二维傅里叶变换
二维傅里叶变换
C数n是中频，率只v包的含复0函，±数ν ，, ±称2ν为,L频率函等数频，率由分于量周，频期率函
的取值是离散的，所以周期函数只有离散谱。没 有连续谱。
2
是离散求和的形式,表明:
一个随时间或空间变化的周期函数（信号）f(x),可 以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠 加。各简谐波分量的频率为u，u=nu, 是离散的; 取 值为0, ±u, ± 2u, ± 3u,… ; u=0为直流分量， ±u 为基频，其余为高次谐波分量。
⎫ ⎪ ⎪
∫ an
=
2 τ
τ 0
f
(t)
cos
2π
nν
tdt
⎪ ⎬
⎪
∫ bn
=
2 τ
τ 0
f
(t
)
sin
2π
nν
tdt
⎪ ⎪⎭
1
周期函数也可以展开成指数傅里叶级数形式
∞
f (t) = ∑ Cn exp( j2π nν t) n=−∞
∫ Cn
=
1 τ
τ f (t) exp(− j2π nν t)dt， n=0,±1,± 2,L
13
∞∞
f (x, y) = ∫ ∫ F (u, v) exp[ j2π (ux + vy)]dudv
−∞ −∞
x = r cosθ , y = r sinθ
u = ρ cosϕ, v = ρ sinϕ
∞ 2π
f (r cosθ , r sinθ ) = ∫ ∫ F (ρ cosϕ, ρ sinϕ) exp[ j2π (ρr cosθ cosϕ + ρr sinθ sinϕ)]ρdρdϕ 0 0 ∞ 2π
F (ρ cosϕ, ρ sinϕ) = ∫ ∫ f (r cosθ , r sinθ ) exp[− j2πρr cos(θ −ϕ)]rdrdθ
二维图像傅里叶变换
a 图
b 图的幅值谱重构图
由此更加说明相 位谱较幅值谱更能 影响图像的轮廓。
幅度和频率哪个
更能影响图像的形状呢 请看如下试验
先 准 备 两 张 图 片
a 图
b 图
a 图 的 幅 值 谱
b 图 的 幅 值 谱
b 图的相位谱
a 图的相位谱
图a的幅值谱 和图b的相位谱重 新组合
a 图 的 幅 值 谱
b 图 的 值谱与 a图的相位谱组合
a 图 的 相 位 谱
b 图 的 幅 值 谱
a 图的大体轮廓
由此可以说明相 位谱较幅值谱更能影 响图像的形状。通俗 的说，幅度决定图像 的强弱，相位决定图 像的频率。
先将幅值谱设为常数（这里 设为1），然后和图像原来的相 位谱结合，进行傅里叶反变换
a 图
a 图的相位谱重构图
再将相位谱设为常数（这里 设为1），然后和图像原来的幅 值谱结合，进行傅里叶反变换
二维图像傅里叶变换图像的二维傅里叶变换二维傅里叶变换二维离散傅里叶变换二维傅里叶变换公式matlab二维傅里叶变换二维快速傅里叶变换二维傅里叶变换加窗二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换性质
图像的傅里叶 变换是图像在空域和 频域之间的变换
. 二维傅 . 里叶变换可 以由两步一 维傅里叶变 换来实现
声学二维傅里叶变换
声学二维傅里叶变换声学二维傅里叶变换是一种用于分析声音信号的数学工具。
它基于傅里叶变换的原理，将声音信号从时域转换到频域，从而可以更好地理解和处理声音信号。
在声学中，声音是由气体、液体或固体的振动产生的。
当物体振动时，它会产生压力波，这些压力波通过介质传播并被我们的耳朵感知为声音。
声音信号可以被表示为一个时域函数，它描述了声音随时间变化的振幅。
然而，时域表示并不能直观地展示声音信号中包含的频率信息。
这时候，二维傅里叶变换就派上用场了。
通过将声音信号转换到频域，我们可以清楚地看到声音信号中包含的各个频率分量的贡献程度。
这对于分析和处理声音信号非常有用。
二维傅里叶变换的过程可以简单描述为以下几个步骤：首先，将声音信号表示为一个二维矩阵，其中横轴表示时间，纵轴表示频率。
然后，对这个矩阵进行二维傅里叶变换。
变换后的结果是一个复数矩阵，其中每个元素表示对应频率和时间的振幅和相位信息。
最后，可以对这个变换后的矩阵进行进一步的分析和处理。
通过声学二维傅里叶变换，我们可以获得声音信号的频谱图，即频率和振幅之间的关系图。
这个频谱图可以帮助我们了解声音信号中包含的各个频率成分的强度和分布情况。
例如，可以通过分析频谱图来判断声音信号中是否存在特定频率的噪音或共振现象。
除了分析声音信号，声学二维傅里叶变换还可以应用于声音信号的处理和改变。
通过对变换后的矩阵进行逆变换，我们可以将频域表示的声音信号转换回时域表示，并进行各种音频处理操作，如滤波、增强、混响等。
声学二维傅里叶变换是一种强大的工具，可用于分析、处理和改变声音信号。
它能够帮助我们更好地理解声音信号中的频率信息，从而提高声音信号的质量和可理解性。
通过合理使用声学二维傅里叶变换，我们可以在声学领域取得更好的研究和应用成果。
二元函数的离散二维傅里叶变换与离散二维傅里叶变换的应用
二元函数的离散二维傅里叶变换与离散二维傅里叶变换的应用二元函数的离散二维傅里叶变换（Discrete Two-dimensional Fourier Transform）是一种将二维离散信号转换到频域的重要数学工具。
在数字图像处理、通信系统和信号处理等领域中得到了广泛应用。
本文将介绍二元函数的离散二维傅里叶变换的定义、性质以及其在数字图像处理中的应用。
一、离散二维傅里叶变换的定义和性质离散二维傅里叶变换是二维信号的频域表示，它将一个二元函数表示为两个离散变量的函数。
设f(m,n)是一个m×n的离散二维信号，则它的离散二维傅里叶变换F(u,v)定义为：F(u,v)=∑[∑f(m,n)e^(-j2π(um/M+vn/N))] (1)其中，u和v是频率变量，范围在[0,M-1]和[0,N-1]之间，M和N分别表示信号的行数和列数。
离散二维傅里叶变换有以下性质：1. 线性性质：设f1(m,n)和f2(m,n)是两个m×n维的离散二维信号，α和β是常数，则有F(αf1(m,n)+βf2(m,n))=αF(f1(m,n))+βF(f2(m,n))。
2. 变换的逆运算：假设一个信号F(u,v)经过离散二维傅里叶变换得到一个函数f(m,n)，则信号F(u,v)通过逆变换可以得到相应的函数f(m,n)，即f(m,n)=∑[∑F(u,v)e^(j2π(um/M+vn/N))]。
3. 位移性质：对于一个二维离散信号f(m,n)的傅里叶变换F(u,v)，其在频域中的相对位移可以引起在空域中的相位变换。
即若f(m,n)经过水平或垂直平移变换，则其傅里叶变换F(u,v)也会在相应的方向上发生相位变化。
4. 共轭对称性：离散二维傅里叶变换满足共轭对称性质，即对于一个二维离散信号f(m,n)的傅里叶变换F(u,v)，有F(u,v) = F*(-u,-v)，其中F*(-u,-v)表示F(u,v)的共轭复数。
二、离散二维傅里叶变换在数字图像处理中的应用离散二维傅里叶变换在数字图像处理中有广泛的应用，包括图像滤波、边缘检测、图像增强等。
第四五讲二维-傅里叶变换
当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为
rff (x)
f (x)★f (x)
f ( ) f *( x)d
或:
rff (x)
f (x)★f (x)
f ( 'x) f *( ')d '
由(4)式立即可得:
rff(x)= rff*(-x)
F(,)一般是复函数, F(,) =A(,)e jf (,)
位相谱 振幅谱
描述了各频率分量的相对幅值和相移.
§1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
广义 F.T.
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法.
对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.
宽度 =1/2
周期 t =1
a0
2
t
t
1
2 g(t)dt 2 4 dt 1
t 2
1 4
频率 f0 =1
an
2
t
t 2
t 2
g(t) cos(2nt)dt
2
1
4 cos(2nt)dt
1 4
sin(2nt) n
1/ 4 1/ 4
sinc
n 2
bn
2
t
t
2 t 2
g (t
)
sin(2nf0t)dt
( ) ( )d 2
2
( ) d
2
( ) d
其中与一般为复函数，且仅当=k 时，等号成立。
令()=f(-x)， ()=g()，则施瓦兹不等式为：
二维傅里叶变换与逆变换
二维傅里叶变换与逆变换二维傅里叶变换和逆变换是信号处理中最重要的技术之一，是将时域信号转化为频域信号的过程。
本文将对二维傅里叶变换和逆变换进行详细介绍，包括定义、性质、计算方法等内容。
二维傅里叶变换是将二维信号（如图像）从时域转换到频域的数学方法。
它将一个以二维数组表示的时域信号转换成一个以复数二维数组表示的频域信号，该频域信号表示了该信号的频率分量和其强度。
二维傅里叶变换的基本定义为：$F(u,v)=\iint_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-i2\pi(ux+vy)}dxdy$$f(x,y)$为二维时域信号，$F(u,v)$为二维频域信号，$u$和$v$为频率变量，$i$为虚数单位。
二维傅里叶变换具有很多重要的性质，这些性质对于理解和应用二维傅里叶变换非常重要。
下面列举了二维傅里叶变换的一些重要性质：1. 线性：二维傅里叶变换是线性的，也就是说，如果$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$是两个二维函数，$a$和$b$是常数，则有$F(a f_1(x,y)+b f_2(x,y)) = aF(f_1(x,y)) +bF(f_2(x,y))$。
3. 对称性：如果$f(x,y)$是一个实函数，则$F(u,v)$是关于$u=0$和$v=0$对称的，即$F(u,v)=F(-u,-v)$。
4. 拉普拉斯变换：二维傅里叶变换是拉普拉斯变换在两个变量上的推广。
当$f(x,y)$是一个实函数时，$F(u,v)$可以表示为$f(x,y)$的拉普拉斯变换，即$F(u,v)=\mathcal{L}\{f(x,y)\}$。
三、二维傅里叶变换的计算方法计算二维傅里叶变换需要进行积分，这往往比较麻烦和复杂。
通常使用离散傅里叶变换（DFT）方法进行计算。
DFT方法是通过将二维信号离散化为一个有限的二维数组，并计算该数组的离散傅里叶变换来实现的。
通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来计算DFT。
FFT算法可以在$O(Nlog_{2}N)$的时间复杂度内计算一个$N*N$矩阵的离散傅里叶变换，其中$N$通常是$2$的幂次。
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换1. 什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种重要的数学变换，用于将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的加权和。
它在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
傅里叶变换可以将一个函数从时域表示切换到频域表示，以便更好地理解和处理信号。
时域是函数的值与时间变量的关系，而频域是函数的值与频率变量的关系。
二维傅里叶变换是将二维函数从空间域转换到频率域的一种数学工具。
它在图像处理中有很重要的应用，可以用来分析图像的频率特征，如边缘、纹理等。
2. 二维傅里叶变换的定义对于一个二维函数 f(x, y)，其二维傅里叶变换 F(u, v) 定义如下：F(u, v) = ∬[−∞,∞][−∞,∞] f(x, y) * exp(−j2π(ux+ vy)) dxdy其中，u和v分别表示频率域的x和y轴，且 j 是虚数单位i。
3. 二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换具有许多重要的性质，包括线性性质、平移性质、旋转性质等。
线性性质二维傅里叶变换具有线性性质，即对于任何二维函数 f(x, y) 和 g(x, y)，以及任意常数 a 和 b，有以下关系：F(a*f(x, y) + b*g(x, y)) = a*F(f(x, y)) + b*F (g(x, y))平移性质二维傅里叶变换具有平移性质，即对于任何二维函数 f(x, y) 和常数 a 和 b，有以下关系：F(f(x-a, y-b)) = exp(−j2π(ua+vb)) * F(f(x, y))旋转性质二维傅里叶变换具有旋转性质，即对于任何二维函数 f(x, y) 和常数θ，有以下关系：F(f(Rθ(x, y))) = F(f(x, y)) * exp(−j2π(uxcosθ+ uysinθ))其中，Rθ 为绕原点逆时针旋转角度θ 的旋转变换。
4. 二维傅里叶变换的应用二维傅里叶变换在图像处理中有着广泛的应用，包括图像滤波、图像增强、图像压缩等。
图像滤波二维傅里叶变换可以用于对图像进行频域滤波，包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换一．二维傅里叶变换的定义二维傅里叶变换：F (u,v )=∫∫f(x,y)e −j2π(ux+uy)+∞−∞dxdy +∞−∞二维傅里叶逆变换：f (x,y )=∫∫F (u,v )e j2π(ux+uy )+∞−∞dudv +∞−∞原理解释：二维傅里叶变换的具体积分区间取决于函数f(x,y)的定义域。
x ，y 的积分顺序可交换，因此对f(x,y)做二维傅里叶变换，相当于对两个方向分别做一维傅里叶变换，此外，傅里叶变换的一大特点就是它是线性变换，即信号线性组合的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的线性组合。
离散傅里叶变换：由于实际信号通常位离散信号，且处理的信号也不可能是无限长的。
因此对离散二维信号的处理使用的是离散二维傅里叶变换。
离散二维傅里叶变换：F (u,v )=1MN∑∑f(x,y)e−j2π(ux M +vy N )N−1y=0M−1x=0 离散傅里叶逆变换为f (x,y )=∑∑F(u,v)e j2π(ux M +vyN )N−1v=0M−1u=0傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。
一维的傅里叶变换表示的含义是，原信号变换为不同频率的正弦波信号的线性组合。
而推广到二维，则表示将原信号变换为复平面上不同方向和频率的正弦波信号的线性组合。
变换结果中，越靠近原点，频率越低，越远离原点，频率越高在图像处理中，对图像的二维离散傅里叶变换将图像从图像空间变换到频域空间，从而可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。
坐标轴意义是频率，越靠近原点，频率越低，对应于图像中像素值变化速度比较慢的部分；越远离原点，频率越高，对应于图像中像素值变化速度快的那部分。
对图像作二维离散傅里叶变换，得到的结果一般来说靠近原点周围比较亮，远离原点比较暗，也就是这张图像里低频部分的分量多，高频部分的分量少，原因是图像大部分都是颜色相近，灰度相近的区域。
二．二维傅里叶变换的性质1. 线性定理F [αg (x,y )+βℎ(x,y )]=αG (u,v )+βH (u,v )2. 空间缩放F [g (ax,by )]=1|ab |G (u,v )3.位移定理空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变. 频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移。
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
Joseph Fourier, our hero
Fourier was obsessed with the physics of heat and developed the Fourier series and transform to model heat-flow problems.
由积分可知, 在一个周期内，n = 0, 1, ...,
T 2 T 2
cos n1t sin m1t dt 0
T , cos n1t cos m1t dt 2 0, mn mn
T 2 T 2
T 2 T 2
m
mn mn
{n ( x)} 为区间(x1，x2) 上的正交函数系.
f ( x) c11 ( x) c22 ( x) c33 ( x) cnn ( x)
n 1
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1.3 二维傅里叶变换
简单的周期运动 : ( A为振幅, 复杂的周期运动 :
第一章
线性系统分析
III 三角级数及三角函数系的正交性
(谐波函数) 为角频率, φ为初相 )
An sin n cos n t An cos n sin n t
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n , a 0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1
称上述形式的级数为三角级数.
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1.3 二维傅里叶变换 定理 1. 组成三角级数的函数系
第一章
线性系统分析
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 . 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
ˆ ˆ y0 ˆ A x0i j z0k
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1.3 二维傅里叶变换 n维空间
第一章
线性系统分析
A cV 1 1 c2V2 cnVn
0, Vm Vn m , mn mn
其中
ci
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A Vi
i
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1.3 二维傅里叶变换 II 正交函数系
第一章
线性系统分析
若定义在(x1，x2)区间上的复函数系{n ( x)}中的每 个函数绝对可积，且满足 ( x) ( x)dx m ,
处理或成像，一般是二维或三维空间分布(可表示为二
维或三维空间函数).
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
可分离变量函数的傅里叶变换
如果一个二维函数是可分函数，则其傅里叶变换可写 成两个一维函数傅里叶变换的乘积.
T1
F n1 F n1 T1 F n1 1 f T1
当T1 时，
单位频带上的 频谱值
1 f 0, F (n1 ) 0 T1
n1 1 d
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F n1 有界函数 f
n1 连续
频谱)定义为
F ( , )
f ( x, y) exp[ j 2 (x y)]dxdy
• 其傅里叶逆变换定义为
f ( x, y)
F ( , ) exp[j 2 (x y)]dd
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1.3 二维傅里叶变换
T1
第一章
T1 2 T T1 1 2
线性系统分析
j n1t
F lim T1F n1 lim
频谱密度函数(spectrum density function)，简称 频谱函数 傅里叶变换
T , sin n1t sin m1t dt 2 0,
mn mn
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1.3 二维傅里叶变换 2．级数形式
第一章
线性系统分析
2 周期信号 f t , 周期为 T1 , 基波角频率为 1 T1
1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
1.3 二维傅里叶变换(2-D Fourier Transform, FT)
19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院呈交的关于
热传导的著名论文中提出了傅里叶级数．
傅里叶分析方法已经广泛用于物理学及工程学
科的各个领域．
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1.3 二维傅里叶变换 说明
f (t )
n
第一章
线性系统分析
F (n1 ) e j n1t
1 T1 F (n1 ) f (t )e jn1t dt T1 0 周期信号可分解为 , 区间上的指数信号 e jn1t的线性组合．
如给出F (n1 )，则f t 惟一确定，上两式是一 对变换对．
周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
三角形式
f (t ) a0 an cosn1t bn sin n1t c0 cn cosn1t
n 1 n 1
指数形式
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f (t )
n
j n1t F ( n ) e 1
右端级数可逐项积分, 则有
a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n 1
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
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1.3 二维傅里叶变换 都是离散求和的形式，表明
第一章
线性系统分析
(1) 一个随时间或空间变化的周期函数(信号) f (t ) , 可以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠 加．各简谐波分量的频率为 n1,是离散的，取值
• 非周期函数可分解为连续频率的余弦分量的积分，
F ( , ) 是各频率成分的权重因子(weighting factor)．
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
在电信号处理、通信中，一般是1D的时间信号， 经常用到一维傅里叶级数和傅里叶变换.
在光学中，多数情况下研究的对象是2D或3D图像
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集 2．级数形式
e
j n1t
n 0, 1, 2
f (t )
n
j n1t F ( n ) e 1
3．系数
在满足狄利克雷条件时，可展成
f (t ) a0 an cosn1t bn sin n1t
n 1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数 直流分量 余弦分量的幅度 正弦分量的幅度
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1 t 0 T a0 f (t ) d t t T 0 2 t 0 T an f (t ) cos n1t d t t T 0 2 t 0 T bn f (t ) sin n1t d t t T 0
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1.3 二维傅里叶变换 正交矢量空间和正交函数系
第一章
线性系统分析
信号分解为正交函数分量的研究方法在系统理论中 占有重要的地位，其原理与矢量分解为正交矢量的概 念十分相似． I 正交矢量空间 三维空间
1.3 二维傅里叶变换 一维傅里叶变换
f (t )
n j n1t F ( n ) e 1
第一章
T1
线性系统分析
f (t ) ：周期信号
非周期信号 0
1 1 T j n1t 谱系数F (n1 ) 2 f ( t ) e dt T1 T1 2 2π 谱线间隔 `1 0 T1
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数. ( 证明略 )