图像的二维傅里叶变换和频谱
图像频域分析PPT课件
5、iffshift用于颠倒这种居中。 6、ifft2（F）用于计算傅里叶逆变换。
>> f=imread('Fig0403(a)(image).tif'); >> imshow(f) >> F=fft2(f); >> S=abs(F); >> imshow(S,[]) >> Fc=fftshift(F); >> imshow(abs(Fc),[]) >> S2=log(1+abs(Fc)); >> imshow(S2,[])
F=fft2（f，PQ（1），PQ(2)）; 3、生成一个大小为PQ（1）*PQ(2)的滤波函数H; 4、将变换乘以滤波函数：
G=H.*F; 5、获得G的傅里叶逆变换的实部：
g=real（ifft2（G））； 6、将左上角的矩形修剪为原始大小:
g=g(1:size(f,1):size(f,1))
4、4 从空间滤波器获得频域滤波器
4、6 锐化频域滤波器
基本的高通滤波器 Hhp（u，v)=1- Hhp（u，v)=
例：高通滤波 f=imread('Fig0413(a)(original_test_pattern).tif'); imshow(f) PQ=paddedsize(size(f)); D0=0.05*PQ(1); H=hpfilter('gaussian',PQ(1),PQ(2),D0); g=dftfilt(f,H); figure,imshow(g,[])
Magnitude
8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
0.5
0 -0.5
Fy
【数字图像处理】傅里叶变换在图像处理中的应用
【数字图像处理】傅⾥叶变换在图像处理中的应⽤1.理解⼆维傅⾥叶变换的定义1.1⼆维傅⾥叶变换1.2⼆维离散傅⾥叶变换1.3⽤FFT计算⼆维离散傅⾥叶变换1.3图像傅⾥叶变换的物理意义2.⼆维傅⾥叶变换有哪些性质？2.1⼆维离散傅⾥叶变换的性质2.2⼆维离散傅⾥叶变换图像性质3.任给⼀幅图像，对其进⾏⼆维傅⾥叶变换和逆变换4.附录 94.1matlab代码4.2参考⽂献⽬录1.理解⼆维傅⾥叶变换的定义1.1⼆维傅⾥叶变换⼆维Fourier变换:逆变换：1.2⼆维离散傅⾥叶变换⼀个图像尺⼨为M×N的函数的离散傅⾥叶变换由以下等式给出：其中和。
其中变量u和v⽤于确定它们的频率，频域系统是由所张成的坐标系，其中和⽤做（频率）变量。
空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。
可以得到频谱系统在频谱图四⾓处沿和⽅向的频谱分量均为0。
离散傅⾥叶逆变换由下式给出：令R和I分别表⽰F的实部和需部，则傅⾥叶频谱，相位⾓，功率谱（幅度）定义如下：1.3⽤FFT计算⼆维离散傅⾥叶变换⼆维离散傅⾥叶变换的定义为：⼆维离散傅⾥叶变换可通过两次⼀维离散傅⾥叶变换来实现:1）作⼀维N点DFT（对每个m做⼀次，共M次）2）作M点的DFT（对每个k做⼀次，共N次）这两次离散傅⾥叶变换都可以⽤快速算法求得,若M和N都是2的幂,则可使⽤基⼆FFT算法,所需要乘法次数为⽽直接计算⼆维离散傅⾥叶变换所需的乘法次数为（M+N）MN，当M和N⽐较⼤时⽤⽤FFT运算，可节约很多运算量。
1.3图像傅⾥叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平⾯空间上的梯度。
如：⼤⾯积的沙漠在图像中是⼀⽚灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；⽽对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是⼀⽚灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较⾼。
傅⾥叶变换在实际中有⾮常明显的物理意义，设f是⼀个能量有限的模拟信号，则其傅⾥叶变换就表⽰f的频谱。
从纯粹的数学意义上看，傅⾥叶变换是将⼀个函数转换为⼀系列周期函数来处理的。
2维傅里叶级数-概述说明以及解释
2维傅里叶级数-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以按照以下方式编写：1.1 概述2维傅里叶级数是一种描述二维平面上信号的数学工具，它可以将一个复杂的二维信号分解为一系列简单的正弦和余弦函数。
这种分解是基于傅里叶分析的原理，通过将信号投影到不同频率的正交基函数上，我们可以获取信号在不同频率成分上的信息。
2维傅里叶级数的重要性在于它提供了一种有效的信号分析和处理方法。
通过对信号进行傅里叶级数变换，我们可以得到信号的频谱信息，从而了解信号的频率成分和强度分布。
这对于理解信号的周期性、振幅、相位等特性非常有帮助。
此外，2维傅里叶级数还广泛应用于图像处理、通信系统、信号压缩、数学建模等领域。
例如，在图像处理中，通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像分解为不同频率的正弦和余弦函数，从而实现图像的滤波、边缘检测、纹理分析等操作。
本文将从2维傅里叶级数的定义和原理开始，介绍傅里叶级数的数学模型和相关定理。
然后，我们将探讨2维傅里叶级数在实际应用中的重要性，介绍一些典型的应用案例。
最后，我们将总结2维傅里叶级数的重要性和应用，并展望未来2维傅里叶级数的研究方向。
通过本文的阅读，读者将能够对2维傅里叶级数有一个全面的了解，理解其在信号处理领域的重要性和广泛应用。
同时，读者也可以了解到当前2维傅里叶级数研究的热点问题和未来发展方向。
1.2文章结构文章结构是指文章在内容组织上的整体安排和分布。
一个良好的文章结构可以使读者更好地理解文章的逻辑和思路，有助于文章的连贯性和条理性。
本文将按照以下结构进行叙述：1. 引言1.1 概述在这一部分，将介绍2维傅里叶级数的背景和基本概念。
首先，简要介绍傅里叶级数的定义和原理。
接着，说明2维傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域的广泛应用及其重要性。
1.2 文章结构这一部分将详细介绍本文的组织结构。
首先，将介绍2维傅里叶级数的定义和原理，包括如何将二维函数表示为傅里叶级数的形式以及相应的系数计算方法。
二维傅里叶变换低频
二维傅里叶变换低频部分指的是图像中的低频成分，通常表现为图像中的平滑区域。
在二维傅里叶变换中，低频成分对应于中心位置附近的频率分量，而高频成分对应于远离中心位置的频率分量。
低频成分代表图像中的整体和缓慢变化的部分，而高频成分代表图像中的细节和突变部分。
通过二维傅里叶变换，可以将图像从空间域转换到频率域，以便更好地分析和处理图像。
在频率域中，可以对图像进行各种滤波、增强和降噪等操作，以改善图像质量或提取图像特征。
低频部分在频率域中具有较大的幅值，通常对应于图像中的重要特征，如边缘、纹理和区域等。
在实际应用中，可以利用二维傅里叶变换低频部分来增强图像中的低频成分，如平滑噪声或增强边缘。
同时，也可以通过滤波器来抑制高频成分或突出低频成分，以实现各种图像处理的目的。
总之，二维傅里叶变换低频部分在图像处理中具有重要的作用，可以帮助我们更好地理解和分析图像内容。
图像处理与傅里叶变换原理与运用
图像处理与傅里叶变换1背景傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。
1.1离散傅立叶变换图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。
对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。
则其离散傅立叶变换定义可表示为：式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱： 相位谱：能量谱（功率谱） )1(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=M x N y N vy M uxi y x f MNv u F π)2(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=M u N v N vy M uxi v u F MNy x f π),(),(),(22v u I v u R v u F +=[]),(/),(),(v u R v u I arctg v u =ϕ),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==1.2快速傅里叶变化可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换正变化逆变换由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。
正变换 逆变换由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。
按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=110101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F NN ux i v u F N N vy ux i v u F NNy x f πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12exp )(1)(N x N ux i x f Nu F π∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=11101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f NN ux i y x f NN vy ux i y x f NNv u F πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12exp )(1)(N u N ux i u F Nx f π（u)值，中的每一个都要进行N 次运算，运算时间与N 2成正比。
第四五讲二维-傅里叶变换
由(3)式
§1-4 相关 correlation 一、互相关
性质2 2 Rfg (x) Rff (0)Rgg (0) 证明：引用施瓦兹不等式
( ) ( )d 2
2
( ) d
2
( ) d
其中与一般为复函数，且仅当=k 时，等号成立。
令()=f(-x)， ()=g()，则施瓦兹不等式为：
2
f ( x)g( )d
2
f ( x) d
2
g( ) d
即
2
Rfg (x) Rff (0)Rgg (0)
§1-4 相关 correlation
an 2/ 频谱图
1/2
fn 01 3
2
3
-2/3
三角傅里叶展开的例子
求函数 g(t)=rect(2t)*comb(t)
的傅里叶级数展开系数
宽度 =1/2
周期 t =1
a0
2
t
t
1
2 g(t)dt 2 4 dt 1
t 2
1 4
频率 f0 =1
an
2
t
t 2
g(t) cos(2nt)dt 2
三角傅里叶级数:
g (t )
a0 2
n1
(an
cos 2nf0t
bn
sin
2nf 0t ),
(n 0, 1, 2...),
f0
1
t
展开系数
a0
2
t
t
图像的二维傅里叶变换和频谱==
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图像的二维傅里叶变换和频谱一、实验目的通过本实验使学生掌握使用mATLAb进行二维傅里叶变换的方法，加深对二维傅里叶变换的理解和图像频谱的理解。
二、实验原理本实验是基于数字图像处理课程中的二维傅里叶变换理论来设计的。
本实验的准备知识：第四章频域图像增强中的一维傅里叶变换和二维傅里叶变换，频域图像增强的步骤，频域滤波器。
实验用到的基本函数：一维傅里叶变换函数：fft,一维傅里叶反变换函数：ifft频谱搬移函数：fftshift二维傅里叶变换函数：fft2二维傅里叶反变换函数：ifft2绘图函数：imshow，mesh【说明，如对上述函数的使用方法有疑问，请先用help命令查询。
建议先用help命令查询器应用方法，再做具体实验内容。
】例：计算图像f的频谱并显示F=fft2(f);s=abs(F);%求幅度imshow(s,[])；%显示图像幅度频谱Fc=fftshift(F);%将图像频谱原点移动到中心显示imshow(abs(Fc));三、实验内容（一）一维傅里叶变换的实现和分析1、生成一个一维向量，x＝[12345678];计算该向量的傅里叶变换，并由傅里叶变换求反变换，验证结果。
2在时间域中将x乘以(-1)n，计算其傅里叶变换，实现傅里叶变换的平移性质使用fftshift函数，实现频谱的平移。
（二）二维傅里叶变换的实现和分析产生如图所示图象f1(x,y)（64×64大小，中间亮条宽16，高40，居中，暗处=0，亮处=255），用mATLAb中的fft2函数求其傅里叶变换，要求：1、同屏显示原图f1和FFT(f1)的幅度谱图；2、若令f2(x,y)=（-1）x+yf1(x,y)，重复过程1，比较二者幅度谱的异同，简述理由；3、若将f2(x,y)顺时针旋转90度得到f3(x,y)，试显示FFT(f3)的幅度谱，并与FFT(f2)的幅度谱进行比较。
数字图像处理5-二维傅里叶变换,汉明窗,二维频谱
Lines
lines1
lines -f
lines-f1
Rice
rice1
rice -f
rice-f1
如上所示，第一列为原图，第二列为加过汉明窗的原图，第三列为原 图的二维傅里叶变换频域图， 第四列为第二列图像的二维傅里叶变换 频域图。 可以看见在 lines-f， 也就是 lines 原图的二维傅里叶频谱图中， 存在明 显的水平和垂直分量。这里的水平和垂直分量主要是由 lines 这张图 本身的特点导致的。如果将原图做水平方向的分解，就是取出一行的 像素，可以得到一个周期性方波。而周期性方波的频谱则是 sa 函数 的周期性采样，值为在奇数项存在的依次递减的数。因此可以在图中 看到加强的横线和竖线。 Rice 这张图与 lines 这张图有区别，其无论哪个方向的分量都没有什 么规律，但是 rice-f 即他的二维傅里叶变换谱中却也存在水平和垂直 的分量。这些分量的形成与 MATLAB 中的 fft2 函数的算法有关，这里
如上，由于要解释 rice-f 中出现的水平与垂直分量，这里就从程序的 后半部分开始解释。其前半部分与后半部分的算法完全一致，就不做 赘述。 首先读入图像，获得其大小。而后生成两个汉明窗，分别加在 x 和 y 两个方向上，这样就生成了 rice1 这样的四周是黑色的图像。之后对 原图进行傅里叶二维变换。 这里就要说到 MATLAB 中 fft2 函数的算法， 其在运算的过程中对图像进行了周期延拓，x 轴 y 轴两个方向都进行 了无限的循环。由于图像本身左右两个边界像素不同，上下两个边界
Test
test-f
test1-f
test-i
之后来说第二个任务，首先 test 为原图，test-f 为原图的傅里叶变换 （没有使用 fftshift 函数搬运），test1-f 为原图像素乘以（-1）^（x+y） 后的傅里叶变换（没有使用 fftshift 函数搬运），而 test-i 为傅里叶变 换后做共轭，再做反变换后再乘以（-1）^（x+y）的结果。 代码如下：
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图像的二维傅里叶变换和频谱
一、实验目的
通过本实验使学生掌握使用 MATLAB 进行二维傅里叶变换的方法，加深对二维傅里叶变换的理解 和图像频谱的理解。
二、实验原理
本实验是基于数字图像处理课程中的二维傅里叶变换理论来设计的。 本实验的准备知识：第四章 频域图像增强中的一维傅里叶变换和二维傅里叶变换，频 域图像增 强的步骤，频域滤波器。 实验用到的基本函数： 一维傅里叶变换函数： fft, 一维傅里叶反变换函数：ifft 频谱搬移函数：fftshift 二维傅里叶变换函数：fft2 二维傅里叶反变换函数：ifft2 绘图函数：imshow， mesh 【说明，如对上述函数的使用方法有疑问，请先用 help 命令查询。建议先用 help 命令查询器应 用方法，再做具体实验内容。】 例：计算图像 f 的频谱并显示 F=fft2(f); S=abs(F); %求幅度 imshow(S,[])；%显示图像幅度频谱 Fc=fftshift(F); %将图像频谱原点移动到中心显示 imshow(abs(Fc));
原图幅度谱图
傅里叶变换的幅度谱图
原 图 x幅 度 谱 图
x傅 里 叶 变 换 的 幅 度 谱 图
x1幅 度 谱 图
x1傅 里 叶 变 换 的 幅 度 谱 图
原 图 x幅 度 谱 图
x傅 里 叶 变 换 的 幅 度 谱 图
x1幅 度 谱 图
x1幅 度 谱 图
x1旋 转 90度 的 x2幅 度 谱 图
x2傅 里 叶 变 换 的 幅 度 谱 图
五、实验思考题
图像频谱有何特点？低频分量和高频分量在图像频谱中是怎样分布的？ （1）频谱图，四个角对应低频成分，中央部分对应高频成分；图像亮条的平移影响频谱的分布，但当 频谱搬移到中心时，图像亮条的平移后频谱图是相同的。图像旋转，频谱也会旋转，并且角度相同。频谱具有 平移特性，可分离性。 （2）图像的高低频是对图像各个位置之间强度变化的一种度量方法。低频分量:主要对整副图像的强 度的综合度量。高频分量:主要是对图像边缘和轮廓的度量。
-4.0000
-4.0000 - 1.6569i
Fa =
56781
Fb =
-4.0000
-4.0000 - 1.6569i
36.0000
-4.0000 + 9.6569i
-4.0000 + 4.0000i -4.0000 - 4.0000i
234
-4.0000 - 4.0000i -4.0000 + 4.0000i
-4.0000 - 1.6569i
x1 =
-1 -2 -3 -4 -5
F1 =
-36.0000 4.0000 - 9.6569i
4.0000
4.0000 + 1.6569i
-4.0000 + 4.0000i -4.0000 - 4.0000i
-6 -7 -8
4.0000 - 4.0000i 4.0000 + 4.0000i
-4.0000 + 1.6569i -4.0000 - 9.6569i
-4.0000 - 9.6569i -4.0000 + 1.6569i
（二） 1、 程序： clc clear x=zeros(64,64); x(32-20:32+20,32-8:32+8)=255; subplot(1,2,1),imshow(x);
for i=1:64 for j=1:64 h(i,j)=(-1).^(i-1+j-1); end
end x1=h.*x F1=fft2(x1); subplot(2,2,3),imshow(x1); title('x1 幅度谱图'); subplot(2,2,4),imshow(log(abs(F1)),[]); title('x1 傅里叶变换的幅度谱图'); 运行结果：
678
-4.0000 + 1.6569i -4.0000 - 9.6569i
2、程序：
x=[1 2 3 4 5 6 7 8];
F=fft(x)
for i=1:10
y=(-1).^(i-1);
end
x1=x.*y
F1=fft(x1) 运行结果：
F=
36.0000
-4.0000 + 9.6569i
-4.0000
2
title('原图幅度谱图'); F=fft2(x); subplot(1,2,2),imshow(log(abs(F)),[]); title('傅里叶变换的幅度谱图'); 运行结果：
2、程序： x=zeros(64,64); x(32-20:32+20,32-8:32+8)=255; subplot(2,2,1),imshow(x); title('原图 x 幅度谱图'); F=fft2(x); subplot(2,2,2),imshow(log(abs(F)),[]); title('x 傅里叶变换的幅度谱图');
for j=1:64 h(i,j)=(-1).^(i-1+j-1); end end x1=h.*x F1=fft2(x1); subplot(3,2,3),imshow(x1); title('x1 幅度谱图'); subplot(3,2,4),imshow(log(abs(F1)),[]); title('x1 幅度谱图');
三、实验内容
（一）一维傅里叶变换的实现和分析 1、生成一个一维向量，x＝[1 2 3 4 5 6 7 8]; 计算该向量的傅里叶变换，并由傅里叶变换求
反变换，验证结果。 2 在时间域中将 x 乘以(-1)n，计算其傅里叶变换，实现傅里叶变换的平移性质使用 fftshift 函
数，实现频谱的平移。 （二）二维傅里叶变换的实现和分析
3
x2=imrotate(x1,90); subplot(3,2,5),imshow(x2); title('x1 旋转 90 度的 x2 幅度谱图'); F2=fft2(x2); subplot(3,2,6),imshow(log(abs(F2)),[]); title('x2 傅里叶变换的幅度谱图'); 运行结果：
（三）任意图像的频谱显示 程序： i=imread('D:\image\lena.bmp') i1=fft2(i) subplot(2,3,1) imshow(i) title('lena 原图像') subplot(2,3,2) imshow(log(abs(i1)),[]) title('lena 频谱图') subplot(2,3,3) i2=fftshift(i1) imshow(log(abs(i2)),[]) title('lena 频谱原点移到中心位置') i11=imread('D:\image\rice.png') i22=fft2(i11) subplot(2,3,4) imshow(i11) title('rice 原图像') subplot(2,3,5) imshow(log(abs(i22)),[]) title('rice 频谱图') subplot(2,3,6) i33=fftshift(i22) imshow(log(abs(i33)),[]) title('rice 频谱原点移到中心位置') 运行结果：
-4.0000 + 1.6569i -4.0000 - 9.6569i
4.0000 - 1.6569i 4.0000 + 9.6569i
3、程序：
clc
x=[1 2 3 4 5 6 7 8];
F=fft(x)
Fa=fftshift(x)
Fb=fftshift(F) 运行结果：
F=
36.0000
-4.0000 + 9.6569i
四、实验步骤
（一）一维傅里叶变换的实现和分析 1、程序： x=[1 2 3 4 5 6 7 8]; F=fft(x) F=ifft(F) 运行结果：
1
F= 36.0000 -4.0000
F= 12
-4.0000 + 9.6569i -4.0000 - 1.6569i
345
-4.0000 + 4.0000i -4.0000 - 4.0000i
3、程序： x=zeros(64,64); x(32-20:32+20,32-8:32+8)=255; subplot(3,2,1),imshow(x); title('原图 x 幅度谱图'); F=fft2(x); subplot(3,2,2),imshow(log(abs(F)),[]); title('x 傅里叶变换的幅度谱图'); for i=1:64
产生如图所示图象 f1(x,y)（64×64 大小，中间亮条宽 16，高 40，居中，暗处=0，亮处=255）， 用 MATLAB 中的 fft2 函数求其傅里叶变换，要求：
1令 f2(x,y)=（-1）x+y f1(x,y)，重复过程 1，比较二者幅度谱的异同，简述理由； 3、若将 f2(x,y)顺时针旋转 90 度得到 f3(x,y)，试显示 FFT(f3)的幅度谱，并与 FFT(f2)的幅度谱进行比较。 （三）任意图像的频谱显示任意图像的频谱显示 1、读入图像 lenagray.tif，计算该图像的频谱，并将频谱原点移到中心位置显示。 2、读入图像 rice.tif，计算该图像的频谱，并将频谱原点移到中心位置显示。