>1
原图
Sx<Sy
Sx=Sy<1
Sx>Sy
(a) Sx=Sy比例
(b) Sx<>Sy比例
图6-3 比例变换
矩阵：逆时针旋转θ角
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
顺时针旋转θ角?
2020/2/13
13
简化计算
1 0
x' y' 1x y 1 1 0
0 0 1
2020/2/13
பைடு நூலகம்
14
6.2.4 对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
2020/2/13
4
6.2 基本几何变换
基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的 几何变换
6.2.1 平移变换
平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一 个坐标位置的重定位过程。
2020/2/13
5
平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换 （rigid-body transformation）
0 0 1
x=-y P(x,y)
X P'(-y,-x)
(e)关 于 x=-y对 称
Y
2020/2/13
21
6.2.5 错切变换
错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物 体的变形处理。
Y
Y
Y
X (a) 原图
X
(b) 沿x方向错切
图6-7 错切变换
2020/2/13
X (c) 沿y方向错切
第6章 二维变换及二维观察
提出问题
• 如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换 • 如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察
2020/2/13
1
第6章 二维变换及两维观察
6.1 基本概念
6.1.1 齐次坐标
齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。 齐次坐标的不唯一性
规范化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。 如何从齐次坐标转换到规范化齐次坐标？
两个连续平移是加性的。
6.3.2 二维复合比例
连续比例变换是相乘的。
6.3.3 二维复合旋转
两个连续旋转是相加的。可写为：
R R (1 )•R (2 ) R (12 )
2020/2/13
26
6.3.4 其它二维复合变换
cos sin 0 cos 0 0 1 tg 0 Rsin cos 0 0 cos 0tg 1 0
2020/2/13
28
6.3.6 相对任意方向的二维几何变换
相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是： (1) 旋转变换 (2) 针对坐标轴进行二维几何变换； (3) 反向旋转 例3. 相对直线y=x的反射变换
Y
P(x,y) X
P'(x,-y) (a)关 于 x轴 对 称
17
Y
(2)关于y轴对称
P'(-x,y) p(x,y)
1 0 0
0
1
0
0 0 1
X (b)关 于 y轴 对 称
2020/2/13
18
(3)关于原点对称
Y
P(x,y) X
1 0 0
0
1
0
Y
Y Y
X
(a)关 于 x轴 对 称
2020/2/13
X (b)关 于 y轴 对 称
X (c)关 于 原 点 对 称
15
Y
Y
X (d)关 于 x=y对 称
2020/2/13
X (e)关 于 x=-y对 称
16
(1)关于x轴对称
1 0 0
0
1
0
0 0 1
2020/2/13
2020/2/13
2
6.1.2 几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比 例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、 尺寸和形状方面的变换。
2020/2/13
3
6.1.3 二维变换矩阵
a b p
x' y' 1x y 1T2Dx y 1c d q
l ms
0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 tg 0 cos 0 0 tg 1 0 0 cos 0 0 0 1 0 0 1
2020/2/13
27
6.3.5 相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为： (1) 平移 (2) 针对原点进行二维几何变换。 (3) 反平移 例1. 相对点(xF,yF)的旋转变换 例2. 相对点(xF,yF)的比例变换
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10
整体比例变换：
1 0 0
0
1
0
0 0 s
2020/2/13
11
6.2.3 旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为 正，顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。
Y
P'
r
θr
P
α
X
图 6-4 旋 转 变 换
2020/2/13
12
推导：
24
6.3 复合变换
复合变换是指： 图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩 阵相乘。 任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合 形式。
复合变换具有形式： P'PTP(T1T2T3Tn) PT1T2T3Tn (n1)
2020/2/13
25
6.3.1 二维复合平移
22
其变换矩阵为：
1 b 0
c
1
0
0 0 1
(1)沿x方向错切
(2)沿y方向错切
(3)两个方向错切
2020/2/13
23
6.2.6 二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成P’=P*T的形式 1. 点的变换 2. 直线的变换 3. 多边形的变换 4. 曲线的变换
2020/2/13