射影定理课件2
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1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
∴DF2＝FG· FH.
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射影定理常与勾股定理及三角形相似等问题结合考 查.2012年中山模拟将射影定理与勾股定理相结合，考查
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
即BC2＝BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
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解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
直角三角形的射影定理学习教育课件PPT
B
阅读：课本P21例：
1．线段在直线上的射影结果
点或线段
2．直线在直线上的射影结果 点或直线
已知直角三角形ABC，CD垂直AB 问：1．图中有几个Rt△? 2．有几对△相似？ DB 3．CD =？ AD· AB AC =？ AD· A BC =？ BD· BA
2 2 2
C
D
B
C
1．直角三角形中,斜边 2 上的高线是两条直角 CD AD DB 边在斜边上的射影的 2 AC AD AB 比例中项; 2．每一条直角边是这 2 BC BD AB 条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中 项;
直角三角形的射影定理
B
.A
M B’ A’ N 1.射影： （1）太阳光垂直照在A点，留在直线 MN上的影子应是什么？ 点A′ （2）线段留在MN上的影子是什么？ 定义： 线段A’B’ 过线段AB的两个端点分别作直线l的垂 线，垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线 段AB在直线l上的正射影，简称射影。
A
D
B
利用射影定理证明勾股定理:
AC BC AD AB BD AB AB
2 2 2
利用勾股定理证明射影定理:
AB =(AD＋DB) =AD ＋2AD · DB ＋DB
2 2 2 2
AC ＋BC =AB
2 2 2 2
2
2
2
C
2 2
AC －AD =CD BC －BD =CD
A
D
人教高中数学直角三角形的射影定理ppt优秀课件
思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数？
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
BDC BCA.
BD BC .即B C 2 BD • AB.(2) A BC AB
同理：CDA BCA.(3) AC 2 AD • AB.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
，DF⊥BC于F.
求证：△CEF∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理：
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即：
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角；
情感态度与价值观
1．通过直角三角形的射影定理，体会并推 出一般三角形的射影性质.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
教学重难点
重点
直角三角形的射影定理.
难点
灵活应用直角三角形的射影定理并能证明.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优3)反应出直角三角形两直角边在斜 边上的射影与其他线段之间的关系.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FC· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
返回
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FC· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
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∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
返回
[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
其在几何相关量的计算中的应用，是高考模拟命题的一
个考向．
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[考题印证]
(2012· 中山模拟) 如图，在△ABC中，
D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF ⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC的长． [命题立意] 综合应用． 本题主要考查射影定理和勾股定理的
返回
解：在△ABC中，设AC为x，
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
返回
2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
返回
[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
其在几何相关量的计算中的应用，是高考模拟命题的一
个考向．
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[考题印证]
(2012· 中山模拟) 如图，在△ABC中，
D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF ⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC的长． [命题立意] 综合应用． 本题主要考查射影定理和勾股定理的
返回
解：在△ABC中，设AC为x，
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
射影定理课件
C
2
AC ＝AD·AB
2
BC ＝BD·AB
A
D
射影定理： 直角三角形中，斜边上的高是两条
直角边在斜边上射影的比例中项；
每一条直角边是这条直角边在斜边
上的射影和斜边的比例中项。
B
例1. 如图，已知△ABC中,∠ACB＝
90°，CD⊥AB，AD＝2cm，BD＝
6cm，求CD、AC、BC的长.
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
OA 3 5 即⊙o半径为3 5
练习：如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC
延长线上任取一点P，连AP，作BG⊥AP于P点，交CE
于D，求证：CE2＝EP·ED
分析 ：∵∠ACB=90°，CE⊥AB
∴由射影定理得 CE2＝AE·EB
若要CE2＝PE·DE
AE DE
＝
则AE·EB＝PE·DE
PE EB
P
G
C
D
要证明△AEP ∽△DEB
A
E
B
证明：∵∠ACB=90°，CE⊥AB
∴由射影定理得 CE2＝AE·EB
又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°
∵∠PDG=∠BDE，∴∠P=∠DBE
∴△AEP∽△DBE ∴PE：BE=AE：DE
∴ PE·DE=AE·BE ∴CE2＝PE·DE
AE⊥BD于E，求证：∠CBD＝∠ECD
证明：∵∠CAB=90°，AE⊥BD
∴由射影定理得
DA2＝DE·DB
又∵D为AC的中点
∴DC＝DA
∴DC2＝DE·DB
DC DB
＝
DE DC
∵∠CDB=∠CDE
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－来自B2＝CD2，∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
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[悟一法] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直
接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件，再运用定理．
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[通一类]
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD 3 ⊥AB 于 D， DE⊥BC 于 E， AD＝ 10， 若 2 BE＝2，求 BC 的长．
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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解：∵∠ACB＝90° ，CD⊥AB， ∴BC2＝BD· AB＝BD· (BD＋AD)． 3 3 2 2 ∵AD＝ 10，∴BC ＝BD ＋ 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB，DE⊥BC，∴BD2＝BE· BC.
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3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。
a b
选作题：
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， E是AC上一点，CF⊥BE于F，求证：△BFD∽△BAE。
证 ∵∠ACB=90° Rt△ECB 中 CF⊥BE ∴ 由射影定理得
又∠ACB=90° CD⊥AB,
∴
又 ∵ ∠FBD=∠ABE
123式反映了直角三 A
角形两直角边在斜边上的 射影与其他线段之间的关 系,因而把这三个等式统称 为直角三角形的射影定理.
B D
图1 34
上述推理表明射影定理可以从三角形相似的角度给出证明
BC2 BD AB
AC2 AD AB
C
CD2 AD DB
A
DB
射 影 定理 直角三角形斜边上的高是两直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比例 中 项; 两 直 角 边 分 别 是 它 们 在 斜 边 上 射 影与 斜 边 的 比 例 中 项.
BCA
证法二
提示：
四点共圆找角
CEF ∽ CBA.
证法二
由题意可知
CFD CED 1800
所以CEDF四点共圆,
C F
CEF CDF E
B DCF 900 ,
AD
B
CDF DCF 900
B CDF CEF
ECF BCA
∆CEF∽ CBA.
练 如图1 36 , ABC 中,顶点C
用勾股定理能证明射影定理吗?
C
证明AD源自BCD2 AD BD
AC2 AD AB
BC2 BD AB
∵AB²=AC²+BC² ∴(AD+BD)²=AC²+BC² 即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-
BD² ∵AC²-AD²=CD²， BC²-
BD²=CD² ∴2AD·BD=2CD² ∴CD²= AD·BD
习 在 AB 边上的射影为 D,且 CD 2
C
AD BD.求证: ABC是直角三角形.
证明 在CDA和BDC中,因为
点C在AB上的射影为D,所以CD A
B D
AB.因而CDA BDC 900 .
图1 36
又因为CD2 AD DB,即 AD: CD CD : DB.
所以CDA ~ BDC . 故CAD BCD.
D . AD 2, BD 8,求 CD、 A D O
B
AC和BC 的 长 .
解 因为ACB是半圆上的
圆周角,所以ACB 900 ,即
图1 35
ABC是直角三角形.
由射影定理可得
CD2 AD BD 2 8 16, 解得CD 4 ;
AC 2 AD AB 210 20, 解得 AC 2 5 ;
∴ △BFD∽△BAE
谢 谢！
2020/6/4
可求第三条. CD2 AD BD
AC2 AD AB
BC2 BD AB
(3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
作业：习题1.4的1，3题及选作题
1. 直角△ABC中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC的长
BD=144,AB=169,AC=65,BC=156
习题1.4
而 AC²=AD²+CD²=AD²+AD ·BD
=AD(AD+BD)=AD·AB
C
利用射影定理也能推导出勾股定理: A
DB
AC2 BC2 AD AB BD AB AB2
射影定理只能在直角三角形中应用
这里犯 糊涂， 可不行！
例1 如图1 35 ,圆O上一
C
点C在 直 径AB上 的 射 影 为
BC 2 BD AB 8 10 80, 解得 BC 4 5 .
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBA. C
证法一：
F
CDAB
DEAC CD2 CE CA
E A
D
B
CDAB DFBC
CD 2
CF
CB
CE CB
ECF
CF CA
BD 与CD、BC 与AC等 互 相 垂 直,因 此 可 以 从 射 影
的 角 度 来 考 察 它 们 的 关系 .你 能 发 现 这 些 线 段 之
间 的 某 些 关 系 吗?
C
A
B
D
图1 34
考察RtACD和RtCBD .
因为ACD 900 BCD,
B 900 BCD,所以
B ACD.
A
所以ACD ~ CBD .
C
B D
图1 34
则 AD CD ,即CD2 AD BD. 1
CD BD
考察RtBDC和RtBCA. 因为B是公共角, 所以BDC ~ BCA. 则 BD BC ,
BC AB
即BC 2 BD AB. 2
同理,由CDA ~ BCA,有
C
AC 2 AD AB . 3
直角三角形 的射影定理
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线 的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
A
B
A
M
A´
N
M
A´ B´ N
一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在 这条直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影
探究 如图1 34 , ABC 是直角三角形,CD为斜
边 AB 上的高.在这个图形中,由于线段AD与CD、
在ACD中,因为CAD ACD 900.所以 BCD ACD 900 则BCD ACD ACB
900 , 因此 ABC是直角三角形.
你都弄懂了吗？
(1)在RtABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条
a b
选作题：
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， E是AC上一点，CF⊥BE于F，求证：△BFD∽△BAE。
证 ∵∠ACB=90° Rt△ECB 中 CF⊥BE ∴ 由射影定理得
又∠ACB=90° CD⊥AB,
∴
又 ∵ ∠FBD=∠ABE
123式反映了直角三 A
角形两直角边在斜边上的 射影与其他线段之间的关 系,因而把这三个等式统称 为直角三角形的射影定理.
B D
图1 34
上述推理表明射影定理可以从三角形相似的角度给出证明
BC2 BD AB
AC2 AD AB
C
CD2 AD DB
A
DB
射 影 定理 直角三角形斜边上的高是两直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比例 中 项; 两 直 角 边 分 别 是 它 们 在 斜 边 上 射 影与 斜 边 的 比 例 中 项.
BCA
证法二
提示：
四点共圆找角
CEF ∽ CBA.
证法二
由题意可知
CFD CED 1800
所以CEDF四点共圆,
C F
CEF CDF E
B DCF 900 ,
AD
B
CDF DCF 900
B CDF CEF
ECF BCA
∆CEF∽ CBA.
练 如图1 36 , ABC 中,顶点C
用勾股定理能证明射影定理吗?
C
证明AD源自BCD2 AD BD
AC2 AD AB
BC2 BD AB
∵AB²=AC²+BC² ∴(AD+BD)²=AC²+BC² 即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-
BD² ∵AC²-AD²=CD²， BC²-
BD²=CD² ∴2AD·BD=2CD² ∴CD²= AD·BD
习 在 AB 边上的射影为 D,且 CD 2
C
AD BD.求证: ABC是直角三角形.
证明 在CDA和BDC中,因为
点C在AB上的射影为D,所以CD A
B D
AB.因而CDA BDC 900 .
图1 36
又因为CD2 AD DB,即 AD: CD CD : DB.
所以CDA ~ BDC . 故CAD BCD.
D . AD 2, BD 8,求 CD、 A D O
B
AC和BC 的 长 .
解 因为ACB是半圆上的
圆周角,所以ACB 900 ,即
图1 35
ABC是直角三角形.
由射影定理可得
CD2 AD BD 2 8 16, 解得CD 4 ;
AC 2 AD AB 210 20, 解得 AC 2 5 ;
∴ △BFD∽△BAE
谢 谢！
2020/6/4
可求第三条. CD2 AD BD
AC2 AD AB
BC2 BD AB
(3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
作业：习题1.4的1，3题及选作题
1. 直角△ABC中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC的长
BD=144,AB=169,AC=65,BC=156
习题1.4
而 AC²=AD²+CD²=AD²+AD ·BD
=AD(AD+BD)=AD·AB
C
利用射影定理也能推导出勾股定理: A
DB
AC2 BC2 AD AB BD AB AB2
射影定理只能在直角三角形中应用
这里犯 糊涂， 可不行！
例1 如图1 35 ,圆O上一
C
点C在 直 径AB上 的 射 影 为
BC 2 BD AB 8 10 80, 解得 BC 4 5 .
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBA. C
证法一：
F
CDAB
DEAC CD2 CE CA
E A
D
B
CDAB DFBC
CD 2
CF
CB
CE CB
ECF
CF CA
BD 与CD、BC 与AC等 互 相 垂 直,因 此 可 以 从 射 影
的 角 度 来 考 察 它 们 的 关系 .你 能 发 现 这 些 线 段 之
间 的 某 些 关 系 吗?
C
A
B
D
图1 34
考察RtACD和RtCBD .
因为ACD 900 BCD,
B 900 BCD,所以
B ACD.
A
所以ACD ~ CBD .
C
B D
图1 34
则 AD CD ,即CD2 AD BD. 1
CD BD
考察RtBDC和RtBCA. 因为B是公共角, 所以BDC ~ BCA. 则 BD BC ,
BC AB
即BC 2 BD AB. 2
同理,由CDA ~ BCA,有
C
AC 2 AD AB . 3
直角三角形 的射影定理
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线 的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
A
B
A
M
A´
N
M
A´ B´ N
一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在 这条直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影
探究 如图1 34 , ABC 是直角三角形,CD为斜
边 AB 上的高.在这个图形中,由于线段AD与CD、
在ACD中,因为CAD ACD 900.所以 BCD ACD 900 则BCD ACD ACB
900 , 因此 ABC是直角三角形.
你都弄懂了吗？
(1)在RtABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条