1.4.2--空间图形的公理(公理4、定理)
3．下列四个说法： ①分别在两个平面内的两条直线是异面直线 ②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
③和两条异面直线都相交的两条直线必异面
④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线 其中正确的说法的个数为( A．3 B．2 ) C．1 D．0
【解析】选D. 根据异面直线的定义可知，4种说法均
(2014·九江高一检测）空间两个角α 、β ，且α 与β 的两
边对应平行，且α ＝60°，则β 为(
A．60° C．30° B．120° D．60°或120°
)
【解析】选D.∵α与β两边对应平行，但方向不一 定．∴α与β相等或互补．
如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 过O点分别作a，b的平行线 a′和 b′，则这两条线所成 的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角.
图形语言
符号语言
公理3：文字语言 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共 直线.
β
图形语言
α
·
P
l
符号语言 P l, 且P l
作用:一是 判定两个 平面是否 相交;二是 判断点在 直线上.
1.掌握公理4及“等角定理”. (重点)
b b′ a′ θ O
a
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直记作:a⊥b.
. 异面直线所成角θ 的取值范围： （0， ]
2
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原 正方体中的位置关系是（ D ）. A.平行 B.相交且垂直
C
C.异面直线
D.相交成60°
AE AH 2 CF CG 2 , , 点,且 AB AD 3 F、G分别是边CB、CD上的点,且 CB CD 3
平行四边形 则四边形EFGH__________. （3）已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD上的 中点,F、G分别是边CB、CD上的中点, 且对角线AC=BD,则四边形 EFGH是_________ . 菱形 A E B F D G C H B F E D G H B F C A E D G C A H
A1 D1 B1 C1
解：（1）AB与CC1所成的角 等于90°. （2）A1 B1与AC所成的角 等于45°. （3）A1B与D1B1所成的角 等于60°.
A
D
B
C
【总结提升】求异面直线所成角的步骤: 异面直线所成角 平移 相交线所成的角
构造三 角形 解三角形求角(取锐角或直角) 即：“作—证—算—答”
其中，能判断三条直线共面的条件有(
A．1个 B．2个 C．3个
)
D．4个
【点评】选B 易知： ①④ 能判断线共面，② ③不能
继续观察下列图形，直线与直线的位置关系有哪些？
①
②
③
空间两条直线的位置关系有三种:
（1） 如图①中直线a和b只有一个公共点A，这样
的两条直线叫作相交直线，记作：a∩b=A；
C
A
D B
A B(D)
解：选D.将上面的展开图还原成正方体， 点B与点D重合.容易知道AB=BC=CA，从而 △ABC是等边三角形.所以选D.
【变式练习】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中指出下列各对线段所成
的角：
（1）AB与CC1. （2）A1 B1与AC.
（3 ）A 1B 与D 1B 1.
a B
N
A
Db
M
Q c
CD//AQ ∠BAQ(或其补角)是a、b所成的角 CD=6 M为AD的中点 △DMC≌ △AMQ CD=AQ CD//AQ ∠DCM=∠AQM ∠AMQ=∠DMC AQ=6
AB=8 M为CQ的中点 BQ=2MN BQ=10 N为BC的中点 MN=5 异面直线a、b所成的角为 90
2.能正确应用公理4判断空间两直线平行.(重点)
3.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的
角.(难点）
思考1:设直线a//b，将直线b在空间中作平行移动，
在平移过程中a与b仍保持平行吗（前提是二者不重合）？
提示：平行. a
b
思考2:如图, 在长方体ABCD-A′B′C′D′中,BB′∥ AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗 ? 提示：平行. A' D A B
三、例题与练习 例1.已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD上的中 点,F、G分别是边CB、CD上的点,且 EFGH有一组对边平行但不相等. 证明：如图,连接BD、EH、FG,
CF CG 2 , CB CD 3
求证：四边形
A H D G C
1 EH BD B EH是△ABD的中位线 2 F EH // BD EH // FG
C
直线 AB 与 CD 所成的角＝ 2．直线 BC 与 CD 是
直线 BC 与 CD 所成的角＝
3．直线 AB 与 BC 是 直线 AB 与 BC 所成的角＝
；
直线， ．
A
平行传递性 平 行 公 理
异面直线
异面直线 所成的角. 求法： 作—证—算—答
等 角 定 理
定义 判断
b a
【提升总结】 对于异面直线的几点认识
(1)若直线a,b 是异面直线,则在空间中找不到一个平
面,使其同时经过a,b 两条直线.
(2)不能误解为分别在不同平面内的两条直线为异面
直线. (3)画异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不 相交的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直 观性.
三.异面直线的画法 b αa
Hale Waihona Puke 注意：对于有数据的题目，要注意勾股定理，三角函
数，边边关系，对于有关中点的题目要留意三角形中 位线.
1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( D )
A．异面
C．相交
B．平行
D．以上都有可能
【解析】选D.如图，a∥b，c与d相交，a与d异面．
2.(2015·广东高考 )若直线 l1 和 l2 是异面直线 ,l1 在平面 α 内 ,l2 在平面 β 内 ,l 是平面 α 与平面 β 的 交线 ,则下列命题正确的是 B.l 与 l1,l2 都相交 C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交 D.l 与 l1,l2 都不相交 (A ) A.l 至少与 l1,l2 中的一条相交
4.2 空间图形的公理（公理4、定理）
空间图形多种多样，但 它们的基本关系很容易观察 到，一个小小的长方体，就 包含了所有的基本关系. 上节课我们学习了哪几个公理，它们怎么表示， 又有什么作用呢？
公理1：文字语言 过不在一条直线上的三点，有且只有 一个平面（即可以确定一个平面）.
图形语言
α
· A
注意！
两异面直线所成的角转化成某三角形中的角后, 该角可能是所求的角,也可能是其补角.这一点要认 真对待,以免求出钝角.
D'
B'
C'
C
思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD
的中点，将纸板沿EF折起，在空间中直线AD与BC的
位置关系如何 ?
D C
F
D A C E F
B
E
A B
提示：平行.
通过上述实验可以得到什么结论？
提示：公理4 平行于同一条直线的两条直线平行. 若a∥b，b∥c, 则a∥c.
【即时训练】 对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行； ③三条直线共点； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相 交．
CF CG 2 在△BCD中, CB CD 3
四个顶点不 在同一平面 E 内的四边形.
FG // BD 2 FG BD 3
1 EH BD 2
FG EH
四边形EFGH的一组对边平行但不相等.
变式练习： （1）已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD上的 平行四边形 . 中点,F、G分别是边CB、CD上的中点, 则四边形EFGH是_________ （2）已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD上的
O
β
b
B
b
A
α
a
α
练习1.画两个相交平面,在这两个平面内各画一条直线使它们成为： （1）平行直线； β b a （2）相交直线； β b
A
（3）异面直线. β b a
B A
α
α
a
α
例1
在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,
A E H D F C
CD,DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明:如图，连接BD.
BC1
，AA1与CC1，AC与A1C1是什么位置关系？
D1 C1 B1
解: AB∥C1D1，AD1∥BC1
，
A1
AA1 ∥ CC1，AC∥A1C1.
D A B C
思考4:如图示，在平面上，如果一个角的两边与另一
个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关 系？ 提示：相等或 互补.
思考5: 如图示,四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是平
（2） 如图②中直线a和b在同一个平面内，但没有 公共点，这样的两条直线叫作平行直线，记作： a∥b；
(3)如图③中直线AD与直线BB1；直线AD与直线BD1， 它们不同在任何一个平面内，这样的两条直线叫作 异面直线.为了表示异面直线不共面的特点，作图时 通常用一个或两个平面衬托，如图:
a
b
因为FG是△CBD的中位线，所以 1 FG // BD , FG BD . B 2 又因为EH是△ABD的中位线，所以 1 EH // BD , EH BD . 2 根据公理 4， FG // EH , 且 FG EH .
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1.4.2空间图形的公理(公理4、定理) 课件(北师大版必修二)
【审题指导】求异面直线所成的角关
键在于“作角”，也就是利用平面几何知识作平行线，因 此通常要把有关线段看作某三角形或平行四边形中的边 .
【规范解答】方法一：
如图，连接A1C1，B1D1，并设它
们相交于点O，取DD1的中点G，
连接OG.则OG∥B1D，EF∥A1C1
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所 成的角或其补角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1， ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
∴a∥b,与a、b是异面直线矛盾.
∴c与b不可能平行.
2．教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的
直线与该直尺所在直线( (A)平行 (C)相交但不垂直 ) (B)垂直 (D)异面
【解析】选B.直尺所在直线与地面有三种位置关系(1)直线 与地面相交，A错，(2)直线与地面平行，C错，(3)直线在 地面内，D错，这三种情况下地面上总有直线与直尺所在直
∴α+β=90°.
答案：90°
6.在四面体SABC中，SA⊥BC且 SA=BC,E, F分别为SC、AB
的中点，那么异面直线EF与SA 所成的角等于__________.
【解析】取AC的中点D，连接DE、DF， ∵E, F分别为SC、AB 的中点， ∴DE∥SA，DF∥BC， ∴∠DEF为异面直线EF与SA 所成的角. ∵SA⊥BC，∴∠EDF=90°. 又∵SA=BC且 DE 1 SA，DF 1 BC，
立，其正确性是需要证明的，这一点在今后的学习中要特
别注意.
【例1】空间四边形ABCD中，E、F、G、
H分别为AB、BC、CD、AD上的点且
AE CF 2 ，请回答并证明当空间 EB FB 3
2014-2015学年高一数学：1.4.1 1.4.2《空间图形基本关系的认识》《空间图形的公理1》
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)点M在直线l上，用符号可表示为________. (2)直线m在平面β内，用符号可表示为________. (3)若平面α与平面β相交且交线为l，用符号可表示为 ________.
【解析】(1)点M在直线l上，则用符号可表示为M∈l. 答案：M∈l (2)直线m在平面β内，用符号可表示为m β. 答案：m β (3)平面α与平面β相交，且交线为l，可记为α∩β=l. 答案：α∩β=l
【解析】1.点M在直线a上可表示为M∈a，a在平面α内，可表
示为a α，
所以M，a，α间的关系可记为M∈a α.
答案：M∈a α
2.点A∈平面ABC，A∉平面BCD，BD 平面ABC，
平面ABC∩平面ACD=AC.
答案：∈ ∉
AC
知识点2 空间图形的三个公理(公理1，公理2，公理3) 1.三个公理的意义和作用 (1)公理1是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平 面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立 体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来 解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.
(2)公理2说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来 刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的 “无限延展性”，它既是判断直线在平面内的方法，又是检验 平面的方法.
(3)公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平 面交线的方法.可从以下三个方面解释： ①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是 它们的交线； ②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线； ③如果两个平面相交，那么两平面的交点必在这两个平面的交 线上.
(2)公理2 ①文字语言： 条件：一条直线上的_两__点__在一个平面内. 结论：该直线上_所__有__的__点__都在这个平面内(即直线_在__平__面__内__).
高中数学 空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件
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2.等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补.
预习交流 2
如果两个角的两条边分别对应平行且方向相同 ,那么这两个角的 关系如何?如果有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这 两个角的关系如何? 提示:相等;互补.
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3.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.
第 2 课时
公理 4(平行公理)与异面直线所成的角
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学习目标
1.记住并会应用公理 4. 2.理解等角定理的条件和结论. 3.知道什么是空间四边形. 4.知道什么是异面直线所成的角,会求简单的异面直线所成的角. 重点:公理 4 及其应用以及异面直线所成角的求法. 难点:对异面直线所成的角的理解和求法. 疑点:怎样求异面直线所成的角?
= ,请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点
2 3
G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH,
(1)为平行四边形? (2)为菱形?
问题导学
当堂检测
思路分析:由
������������ ������������
=
������������ ������������
= ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH
2 3
2 3
理由:由(1)知,若
=
������������ ������������
= ,
3 5 2 5 2 3
2 3
则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD, 则 EF= AC= BD=EH. ∴ 平行四边形 EFGH 为菱形.
3 5 2 5
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.2ppt课件全省公开课一等奖
解析：可借助正方体来分析，可知平行、相交及异面都有可 能，故选D.
答案：D
4．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( ) A．0°<α<90° B．0°<α≤90° C．0°≤α≤90° D．0°<α<180°
解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选B. 答案：B
5．已知a，b，c是空间三条直线，则下列命题中正确命题的 序号为________．
则sin∠EMH＝ 23，于是∠EMH＝60°， 则∠EMF＝2∠EMH＝120°. 所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线 AD、BC所成的角为60°.
方法归纳
求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角； 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊 三角形求解．
跟踪训练 2 空间中角A的两边和角B的两边分别平行，若∠A ＝70°，则∠B＝________.
解析：由于角A的两边和角B的两边分别平行，所以有∠A＝ ∠B或∠A＋∠B＝180°.
因为∠A＝70°， 所以∠B＝70°或∠B＝110°. 故填70°或110°. 答案：70°或110°
类型三 异面直线所成的角 [例3] 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分 别是AB、CD的中点，若EF＝ 3 ，求异面直线AD、BC所成角的大 小．
由(*)知MD1綊BN， 所以四边形MBND1为平行四边形.
方法归纳
在空间中遇到线段中点的常用处理方法 (1)利用三角形的中位线来转移两直线的平行关系． (2)通过构造平行四边形来转移两直线的平行关系或寻求两直 线的平行关系．
跟踪训练
1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为
答案：D
4．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( ) A．0°<α<90° B．0°<α≤90° C．0°≤α≤90° D．0°<α<180°
解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选B. 答案：B
5．已知a，b，c是空间三条直线，则下列命题中正确命题的 序号为________．
则sin∠EMH＝ 23，于是∠EMH＝60°， 则∠EMF＝2∠EMH＝120°. 所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线 AD、BC所成的角为60°.
方法归纳
求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角； 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊 三角形求解．
跟踪训练 2 空间中角A的两边和角B的两边分别平行，若∠A ＝70°，则∠B＝________.
解析：由于角A的两边和角B的两边分别平行，所以有∠A＝ ∠B或∠A＋∠B＝180°.
因为∠A＝70°， 所以∠B＝70°或∠B＝110°. 故填70°或110°. 答案：70°或110°
类型三 异面直线所成的角 [例3] 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分 别是AB、CD的中点，若EF＝ 3 ，求异面直线AD、BC所成角的大 小．
由(*)知MD1綊BN， 所以四边形MBND1为平行四边形.
方法归纳
在空间中遇到线段中点的常用处理方法 (1)利用三角形的中位线来转移两直线的平行关系． (2)通过构造平行四边形来转移两直线的平行关系或寻求两直 线的平行关系．
跟踪训练
1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为
1.4.2 空间图形的公理4及等角定理 课件(北师大必修2)
[通一类] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中E，
F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，
C1D1的中点．
求证：(1)EF 綊 E1F1； (2)∠EA1F＝∠E1CF1.
证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别 为AB，AD的中点， 所以EF 綊 BD.
同理，E1F1 綊 B1D1.
A．AB∥CD B．AB与CD是异面直线 C．AB与CD相交 D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
(
)
[错解]
如图，∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD.故选A. [错因] 错解的原因在于，认为线段AB,BC,CD在同
一个平面内．
[正解]
构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝
∠BCD(如图(1))；
[研一题]
[例 1] 如图所示，在棱长为 a 的正
方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N，P 分别为线
B1N BM 1 段 A1B， 1D1， 1B1 上的点， B A 若 ＝ ＝ ， B1D1 BA1 3
且 PN∥A1D1.求证：PM∥AA1.
B 1N 1 [自主解答] ∵PN∥A1D1， ＝ ， B1D1 3 B 1P 1 得 ＝ ， B1A1 3 BM 1 又 ＝ ，∴PM∥BB1. BA1 3
而 BB1∥AA1， ∴PM∥AA1.
[悟一法] 空间中证明两直线平行的方法： ①借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、
平行四边形的性质，成比例线段平行．
②利用公理4，即证明两条直线都与第三条直 线平行．
[通一类] 1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将
平面CDFE沿EF翻折起来，使CD与C′D′的位置重合，
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理第二课时公理4与等角定理课件北师大版必修2
OA OB OA OC 证明： ∵OA1＝OB1，OA1＝OC1，
OA OB OC ∴OA1＝OB1＝OC1. 在平面 OAB 和平面 OAC 中，有 A1B1∥AB， A1C1∥AC， ∴∠BAC＝∠B1A1C1. 同理可证∠ABC＝∠A1B1C1. ∴△ABC∽△A1B1C1.
求异面直线所成的角 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求异面直线 AC1 与 B1D1 所成的角． [思路探究] 找作异面直线的平行线 ―→ 确定所求的角 ―→ 构造找出含该角的三角形 ―→ 解三角形求角
等角定理
空 间 中 ， 如 果 两 个 角 的 两 条 边 分 别 _对__应___平__行___ ， 那 么 这 两 个 角 __相__等__或__互__补___．
[强化拓展] (1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个 角相等．这称之为“同向平行角相等”． (2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐 角(或直角)相等． (3)此定理可以用来证明空间两角相等，也为度量两条异面直线所成的角提供 了理论基础，与公理 4 一样，它是研究空间两条直线位置关系的基础．
公理4 文字语言
平行于同一条直线的两条直线 __平__行___.
图形语言
符号语言 若 a∥b，b∥c，则_a_∥__c__.
[强化拓展] (1)公理 4 表述的性质通常叫作空间平行线的传递性，它给出了判断两条直线 平行的依据． (2)证明空间两条直线平行的方法 方法一(利用定义)：用定义证明两条直线平行，一要证两直线在同一平面内， 二要证两直线没有公共点． 方法二(利用公理 4)：用公理 4 证明两条直线平行，只需找到直线 c，使得 a ∥c，同时 b∥c，由公理 4 得到 a∥b.
第一章 4 第2课时 空间图形的公理4和等角定理
答案：A
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3.如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系： (1)直线 A1B 与 D1C 的位置关系是________； (2)直线 A1B 与 B1C 的位置关系是________； (3)直线 D1D 与 D1C 的位置关系是________； (4)直线 AB 与 B1C 的位置关系是________．
答案：D
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3．在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，异面直线 BA1 与 CC1 所成的角为( A．30° C．60°
解析：∵CC1∥BB1， ∴∠A1BB1 即为 BA1 与 CC1 所成的角． ∵∠A1BB1＝45° ， ∴BA1 与 CC1 所成的角为 45° .
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3．在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC＝2a，E、F 分别是 AB、CD 的中点，EF＝ 3 a，求 AD、BC 所成的角．
解析：如图，取 BD 中点 M，连接 EM，MF，由题意可知 EM 为△BAD 的中位线， 1 ∴EM 綊 AD. 2 1 同理 MF 綊 BC， 2 ∴EM＝a，MF＝a，且∠EMF(或其补角)即为所求角．
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[随堂训练]
1．已知 a、b 是异面直线，直线 c∥直线 a，那么 c 与 b( A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：若 c∥b，又 c∥a，所以 a∥b，与 a、b 异面矛盾．
)
答案：C
1.4.2__空间图形的公理
平面呢？ 生活中经常看到用三角架支撑照相机．
测量员用三角架支撑测量仪器平板仪．
公理2
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一
个平面（即可以确定一个平面）．
B
A
C
经过不在同一条直线上的三个点A、B、C的平面α，
又可记作“平面ABC”．
作C不共线 A, B, C确定一平面
变式训练 2
将下面用符号语言表示的关系改用文
字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
解 文字语言叙述为： 点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，AB、AC 分 别在 α、β 内． 图形语言表示为如图所示．
3．平面外有两个点，那么这两点的连线与平面的 关系是__________________．
思考4： 1.经过一条直线和这条直线外一点,可以确定一个平面吗？
2.经过两条相交直线,可以确定一个平面吗？
3.经过两条平行直线,可以确定一个平面吗？ 三条推论: 1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 . 2.经过两条相交直线,有且只有一个平面. 3.经过两条平行直线,有且只有一个平面.
B
另一方面，相邻两个平面有一个公共
点，如平面A′B′C′D′和平面BB′C′C有一个公
D A B
C 共点B′，经过点B有且只有一条过该点的
公共直线B′C′.
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
P l, 且P l
A
a // b 推理模式： a // c b // c
a
C
b
或者： a // b，b // c a // c
高中数学-北师大版必修二 空间图形的公理4及等角定理 课件
图 1-4-16
提示：如图，在空间中任取一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b，则两条相交直 线 a′，b′所成的锐角或直角 θ 即两条异面直线 a，b 所成的角．
2．a′与 b′所成角的大小与什么有关，与点 O 的位置有关吗？通常点 O 取 在什么位置？
提示：a′与 b′所成角的大小只由 a，b 的相互位置确定，与点 O 的选择无 关，一般情况下为了简便，点 O 选取在两条直线中的一条直线上．
又∵A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， ∴四边形 A1KBQ 为平行四边形， ∴A1Q∥BK， 由公理 4 有 A1Q∥CM， 同理可证 A1P∥CN， 由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反， ∴∠PA1Q＝∠MCN.
求异面直线所成的角 [探究问题] 1．已知直线 a，b 是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
如图 1-4-17，在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC
＝2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，若 EF＝ 3，求异面直线
AD，BC 所成角的大小.
【导学号：64442028】
图 1-4-17
[思路探究] 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线 AD，BC 平移到 同一平面内解决．
[解] 如图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM. 因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点， 所以 EM 12AD，FM 12BC， 则∠EMF 或其补角就是异面直线 AD，BC 所成的角． 因为 AD＝BC＝2，所以 EM＝MF＝1， 在等腰△MEF 中，过点 M，作 MH⊥EF 于 H，
公理4的应用
如图 1-4-12，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边
AB，BC，CD，DA 的中点.
【导学号：64442027】
提示：如图，在空间中任取一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b，则两条相交直 线 a′，b′所成的锐角或直角 θ 即两条异面直线 a，b 所成的角．
2．a′与 b′所成角的大小与什么有关，与点 O 的位置有关吗？通常点 O 取 在什么位置？
提示：a′与 b′所成角的大小只由 a，b 的相互位置确定，与点 O 的选择无 关，一般情况下为了简便，点 O 选取在两条直线中的一条直线上．
又∵A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， ∴四边形 A1KBQ 为平行四边形， ∴A1Q∥BK， 由公理 4 有 A1Q∥CM， 同理可证 A1P∥CN， 由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反， ∴∠PA1Q＝∠MCN.
求异面直线所成的角 [探究问题] 1．已知直线 a，b 是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
如图 1-4-17，在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC
＝2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，若 EF＝ 3，求异面直线
AD，BC 所成角的大小.
【导学号：64442028】
图 1-4-17
[思路探究] 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线 AD，BC 平移到 同一平面内解决．
[解] 如图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM. 因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点， 所以 EM 12AD，FM 12BC， 则∠EMF 或其补角就是异面直线 AD，BC 所成的角． 因为 AD＝BC＝2，所以 EM＝MF＝1， 在等腰△MEF 中，过点 M，作 MH⊥EF 于 H，
公理4的应用
如图 1-4-12，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边
AB，BC，CD，DA 的中点.
【导学号：64442027】
空间图形的公理
.职教中心高中数学必修2导学案2013-2014学年第2 学期高一年级班姓名编写者使用时间2014-2-22课题：§4.2空间图形的公理 1 课时学习目标：1、知识与技能(1)四个公理一个定理的文字叙述及它们的符号表示(2)利用公理2去推出确定平面的另外3种方法(3) 四个公理一个定理个公理的简单应用2、过程与方法(1)通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；(2)让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
学习重点：对四个公理一个定理的理解及简单应用。
学习难点：符号语言与文字叙述的相互转化。
基础达标：1、公理1：________________________________________________________________________________________________________________________图形：符号语言：_____________________________________________________________2、公理2：___________________________________________________________ _____________________________________________________________图形：符号语言：_____________________________________________________________推论1_____________________________________________________________推论2_____________________________________________________________推论3_____________________________________________________________3、公理3___________________________________________________________ _____________________________________________________________图形符号语言_____________________________________________________________4、公理4：___________________________________________________________图形符号语言_____________________________________________________________5、等角定理____________________________________________________________ ___________________________________________________________________6、异面直线成角_________________________________________________________ ________________ _______合作探究：1．公理4和等角定理在平面几何中成立吗？它们的作用是什么？2．如何求两异面直线所成的角？达标检测：.1、设AA 1是正方体的一条棱，则这个正方体中与AA 1平行的棱共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 2、已知AB∥A′B′，AC∥A′C′，则A ．∠BAC＝∠B′A′C′B ．∠BAC＋∠B′A′C′＝90°C ．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°D ．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°3、两条直线a ，b 分别和两条异面直线相交，则直线a ，b 的位置关系是A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．可能是平行直线D ．可能是异面、相交4、（2010·全国高考）正直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 5、已知棱长为a 的正方体ABCD －A′B′C′D′中， M 、N 分别为CD 、AD 的中点． 求证：四边形MNA′C′是梯形．6、如图1－4－11所示，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．课后学习小结：。