图像的二维傅里叶变换
二维离散傅里叶变换
二维离散傅里叶变换介绍：二维离散傅里叶变换是数字信号处理中的一种重要算法，它可以将一个二维的离散信号转换为频域表示。
频域表示可以帮助我们更好地理解信号的性质和特征，也为信号处理提供了更多的可能性。
下面将详细介绍二维离散傅里叶变换的原理和应用。
原理：二维离散傅里叶变换的数学表达式为：$$F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)e^{-i2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$$其中，$f(x, y)$是一个$M\times N$的二维离散信号，$F(u, v)$是对应的频域表示，$u$和$v$是频域空间的坐标。
通过这个变换，我们可以得到频域上每个点的振幅和相位信息。
应用：1. 图像处理。
二维离散傅里叶变换在图像处理中具有广泛应用。
通过对图像进行二维离散傅里叶变换，可以将图像分解为不同频率的信号分量，并且可以通过修改分量的振幅和相位信息实现图像的滤波、增强、压缩等操作。
2. 语音处理。
二维离散傅里叶变换在语音处理中也有应用。
通过对语音信号进行二维离散傅里叶变换，可以将语音信号分解为不同频率的分量，从而实现语音识别、降噪、压缩等操作。
3. 信号处理。
二维离散傅里叶变换在信号处理中也有应用。
通过对信号进行二维离散傅里叶变换，可以得到信号的频域表示，进而实现信号滤波、增强、压缩等应用。
总结：二维离散傅里叶变换是数字信号处理中的一种重要算法，它可以将二维离散信号转换为频域表示，为信号处理提供更多的可能性。
它在图像处理、语音处理、信号处理等领域都有广泛的应用。
掌握二维离散傅里叶变换可以为我们开拓更多的信号处理思路，提高信号处理的效率和精度。
二维傅里叶变换
1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
Joseph Fourier, our hero
Fourier was obsessed with the physics of heat and developed the Fourier series and transform to model heat-flow problems.
由积分可知, 在一个周期内，n = 0, 1, ...,
T 2 T 2
cos n1t sin m1t dt 0
T , cos n1t cos m1t dt 2 0, mn mn
T 2 T 2
T 2 T 2
m
mn mn
{n ( x)} 为区间(x1，x2) 上的正交函数系.
f ( x) c11 ( x) c22 ( x) c33 ( x) cnn ( x)
n 1
Information Optics
School of Physics & Material Science
1.3 二维傅里叶变换
简单的周期运动 : ( A为振幅, 复杂的周期运动 :
第一章
线性系统分析
III 三角级数及三角函数系的正交性
(谐波函数) 为角频率, φ为初相 )
An sin n cos n t An cos n sin n t
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n , a 0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1
称上述形式的级数为三角级数.
Information Optics School of Physics & Material Science
二维dft变换编程
二维dft变换编程1.引言1.1 概述概述部分的内容引言部分将介绍二维DFT变换的基本概念和其在图像处理中的重要性。
随着数字图像处理的广泛应用，对图像进行频谱分析已经变得不可或缺。
二维快速傅里叶变换（DFT）是一种常用的技术，用于将图像从空域转换到频域，并可用于各种图像处理任务，例如滤波、图像增强和图像压缩等。
在数字图像中，图像的像素被组织成一个二维矩阵，其中每个元素代表图像的亮度或颜色信息。
通过对这个二维矩阵进行二维DFT变换，我们可以将图像的信息从空间域转换到频率域。
频率域表示了图像中各种频率成分的存在和强度，因此可以通过分析频域图像来获取有关原始图像的信息。
二维DFT变换的应用广泛。
在图像滤波方面，通过在频率域对图像进行滤波，可以实现各种滤波效果，例如去除噪声、增强轮廓和边缘检测等。
此外，二维DFT变换还可以用于图像增强，通过调整频域图像的幅度谱和相位谱，可以改善图像的质量和视觉效果。
另外，二维DFT变换在图像压缩和数据压缩领域也有重要作用，通过把图像信息从空域转换到频域并利用频域的特性，可以实现对图像的高效压缩和储存。
本文将详细介绍二维DFT变换的原理和应用。
首先，我们将解释二维DFT变换的基本原理，包括其数学定义和计算方法。
然后，我们将探讨二维DFT变换在图像处理中的应用，包括滤波、增强和压缩等方面。
最后，我们将对本文进行总结，并展望未来关于二维DFT变换的研究方向。
本文旨在为读者提供关于二维DFT变换的全面概述，并希望能够帮助读者理解和应用二维DFT变换在图像处理中的重要性和实际意义。
通过掌握二维DFT变换的原理和应用，读者将能够更好地使用和开发基于频域的图像处理算法，从而提高图像处理的效果和质量。
1.2 文章结构文章结构部分应该包括以下内容：文章结构部分旨在介绍本文的组织结构和主要内容。
本文将按照以下顺序来进行叙述。
首先，引言部分将概述本文的目标和重要性，并简要介绍文章的结构。
接着，正文部分将详细讨论二维DFT变换的原理和应用。
图像的二维傅里叶变换频谱图特点研究
图像的⼆维傅⾥叶变换频谱图特点研究⼀、先放⼀些相关的结论：1、傅⾥叶变换的幅值称为傅⾥叶谱或频谱。
2、F(u)的零值位置与“盒状”函数的宽度W成反⽐。
3、卷积定理：空间域两个函数的卷积的傅⾥叶变换等于两个函数的傅⾥叶变换在频率域中的乘积。
f(t)*h(t) <=> H(u)F(u)4、采样定理：如果以超过函数最⾼频率的两倍的取样率来获得样本，连续的带限函数可以完全地从它的样本集来恢复。
5、严重的混淆甚⾄会产⽣完全的误解效果。
6、变化最慢的频率分量(u=v=0)与图像的平均灰度成正⽐。
直流项决定图像的平均灰度。
7、零平均表⽰存在负灰度，此时图像不是原图像的真实描述，因为所有负灰度为显⽰⽬的的都被修剪过。
8、对⾼通滤波器加⼀个⼩常数不会影响尖锐性，但是它的确能防⽌直流项的消除，并保留⾊调。
9、在频谱图中,中⼼部分（uv坐标系中点(0,0)附近）表⽰原图像中的低频部分。
10、如果原始图像具有⼗分明显的规律,例如将⼀个简单图样有规律的平移并填满整个图形,那么其频谱⼀般表现为坐标原点周围的⼀圈亮点。
11、将⼀张灰度图像反相，其频谱的“样式”不变。
（个⼈理解：反相只是将⿊⽩颠倒，但并不改变灰度变化处的对⽐度）12、如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是⽐较柔和的（因为各点与邻域差异都不⼤，梯度相对较⼩）；反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像⼀定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较⼤的。
13、⾼频分量解释信号的突变部分，⽽低频分量决定信号的整体形象。
所⽤的傅⾥叶变换的分析⼯具是Halcon，代码如下：read_image (Image, 'C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg')fft_image (Image, ImageFFT)⼆、不同图像的频谱图分析左边是原图，右边是经傅⾥叶变换之后的频谱图。
1、全⿊图——频谱图也全⿊（图像的分辨率是240*240）2、灰⾊图——频谱图中央有个单像素的⽩⾊的⼩正⽅形，坐标是（120,120），值是（30480,0）3、全⽩图——频谱图中央有个单像素的⽩⾊的⼩正⽅形，坐标是（120,120），值是（61200,0）4、在图中画⼀个圆——频谱图呈同⼼圆状，最中央（坐标120，120）的值为（3852.64,0），其他地⽅的值有正有负，趋势是越靠近中央值的绝对值越⼤。
图像的二维傅里叶变换和频谱==
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图像的二维傅里叶变换和频谱一、实验目的通过本实验使学生掌握使用mATLAb进行二维傅里叶变换的方法，加深对二维傅里叶变换的理解和图像频谱的理解。
二、实验原理本实验是基于数字图像处理课程中的二维傅里叶变换理论来设计的。
本实验的准备知识：第四章频域图像增强中的一维傅里叶变换和二维傅里叶变换，频域图像增强的步骤，频域滤波器。
实验用到的基本函数：一维傅里叶变换函数：fft,一维傅里叶反变换函数：ifft频谱搬移函数：fftshift二维傅里叶变换函数：fft2二维傅里叶反变换函数：ifft2绘图函数：imshow，mesh【说明，如对上述函数的使用方法有疑问，请先用help命令查询。
建议先用help命令查询器应用方法，再做具体实验内容。
】例：计算图像f的频谱并显示F=fft2(f);s=abs(F);%求幅度imshow(s,[])；%显示图像幅度频谱Fc=fftshift(F);%将图像频谱原点移动到中心显示imshow(abs(Fc));三、实验内容（一）一维傅里叶变换的实现和分析1、生成一个一维向量，x＝[12345678];计算该向量的傅里叶变换，并由傅里叶变换求反变换，验证结果。
2在时间域中将x乘以(-1)n，计算其傅里叶变换，实现傅里叶变换的平移性质使用fftshift函数，实现频谱的平移。
（二）二维傅里叶变换的实现和分析产生如图所示图象f1(x,y)（64×64大小，中间亮条宽16，高40，居中，暗处=0，亮处=255），用mATLAb中的fft2函数求其傅里叶变换，要求：1、同屏显示原图f1和FFT(f1)的幅度谱图；2、若令f2(x,y)=（-1）x+yf1(x,y)，重复过程1，比较二者幅度谱的异同，简述理由；3、若将f2(x,y)顺时针旋转90度得到f3(x,y)，试显示FFT(f3)的幅度谱，并与FFT(f2)的幅度谱进行比较。
二维fft原理
二维FFT原理1. 引言二维离散傅里叶变换（2D DFT）是一种用于处理二维信号（如图像）的重要数学工具。
它可以将一个二维空间域信号转换为频域表示，从而实现图像处理、图像压缩、图像增强等应用。
二维FFT（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）是一种高效的算法，用于计算二维DFT。
本文将详细解释二维FFT的基本原理。
2. 一维FFT回顾为了理解二维FFT的原理，首先需要回顾一维FFT的基本原理。
一维FFT是一种将离散信号转换为频域表示的算法。
它的核心思想是将信号分解为奇数和偶数部分，然后通过递归地计算这些部分的DFT来计算整个信号的DFT。
这种分而治之的方法减少了计算量，使得计算DFT的复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
具体来说，一维FFT的步骤如下：1.将N个采样点的信号分为两个部分：奇数索引的点和偶数索引的点。
2.对奇数部分和偶数部分分别进行一维FFT，得到两个频域表示。
3.将两个频域表示合并为一个频域表示。
4.重复以上步骤，直到得到最终的频域表示。
3. 二维FFT的基本原理在理解了一维FFT的基本原理之后，我们可以将其推广到二维FFT。
二维FFT是将一个二维信号转换为频域表示的算法。
它的核心思想是将二维信号分解为多个一维信号，并通过一维FFT计算每个信号的频域表示。
具体来说，二维FFT的步骤如下：1.将二维信号按行进行一维FFT，得到每行的频域表示。
2.将得到的频域表示按列进行一维FFT，得到最终的二维频域表示。
下面我们将详细解释每个步骤。
3.1 行向量的一维FFT对于一个二维信号的每一行，我们可以将其视为一个一维信号。
因此，我们可以使用一维FFT来计算每一行的频域表示。
具体来说，对于一个N行M列的二维信号，我们可以将其表示为一个N×M的矩阵。
对于矩阵的每一行，我们可以将其视为一个长度为M的一维信号。
对每一行进行一维FFT，得到每行的频域表示。
3.2 列向量的一维FFT在得到每行的频域表示之后，我们需要对这些频域表示进行处理，以得到最终的二维频域表示。
数字图像处理5-二维傅里叶变换,汉明窗,二维频谱
Lines
lines1
lines -f
lines-f1
Rice
rice1
rice -f
rice-f1
如上所示，第一列为原图，第二列为加过汉明窗的原图，第三列为原 图的二维傅里叶变换频域图， 第四列为第二列图像的二维傅里叶变换 频域图。 可以看见在 lines-f， 也就是 lines 原图的二维傅里叶频谱图中， 存在明 显的水平和垂直分量。这里的水平和垂直分量主要是由 lines 这张图 本身的特点导致的。如果将原图做水平方向的分解，就是取出一行的 像素，可以得到一个周期性方波。而周期性方波的频谱则是 sa 函数 的周期性采样，值为在奇数项存在的依次递减的数。因此可以在图中 看到加强的横线和竖线。 Rice 这张图与 lines 这张图有区别，其无论哪个方向的分量都没有什 么规律，但是 rice-f 即他的二维傅里叶变换谱中却也存在水平和垂直 的分量。这些分量的形成与 MATLAB 中的 fft2 函数的算法有关，这里
如上，由于要解释 rice-f 中出现的水平与垂直分量，这里就从程序的 后半部分开始解释。其前半部分与后半部分的算法完全一致，就不做 赘述。 首先读入图像，获得其大小。而后生成两个汉明窗，分别加在 x 和 y 两个方向上，这样就生成了 rice1 这样的四周是黑色的图像。之后对 原图进行傅里叶二维变换。 这里就要说到 MATLAB 中 fft2 函数的算法， 其在运算的过程中对图像进行了周期延拓，x 轴 y 轴两个方向都进行 了无限的循环。由于图像本身左右两个边界像素不同，上下两个边界
Test
test-f
test1-f
test-i
之后来说第二个任务，首先 test 为原图，test-f 为原图的傅里叶变换 （没有使用 fftshift 函数搬运），test1-f 为原图像素乘以（-1）^（x+y） 后的傅里叶变换（没有使用 fftshift 函数搬运），而 test-i 为傅里叶变 换后做共轭，再做反变换后再乘以（-1）^（x+y）的结果。 代码如下：
二维傅里叶变换与逆变换
二维傅里叶变换与逆变换二维傅里叶变换和逆变换是信号处理中最重要的技术之一，是将时域信号转化为频域信号的过程。
本文将对二维傅里叶变换和逆变换进行详细介绍，包括定义、性质、计算方法等内容。
二维傅里叶变换是将二维信号（如图像）从时域转换到频域的数学方法。
它将一个以二维数组表示的时域信号转换成一个以复数二维数组表示的频域信号，该频域信号表示了该信号的频率分量和其强度。
二维傅里叶变换的基本定义为：$F(u,v)=\iint_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-i2\pi(ux+vy)}dxdy$$f(x,y)$为二维时域信号，$F(u,v)$为二维频域信号，$u$和$v$为频率变量，$i$为虚数单位。
二维傅里叶变换具有很多重要的性质，这些性质对于理解和应用二维傅里叶变换非常重要。
下面列举了二维傅里叶变换的一些重要性质：1. 线性：二维傅里叶变换是线性的，也就是说，如果$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$是两个二维函数，$a$和$b$是常数，则有$F(a f_1(x,y)+b f_2(x,y)) = aF(f_1(x,y)) +bF(f_2(x,y))$。
3. 对称性：如果$f(x,y)$是一个实函数，则$F(u,v)$是关于$u=0$和$v=0$对称的，即$F(u,v)=F(-u,-v)$。
4. 拉普拉斯变换：二维傅里叶变换是拉普拉斯变换在两个变量上的推广。
当$f(x,y)$是一个实函数时，$F(u,v)$可以表示为$f(x,y)$的拉普拉斯变换，即$F(u,v)=\mathcal{L}\{f(x,y)\}$。
三、二维傅里叶变换的计算方法计算二维傅里叶变换需要进行积分，这往往比较麻烦和复杂。
通常使用离散傅里叶变换（DFT）方法进行计算。
DFT方法是通过将二维信号离散化为一个有限的二维数组，并计算该数组的离散傅里叶变换来实现的。
通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来计算DFT。
FFT算法可以在$O(Nlog_{2}N)$的时间复杂度内计算一个$N*N$矩阵的离散傅里叶变换，其中$N$通常是$2$的幂次。
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图像傅立叶变换（二维傅立叶变换fourier, 二维DFT, 2d-fft）的原理和物理意义
图像傅立叶变换
图像的傅立叶变换，原始图像由N行N列构成，N必须是基2的，把这个N*N个包含图像的点称为实部，另外还需要N*N个点称为虚部，因为FFT是基于复数的，如下图所示：
计算图像傅立叶变换的过程很简单：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。
具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0），将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据，然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱。
下面展示了一副图像的二维FFT变换：
频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值。
可以看到4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分。
除此以外，FFT的系数显得杂乱无章，基本看不出什么。
将上述直角坐标转换为极坐标的形式，稍微比较容易理解一点，幅度中4个角上白色的区域表示幅度较大，而相位中高频和低频基本看不出什么区别来。
上述以一种不同的方法展示了图像频谱，它将低频部分平移到了频谱的中心。
这个其实很好理解，因为经2D-FFT的信号是离散图像，其2D-FFT的输出就是周期信号，也就是将前面一张图周期性平铺，取了一张以低频为中心的图。
将原点放在中心有很多好处，比如更加直观更符合周期性的原理，但在这节中还是以未平移之前的图来解释。
行N/2和列N/2将频域分成四块。
对实部和幅度来说，右上角和左下角成镜像关系，左上角和右下角也是镜像关系；对虚部和相位来说，也是类似的，只是符号要取反，这种对称性和1维傅立叶变换是类似的，你可以往前看看。
为简单起见，先考虑4*4的像素，右边是其灰度值，对这些灰度值进行2维fft变换。
h和k的范围在-N/2到N/2-1之间。
通常I(n,m)是实数，F(0,0)总是实数，并且F(h,k)具有对偶性。
如果写成指数形式，即:
--------------------------------
图像傅立叶变换的物理意义
如果只保留靠近中心的幅度，则图像的细节丢失，但是不同区域还是有着不同灰度。
如果保留的是远离中心的幅度，则图像的细节可以看得出，但是不同区域的灰度都一样了。
考虑一个黑色矩形的傅立叶变换，这个黑色矩形的背景为白色。
如果对频域中垂直方向高频分量进行截断，则图像中黑白将不那么分明了，表现为振荡。
可以得出结论：
傅立叶变换系数靠近中心的描述的是图像中慢变化的特性，或者说灰度变换比较缓慢的特性（频率比较慢的部分）；
傅立叶变换系数远离中心的描述的是图像中快变化的特性，或者说灰度变换比较剧烈的特性（频率比较快
的部分）。
--------------------------------
傅立叶变换相位所含的信息
有两幅图像，如果用第一幅图像傅立叶变换的幅度和第二幅图像傅立叶变换的相位做反变换得到的图像是什么样子的？如果反过来，将第一幅图像的相位和第二幅图像的幅度做反变换得到的图像又是什么样子的？
这里再用1维傅立叶变换解释一下：
在1维傅立叶变换中，可以看到相位包含了边沿何时出现的信息！在图像的傅立叶变换中也一样，相位决定了图像的边沿，所以决定了图像中你看到物体的样子！
关于相位所含的信息，你可以这样理解：
边沿的形成是当很多正弦波上升沿都发生在同一时刻，也就是这些正弦波的相位是相同的时刻，所以相位所含的信息决定了边沿所发生的位置，而正是边沿决定了图像的样子。
这个就是图像信号和声音信号的一个区别，声音信号的信息多数都包含在其傅立叶变换的幅度中，即不同频率幅度的大小，就是说你听到什么声音取决于你听到什么样的频率的信号，而对于这些信号时什么时候发生的并不十分重要。