2015年高考文科数学立体几何试题汇编
2015年高考数学真题分类汇编：专题(10)立体几何(文科)及答案
2015年高考数学真题分类汇编 专题10 立体几何 文1.【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【答案】A【解析】采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.【考点定位】直线、平面的位置关系.【名师点睛】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题，重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力.2.【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是14圆锥，底面周长是两个底面半径与14圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.3.【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为32313222233V cm =+⨯⨯=.故选C. 【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间想象能力和基本的运算能力.4.【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A) 123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52π【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯，故选B.【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.【名师点睛】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算，采用三视图还原成直观图，再利用简单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型.6.【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交【答案】A【解析】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．【考点定位】空间点、线、面的位置关系．【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少”、“至多”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．7.【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60o ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =o ，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C【解析】由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60o 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.【名师点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据给出的线面位置关系，通过空间想象能力，得到一个无限延展的圆锥被一个与之成60o 角的平面截得的图形是椭圆的结论.本题属于中等题，重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线的定义的理解.8.【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A .【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性.9、【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.10.【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．822+B ．1122+C ．1422+D ．15【答案】B【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为2+2+4+22=8+22， 所以该几何体的表面积为1122+，故选B ．【考点定位】三视图和表面积．【名师点睛】本题考查三视图和表面积计算，关键在于根据三视图还原体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体，属于中档题．11.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A ）错误!未找到引用源。
数学高考试题分类汇编：文科立体几何答案版
全国高考数学试题汇编 文科立体几何（答案解析版）[2015·安徽卷] 一个空间几何体的三视图以下列图，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80C 【解析】 由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(以下列图)，因此该直四棱柱的表面积为S ＝2×12×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.[2015·北京卷] 某四棱锥的三视图如图1－1所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2B 【解析】 由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4，高为2的正四棱锥，因此其表面积为4×4＋4×12×4×22＝16＋162，应选B.[2015·广东卷] 如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2C 【解析】 由三视图知该几何体为四棱锥，棱锥高h ＝(23)2－(3)2＝3，底面为菱形，对角线长分别为23，2，因此底面积为12×23×2＝23，因此V ＝13Sh ＝13×23×3＝2 3.[2015·湖南卷] 设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18C.92π＋12D.92π＋18 D 【解析】 由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为： V ＝V 1＋V 2＝43×π×⎝⎛⎭⎫323＋3×3×2＝92π＋18，应选D.[2015·辽宁卷] 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图1－3所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A ．4B ．2 3C ．2D. 3B 【解析】 由俯视图知该正三棱柱的直观图为以下列图，其中M ，N 是中点，矩形MNC 1C为左视图．由于体积为23，因此设棱长为a ，则12×a 2×sin60°×a ＝23，解得a ＝2.因此CM ＝3，故矩形MNC 1C 面积为23，应选B.[2015·课标全国卷] 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图以下列图，则相应的侧视图可以为( )图1－2D 【解析】 由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选D.[2015·陕西卷] 某几何体的三视图以下列图，则它的体积为( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD.2π3A 【解析】 主视图与左视图相同是边长为2的正方形，里面有两条虚线，俯视图是边长为2的正方形与直径为2的圆相切，其直观图为棱长为2的正方体中挖掉一个底面直径为2的圆锥，故其体积为正方体的体积与圆锥的体积之差，V 正＝23＝8，V 锥＝13πr 2h ＝2π3(r ＝1，h ＝2)，故体积V ＝8－2π3，故答案为A.[2015·天津卷] 一个几何体的三视图以下列图(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.4 【解析】 依照三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状相同的，底面长和宽都为1，高为2的长方体叠加而成，故其体积V ＝2×1×1＋1×1×2＝4.22015·浙江卷] 若某几何体的三视图以下列图，则这个几何体的直观图可以是( )[2015·福建卷] 如图1－3，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．2 【解析】 ∵ EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，又∵E 是AD 的中点，∴F 是CD 的中点，即EF 是△ACD 的中位线， ∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2.[2015·浙江卷] 若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都订交B 【解析】 在α内存在直线与l 订交，因此A 不正确；若α内存在直线与l 平行，又∵l ⊄α，则有l ∥α，与题设相矛盾，∴B 正确，C 不正确；在α内但是l 与α交点的直线与l 异面，D 不正确．[2015·广东卷] 正五棱柱中，不相同在任何侧面且不相同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( ) A ．20 B ．15 C ．12 D ．10D 【解析】 一个下底面5个点，每个下底面的点对于5个上底面的点，满足条件的对角线有2条，因此共有5×2＝10条．[2015·四川卷] l 1，l 2，l 3是空间三条不相同的直线，则以下命题正确的选项是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面B 【解析】 对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3订交于同一个点时不用然共面. 因此选B.[2015·湖北卷] 设球的体积为V 1，它的内接正方体的体积为V 2，以下说法中最合适的是( )A ．V 1比V 2大体多一半B ．V 1比V 2大体多两倍半C ．V 1比V 2大体多一倍D ．V 1比V 2大体多一倍半D 【解析】 设球的半径为R ，则V 1＝43πR 3.设正方体的边长为a ，则V 2＝a 3.又由于2R ＝3a ，因此V 1＝43π⎝⎛⎭⎫32a 3＝32πa 3，V 1－V 2＝⎝⎛⎭⎫32π－1a 3≈1.7a 3.[2015·辽宁卷] 已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( ) A.33 B.233 C.433 D.533C 【解析】 如图1－6，由于SC 是球的直径，因此∠SAC ＝∠SBC ＝90°，又∠ASC ＝∠BSC ＝45°，因此△SAC 、△BSC 为等腰直角三角形，取SC 中点D ，连接AD 、BD .由此得SC ⊥AD ，SC ⊥BD ，即SC ⊥平面ABD .因此V S －ABC ＝V S －ABD ＋V C －ABD ＝13S △ABD ·SC .由于在等腰直角三角形△SAC 中∠ASC ＝45°，SC ＝4，因此AD ＝2.同理BD ＝2. 又AB ＝2，因此△ABD 为正三角形，因此V S －ABC ＝13S △ABD ·SC ＝13×12×22·sin60°×4＝433，因此选C.[2015·课标全国卷] 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的极点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．13【解析】 如图，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r ，则球面面积为4πR 2，圆锥底面面积为πr 2，由题意πr 2＝1216πR 2，因此r ＝32R ，因此OO 1＝OA 2－O 1A 2＝R 2－34R 2＝12R ，因此SO 1＝R ＋12R ＝32R ， S 1O 1＝R －12R ＝12R ，因此S 1O 1SO 1＝R23R 2＝13.[2015·四川卷] 如图1－3，半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．图1－3 大纲文数15.G832π 【解析】 本题主要观察球的性质、球与圆柱的组合体、均值不等式的应用．如图1－4为轴截面，令圆柱的高为h ，底面半径为r ，侧面积为S ，球半径R ＝4，则⎝⎛⎭⎫h 22＋r 2＝R 2，即h ＝2R 2－r 2.由于S ＝2πrh ＝4πrR 2－r 2＝4πr 2·(R 2－r 2)≤4π⎝⎛⎭⎫r 2＋R 2－r 222＝2πR 2，取等号时，内接圆柱底面半径为 22R ，高为2R ，∴S 球－S 圆柱＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2＝32π.[2015·全国卷] 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．23【解析】 取A 1B 1的中点F ，连EF ，则EF ∥BC ，∠AEF 是异面直线AE 与BC 所成的角，设正方体的棱长为a ，可得AE ＝32a ，AF ＝52a ，在△AEF 中，运用余弦定理得cos ∠AEF＝23，即异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为23.[2015·安徽卷] 如图1－4，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形． (1)证明直线BC ∥EF ； (2)求棱锥F －OBED 的体积．图1－4【解答】 (1)证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点，由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，OA ＝1，OD ＝2，因此OB 綊12DE ，OG ＝OD ＝2.同理，设G ′是线段DA 与FC 延长线的交点，有OC 綊12DF ，OG ′＝OD ＝2，又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上，因此G 与G ′重合．在△GED 和△GFD 中，由OB 綊12DE 和OC 綊12DF ，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点．因此BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF . (2)由OB ＝1，OE ＝2，∠EOB ＝60°，知S △EOB ＝32. 而△OED 是边长为2的正三角形，故S △OED ＝ 3. 因此S OBED ＝S △EOB ＋S △OED ＝332. 过点F 作FQ ⊥DG ，交DG 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F －OBED 的高，且FQ ＝3，因此V F －OBED ＝13FQ ·S 四边形OBED ＝32.[2015·北京卷]图1－4如图1－4，在周围体P ABC 中，PC ⊥AB ，P A ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)可否存在点Q ，到周围体P ABC 六条棱的中点的距离相等？说明原由．课标文数17.G4[2015·北京卷] 【解答】 (1)证明：由于D ，E 分别为AP ，AC 的中点，图1－5 因此DE ∥PC .又由于DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ， 因此DE ∥平面BCP .(2)由于D 、E 、F 、G 分别为AP 、AC 、BC 、PB 的中点， 因此DE ∥PC ∥FG ， DG ∥AB ∥EF ，因此四边形DEFG 为平行四边形． 又由于PC ⊥AB ， 因此DE ⊥DG ，因此平行四边形DEFG 为矩形． (3)存在点Q 满足条件，原由以下： 连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点．由(2)知，DF ∩EG ＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC 、AB 的中点M ，N ，连接ME 、EN 、NG 、MG 、MN . 与(2)同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线交点为EG 的中点Q ， 且QM ＝QN ＝12EG .因此Q 为满足条件的点．[2015·江苏卷] 如图1－2，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．图1－2求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.课标数学16.G4，G5[2015·江苏卷] 本题主要观察直线与平面、平面与平面的地址关系，观察空间想象能力和推理论证能力．【解答】证明：(1)在△P AD中，由于E，F分别为AP，AD的中点，因此EF∥PD.又由于EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，图1－3因此直线EF∥平面PCD.(2)连接BD，由于AB＝AD，∠BAD＝60°，因此△ABD为正三角形，由于F是AD的中点，因此BF⊥AD.由于平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，因此BF⊥平面P AD.又由于BF⊂平面BEF，因此平面BEF⊥平面P AD.图1－6图1－81[2015·课标全国卷] 如图1－8，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：P A⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．课标文数18.G5，G11[2015·课标全国卷] 【解答】(1)证明：由于∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD，进而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，因此BD⊥平面P AD，故P A⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，因此BC⊥BD.图1－9故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.由题设知PD＝1，则BD＝3，PB＝2.依照DE·PB＝PD·BD得DE＝3 2.即棱锥D－PBC的高为3 2.[2015·陕西卷] 如图1－8，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．图1－8课标文数16.G5[2015·陕西卷] 【解答】(1)∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.又DB ∩DC ＝D .∴AD ⊥平面BDC .∵AD 平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ，DB ＝DA ＝DC ＝1.∴AB ＝BC ＝CA ＝ 2. 进而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12. S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32. ∴表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.2015·江苏卷] 如图1－2，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．图1－2求证：(1)直线EF ∥平面PCD ；(2)平面BEF ⊥平面P AD .课标数学16.G4，G5[2015·江苏卷] 本题主要观察直线与平面、平面与平面的地址关系，观察空间想象能力和推理论证能力．【解答】 证明：(1)在△P AD 中，由于E ，F 分别为AP ，AD 的中点，因此EF ∥PD .又由于EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，图1－3因此直线EF ∥平面PCD .(2)连接BD ，由于AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，因此△ABD 为正三角形，由于F 是AD 的中点，因此BF ⊥AD .由于平面P AD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，因此BF ⊥平面P AD .又由于BF ⊂平面BEF ，因此平面BEF ⊥平面P AD .[2015·辽宁卷] 如图1－8，四边形ABCD 为正方形，图1－8QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD . (1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值．课标文数18.G7[2015·辽宁卷] 【解答】 (1)由条件知PDAQ 为直角梯形．由于QA ⊥平面ABCD ，因此平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD .又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，因此DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC .在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD . 因此PQ ⊥平面DCQ .(2)设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，因此棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3. 由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高，而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 因此棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3. 故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.图1－61[2015·湖南卷] 如图1－5，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 在AB 上，且∠CAB ＝30°，D 为AC 的中点．(1)证明：AC ⊥平面POD ；(2)求直线OC 和平面P AC 所成角的正弦值．图1－5课标文数19.G5，G11[2015·湖南卷] 【解答】(1)由于OA ＝OC ，D 是AC 的中点，因此AC ⊥OD .又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，因此AC ⊥PO .而OD ，PO 是平面POD 内的两条订交直线，因此AC ⊥平面POD .(2)由(1)知，AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面P AC ，因此平面POD ⊥平面P AC .在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，则OH ⊥平面P AC .图1－6连接CH ，则CH 是OC 在平面P AC 上的射影，因此∠OCH 是直线OC 和平面P AC 所成的角．在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin30°＝12. 在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PO 2＋OD 2＝2×122＋14＝23. 在Rt △OHC 中，sin ∠OCH ＝OH OC ＝23. 故直线OC 和平面P AC 所成角的正弦值为23.图1－7[2015·浙江卷] 如图1－7，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．(1)证明：AP ⊥BC ；(2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2，求二面角B －AP －C 的大小．课标文数20.G11[2015·浙江卷] 【解答】 (1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 中点，得AD ⊥BC ，又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ，由于PO ∩AD ＝O ，因此BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥AP .(2)如图，在平面APB 内作BM ⊥P A 于M ，连CM .由于BC ⊥P A ，得P A ⊥平面BMC ，因此AP ⊥CM .故∠BMC 为二面角B －AP －C 的平面角．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得AB ＝41.在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2，在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2，因此PB 2＝PO 2＋OD 2＋BD 2＝36，得PB ＝6.在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.又cos ∠BP A ＝P A 2＋PB 2－AB 22P A ·PB ＝13， 进而sin ∠BP A ＝223.故BM ＝PB sin ∠BP A ＝4 2.同理CM ＝4 2.由于BM 2＋MC 2＝BC 2，因此∠BMC ＝90°，即二面角B －AP －C 的大小为90°.图1－5[2015·福建卷] 如图1－5，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P －ABCD 的体积．课标文数20.G12[2015·福建卷] 【解答】 (1)证明：由于P A ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，图1－6因此P A ⊥CE .由于AB ⊥AD ，CE ∥AB ，因此CE ⊥AD .又P A ∩AD ＝A ， 因此CE ⊥平面P AD .(2)由(1)可知CE ⊥AD .在Rt △ECD 中，DE ＝CD ·cos45°＝1，CE ＝CD ·sin45°＝1.又由于AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，因此四边形ABCE 为矩形．因此S 四边形ABCD ＝S 矩形ABCE ＋S △ECD ＝AB ·AE ＋12CE ·DE ＝1×2＋12×1×1＝52. 又P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，因此V 四棱锥P －ABCD ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝13×52×1＝56.2[2015·江西卷] 如图1－7，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求P A 的长；(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE .图1－7课标文数18.G12[2015·江西卷] 【解答】 (1)令P A ＝x (0<x <2)，则A ′P ＝PD ＝x ，BP ＝2－x .由于A ′P ⊥PD ，且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故A ′P ⊥平面PBCD .因此V A ′－PBCD ＝13Sh ＝16(2－x )(2＋x )x ＝16(4x －x 3)．图1－8令f (x )＝16(4x －x 3)，由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x ＝233. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递加； 当x ∈⎝⎛⎭⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，因此，当x ＝233时，f (x )获取最大值， 即：当V A ′－PBCD 最大时，P A ＝233. (2)证明：设F 为A ′B 的中点，连接PF ，FE .则有EF 綊12BC ，PD 綊12BC ，因此EF 綊PD ，四边形DEFP 为平行四边形，因此DE ∥PF ，又A ′P ＝PB ，因此PF ⊥A ′B ，故DE ⊥A ′B .[2015·山东卷] 如图1－5，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .图1－5课标文数19.G12[2015·山东卷] 【解答】证明：(1)证法一：由于D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，图1－6因此D1D⊥BD.又由于AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos60°＝3AD2.因此AD2＋BD2＝AB2，因此AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，因此BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，因此AA1⊥BD.证法二：由于D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，图1－7因此BD⊥D1D.取AB的中点G，连接DG.在△ABD中，由AB＝2AD得AG＝AD，又∠BAD＝60°，因此△ADG为等边三角形．因此GD＝GB.故∠DBG＝∠GDB，又∠AGD＝60°，因此∠GDB＝30°，故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，因此BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，因此BD ⊥平面ADD 1A 1，又AA 1⊂平面ADD 1A 1，因此AA 1⊥BD .(2)连接AC ，A 1C 1.图1－8设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1.由于四边形ABCD 为平行四边形，因此EC ＝12AC ， 由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，因此四边形A 1ECC 1为平行四边形．因此CC 1∥EA 1，又由于EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ，因此CC 1∥平面A 1BD .[2015·四川卷] 如图1－5，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于点D .(1)求证：PB 1∥平面BDA 1；(2)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值．图1－5[2015·四川卷] 【解答】 解法一：(1)连接AB 1与BA 1交于点O ，连接OD .∵C 1D ∥AA 1，A 1C 1＝C 1P ，∴AD ＝PD ，又AO ＝B 1O ，∴OD ∥PB 1.图1－6又OD ⊂平面BDA 1，PB 1⊄平面BDA 1，∴PB 1∥平面BDA 1.(2)过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连接BE .∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC ＝A ，∴BA ⊥平面AA 1C 1C .由三垂线定理可知BE ⊥DA 1.∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角．在Rt △A 1C 1D 中，A 1D ＝⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， 又S △AA 1D ＝12×1×1＝12×52×AE ， ∴AE ＝255. 在Rt △BAE 中，BE ＝12＋⎝⎛⎭⎫2552＝355， ∴cos ∠BEA ＝AE BE ＝23. 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23.[2015·天津卷] 如图1－7，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明PB ∥平面ACM ；(2)证明AD ⊥平面P AC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．图1－7课标文数17.G12[2015·天津卷]图1－8【解答】 (1)证明：连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，由于O 为AC 的中点，因此O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，因此PB ∥MO .由于PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，因此PB ∥平面ACM .(2)证明：由于∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，因此∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，因此PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，因此AD ⊥平面P AC .(3)取DO 中点N ，连接MN ，AN .由于M 为PD 的中点，因此MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，因此∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，因此DO ＝52.进而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455. 20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的周围体称之为鳖臑.在以下列图的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的 中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断周围体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明原由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，周围体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 【答案】（Ⅰ）由于PD ⊥底面ABCD ，因此PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，因此BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，因此BC DE ⊥. 又由于PD CD =，点E 是PC 的中点，因此DE PC ⊥. 而PC BC C =，因此DE ⊥平面PBC .周围体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V = 【解析】 试题解析：（Ⅰ）由侧棱PD ⊥底面ABCD 易知，PD BC ⊥；而底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，由线面垂直的判判定理知BC ⊥平面PCD ，进而由线面垂直的性质定理可得BC DE ⊥；在PCD ∆中，易得DE PC ⊥，再由线面垂直的判判定理即可得出结论.由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，进一步可得周围体EBCD 的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）证明结论，并依照棱锥的体积公式分别求出12,V V ，即可得出所求结果.试题解析：（Ⅰ）由于PD ⊥底面ABCD ，因此PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，因此BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，因此BC DE ⊥. 又由于PD CD =，点E 是PC 的中点，因此DE PC ⊥. 而PC BC C =，因此DE ⊥平面PBC . 由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知周围体EBCD 的四个面都是直角三角形，即周围体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，因此11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，因此21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC 中，由于PD CD =，点E 是PC的中点，因此2DE CE ==，于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅。
【数学】2015高考试题分类汇编：文科立体几何答案版
C 【解析】 如图 1－ 6，由于 SC 是球的直径， 所以∠ SAC＝∠ SBC＝ 90°，又∠ ASC＝∠ BSC ＝45°，所以△ SAC、△ BSC 为等腰直角三角形，取 SC 中点 D ，连接 AD、BD .由此得 SC⊥
1 AD ，SC⊥BD ，即 SC⊥平面 ABD .所以 VS－ABC＝ VS－ABD＋ VC－ABD ＝ 3S△ABD ·SC. 由于在等腰直角三角形△ SAC 中∠ ASC＝ 45°， SC＝ 4，所以 AD ＝ 2.同理 BD ＝ 2.
() A ． V1 比 V2 大约多一半
B． V1 比 V2 大约多两倍半 C． V1 比 V2 大约多一倍
D． V1 比 V2 大约多一倍半 D 【解析】 设球的半径为 R，则 V1＝43πR3.设正方体的边长为 a，则 V2＝ a3.又因为 2R＝ 3
a，所以
4 V1 ＝3π
3 2a
3＝
3 2
πa
′＝
OD
＝2，又由于
G和
G′都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与 G′重合．
在△ GED 和△ GFD 中，由 OB
綊
1 2DE
和
OC
1 綊 2DF
，可知
B
和
C
分别是
GE 和 GF 的中点．所
以 BC 是△ GEF 的中位线，故 BC∥ EF.
3 (2) 由 OB＝1， OE＝ 2，∠ EOB＝ 60°，知 S△EOB＝ 2 . 而△ OED 是边长为 2 的正三角形，故 S△OED＝ 3.
2 【解析】 ∵ EF∥平面 AB1C， EF ? 平面 ABCD ，平面 ABCD ∩平面 AB 1C＝AC，
∴EF ∥AC，
又∵ E 是 AD 的中点，
2015高考试题分类汇编文科立体几何试卷版
2015全国高考数学试题汇编文科立体几何（试题版）[2015·安徽卷] 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．48 B．32＋817 C．48＋817 D．80[2015·北京卷] 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A．32 B．16＋16 2 C．48 D．16＋32 2[2015·广东卷] 如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()A．4 3 B．4 C．2 3 D．2[2015·湖南卷] 设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18C.92π＋12D.92π＋18 [2015·辽宁卷] 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A ．4B ．2 3C ．2D. 3[2015·课标全国卷] 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )[2015·陕西卷] 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD.2π3[2015·天津卷] 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.[2015·浙江卷] 若某几何体的三视图如图1－1所示，则这个几何体的直观图可以是( )[2015·福建卷] 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．[2015·浙江卷] 若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内不存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交[2015·广东卷] 正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( ) A ．20B ．15C ．12D ．10[2015·四川卷] l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面[2015·湖北卷] 设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是()A．V1比V2大约多一半B．V1比V2大约多两倍半C．V1比V2大约多一倍D．V1比V2大约多一倍半[2015·辽宁卷] 已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC ＝45°，则棱锥S－ABC的体积为()A.33 B.233 C.433 D.533[2015·课标全国卷] 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．[2015·四川卷] 如图1－3，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．[2015·全国卷] 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC 所成角的余弦值为________．[2015·安徽卷] 如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD 上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．(1)证明直线BC∥EF；(2)求棱锥F－OBED的体积．[2015·北京卷] 如图，在四面体P ABC中，PC⊥AB，P A⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体P ABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．[2015·江苏卷] 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.[2015·课标全国卷] 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：P A⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．[2015·陕西卷] 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD 折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．[江苏卷] 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.[2015·辽宁卷] 如图，四边形ABCD 为正方形， QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值．[2015·湖南卷] 如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 在AB 上，且∠CAB ＝30°，D 为AC 的中点． (1)证明：AC ⊥平面POD ；(2)求直线OC 和平面P AC 所成角的正弦值．[2015·浙江卷] 如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．(1)证明：AP⊥BC；(2)已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，求二面角B－AP－C的大小．[2015·福建卷] 如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积．[2015·江西卷] 如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD . (1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求P A 的长；(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE .[2015·山东卷] 如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°. (1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .[2015·四川卷] 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连结AP交棱CC1于点D.(1)求证：PB1∥平面BDA1；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值．[2015·天津卷] 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD ＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明PB∥平面ACM；(2)证明AD⊥平面P AC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．。
2015最新高考文科数学真题专题分类汇编10立体几何
2
5. 【 2015 高考陕西，文 5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A． 3
B． 4
C． 2 4 D． 3 4
6. 【 2015 高考广东，文 6】若直线 l1 和 l2是异面直线， l1在平面 内， l 2 在平面 内， l 是平面 与平面
的交线，则下列命题正确的是（
H
CG
E B
F
D
A
C B
26.【 2015 高考新课标 1，文 18】（本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 交 点，
BE 平面 ABCD ，
（ I ）证明：平面 AEC 平面 BED ；
（ II ）若 ABC 120 ， AE
EC, 三棱锥 E ACD 的体积为 6 ，求该三棱锥的侧面积 . 3
面体的表面积是（
）
（A）1 3
（ B） 1 2 2
[来源:Z#xx#]
（ C） 2 3
（D） 2 2
15.【2015 高考天津，文 10】一个几何体的三视图如图所示（单位 :m）,则该几何体的体积为
m3 .
16.【 2015 高考四川，文 14】在三棱住 ABC － A1B1C1 中，∠ BAC＝ 90°，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，设点 M ， N， P 分别是 AB， BC，B1C1 的中点，则三 棱锥 P－A1MN 的体积是 ______.
） [来源 学科网]
A ． l 至少与 l1 ， l2 中的一条相交
B ． l 与 l1 ， l2 都相交
C． l 至多与 l1 ， l2 中的一条相交
2015年高考试题汇编数学文-立体几何
2015年高考真题――立体几何1. [新课标卷1]11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )A. 1B. 2C. 4D. 82.[全国课标2]6. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.B. C. D.3.[北京卷]7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( ) A. 1B.C.D. 24. [天津卷]10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 ．5. [山东卷]9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.B.C.D. 6.[广东卷]6. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )81716151111A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 7. [重庆卷]5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.123π+ B. 136π C. 73π D. 52π8.[安徽卷]9. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1B.1+C.2D.9.[江苏卷]9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 .10.[浙江卷]2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是( )A ．83cmB ．123cmC ．3233cm D ．4033cm11.[湖南卷]10.某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）( )A.89πB.827πC.21)πD.21)π221112212.[陕西卷]5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3πB. 4πC. 2π＋4D. 3π＋313.[湖北卷]5．12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则( ) A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件14.[新课标1]18.（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，(I)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(II)若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -.15.[全国课标2]19.（本小题满分12分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=10，AA 1=8,点E ，分别在A 1B 1, D 1C 1上，A 1E= D 1F=4.过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (I)在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） (II)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.22FD C 1A 1C如图，在三棱锥E-ABC 中，平面EAB ⊥平面ABC ，三角形EAB 为等边三角形，AC ⊥ BC,且AC=BC=,O,M 分别为AB,V A 的中点.(I)求证:VB//平面MOC.(II)求证：平面MOC ⊥平面 V AB (III)求三棱锥V-ABC 的体积.17. [天津卷]17.（满分13分） 如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11,BB AA AB=AC=3，1BC AA =，1BB =点E ，F 分别是BC ，1AC 的中点， （I ）求证：EF 平面11A B BA ； （II ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB 。
【数学】2015高考试题分类汇编：文科立体几何答案版.
2015全国高考数学试题汇编文科立体几何（答案分析版）[2015安徽卷]一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A . 48B . 32 + 8 C. 48+ 8 D . 80C 【解析】由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱（如图所示, 所以该直四棱柱的表面积为S= 2 (2 + 4 4+ 4 4+ 2 4 + 2 4 = 48+ 8.[2015北京卷]某四棱锥的三视图如图1 —1所示，该四棱锥的表面积是（啊辄1割A . 32B . 16+ 16 C. 48 D . 16+ 32B 【解析】由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以其表面积为44+ 4 42 = 16+ 16,故选 B.[2015 •东卷]如图，某几何体的正视图（主视图，侧视图（左视图和俯视图分别是等边三角形, 等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（C 【解析】由三视图知该几何体为四棱锥，棱锥高h== 3,底面为菱形，对角线长分别为2, 2，所以底面积为2 2= 2,所以V = Sh= 2 3= 2.[2015湖南卷]设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A . 9 n+ 42B . 36 n+ 18 C. * 12 D.先 18D 【解析】由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：V = V1 + V2 =n-3+ 3 3 2 = n+ 18,故选D.[2015辽宁卷]一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为1-3所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是(2,它的三视图中的俯视图如图A . 4B . 2 C. 2 D.B 【解析】由俯视图知该正三棱柱的直观图为下图，其中M , N是中点，矩形MNC 1C为左视图.[2015课标全国卷]在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(D 【解析】由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选 D.[2015陕西卷]某几何体的三视图如图所示，则它的体积为(A . 8 —B . 8 —C. 8 —2 n D.A 【解析】主视图与左视图一样是边长为2的正方形，里面有两条虚线，俯视图是边长为2的正方形与直径为2的圆相切，其直观图为棱长为2的正方体中挖掉一个底面直径为2的圆锥，故其体积为正方体的体积与圆锥的体积之差，V正=23= 8, V锥=n2h= (r = 1, h = 2,故体积V = 8 ―,故答案为A.［2015天津卷］一个几何体的三视图如图所示(单位：m，则该几何体的体积为__________ m3.4【解析】根据三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状一样的，底面长和宽都为1,高为2的长方体叠加而成，故其体积V = 211 + 112= 4.22015浙江卷］若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是[2015福建卷]如图1 —3,正方体ABCD —A1B1C1D1中，AB = 2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF //平面AB1C，则线段EF的长度等于___________ .【解析】•/ EF //平面ABIC , EF?平面ABCD，平面ABCD 平面ABIC = AC ,••• EF // AC ,又••• E是AD的中点，• F是CD的中点，即EF是厶ACD的中位线，• EF = AC = 2 =.[2015浙江卷]若直线I不平行于平面a且I? a,则(A . a内的所有直线与I异面B . a内不存在与I平行的直线C. a内存在唯一的直线与I平行D . a内的直线与I都相交B【解析】在a内存在直线与I相交，所以A不正确；若a内存在直线与I平行，又：I? a, 则有I // a,与题设相矛盾，• B正确，C不正确；在a内不过I与a交点的直线与I异面，D不正确.[2015 广东卷]正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有(A . 20B . 15 C. 12 D . 10D 【解析】一个下底面5个点，每个下底面的点对于5个上底面的点，满足条件的对角线有2条，所以共有52 = 10条.[2015四川卷]11 ,12 ,13是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A .11 丄12 , 12 丄13? 11 // 13B . 11 丄12 , 12 // 13? 11 丄13C. 11 // 12 // 13? 11 , 12, 13 共面D . 11 , 12 , 13 共点？ 11 , 12 , 13 共面B 【解析】对于A，直线11与13可能异面；对于C,直线11、12、13可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面；对于D，直线11、12、13相交于同一个点时不一定共面.所以选B. [2015湖北卷]设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是（A . V1比V2大约多一半B . V1比V2大约多两倍半C. V1比V2大约多一倍D . V1比V2大约多一倍半D 【解析】设球的半径为R,则V1 = n3•设正方体的边长为a,则V2 = a3.又因为2R= a,所以V1 = n 3 £3, V1 —V2= a3~ 1卫3.[2015辽宁卷]已知球的直径SC= 4, A、B是该球球面上的两点，AB= 2, / ASC= Z BSC=45 °则棱锥S- ABC的体积为（A. B. C. D.C 【解析】如图1 —6，由于SC是球的直径，所以Z SAC= Z SBC= 90 °又Z ASC= Z BSC=45°所以△ SAC、△ BSC为等腰直角三角形，取SC中点D，连接AD、BD.由此得SC丄AD, SC丄BD，即SC丄平面ABD.所以Vi —= V L—+ VX—= S A 二己：SC.由于在等腰直角三角形△ SAC中/ASC= 45° SC= 4,所以AD = 2•同理BD = 2.又AB = 2，所以△ ABD为正三角形，所以V m = S△上SC= XX22 •in60M=，所以选 C.[2015课标全国卷]已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.【解析】如图，设球的半径为R,圆锥底面半径为r，则球面面积为4T R2,圆锥底面面积为n2,由题意n2 = T R2，所以r = R,所以001 = = = R,所以SO1 = R+ R= R, S1O1 = R—R= R,所以==.[2015四川卷]如图1 —3,半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 ______________________ .大纲文数15.G832 n【解析】本题主要考查球的性质、球与圆柱的组合体、均值不等式的应用.如图1—4为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S,球半径R= 4,则2+ r2 = R2,即h = 2.因为S= 2 n h = 4 nr = 4 nW 4 n T R2，取等号时，内接圆柱底面半径为R,高为R,—S球一S圆柱=4T R2—2K R2 = 2K R2= 32 n.[2015全国卷]已知正方体ABCD —A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_______________ .【解析】取A1B1的中点F，连EF，则EF // BC,/ AEF是异面直线AE与BC所成的角，设正方体的棱长为a,可得AE= a, AF =玄，在厶AEF中，运用余弦定理得cos/ AEF =，即异面直线AE与BC所成角的余弦值为.[2015安徽卷]如图1 —4, ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD 上，OA = 1, OD = 2, △ OAB , △ OAC , △ ODE , △ ODF 都是正三角形.(1证明直线BC // EF;(2求棱锥F —OBED的体积.【解答】(1证明：设G是线段DA与EB延长线的交点，由于△ OAB与厶ODE都是正三角形，OA = 1, OD = 2，所以OB 綊DE , OG = OD = 2.同理，设G'是线段DA与FC延长线的交点，有OC綊DF, OG = OD = 2，又由于G和G'都在线段DA 的延长线上，所以G与G'重合.在厶GED和厶GFD中，由OB綊DE和OC綊DF，可知B和C分别是GE和GF的中点.所以BC是厶GEF的中位线，故BC // EF.(2 由OB= 1, OE = 2，/ EOB = 60 °知S A EOB =.而厶OED是边长为2的正三角形，故S A OED =.所以SOBED = S A EOB + S A OED =.过点F作FQ丄DG,交DG于点Q,由平面ABED丄平面ACFD知，FQ就是四棱锥 F —OBED 的高，且FQ =，所以VF —OBED = FQ-S四边形OBED =.[2015北京卷]如图1 —4,在四面体PABC中，PC丄AB , PA丄BC,点D , E, F, G分别是棱AP , AC ,BC , PB的中点.(1求证：DE //平面BCP;(2求证：四边形DEFG为矩形；(3是否存在点Q,至U四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.课标文数17.G4[2015北京卷]【解答】（1证明：因为D, E分别为AP, AC的中点,图1 — 5 所以DE // PC.又因为DE?平面BCP , PC?平面BCP , 所以DE //平面BCP.（2因为D、E、F、G分别为AP、AC、BC、PB的中点，所以DE // PC // FG ,DG // AB // EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC丄AB,所以DE丄DG ,所以平行四边形DEFG为矩形.（3存在点Q满足条件，理由如下：连接DF , EG,设Q为EG的中点.由（2 知，DF AEG = Q,且QD = QE = QF = QG = EG.分别取PC、AB的中点M, N，连接ME、EN、NG、MG、MN.与（2同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q,且QM = QN = EG.所以Q为满足条件的点.[2015 •苏卷]如图1 - 2,在四棱锥P—ABCD中，平面PAD丄平面ABCD , AB = AD，/ BAD =60° E、F分别是AP、AD的中点.求证：(1直线EF //平面PCD ;(2平面BEF丄平面PAD.课标数学16.G4 , G5[2015 -江苏卷]本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.【解答】证明：(1在厶PAD中，因为E, F分别为AP, AD的中点，所以EF // PD.又因为EF?平面PCD , PD?平面PCD ,图1 — 3所以直线EF //平面PCD .(2连结BD，因为AB = AD,Z BAD = 60 °所以△ ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BF丄AD.因为平面PAD丄平面ABCD , BF?平面ABCD ,平面PAD 门平面 ABCD = AD ，所以BF 丄平面 PAD.又因为BF?平面BEF ，所以平面 BEF 丄平面 PAD.1[2015课标全国卷]如图1 — 8,四棱锥P — ABCD 中，底面60 ° AB = 2AD , PD 丄底面 ABCD.(1证明：PA 丄BD ;(2设PD = AD = 1，求棱锥 D — PBC 的高.课标文数18.G5 , G11[2015 -课标全国卷]【解答】(1证明:余弦定理得BD = AD ,从而 BD2 + AD2 = AB2, 故 BD 丄 AD.又PD 丄底面 ABCD ，可得BD 丄PD ,所以BD 丄平面 PAD ，故PA 丄BD.(2如图，作DE 丄PB ,垂足为E.已知PD 丄底面 ABCD ，贝U PD 丄BC.ABCD 为平行四边形，/ DAB = 因为/ DAB = 60° AB = 2AD ，由 由(1知BD 丄AD ，又BC // AD ，所以BC 丄BD . 图1 — 8故BC丄平面PBD, BC丄DE.贝U DE丄平面PBC.由题设知PD = 1,贝U BD = , PB= 2.根据DE PB = PD BD 得DE =.即棱锥D —PBC的高为.[2015陕西卷]如图1 —8，在厶ABC中，/ ABC = 45° / BAC = 90° AD是BC上的高，沿AD把厶ABD折起，使/ BDC = 90° (1证明：平面ADB丄平面BDC ;(2若BD = 1,求三棱锥D —ABC的表面积.图1 —8课标文数16.G5[2015陕西卷]【解答】(1 v折起前AD是BC边上的高, •••当厶ABD折起后，AD丄DC，AD丄DB.又DB A DC = D.• AD丄平面BDC.•/ AD 平面ABD，•平面ABD丄平面BDC.(2 由(1 知，DA 丄DB, DB 丄DC , DC 丄DA,DB = DA = DC = 1.AB = BC= CA=.从而S A DAB = S A DBC = =S\ DCA = X1 X1 =.S A ABC = ">Sin60 =.表面积S= X3+=.2015江苏卷］如图1 —2，在四棱锥P —ABCD中，平面PAD丄平面ABCD , AB= AD，/ BAD =60° E、F分别是AP、AD的中点.求证：（1直线EF //平面PCD ;（2平面BEF丄平面PAD.课标数学16.G4 , G5［2015 -江苏卷］本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.【解答】证明：（1在厶PAD中，因为E, F分别为AP, AD的中点，所以EF / PD.又因为EF?平面PCD, PD?平面PCD ,所以直线EF //平面PCD.(2连结BD，因为AB = AD，/ BAD = 60 °所以△ ABD为正三角形，因为F是AD的中点, 所以BF丄AD.因为平面PAD丄平面ABCD , BF?平面ABCD ,平面PAD门平面ABCD = AD，所以BF丄平面PAD.又因为BF?平面BEF，所以平面BEF丄平面PAD.[2015 •宁卷]如图1 —8,四边形ABCD为正方形,QA 丄平面ABCD , PD // QA , QA = AB = PD.(1证明：PQ丄平面DCQ ;(2求棱锥Q —ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值.课标文数18.G7[2015辽宁卷]【解答】(1由条件知PDAQ为直角梯形. 因为QA丄平面ABCD，所以平面PDAQ丄平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC丄AD ,所以DC丄平面PDAQ，可得PQ丄DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ = PQ= PD,贝U PQ丄QD.所以PQ丄平面DCQ.(2 设AB = a.由题设知AQ为棱锥Q —ABCD的高，所以棱锥Q —ABCD的体积V1 = a3.由(1知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ= a, △ DCQ的面积为a2,所以棱锥P—DCQ的体积V2 = a3.故棱锥Q —ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.1[2015湖南卷]如图1 —5，在圆锥PO中，已知PO=,O O的直径AB = 2,点C在上，且/ CAB = 30° D为AC的中点.(1证明：AC丄平面POD ;(2求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.课标文数19.G5 , G11[2015 -湖南卷]【解答】(1因为OA = OC, D是AC的中点，所以AC丄OD. 又PO丄底面O O , AC?底面O O,所以AC丄PO.而OD, PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC丄平面POD.(2由(1知，AC丄平面POD，又AC?平面PAC,所以平面POD丄平面PAC.在平面POD中，过O作OH丄PD于H，贝U OH丄平面PAC.图1 — 6连结CH，贝U CH是OC在平面PAC上的射影, 所以/ OCH是直线OC和平面PAC所成的角.在Rt△ ODA 中，OD = OA sin30 =.在Rt△ POD 中，OH ===.在Rt△ OHC 中，sin/OCH ==.故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为.图1 —7[2015浙江卷]如图1 —7,在三棱锥P—ABC中，AB = AC, D为BC的中点，PO丄平面ABC, 垂足O落在线段AD 上.(1 证明：AP I BC;(2 已知BC = 8, PO = 4, AO= 3, OD = 2，求二面角B—AP —C 的大小.课标文数20.G11 [2015浙江卷]【解答】（1证明：由AB= AC, D是BC中点，得AD丄BC,又PO丄平面ABC, 得PO丄BC ,因为PO Q AD = O,所以BC丄平面PAD，故BC丄AP. (2如图，在平面APB内作BM丄PA于M，连CM. 因为BC丄PA，得PA丄平面BMC，所以AP I CM.故/ BMC为二面角B—AP - C的平面角.在Rt△ ADB 中，AB2= AD2 + BD2= 41,得AB=.在Rt△ POD 中，PD2 = PO2+ OD2,在Rt△ PDB 中, PB2= PD2 + BD2,所以PB2 = PO2+ OD2+ BD2 = 36,得PB= 6.在Rt△ POA 中，PA2= AO2 + OP2= 25,得PA= 5. 又cos / BPA= = ,从而sin / BPA=.故BM= PBsin / BPA= 4.同理CM= 4.因为BM甘MC2= BC2所以/ BM= 90°,即二面角B- AP— C的大小为90°.图1-5[2015 •福建卷]如图1 —5，四棱锥P— ABCD中, PU底面ABCD AB丄AD,点E在线段AD 上，且CE// AB.(1求证：CEL平面PAD(2 若PA= AB= 1, AD- 3, CD-,/ CDA= 45°，求四棱锥P—ABCD勺体积.课标文数20.G12[2015 •福建卷]【解答】(1证明：因为PAL平面ABCD CE?平面ABCD图1 — 6所以PAL CE因为AB丄AD, CE// AB所以CEL AD.又PA n AD- A,所以CEL平面PAD.(2 由(1 可知CEL AD.在Rt△ ECD中，DE- CD- cos45°= 1, CE- CD- sin45 ° = 1.又因为AB= CE- 1, AB// CE所以四边形ABCE为矩形.所以S 四边形ABC—S 矩形ABCEF S A ECD- AB - AE+ CE- DE- 1X 2+ X 1 X 1=. 又PAL平面ABCD PA= 1 , 所以V四棱锥P—ABC- S四边形ABCD PA- XX 1 -. 2[2015 •江西卷]如图1 —7,在厶ABC 中，/ B=, AB= BC= 2, P为AB边上一动点，PD// BC 交AC于点D,现将△ PDA沿PD翻折至△ PDA，使平面PDA丄平面PBCD.(1当棱锥A—PBCD的体积最大时，求PA的长;(2若点P为AB的中点，E为A C的中点，求证：A B丄DE课标文数18.G12[2015 •江西卷]【解答】(1 令PA= x(0<x<2，贝U A P= PD= x, BP= 2—x.因为A'P丄PD,且平面A PD丄平面PBCD 故A'P丄平面PBCD.所以VA'—PBCD= Sh= (2 —x(2 + xx = (4x —x3.令f(x = (4x —x3，由 f ‘ (x = (4 —3x2= 0，得x=.当x€时，f ' (x>0，f(x单调递增；当x€时，f ' (x<0，f(x单调递减，所以，当x=时，f(x取得最大值，即：当VA'—PBCD最大时，PA=.(2证明：设F为A'B的中点，连接PF, FE.则有EF綊BC，PD綊BC，所以EF綊PD,四边形DEFP为平行四边形，所以DE// PF,又A P= PB,所以PF丄A B,故DEL A'B.[2015 •山东卷]如图1 —5，在四棱台ABCD- A1B1C1D1中，D1D L平面ABCD底面ABCD是平行四边形，AB= 2AD, AD= A1B1, / BAD= 60°.(1 证明：AA1L BD(2 证明：CC1 //平面A1BD.图1 — 5课标文数19.G12[2015 •山东卷]【解答】证明：（1证法因为D1D L平面ABCD且BD?平面ABCD图1 — 6所以D1D L BD.又因为AB= 2AD, / BAD= 60°,在厶ABD中，由余弦定理得BD2 = AE2 + AB2 —2AD- AB DOS60°= 3AE2.所以AD2+ BD2= AB2所以AD L BD.又AD A D1D= D,所以BDL平面ADD1A1.又AA1?平面ADD1A1所以AA1丄BD.证法因为D1DL平面ABCD且BD?平面ABCD所以BDL D1D取AB的中点G连接DG.在厶ABD 中,由AB= 2AD得AG= AD,又/ BAD= 60°，所以△ ADG为等边三角形.因此GD= GB.故/ DB&/ GDB又/ AGD= 60°,所以/ GDB= 30°,故/ ADB=Z ADG/ GDB= 60°+ 30°= 90 所以BD L AD. 又AD A D1D= D,所以BDL平面ADD1A1 又AA1?平面ADD1A1所以AA1丄BD.设 ACH BD= E ,连接 EA1. 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以EC = AC由棱台定义及 AB = 2AD= 2A1B1知， A1C1// EC 且 A1C1= EC所以四边形A1ECC 伪平行四边形. 因此 CC1// EA1,又因为EA1?平面 A1BD CC1?平面 A1BD所以CC1//平面A1BD.[2015 •四川卷]如图1 — 5,在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，/ BAC= 90 延长A1C1至点P ,使C1P = A1C1,连结 AP 交棱CC1于点D. AB= AC = AA1= 1,(1 求证：PB1// 平面 BDA1;(2求二面角A — AID- B 的平面角的余弦值. (2 连接 AC A1C1.[2015 •四川卷]【解答】解法(1连结AB1与BA1交于点O,连结OD.•/ C1D/ AA1, A1C1= C1P, ••• AD= PD,又AO= B1Q • OD/ PB1.图1 — 6又OD?平面BDA1, PB1?平面BDA1,• PB1 //平面BDA1.(2过A作AEL DA1于点E ,连结BE.•/ BAL CA BAL AA1,且AA们AC= A,• BAL平面AA1C1C.由三垂线定理可知BE L DA1.•/ BEA为二面角A- AID- B的平面角.在Rt △ A1C1D 中，A1D= =,又S A AA1D=X 1 X 1=XX AE• AB .在Rt △ BAE 中，BE= =, • cos / BEA==.故二面角A—A1A B的平面角的余弦值为[2015 •天津卷]如图1 —7,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为平行四边形，/ ADC= 45AD= AC= 1, O为AC的中点，POL平面ABCD PO= 2, M为PD的中点.(1证明PB//平面ACM(2证明ADL平面PAC(3求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.课标文数17.G12[2015 •天津卷]图1 —8【解答】(1证明：连接BD, MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点.又M为PD的中点，所以PB// MO因为PB?平面ACM MC?平面ACM所以PB//平面ACM.(2证明：因为/ ADC= 45°，且A» AC= 1，所以/ DAC= 90°,即卩AD L AC又PC L平面ABCD AD?平面ABCD 所以POL AD.而AS PO= O,所以ADL平面PAC.(3取DO中点N,连接MN, AN.因为M为PD的中点，所以MN/ PQ 且MN k PO= 1.由PO L平面ABCD得MN L平面ABCD所以/ MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在Rt△ DAO中，AD=1, AO=，所以DO=.从而AN^ DO=.在Rt △ ANM中, tan / MAN= ==，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为•20.(本小题满分13分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.中，侧棱；底面，且：，点.是「的(I)证明：；平面•’.试判断四面体，—是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(U)记阳马「'的体积为，四面体■ !-的体积为'，求的值.【答案】(I)因为「底面■，所以Q '1.由底面：为长方形，有■ ■'，而轮童，所以. 平面•..「平面•.，所以- ■.又因为；，点，是「的中点，所以「.而•’，所以；平面尹皆/.四面体■兀』是- 一个鳖臑; (n) J【解析】试题分析：（I）由侧棱：底面• •易知，3 ..;而底面 ,•为长方形，有〃「丄，由线面垂直的判定定理知B「丄平面，进而由线面垂直的性质定理可得处丄DF ；在\PCD中，易得DE1 PC，再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由决’丄平面••，，平面•’，进一步可得四面体，■ ■的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（n）结合（I）证明结论，并根据棱锥的体积公式分别求出'',即可得出所求结果.试题解析：（I）因为逹:亠底面,所以「■'.由底面•为长方形，有■ ■',而财门，所以.平面• . . ■. 平面••，所以- 1 .又因为- ，点’是「的中点，所以「..而「，所以；平面'.由，平面，平面•■，可知四面体厂，:的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是罢:溟乙筑線££逆：烈遽盘（n）由已知，」是阳马…•的高，所以' •：「；由卄V= -S^f DE=~ AC CE DE（I）知，…是鳖臑，■的高，厂，所以r）E - CE —^CD在I △「中，因为「'，点•是「的中点，所以一，于是BCCEDE 2S PD CE DE66。
2015高考试题――立体几何
2015高考试题――立体几何1.【2015高考安徽，理5】已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行（C）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线（D）若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由A，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；由B，若m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；由C，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D项，其逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确.所以选D.【考点定位】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.2.【2015高考北京，理4】设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα⊂．“mβ∥”是“αβ∥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.考点定位：本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考察线面、面面平行问题和充要条件的有关知识.【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件，本题属于基础题，本题以空间线、面位置关系为载体，考查充要条件．考查学生对空间线、面的位置关系及空间面、面的位置关系的理解及空间想象能力，重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质.3.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
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图 21俯视图侧视图正视图211.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A ．16B ．13C ．23D ．13. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ．3B.1C.21+ D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9πD. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．317 B ．210 C ．132D ．310 B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23（B ）3 （C ）2 （D ）138. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）（A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台9. （全国新课标9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A) (B) (C) (D) 10.（浙江卷4）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，A 、若m ∥α，n ∥α,则m ∥nB 、若m ∥α，m ∥β,则α∥βC 、若m ∥n ，m ⊥α,则n ⊥αD 、若m ∥α，α⊥β,则m ⊥β11.（浙江卷5）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A 、108cm 3B 、100 cm 3C 、92cm 3D 、84cm312. （重庆卷8）某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为（ ）（A ）180 （B ）200 （C ）220 （D ）24013. （辽宁卷13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .14.（安徽15）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的 是 （写出所有正确命题的编号）。
①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 和11C D 的交点R 满足113C R =④当314CQ <<时，S 为六边形⑤当1CQ =时，S的面积为6215.（北京10）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。
16.（广东卷15）如图，在矩形ABCD 中，3,AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．17. （江苏卷8）如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V .18. (江西卷15)如图，正方体的底面和正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD,则直线EF 和正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 。
19. （全国卷16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .20. （陕西卷12）某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . 21. （天津卷10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 . 22. （全国新课标15）已知正四棱锥O ABCD -的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________。
图 3ECBDAABC1ADE F1B1C图 4GEF ABCD图 5DGBFCAE23.（安徽18）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=.已知2,6PB PD PA ===.（Ⅰ）证明：PC BD ⊥（Ⅱ）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积. 24.（北京17）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：（1）PA ⊥底面ABCD （2）//BE 平面PAD （3）平面BEF ⊥平面PCD25.（福建18）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥面，//AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠=．（1）当正视图方向和向量AD 的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图.（要求标出尺寸，并画出演算过程）；（2）若M 为PA 的中点，求证：//DM PBC 面； （3）求三棱锥的体积．26.（广东卷18）如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点， ，是BC 的中点，AF 和DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中22BC =．(1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．27.（湖南卷17）如图，在直菱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC=90°，AB=AC=，AA 1=3，D 是BC 的中点，点E 在菱BB 1上运动。
（I ） 证明：AD ⊥C 1E ；（II ） 当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三菱锥C 1-A 2B 1E 的体积 SAB ⊥平面28.（江苏卷16）如图，在三棱锥S ABC -中，平面SBC ，AB BC ⊥,AS AB =. 过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ,G 分别是侧棱SA ,SC 的中点.求证：(1) 平面EFG //平面ABC ;(2) BC SA ⊥.（29.（江西卷19）如图，直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB//CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA 1=3，E 为CD 上一点，DE=1，EC=3（1） 证明：BE ⊥平面BB 1C 1C;（2） 求点B1 到平面EA 1C 1 的距离 30.（辽宁卷18）如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证：BC PAC ⊥平面；（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面31.（全国卷19）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离32.（陕西卷18）如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD ,12AB AA ==.(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.33.（四川卷19）如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，122AB AC AA ===，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 上异于端点的点。
（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 和平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；OD 1B 1C 1DACA 1（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥11A QC D -的体积。
（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）34.（天津卷17）如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点. (Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;(Ⅲ) 求直线BC 和平面A 1CD 所成角的正弦值.35.（全国新课标18）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，（Ⅰ）证明：1//BC 平面11A CD ；（Ⅱ）设12AA AC CB ===，22AB =，求三棱锥1C A DE -的体积。
36.（浙江卷19）如图，在在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点. （Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC ;（Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 和PAC 所成的角的正切值； （Ⅲ）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PGGC的值.37.（重庆卷19）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，23PA =，2BC CD ==，3ACB ACD π∠=∠=．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF -的体积． 38．如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且和直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知D 1DCBA 1B 1C 1A PED B 1C 1A CB A 11231()3V d d d S =++，试判断V 估和V 的大小关系，并加以证明.。