空间图形的公理(难)
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空间图形的公理(公理1,2,3)
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
2. 下列命题中正确的是（ B ） A ．空间三点可以确定一个平面 B ．三角形一定是平面图形 C ．若 A ， B ， C ， D 既在平面 α 内，又在平面 β 内， 则平面 α 和平面 β 重合 D ．四条边都相等的四边形是平面图形
B
A l ,B l ,A ,B l
作用： 判定直线是否在平面内．
思考5：观察长方体，你发现长方体的两个平面有
什么位置关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？ 提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的 基础．
B
提示：不只相交于一点B，如下图所示：
B
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且 P l
P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1．下列说法中正确的是( D )
A．经过三点确定一个平面
1.4.2--空间图形的公理(公理4、定理)
3．下列四个说法： ①分别在两个平面内的两条直线是异面直线 ②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
③和两条异面直线都相交的两条直线必异面
④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线 其中正确的说法的个数为( A．3 B．2 ) C．1 D．0
【解析】选D. 根据异面直线的定义可知，4种说法均
(2014·九江高一检测）空间两个角α 、β ，且α 与β 的两
边对应平行，且α ＝60°，则β 为(
A．60° C．30° B．120° D．60°或120°
)
【解析】选D.∵α与β两边对应平行，但方向不一 定．∴α与β相等或互补．
如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 过O点分别作a，b的平行线 a′和 b′，则这两条线所成 的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角.
图形语言
符号语言
公理3：文字语言 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共 直线.
β
图形语言
α
·
P
l
符号语言 P l, 且P l
作用:一是 判定两个 平面是否 相交;二是 判断点在 直线上.
1.掌握公理4及“等角定理”. (重点)
b b′ a′ θ O
a
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直记作:a⊥b.
. 异面直线所成角θ 的取值范围： （0， ]
2
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原 正方体中的位置关系是（ D ）. A.平行 B.相交且垂直
C
C.异面直线
D.相交成60°
AE AH 2 CF CG 2 , , 点,且 AB AD 3 F、G分别是边CB、CD上的点,且 CB CD 3
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.1空间图形的基本关系与公理1公理3课
与平面的位置关系. 如果一条直线和一个平面有无数个公共点,则称这条直线在这个 平面内.直线 l 在平面 α 内,记作 l⫋α. 如果一条直线和一个平面只有一个公共点,则称这条直线和这个 平面相交.直线 l 与平面 α 相交于点 P,记作 l∩α=P. 如果一条直线和一个平面没有公共点,则称这条直线和这个平面 平行.直线 l 与平面 α 平行,记作 l∥α. (5)空间平面与平面的位置关系. 如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行.平面 α 与平 面 β 平行,记作 α∥β. 如果两个平面不重合但有公共点,则称这两个平面相交.
问题导学
当堂检测
1.公理 1 的应用 活动与探究 例 1 已知 a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求证:a,b,c 三条直线在同一 平面内. 思路分析:依题意,可先证 a 与 b 确定一个平面,再证明 c 在这个平 面内,从而可证 a,b,c 在同一平面内. 证明:∵ a ∥b , ∴ a 与 b 确定一个平面 α, ∵ a∩c=A,∴ A∈a,从而 A∈α; ∵ b∩c=B,∴ B∈b,从而 B∈α. 于是 AB⫋α,即 c⫋α,故 a,b,c 三条直线在同一平面内.
若 A∈α,A∈β,且 α,β 不重 合,则 α∩β=l,且 A∈l
目标导航
预习引导
预习交流 3
公理 1 的三个推论是什么? 提示:推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 推论 3:两条平行直线确定一个平面.
预习交流 4
公理 1 中的“有且只有一个”的含义是什么? 提示:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强 调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只 有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.
问题导学
当堂检测
1.公理 1 的应用 活动与探究 例 1 已知 a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求证:a,b,c 三条直线在同一 平面内. 思路分析:依题意,可先证 a 与 b 确定一个平面,再证明 c 在这个平 面内,从而可证 a,b,c 在同一平面内. 证明:∵ a ∥b , ∴ a 与 b 确定一个平面 α, ∵ a∩c=A,∴ A∈a,从而 A∈α; ∵ b∩c=B,∴ B∈b,从而 B∈α. 于是 AB⫋α,即 c⫋α,故 a,b,c 三条直线在同一平面内.
若 A∈α,A∈β,且 α,β 不重 合,则 α∩β=l,且 A∈l
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预习引导
预习交流 3
公理 1 的三个推论是什么? 提示:推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 推论 3:两条平行直线确定一个平面.
预习交流 4
公理 1 中的“有且只有一个”的含义是什么? 提示:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强 调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只 有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.
几何原本的公设和公理
几何原本的公设和公理几何学是一门研究空间中图形、大小、位置关系和性质的学科，它的基础在于公设和公理。
公设和公理是几何学中最基本的概念，它们构成了几何学体系的基础。
本文将详细介绍几何原本的公设和公理。
一、公设1.点线面公设点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的概念。
线是由无数个点连成的，具有长度但没有宽度和高度。
面是由无数条线围成的，具有长度和宽度但没有高度。
2.尺规作图公设尺规作图是指用直尺和圆规来画出一些特定形状的图形。
尺规作图公设认为可以用直尺和圆规画出能够被分解为直线段与圆弧相交所得到的长度为1的线段。
3.平行公设平行公设认为如果一条直线上有两个点与另一条直线上两个点相对应且这两条直线不重合，则这两条直线必定平行。
二、公理1.欧几里德几何五大公理欧几里德几何是古希腊数学家欧几里德所创立的几何学体系。
欧几里德几何的五大公理包括：（1）任意两点之间都可以画一条直线。
（2）有限直线段可以无限延长。
（3）以一个点为圆心、以一个确定的长度为半径可以画出一个唯一确定的圆。
（4）所有直角相等。
（5）如果一条直线上有两点与另一条直线上两点相对应，则这两条直线不会相交，或者在相交处形成同侧的两个直角。
2.非欧几里德几何公理与欧几里德几何不同，非欧几里德几何并不认为第五公理是正确的。
非欧几里德几何有多种公理体系，其中最著名的是黎曼几何和洛巴奇夫斯基空间。
黎曼几何公理认为平面上不存在平行线，而洛巴奇夫斯基空间则认为平面上存在无穷多个平行线。
三、总结公设和公理是构成了现代数学中各个分支学科体系中最基本概念和规则，它们构成了各个分支学科体系的基础和框架。
在学习数学时，我们需要深入掌握这些基本概念和规则，以便更好地理解和应用数学知识。
高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理
第十二页，共42页。
[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
第十页，共42页。
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】 若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不 在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
第十一页，共42页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面 的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β α∩β＝a
第五页，共42页。
[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
第十页，共42页。
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】 若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不 在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
第十一页，共42页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面 的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β α∩β＝a
第五页，共42页。
几何图形的公理
几何图形的公理
contents
目录
• 平行线公理 • 三角形的不等式公理 • 欧几里得公理 • 圆的公理
01 平行线公理
定义
平线 与已知直线平行。
解释
这个公理是几何学中关于平行线的基 本性质，它说明了在平面内，通过一 个不在给定直线上的点，只能做出一 条与给定直线平行的直线。
如果线段AB被另一直线CD分为两段AC和BD，则有AC + BD <= AB。
性质
三角形不等式公理的性质1
在三角形ABC中，如果边BC上有点D，则AD <= AB + AC。
三角形不等式公理的性质2
在三角形ABC中，如果边BC上有点D，则BD + DC <= AB + AC。
三角形不等式公理的性质3
详细描述
圆具有一些基本的性质。例如，圆周角等于其所夹弧所对的圆心角的一半。此外，任何经过圆心的弦都会将圆分 成两个相等的部分。这些性质在几何学中有着广泛的应用。
应用
总结词
圆在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，包括建筑设计、机械制造、天文学和物理学等领域。
详细描述
圆作为一种基本的几何图形，在许多领域中都有实际的应用。在建筑设计中，圆可以创造出优雅和和 谐的视觉效果。在机械制造中，圆的精确性是不可或缺的，如轴承和齿轮的设计。在天文学和物理学 中，圆也经常被用来描述星球的运动轨迹和光的传播路径等自然现象。
详细描述
在平面几何中，欧几里得公理用于证明各种定理和性质，如三角形的全等定理、勾股定 理等。在立体几何中，欧几里得公理用于研究空间几何对象的形状和大小。在解析几何 中，欧几里得公理用于将几何问题转化为代数问题，从而通过代数方法解决几何问题。
contents
目录
• 平行线公理 • 三角形的不等式公理 • 欧几里得公理 • 圆的公理
01 平行线公理
定义
平线 与已知直线平行。
解释
这个公理是几何学中关于平行线的基 本性质，它说明了在平面内，通过一 个不在给定直线上的点，只能做出一 条与给定直线平行的直线。
如果线段AB被另一直线CD分为两段AC和BD，则有AC + BD <= AB。
性质
三角形不等式公理的性质1
在三角形ABC中，如果边BC上有点D，则AD <= AB + AC。
三角形不等式公理的性质2
在三角形ABC中，如果边BC上有点D，则BD + DC <= AB + AC。
三角形不等式公理的性质3
详细描述
圆具有一些基本的性质。例如，圆周角等于其所夹弧所对的圆心角的一半。此外，任何经过圆心的弦都会将圆分 成两个相等的部分。这些性质在几何学中有着广泛的应用。
应用
总结词
圆在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，包括建筑设计、机械制造、天文学和物理学等领域。
详细描述
圆作为一种基本的几何图形，在许多领域中都有实际的应用。在建筑设计中，圆可以创造出优雅和和 谐的视觉效果。在机械制造中，圆的精确性是不可或缺的，如轴承和齿轮的设计。在天文学和物理学 中，圆也经常被用来描述星球的运动轨迹和光的传播路径等自然现象。
详细描述
在平面几何中，欧几里得公理用于证明各种定理和性质，如三角形的全等定理、勾股定 理等。在立体几何中，欧几里得公理用于研究空间几何对象的形状和大小。在解析几何 中，欧几里得公理用于将几何问题转化为代数问题，从而通过代数方法解决几何问题。
空间几何的公理系统构建立体几何学的基本原理
空间几何的公理系统构建立体几何学的基本原理在数学中，几何学是研究空间和形状的学科。
而立体几何学是几何学的一个重要分支，它关注的是三维空间中的图形和物体。
立体几何学的基本原理由一系列的公理系统构建而成，这些公理被认为是几何学的基础，为我们研究三维世界提供了坚实的理论基础。
公理是几何学研究中最基本的概念和原理，它是从直觉和观察总结出来的基本真理，不需要证明就可以成立。
在立体几何学中，有一些经典的公理可以用来构建整个几何系统。
首先，立体几何学的基本公理之一是点、线和面的概念。
在三维空间中，点用来表示没有大小和形状的位置，而线是由两个点之间的连接形成的，它有长度但没有宽度。
面是由三个或更多的点以及通过这些点的直线形成的，它有长度和宽度但没有厚度。
其次，立体几何学的公理还包括平行公理。
平行公理描述了两条平面或直线之间的关系，它指出如果有一条直线和一条平面，并且这条直线在这个平面上的任何一点和这条直线上的所有点都相交，那么这条线与这个平面平行。
此外，立体几何学的公理还包括距离公理和角度公理。
距离公理描述了任意两个点之间的距离，它指出距离是非负的，并且如果两个点的距离为零，则这两个点是重合的。
角度公理描述了两条线之间的夹角，它指出夹角的度数是非负的，并且如果两个角度的度数相等，则这两个角度是相等的。
最后，立体几何学的公理还包括一些常用的推理原理，如反证法和假设法。
这些推理原理可以帮助我们在研究立体几何学问题时进行分析和推导。
通过以上这些公理系统的构建，我们可以建立起一个完整而严谨的立体几何学理论体系。
这个体系为我们研究空间中的图形和物体提供了强大的工具和方法。
在实际应用中，立体几何学的基本原理也被广泛应用于建筑设计、工程制图、计算机图形学等领域。
总之，空间几何的公理系统构建立体几何学的基本原理是我们研究三维空间中的图形和物体的基础。
这些公理系统提供了几何学研究的框架和方法，通过推理和证明可以得到具体的结论。
立体几何学在解决实际问题和应用领域中具有广泛的意义和应用价值。
高三一轮复习7.2 空间图形的基本关系与公理
第2节
空间图形的基本关系与公理
【2015年高考考纲下载】
1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的
位置关系的简单命题.Fra bibliotek考点梳理
一､知识结构
1．空间图形的公理 两点 在一个平面内，那么这 (1)公理1：如果一条直线上的_____ 条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个 (2)公理2：经过_________________ 平面(即可以确定一个平面)． 一个 公共点，那么它 (3)公理3：如果两个不重合的平面有_____ 们有且只有一条通过这个点的公共直线．
考向二
空间中两直线的位置关系
【例2】►如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别 为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[审题视点] 还原成正四面体来判断．
解析
如图所示，GH与EF为异面直线，
BD与MN为异面直线，GH与MN成60° 角，DE⊥MN. 答案 ②③④
空间中两直线位置关系的判定，主要是异
面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法 或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线
情况．
平行 、_____ 相交 两种情况． (2)平面与平面的位置关系有_____
(3) 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两 相等或互补 ． 个角___________
【助学· 微博】 一个理解 异面直线概念的理解
空间图形的基本关系与公理
【2015年高考考纲下载】
1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的
位置关系的简单命题.Fra bibliotek考点梳理
一､知识结构
1．空间图形的公理 两点 在一个平面内，那么这 (1)公理1：如果一条直线上的_____ 条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个 (2)公理2：经过_________________ 平面(即可以确定一个平面)． 一个 公共点，那么它 (3)公理3：如果两个不重合的平面有_____ 们有且只有一条通过这个点的公共直线．
考向二
空间中两直线的位置关系
【例2】►如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别 为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[审题视点] 还原成正四面体来判断．
解析
如图所示，GH与EF为异面直线，
BD与MN为异面直线，GH与MN成60° 角，DE⊥MN. 答案 ②③④
空间中两直线位置关系的判定，主要是异
面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法 或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线
情况．
平行 、_____ 相交 两种情况． (2)平面与平面的位置关系有_____
(3) 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两 相等或互补 ． 个角___________
【助学· 微博】 一个理解 异面直线概念的理解
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北师大版高中数学必修2第一 北师大版高中数学必修 第一 章立体几何初步
1
复习：
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
应用：
1、判断直线是否在平面内的依据。 、判断直线是否在平面内的依据。 2、检验一个面是否是平面。 、检验一个面是否是平面。
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有 有且只有 一个平面 . 这是确定平面的依据之一 3、公理的推论 推论1 过一条直线和直线外一点有且只有 有且只有一 有且只有 个平面。
推论2 推论
推论3 推论
过两条平行直线有且只有一个平面。 过两条平行直线有且只有一个平面。即：两平 行直线确定一个平面
A
α
l
B
C
α
b
a B
C A
α
a b
A C B
推论1证明 推论 证明
存在性） 证： （存在性） 在l上任取两点B、C，则A,B,C不共线; 由公理3，经过不共线的三点A,B,C有一个平面 α .
同一平面内， 同一平面内，有且 相交直线: 相交直线 只有一个公共点； 只有一个公共点； 共面直线 同一平面内， 同一平面内，没有 平行直线: 平行直线 公共点； 公共点； 异面直线: 不同在任何一个平面内， 异面直线 不同在任何一个平面内，没有 公共点
思考4:为了表示异面直线a 思考4:为了表示异面直线a，b不共面的 4:为了表示异面直线 特点，作图时， 特点，作图时，通常用一个或两个平面 衬托,如图. 衬托,如图.
E´ A´ B´ D´ C E A B D
14
思考4:综上分析我们可以得到什么定理? 思考4:综上分析我们可以得到什么定理? 4:综上分析我们可以得到什么定理 定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角相等或互补. 对应平行，那么这两个角相等或互补 思考5:上面的定理称为等角定理， 思考5:上面的定理称为等角定理，在等 5:上面的定理称为等角定理 角定理中， 角定理中，你能进一步指出两个角相等 的条件吗？ 的条件吗？ 角的方向相同或相反
如图，空间四边形ABCD中 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G， ABCD 分别是AB BC，CD，DA的中点 AB， 的中点. H分别是AB，BC，CD，DA的中点. (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. 求证：四边形EFGH是平行四边形. EFGH是平行四边形 AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形? EFGH是什么图形 (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
(1)M, N为中点， 作截面DMN
A
M
•
D1
N
•
C1
A1 B1
练习： D C
A B
•
N
D1
C1
•
B1
A1
M
M, N为中点，作截面 N 为中点， DM
(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，试画出过其中三 条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状。
课堂小结： 课堂小结：在师生互动中让学生 了解：（ ：（1） 了解：（ ）本节课学习了哪些知 识内容？（ ？（2） 识内容？（ ）计算异面直线所成 的角应注意什么？ 的角应注意什么？
α
l
A
推论2 推论 过两条相交直线有且只有一个平面。
α
推论3 过两条平行线有且只有一个平面 。
α
公理3 如果两个不重合平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
应用：判断多点是否共线 应用
推论1 推论
过一条直线和直线外的一点有且只有一个平 一条直线和直线外的一点确定一个平面 确定一个平面。 即：一条直线和直线外的一点确定一个平面。 过两条相交直线有且只有一个平面即 过两条相交直线有且只有一个平面即：两条相 交直线确定一个平面
l 因为B、C在平面 α 内，所以根据公理1， B α 直线l在平面 α 内,即 是经过直线l和点 A的平面 α 。 唯一性） （唯一性） 因为B、C在直线l上，所以任何经过l和点A的平面
一定经过A,B,C . 于是根据公理3，经过不共线的三 点A,B,C的平面只有一个所以经过l和点A的平面只有 一个.
A C
7
公理4 平行于同一条直线的两直线互相平行
（
空间平行线的传递性） 空间平行线的传递性）
理解： （1）已知直线a、b、c，且a∥b，b∥c，则a∥c （2）空间平行直线具有传递性 （3）互相平行的直线表示空间里的一个确定的 方向
复习: 复习:
空间中的直线与直线之间有几种位置关系？ 空间中的直线与直线之间有几种位置关系？ 它们各有什么特点？ 它们各有什么特点？
A H E D B F G C
17
例1
如图是一个正方体的表面展开图, 例2 如图是一个正方体的表面展开图, 如果将它还原为正方体，那么AB CD， AB， 如果将它还原为正方体，那么AB，CD， EF，GH这四条线段所在直线是异面直线 EF，GH这四条线段所在直线是异面直线 的有多少对? 的有多少对?
15
巩固练习： 巩固练习：
1．两个平面重合的条件是（ c ） A．有两个公共点 B．有无数个公共点 C．存在不共线的三个公共点 D．有一条公共直线 2．下列命题中，真命题是（ D ） A．空间不同三点确定一个平面 B．空间两两相交的三条直线确定一个平面 C．两组对边相等的四边形是平行四边形 D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内 3．空间有四个点，其中无三点共线，可确定 __________ 个平面． 一个或四个
的底面是平行四边形， ADC与 的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与 B′A′D′的两边分别对应平行 的两边分别对应平行， ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何 ?
C' D' C D A A' B D' C D A
13
B'
C' A'
B'
B
思考3:如图，在空间中AB// A′B′， 思考3:如图，在空间中AB// A′B′， 3:如图 A′C′，你能证明∠BAC与 AC// A′C′，你能证明∠BAC与 相等吗？ ∠B′A′C′ 相等吗？ C´ ´
a
b
a
b
10
a a
b b
关于异面直线的定义， 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法 最合适？ 最合适？ A. 平面内的一条直线和这平面外的一条直 线； 分别在不同平面内的两条直线； B. 分别在不同平面内的两条直线； 不在同一个平面内的两条直线； C. 不在同一个平面内的两条直线； 不同在任何一个平面内的两条直线. D. 不同在任何一个平面内的两条直线.
11
知识探究： 知识探究：等角定理
思考1:在平面上， 思考1:在平面上，如果一个角的两边与 1:在平面上 另一个角的两边分别平行， 另一个角的两边分别平行，那么这两个 角的大小有什么关系？ 角的大小有什么关系？
12
思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ ABCD-思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′
作业:P26习题1.4A组 习题1.4A 作业:P26习题1.4A组：4，5 B组1，2.
教学反思： 教学反思：
23
C G D H E F E A B H G C
—A1B1C1D1中，AC1∩平面 A1BD=M，求作点M。 C D
B A C1
D1
B1 本题体现了转化的思想，将在空间难以把握 的线面交点转化为同一平面内的线线交点， 确定了交点的位置。
A1
例3：求作下列截面：
D C B
1
复习：
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
应用：
1、判断直线是否在平面内的依据。 、判断直线是否在平面内的依据。 2、检验一个面是否是平面。 、检验一个面是否是平面。
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有 有且只有 一个平面 . 这是确定平面的依据之一 3、公理的推论 推论1 过一条直线和直线外一点有且只有 有且只有一 有且只有 个平面。
推论2 推论
推论3 推论
过两条平行直线有且只有一个平面。 过两条平行直线有且只有一个平面。即：两平 行直线确定一个平面
A
α
l
B
C
α
b
a B
C A
α
a b
A C B
推论1证明 推论 证明
存在性） 证： （存在性） 在l上任取两点B、C，则A,B,C不共线; 由公理3，经过不共线的三点A,B,C有一个平面 α .
同一平面内， 同一平面内，有且 相交直线: 相交直线 只有一个公共点； 只有一个公共点； 共面直线 同一平面内， 同一平面内，没有 平行直线: 平行直线 公共点； 公共点； 异面直线: 不同在任何一个平面内， 异面直线 不同在任何一个平面内，没有 公共点
思考4:为了表示异面直线a 思考4:为了表示异面直线a，b不共面的 4:为了表示异面直线 特点，作图时， 特点，作图时，通常用一个或两个平面 衬托,如图. 衬托,如图.
E´ A´ B´ D´ C E A B D
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思考4:综上分析我们可以得到什么定理? 思考4:综上分析我们可以得到什么定理? 4:综上分析我们可以得到什么定理 定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角相等或互补. 对应平行，那么这两个角相等或互补 思考5:上面的定理称为等角定理， 思考5:上面的定理称为等角定理，在等 5:上面的定理称为等角定理 角定理中， 角定理中，你能进一步指出两个角相等 的条件吗？ 的条件吗？ 角的方向相同或相反
如图，空间四边形ABCD中 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G， ABCD 分别是AB BC，CD，DA的中点 AB， 的中点. H分别是AB，BC，CD，DA的中点. (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. 求证：四边形EFGH是平行四边形. EFGH是平行四边形 AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形? EFGH是什么图形 (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
(1)M, N为中点， 作截面DMN
A
M
•
D1
N
•
C1
A1 B1
练习： D C
A B
•
N
D1
C1
•
B1
A1
M
M, N为中点，作截面 N 为中点， DM
(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，试画出过其中三 条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状。
课堂小结： 课堂小结：在师生互动中让学生 了解：（ ：（1） 了解：（ ）本节课学习了哪些知 识内容？（ ？（2） 识内容？（ ）计算异面直线所成 的角应注意什么？ 的角应注意什么？
α
l
A
推论2 推论 过两条相交直线有且只有一个平面。
α
推论3 过两条平行线有且只有一个平面 。
α
公理3 如果两个不重合平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
应用：判断多点是否共线 应用
推论1 推论
过一条直线和直线外的一点有且只有一个平 一条直线和直线外的一点确定一个平面 确定一个平面。 即：一条直线和直线外的一点确定一个平面。 过两条相交直线有且只有一个平面即 过两条相交直线有且只有一个平面即：两条相 交直线确定一个平面
l 因为B、C在平面 α 内，所以根据公理1， B α 直线l在平面 α 内,即 是经过直线l和点 A的平面 α 。 唯一性） （唯一性） 因为B、C在直线l上，所以任何经过l和点A的平面
一定经过A,B,C . 于是根据公理3，经过不共线的三 点A,B,C的平面只有一个所以经过l和点A的平面只有 一个.
A C
7
公理4 平行于同一条直线的两直线互相平行
（
空间平行线的传递性） 空间平行线的传递性）
理解： （1）已知直线a、b、c，且a∥b，b∥c，则a∥c （2）空间平行直线具有传递性 （3）互相平行的直线表示空间里的一个确定的 方向
复习: 复习:
空间中的直线与直线之间有几种位置关系？ 空间中的直线与直线之间有几种位置关系？ 它们各有什么特点？ 它们各有什么特点？
A H E D B F G C
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例1
如图是一个正方体的表面展开图, 例2 如图是一个正方体的表面展开图, 如果将它还原为正方体，那么AB CD， AB， 如果将它还原为正方体，那么AB，CD， EF，GH这四条线段所在直线是异面直线 EF，GH这四条线段所在直线是异面直线 的有多少对? 的有多少对?
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巩固练习： 巩固练习：
1．两个平面重合的条件是（ c ） A．有两个公共点 B．有无数个公共点 C．存在不共线的三个公共点 D．有一条公共直线 2．下列命题中，真命题是（ D ） A．空间不同三点确定一个平面 B．空间两两相交的三条直线确定一个平面 C．两组对边相等的四边形是平行四边形 D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内 3．空间有四个点，其中无三点共线，可确定 __________ 个平面． 一个或四个
的底面是平行四边形， ADC与 的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与 B′A′D′的两边分别对应平行 的两边分别对应平行， ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何 ?
C' D' C D A A' B D' C D A
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B'
C' A'
B'
B
思考3:如图，在空间中AB// A′B′， 思考3:如图，在空间中AB// A′B′， 3:如图 A′C′，你能证明∠BAC与 AC// A′C′，你能证明∠BAC与 相等吗？ ∠B′A′C′ 相等吗？ C´ ´
a
b
a
b
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a a
b b
关于异面直线的定义， 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法 最合适？ 最合适？ A. 平面内的一条直线和这平面外的一条直 线； 分别在不同平面内的两条直线； B. 分别在不同平面内的两条直线； 不在同一个平面内的两条直线； C. 不在同一个平面内的两条直线； 不同在任何一个平面内的两条直线. D. 不同在任何一个平面内的两条直线.
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知识探究： 知识探究：等角定理
思考1:在平面上， 思考1:在平面上，如果一个角的两边与 1:在平面上 另一个角的两边分别平行， 另一个角的两边分别平行，那么这两个 角的大小有什么关系？ 角的大小有什么关系？
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思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ ABCD-思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′
作业:P26习题1.4A组 习题1.4A 作业:P26习题1.4A组：4，5 B组1，2.
教学反思： 教学反思：
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C G D H E F E A B H G C
—A1B1C1D1中，AC1∩平面 A1BD=M，求作点M。 C D
B A C1
D1
B1 本题体现了转化的思想，将在空间难以把握 的线面交点转化为同一平面内的线线交点， 确定了交点的位置。
A1
例3：求作下列截面：
D C B