2015年全国高考数学卷文科卷1及解析
2015年高考新课标全国卷Ⅰ文科数学试题(附答案)
2015年全国高考试题独家解析(新课标全国卷Ⅰ)文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为A ．5B ．4C ．3D ．22．已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = A ．(7,4)-- B ．(7,4) C ．(1,4)- D ．(1,4) 3．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为A ．310 B ．15 C ．110 D ．1205．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A B 、是C 的准线与E 的两个交点，则AB = A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = A ．172 B ．192C ．10D ．12 8．函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈9．执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =A ．5B ．6C ．7D ．810．已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-=⎨-+>⎩≤ ，且()3f a =-，则(6)f a -=A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =A ．1-B ．1C ．2D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2015年全国高考新课标卷Ⅰ(文科)答案及考点分析
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案一、 选择题 （1）【答案】D【解析】由条件知，当n =2时，3n +2=8，当n =4时，3n +2=14，故A ∩B ={8,14},故选D. （2）【答案】A【解析】)1,3(=-=OA OB AB ,)4,7(--=-=∴AB AC BC . (3)【答案】C【解析】i 1i )1(+=-z ，i 2ii21-=+=∴z ，故选C. (4)【答案】C【解析】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为101，故选C. (5)【答案】B【解析】 抛物线x y C 8:2=的焦点为)0,2(，准线方程为2-=x ，∴椭圆E 的右焦点为)0,2(， ∴椭圆E 的的焦点在x 轴上，设方程为)0(12222>>=+b a by a x ，2=c ，21==∴a c e .12,4222=-==∴c a b a ，∴椭圆方程为1121622=+y x .将2-=x 代入椭圆方程，得)3,2(),3,2(---B A ,6||=∴AB ,选B.(6)【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则8241=⨯r π，所以31616≈=πr .所以米堆的体积93205)316(31412=⨯⨯=πV .所以堆放的米约有2262.19320≈÷斛.选B. (7)【答案】B【解析】∵公差1=d ，484S S =，)34214(47821811⨯⨯+=⨯⨯+∴a a ，解得211=a ， 2199219110=+=+=∴d a a ，故选B. (8)【答案】D【解析】由“五点作图”法，可知24πϕω=+，2345πϕω=+，解得4,2πϕω==.所以)4cos()(ππ+=x x f .由πππππ+<+<k x k 242，解得432412+<<-k x k ，Z ∈k故单调减区间为Z ∈+-k k k ),432,412(，故选D. (9)【答案】C【解析】执行第1次，01.0=t ，S =1，n =0，21=m =0.5，S =S -m =0.5，2m m ==0.25，n =1，S =0.5＞01.0=t ，是，循环； 执行第2次，m S S -==0.25，2mm ==0.125，n =2，S =0.25＞01.0=t ，是，循环； 执行第3次，m S S -==0.125，2mm ==0.0625，n =3，S =0.125＞01.0=t ，是，循环； 执行第4次，m S S -==0.0625，2mm ==0.03125，n =4，S =0.0625＞01.0=t ，是，循环； 执行第5次，m S S -==0.03125，2mm ==0.015625，n =5，S =0.03125＞01.0=t ，是，循环； 执行第6次，m S S -==0.015625，2mm ==0.0078125，n =6，S=0.015625＞01.0=t ，是，循环；执行第7次，m S S -==0.0078125，2mm ==0.00390625，n =7，S=0.0078125＞01.0=t ，否，输出n =7，故选C. (10)【答案】A【解析】3)(-=a f ，∴当1≤a 时，322)(1-=-=-a a f ，即121-=-a ，此等式显然不成立，当1>a 时，3)1(log 2-=+-a ，解得7=a .2722)1()6(11-=-=-=-∴--f a f ，故选A.(11)【答案】B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体的组合体.其表面积为22222)54(242r r r r r ππππ+=+++.由ππ2016)54(2+=+r ，得2=r .故选B.(12)【答案】C【解析】设),(y x 是函数)(x f y =的图像上任意一点，它关于直线x y -=对称为（,y x --），由已知知),(x y --在函数a x y +=2的图像上，a y x +-=-∴2，解得a x y +--=)(log 2，即a x x f +--=)(log )(2，14log 2log )4()2(22=+-+-=-+∴a a f f ，解得2=a ，故选C.二、填空题 (13)【答案】6【解析】n n a a a 2,211==+ ，∴数列}{n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 12621)21(2=--=∴n n S ，642=∴n ，6=∴n .(14)【答案】1【解析】13)(2+='ax x f ，13)1(+='∴a f ，即切线斜率13+=a k . 又2)1(+=a f ，∴切点为)2,1(+a ， 切线过（2,7），132172+=--+∴a a ，解得1=a . (15)【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线03:0=+y x l ，平移直线0l ，当直线l :z =3x +y 过点A 时，z 取最大值，由⎩⎨⎧=+-=-+,012,02y x y x 解得A （1,1），∴z =3x +y 的最大值为4.(16)【答案】612【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义，知||2||1PF a PF +=.APF ∆∴的周长为||||2||||||||1AF PF a PA AF PF PA +++=++a AF PF PA 2||||||1+++.由于||2AF a +是定值，要使APF ∆周长最小，只需||||1PF PA +最小，即1,,F A P 共线. )0,3(),66,0(1-F A ,∴直线1AF 的方程为1663=+-y x ，即362-=y x ，代入1822=-y x ，并整理得096662=-+y y .解得62=y 或68-=y （舍去），所以P 点的纵坐标为62.612626216662111=⨯⨯-⨯⨯=-=∴∆∆∆PFF AFF APF S S S . 三、解答题（17）【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理可得ac b 22=. 又b a =，所以412cos 222=-+=ac b c a B .（Ⅱ）由（Ⅰ）知2b =2ac .因为 90=B ，由勾股定理得222b c a =+. 故ac c a 222=+，2==a c .所以△ABC 的面积为1.（18）【解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ,所以AC ⊥BE . 故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED . （Ⅱ）设AB =x .在菱形ABCD 中，因为120=∠ABC ，ABCDEG所以AG =GC =x 23，GB =GD =2x .因为AE ⊥EC ，所以在AEC ∆Rt 中，可得x EG 23=. 因为BE ⊥平面ABCD ，所以△EBG 为直角三角形，可得BE =x 22. 由已知得，三棱锥E -ACD 的体积3624621313==⋅⋅⨯⨯=-x BE GD AC V ACD E . 解得x =2.从而可得AE =EC =ED =6.所以EAC ∆的面积为3，EAD ∆的面积与ECD ∆的面积均为5. 所以，三棱锥E -ACD 的侧面积为523+.（19）【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，x d c y +=适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程式类型.（Ⅱ）令x =ω，先建立y 关于w 的线性回归方程式. 由于686.18.108)())((81281==---=∑∑==i ii i iy y d ωωωω，6.1008.668563=⨯-=-=ωd y c. 所以y 关于w 的线性回归方程为ω686.100+=y,因此y 关于x 的回归方程为x y 686.100+=.（Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值6.57649686.100=+=y， 年利润z 的预报值32.66492.06.576=-⨯=z.（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值12.206.13)686.100(6.2.0++-=-+⨯=x x x x z. 所以当8.626.13==x ，即x =46.24时，z 取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. （20）【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为1+=kx y ，即01=+-y kx . 因为l 与C 交于两点，所以11|132|2<++-k k .解得374374+<<-k . 所以k 的取值范围为)374,374(+-. （Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N .将1+=kx y 代入方程1)3()2(22=-+-y x ，整理得07)1(4)1(22=++-+x k x k .所以2211)1(4k k x x ++=+，22117k x x +=. 所以2121y y x x ON OM +=⋅1)()1(21212++++=x x k x x k 81)1(42+++=k k k .由题设可得1281)1(42=+++k k k ，解得k =1，所以l 的方程是1+=x y .故圆心C 在l 上，所以2||=MN .（21）【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，)0(e 2)(2>-='x xa x f x . 当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f '没有零点； 当0>a 时，因为x 2e 单调递增，xa-单调递增，所以)(x f '在),0(+∞单调递增. 又01e 2)(2>-='a a f所以，当0>a 时)(x f '存在唯一零点.（Ⅱ）由（Ⅰ），可设)(x f '在),0(+∞的唯一零点为0x . 当),0(0x x ∈时，0)(<'x f ；当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x f . 所以)(x f 在),0(0x 单调递减，在),(0+∞x 单调递增， 所以0x x =时，)(x f 取得最小值，最小值为)(x f . 由于0e 2020=-x a x 所以，当0>a 时，aa a x f 2ln 2)(+≥.（22）【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，BC AE ⊥，AB AC ⊥. 在AEC ∆Rt 中，由已知得，DE =DC ，故DCE DEC ∠=∠. 连接OE ，则∠OBE =∠OEB . 又∠ACB +∠ABC =90°，所以∠DEC +∠OEB =90°. 故 90=∠OED ，DE 是⊙O 得切线.（Ⅱ）设CE =1，AE =x ，由已知得32=AB ，212x BE -=. 由射影定理可得，BE CE AE ⋅=2，所以2212x x -=，即42120x x +-=，解得3=x .所以 60=∠ACB . （23）【解析】（Ⅰ）因为θρcos =x ，θρsin =y ，所以1C 的极坐标方程为2cos -=θρ， 2C 的极坐标方程为04sin 4cos 22=+--θρθρρ.（Ⅱ）将4πθ=代入04sin 4cos 22=+--θρθρρ，得04232=+-ρρ， 解得221=ρ，22=ρ.故221=-ρρ，即2||=MN . 由于2C 的半径为1，所以MN C 2∆的面积为21. AOBD C E（24）【解析】（Ⅰ）当1a =时，1)(>x f 化为01|1|2|1|>---+x x . 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得132<<x ； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<. 所以1)(>x f 的解集为}232|{<<x x . （Ⅱ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数)(x f 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为)0,312(-a A ，)0,12(+a B ，)1,(+a a C ，ABC ∆的面积为2)1(32+a .由题设得6)1(322>+a ，故2a >. 所以a 的取值范围为),2(+∞.2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学考点分析。
2015年高考文科数学全国卷及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试(新 本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷2015·新课标Ⅰ卷 第1页一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝｛x |x ＝3n ＋2，n ∈N },B ＝｛6，8，10，12,14｝，则集合A ∩B 中元素的个数为( ）A ．5B ．4C ．3D ．22．已知点A （0,1)，B (3，2)，向量AC →＝（－4，－3)，则向量错误!＝（ )A ．（－7，－4)B ．（7，4）C ．（－1,4）D ．（1，4)3．已知复数z 满足（z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A 。
错误! B.错误! C.错误! D 。
错误!5．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为错误!，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合,A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则｜AB |＝( ）A ．3B ．6C ．9D ．12 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺,高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1。
62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝（ ) A.172B.错误! C ．10 D ．12 8.函数f (x ）＝cos （ωx ＋φ）的部分图象如图所示，则f （x )的单调递减区间为（ ）A 。
2015年高考真题——文科数学(新课标Ⅰ卷)Word版含答案
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,12,14},则集合A⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，=（A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A）1(B) 2(C) 4(D) 8（12）设函数y=f（x）的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，则a=（A）-1 （B）1 （C）2 （D）42015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2015年全国卷1文科数学高考真题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文一、选择题：每小题5分,共60分1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为（A ）5（B ）4（C ）3（D ）22、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ）(7,4)--（B ）(7,4)（C ）(1,4)-（D ）(1,4)3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（）（A ）2i--（B ）2i-+（C ）2i-（D ）2i+4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）（A ）310（B ）15（C ）110（D ）1205、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ）3（B ）6（C ）9（D ）126、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）（A ）14斛（B ）22斛（C ）36斛（D ）66斛7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ）172（B ）192（C ）10（D ）128、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,244k k k Zππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z-+∈9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（）（A ）5（B ）6（C ）7（D ）810、已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(6)f a -=（A ）74-（B ）54-（C ）34-（D ）14-11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =()（A ）1（B ）2（C ）4（D ）812、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =()（A ）1-（B ）1（C ）2（D ）4二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n =.14.已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a =.15.若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为．16.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．三、解答题17.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且a =求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥三棱锥E ACD -的体积为3，求该三棱锥的侧面积.19.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-，根据（II ）的结果回答下列问题：（i ）当年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？20.（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .21.（本小题满分12分）设函数()2ln xf x ea x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是 O 直径，AC 是 O 切线，BC 交 O 与点E .（I ）若D 为AC 中点，证明：DE 是 O 切线；（II ）若OA =，求ACB ∠的大小.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.欢迎光临：蒙清牛肉干店（按ctrl 键点击即可进入淘宝店铺）牛肉干无脂肪.减肥必备超级抗饿.熬夜必备美食（3斤牛肉才做1斤牛肉干）2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文答案一、选择题（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二、填空题（13）6（14）1（15）4（16）三、解答题17、解：（I ）由题设及正弦定理可得2b =2ac.又a=b ，可得cosB=2222a c b ac+-=14……6分（II ）由（I ）知2b =2ac.因为B=o90，由勾股定理得222a c =b +.故22a c =2ac +，的.所以△ABC 的面积为1.……12分18、解：（I）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED.……5分（II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o120，可得AG=GC=32x ，GB=GD=2x .因为AE ⊥EC,所以在Rt△AEC 中，可的EG=32x .由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=2x .由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×12AC ·GD ·BE=366243x =.故x =2……9分从而可得.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD.故三棱锥E-ACD 的侧面积为……12分19、解：（I ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程式类型.（II）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程式.由于28181()()108.8d=681.6(i i i i i w w y y w w ==--==-∑∑ ,56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为y=100.668w +,因此y 关于x的回归方程为y 100.6=+（Ⅲ）（i ）由（II ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y 100.6=+，年利润z 的预报值z=576.60.24966.32⨯-=……9分（ii ）根据（II ）的结果知，年利润z的预报值=-20.12x x ++.13.6=6.82=，即x =46.24时，z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分20、解：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.因为l 与C1.解得474733k +〈〈.所以k 的取值范围为4747()33+.……5分（II ）设()1122,,(,)M x y N x y .将1y kx =+代入方程22(2)(3)1x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=.所以1212224(1)7,11k x x x x k k++==++.1212OM ON c x y y ⋅=+()()2121211k x x k x x =++++()24181k k k +=++.由题设可得()24181k k k+=++=12，解得k=1，所以l 的方程是y=x+1.故圆心C 在l上，所以2MN =.……12分21、解：（I ）()f x 的定义域为()()20,,2(0)xaf x e x x'+∞=-〉.当a ≤0时，()()0f x f x ''〉，没有零点；当0a 〉时，因为2xe 单调递增，ax-单调递减，所以()f x '在()0,+∞单调递增，又()0f a '〉，当b 满足0＜b ＜4a且b ＜14时，()0f b '〈，故当a ＜0时()f x '存在唯一零点.……6分（II ）由（I ），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0；当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0.故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x .由于02020x aex -=，所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a =++≥+.故当0a 〉时，()221f x a a n a≥+.……12分22、解：（I ）连接AE ，由已知得，AE ⊥BC,AC ⊥AB.在Rt △AEC 中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE ，则∠OBE=∠OEB.又∠OED+∠ABC=o90，所以∠DEC+∠OEB=o90，故∠OED=o90，DE 是 O 的切线. (5)分（II ）设CE=1，AE=x ，由已知得AB=由射影定理可得，2AE CE BE =⋅，所以2x =，即42120x x +-=.可得x =ACB=60o .……10分23、解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分（II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==.故12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12.……10分24、解：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +---＞.当1x ≤-时，不等式化为40x -＞，无解；当11x -＜＜时，不等式化为320x -＞，解得213x ＜＜；当1x ≥，不等式化为-x +2＞0，解得1≤x ＜2.所以()1f x >的解集为223x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭︱＜＜.……5分（II ）由题设可得，()12,1312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++⎩＜＜所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个丁点分别为()()21,0,21,0,,13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭,△ABC 的面积为()2213a +.由题设得()2213a +＞6，故a ＞2.所以a 的取值范围为()2+∞，.……10分。
2015年全国1卷高考文数试题答案解析
2015年全国1卷高考文数试题解析（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B 中元素的个数为（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2解析：{|32,}{6,8,12,14}{8,14}A B x x n n N ==+∈=I I ，答案选D.（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC uuu r =（-4，-3），则向量BC uuu r =（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4）解析：由(4,3)AC =--u u u r 及点A （0,1）可得点C （-4，-2），则(43,22)(7,4)BC =----=--uuu r ，答案选A.（3）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（A ）-2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i解析：由（z-1）i=i+1可得112i z i i+=+=-，答案选C （4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120解析：由题意可知1，2，3，4，5中只有3，4，5这一组勾股数，3335110C P C ==,答案选C.（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|=（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12解析：抛物线C ：y ²=8x 的焦点为(2,0)，则椭圆E 22221(0)x y a b a b+=>>中的22122,,4,12,||62c b c e a b AB a a ========，答案故选B.（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)解析版 学霸冲冲冲
2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）解析版参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|32A x x n ==+，}n N ∈，{6B =，8，10，12，14}，则集合A B 中元素的个数为( ) A ．5B ．4C ．3D ．2【考点】1E ：交集及其运算 【专题】5J ：集合【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：{|32A x x n ==+，}{2n N ∈=，5，8，11，14，17，}⋯， 则{8AB =，14}，故集合AB 中元素的个数为2个，故选：D ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--，则向量(BC = ) A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)【考点】9J ：平面向量的坐标运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】顺序求出有向线段AB ，然后由BC AC AB =-求之．【解答】解：由已知点(0,1)A ，(3,2)B ，得到(3,1)AB =，向量(4,3)AC =--， 则向量(7,4)BC AC AB =-=--； 故选：A ．【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．3．（5分）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则(z = ) A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +【考点】5A ：复数的运算 【专题】5N ：数系的扩充和复数【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得1z -，进一步求得z ． 【解答】解：由(1)1z i i -=+，得21(1)11i i i z i i i+-+-===--， 2z i ∴=-．故选：C ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为() A ．310B ．15C ．110D ．120【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【专题】5I ：概率与统计【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种，其中只有(3，4，5)为勾股数， 故这3个数构成一组勾股数的概率为110． 故选：C ．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．5．（5分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则||(AB = ) A ．3B ．6C ．9D ．12【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合；KI ：圆锥曲线的综合【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A ，B 坐标，即可求解所求结果． 【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点(,0)c 与抛物线2:8C y x =的焦点(2,0)重合，可得2c =，4a =，212b =，椭圆的标准方程为：2211612x y +=，抛物线的准线方程为：2x =-，由22211612x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3y =±，所以(2,3)A -，(2,3)B --．||6AB =．故选：B ．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则82r π=，解得16r π=，故米堆的体积为21116320()5439ππ⨯⨯⨯⨯≈，1斛米的体积约为1.62立方，∴3201.62229÷≈， 故选：B ．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7．（5分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10(a =) A ．172B ．192C ．10D ．12【考点】83：等差数列的性质【专题】11：计算题；4O ：定义法；54：等差数列与等比数列 【分析】利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． 【解答】解：{}n a 是公差为1的等差数列，844S S =， 118743814(4)22a a ⨯⨯∴+⨯=⨯+， 解得112a =． 则101199122a =+⨯=． 故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．1(4k π-，3)4k π+，k z ∈B ．1(24k π-，32)4k π+，k z ∈C ．1(4k -，3)4k +，k z ∈ D ．1(24k -，32)4k +，k z ∈ 【考点】HA ：余弦函数的单调性 【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间．【解答】解：由函数()cos()f x x ωφ=+的部分图象，可得函数的周期为2512()244πω=-=，ωπ∴=，()cos()f x x πφ=+．再根据函数的图象以及五点法作图，可得42ππφ+=，k z ∈，即4πφ=，()cos()4f x x ππ=+． 由224k x k πππππ++剟，求得132244k x k -+剟，故()f x 的单调递减区间为1(24k -，32)4k +，k z ∈，故选：D ．【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的(n = )A ．5B ．6C ．7D ．8【考点】EF ：程序框图【专题】5K ：算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：第一次执行循环体后，12S =，14m =，1n =，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，14S =，18m =，2n =，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，18S =，116m =，3n =，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，116S =，132m =，4n =，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，132S =，164m =，5n =，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，164S =，1128m =，6n =，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，1128S =，1256m =，7n =，满足退出循环的条件； 故输出的n 值为7， 故选：C ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）已知函数1222,1()(1),1x x f x log x x -⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩…，且f （a ）3=-，则(6)(f a -= )A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-【考点】3T ：函数的值【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用 【分析】利用分段函数，求出a ，再求(6)f a -． 【解答】解：由题意，1a …时，1223α--=-，无解； 1a >时，2log (1)3a -+=-，7α∴=，117(6)(1)224f a f --∴-=-=-=-．故选：A ．【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为)r 组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为1620π+，则(r = )A ．1B ．2C ．4D ．8【考点】!L ：由三视图求面积、体积 【专题】5Q ：立体几何【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：22222111142222542222r r r r r r r r r πππππ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+， 又该几何体的表面积为1620π+， 22541620r r ππ∴+=+，解得2r =，故选：B ．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（5分）设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则(a = ) A ．1-B ．1C ．2D ．4【考点】3A ：函数的图象与图象的变换【专题】26：开放型；51：函数的性质及应用【分析】先求出与2x a y +=的反函数的解析式，再由题意()f x 的图象与2x a y +=的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数()f x 的解析式，问题得以解决． 【解答】解：与2x a y +=的图象关于y x =对称的图象是2x a y +=的反函数， 2log (0)y x a x =->，即2()log g x x a =-，(0)x >．函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于y x =-对称， 2()()log ()f x g x x a ∴=--=--+，0x <，(2)(4)1f f -+-=， 22log 2log 41a a ∴-+-+=，解得，2a =， 故选：C ．【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题二、本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）在数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = 6 ． 【考点】89：等比数列的前n 项和【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【分析】由12n n a a +=，结合等比数列的定义可知数列{}n a 是12a =为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解． 【解答】解：12n n a a +=，∴12n na a +=， 12a =，∴数列{}n a 是12a =为首项，以2为公比的等比数列，11(1)2(12)22126112n n n n a q S q +--∴===-=--，12128n +∴=， 17n ∴+=， 6n ∴=．故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．14．（5分）已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1，f （1）)处的切线过点(2,7)，则a = 1 ．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】53：导数的综合应用【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数3()1f x ax x =++的导数为：2()31f x ax '=+，f '（1）31a =+，而f （1）2a =+，切线方程为：2(31)(1)y a a x --=+-，因为切线方程经过(2,7)， 所以72(31)(21)a a --=+-， 解得1a =． 故答案为：1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力． 15．（5分）若x ，y 满足约束条件20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩………，则3z x y =+的最大值为 4 ．【考点】7C ：简单线性规划 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．【解答】解：由约束条件20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩………作出可行域如图，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过(1,1)B 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z 有最大值为3114⨯+=． 故答案为：4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，(0A ，．当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为【考点】KC ：双曲线的性质【专题】11：计算题；26：开放型；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的定义，确定APF ∆周长最小时，P 的坐标，即可求出APF ∆周长最小时，该三角形的面积．【解答】解：由题意，设F '是左焦点，则APF ∆周长|||||||||A F A P P F A F A P P F=++=++'+ ||||2(AF AF A +'+…，P ，F '三点共线时，取等号），直线AF '的方程为13x =-与2218y x -=联立可得2960y +-=，P ∴的纵坐标为APF ∴∆周长最小时，该三角形的面积为116622⨯⨯⨯⨯=．故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P 的坐标是关键． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =． （Ⅰ）若a b =，求cos B ；（Ⅱ）设90B =︒，且a ，求ABC ∆的面积． 【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理 【专题】58：解三角形【分析】2()sin 2sin sin I B A C =，由正弦定理可得：22b ac =，再利用余弦定理即可得出． ()II 利用()I 及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：2()sin 2sin sin I B A C =， 由正弦定理可得：10sin sin sin a b c A B C k===>， 代入可得2()2bk ak ck =， 22b ac ∴=， a b =，2a c ∴=，由余弦定理可得：222222114cos 12422a a a a cb B ac a a +-+-===⨯． ()II 由()I 可得：22b ac =， 90B =︒，且a =2222a c b ac ∴+==，解得a c == 112ABC S ac ∆∴==．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若120ABC ∠=︒，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -【考点】LE ：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY ：平面与平面垂直 【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC ⊥平面BED ； （Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可． 【解答】证明：（Ⅰ）四边形ABCD 为菱形， AC BD ∴⊥，BE ⊥平面ABCD ，AC BE ∴⊥，则AC ⊥平面BED ， AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED ；解：（Ⅱ）设AB x =，在菱形ABCD 中，由120ABC ∠=︒，得A G G C==，2xGB GD ==，BE ⊥平面ABCD ，BE BG ∴⊥，则EBG ∆为直角三角形，12EG AC AG ∴===，则BE ==，三棱锥E ACD -的体积311632V AC GD BE =⨯==解得2x =，即2AB =， 120ABC ∠=︒，22212cos 44222()122AC AB BC AB BC ABC ∴=+-=+-⨯⨯⨯-=，即AC ==在三个直角三角形EBA ，EBD ，EBC 中，斜边AE EC ED ==， AE EC ⊥，EAC ∴∆为等腰三角形，则22212AE EC AC +==， 即2212AE =， 26AE ∴=，则AE ，∴从而得AE EC ED ===EAC ∴∆的面积11322S EA EC =⨯=⨯=，在等腰三角形EAD 中，过E 作EF AD ⊥于F ，则AE ，112122AF AD ==⨯=，则EF =EAD ∴∆的面积和ECD ∆的面积均为122S =⨯，故该三棱锥的侧面积为3+【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：)t 和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1i y i =，2，⋯，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中i w =，8118i i w w ==∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：()i 年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ()ii 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据1(u 1)v ，2(u 2)..(n v u ⋯ )n v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 【考点】BK ：线性回归方程 【专题】5I ：概率与统计【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w ，建立y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以解决；（Ⅲ）()i 年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可， ()ii 求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（Ⅱ）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于108.8ˆ681.6d==， ˆˆ56368 6.8100.6cy dw =-=-⨯=， 所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668yw =+， 因此y 关于x的回归方程为ˆ100.6y=+ （Ⅲ）()i 由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y的预报值ˆ100.6576.6y=+， 年利润z 的预报值ˆ576.60.24966.32z=⨯-=，()ii 根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z 的预报值ˆ0.2(100.620.12z x x =+-=-+，13.66.82==时，即当46.24x =时，年利润的预报值最大． 【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20．（12分）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON =，其中O 为坐标原点，求||MN ．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算；9J ：直线与圆的位置关系 【专题】26：开放型；5B ：直线与圆【分析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为1y kx =+，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．【解答】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点(0,1)A 的直线方程：1y kx =+，即：10kx y -+=． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标(2,3)，半径1R =．1<，k <<过点(0,1)A 的直线与圆22:(2)(3)1C x y -+-=相交于M ，N 两点．（2）设1(M x ，1)y ；2(N x ，2)y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为1y k x =+，代入圆C 的方程22(2)(3)1x y -+-=， 可得22(1)4(1)70k x k x +-++=， 1224(1)1k x x k +∴+=+，12271x x k =+， 212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x ∴=++=+++2222274(1)12411111k k k k k k k k +++=++=+++， 由2121221248121k k OM ON x x y y k++=+==+，解得1k =， 故直线l 的方程为1y x =+，即10x y -+=． 圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径． 所以||2MN =．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．21．（12分）设函数2()x f x e alnx =-． （Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2()2f x a aln a+…．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；63：导数的运算；6E ：利用导数研究函数的最值【专题】26：开放型；53：导数的综合应用【分析】（Ⅰ）先求导，在分类讨论，当0a …时，当0a >时，根据零点存在定理，即可求出； （Ⅱ）设导函数()f x '在(0,)+∞上的唯一零点为0x ，根据函数()f x 的单调性得到函数的最小值0()f x ，只要最小值大于22a alna+，问题得以证明． 【解答】解：（Ⅰ）2()x f x e alnx =-的定义域为(0,)+∞， 2()2x af x e x∴'=-． 当0a …时，()0f x '>恒成立，故()f x '没有零点， 当0a >时，2x y e =为单调递增，ay x=-单调递增，()f x ∴'在(0,)+∞单调递增，又f '（a ）0>，假设存在b 满足02a b ln <<时，且14b <，f '（b ）0<，故当0a >时，导函数()f x '存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数()f x '在(0,)+∞上的唯一零点为0x ， 当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，当0()x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在0(0,)x 单调递减，在0()x +∞单调递增， 所欲当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x ， 由于02020x ae x -=， 所以00022()222a f x ax aln a aln x a a=+++…． 故当0a >时，2()2f x a aln a+…．【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（Ⅱ）若OA =，求ACB ∠的大小．【考点】9N ：圆的切线的判定定理的证明 【专题】5B ：直线与圆【分析】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=︒，可得DE 是O 的切线；（Ⅱ）设1CE =，AE x =，由射影定理可得关于x的方程2x =x 值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE ，由已知得AE BC ⊥，AC AB ⊥， 在RT ABC ∆中，由已知可得DE DC =，DEC DCE ∴∠=∠， 连接OE ，则OBE OEB ∠=∠，又90ACB ABC ∠+∠=︒，90DEC OEB ∴∠+∠=︒， 90OED ∴∠=︒，DE ∴是O 的切线；（Ⅱ）设1CE =，AE x =，由已知得AB =BE 由射影定理可得2AE CE BE =，2x ∴=42120x x +-=，解方程可得x =60ACB ∴∠=︒【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题． 五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．【考点】4Q ：简单曲线的极坐标方程 【专题】5S ：坐标系和参数方程【分析】（Ⅰ）由条件根据cos x ρθ=，sin y ρθ=求得1C ，2C 的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入240ρ-+=，求得1ρ和2ρ的值，结合圆的半径可得22C M C N ⊥，从而求得△2C MN 的面积2212C M C N 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由于cos x ρθ=，sin y ρθ=，1:2C x ∴=- 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，故222:(1)(2)1C x y -+-=的极坐标方程为：22(cos 1)(sin 2)1ρθρθ-+-=，化简可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=． （Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程()4R πθρ=∈代入圆222:(1)(2)1C x y -+-=，可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=，求得1ρ=，2ρ=12||||MN ρρ∴=-=2C 的半径为1，22C M C N ∴⊥，△2C MN 的面积为2211111222C M C N ==．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题． 六、【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 【考点】5R ：绝对值不等式的解法 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >，即|1|2|1|1x x +-->， 即112(1)1x x x <-⎧⎨---->⎩①，或1112(1)1x x x -<⎧⎨+-->⎩…②，或112(1)1x x x ⎧⎨+-->⎩…③．解①求得x ∈∅，解②求得213x <<，解③求得12x <…． 综上可得，原不等式的解集为2(3，2)．（Ⅱ）函数12,1()|1|2||312,112,x a x f x x x a x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--=+--⎨⎪-++>⎩剟， 由此求得()f x 的图象与x 轴的交点A 21(3a -，0)， (21,0)B a +，故()f x 的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点(,1)C a a +， 由ABC ∆的面积大于6，可得121[21](1)623a a a -+-+>，求得2a >．故要求的a 的范围为(2,)+∞．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(课标全国Ⅰ)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ文科数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,文1)已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N },B={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A .5 B .4 C .3 D .2 答案:D解析:由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以A ∩B={8,14}.故选D .2.(2015课标全国Ⅰ,文2)已知点A (0,1),B (3,2),向量AC =(-4,-3),则向量BC=( ) A .(-7,-4) B .(7,4) C .(-1,4) D .(1,4) 答案:A解析:∵AB=OB −OA =(3,2)-(0,1)=(3,1),AC =(-4,-3), ∴BC=AC −AB =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 3.(2015课标全国Ⅰ,文3)已知复数z 满足(z-1)i =1+i,则z=( ) A .-2-i B .-2+i C .2-i D .2+i 答案:C解析:∵(z-1)i =1+i,∴z=1+i i +1=(1+i )(-i )-i2+1=1-i +1=2-i . 4.(2015课标全国Ⅰ,文4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A .3 B .1C .1 D .1 答案:C解析:从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为1.5.(2015课标全国Ⅰ,文5)已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C :y 2=8x 的焦点重合,A ,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB|=( ) A .3 B .6 C .9 D .12答案:B解析:∵抛物线y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),∴E 的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E 的方程为x 22+y 2b2=1(a>b>0),∴c=2.∵c =1,∴a=4.∴b 2=a 2-c 2=12,于是椭圆方程为x 216+y 212=1.∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A (-2,3),B (-2,-3),∴|AB|=6. 6.(2015课标全国Ⅰ,文6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案:B解析:设圆锥的底面半径为R,高为h.∵米堆底部的弧长为8尺,∴1 4·2πR=8,∴R=16π.∵h=5,∴米堆的体积V=1×1πR2h=1×π×162×5.∵π≈3,∴V≈320(立方尺).∴堆放的米约有320≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,文7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.17B.19C.10D.12答案:B解析:∵公差d=1,S8=4S4,∴8(a1+a8)=4×4(a1+a4),即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=1.∴a10=a1+9d=1+9=19.8.(2015课标全国Ⅰ,文8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A. kπ-1,kπ+3,k∈ZB.2kπ-14,2kπ+34,k∈ZC. k-14,k+34,k∈ZD.2k-1,2k+3,k∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2×54-14=2,所以2π=2,解得ω=π.所以f(x)=cos(πx+φ).由图像可知,当x=1214+54=34时,f(x)取得最小值,即f3=cos3π+φ =-1, 解得3π+φ=2kπ+π(k∈Z), 解得φ=2kπ+π4(k∈Z).令k=0,得φ=π4,所以f(x)=cos πx+π4.令2kπ≤πx+π≤2kπ+π(k∈Z),解得2k-14≤x≤2k+34(k∈Z).所以函数f(x)=cos πx+π4的单调递减区间为2k-14,2k+34(k∈Z).结合选项知选D.9.(2015课标全国Ⅰ,文9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A .5B .6C .7D .8答案:C解析:由于S=1,n=0,m=12,t=0.01,则S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01;S=1,m=1,n=2,S>0.01;S=1,m=1,n=3,S>0.01; S=116,m=132,n=4,S>0.01; S=132,m=164,n=5,S>0.01; S=1,m=1,n=6,S>0.01; S=1128,m=1256,n=7,S<0.01,结束循环,此时输出的n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,文10)已知函数f (x )= 2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( ) A .-74B .-54C .-34D .-14答案:A解析:∵f (a )=-3,∴当a ≤1时,f (a )=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立. 当a>1时,f (a )=-log 2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.∴f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=14-2=-74. 11.(2015课标全国Ⅰ,文11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,文12)设函数y=f (x )的图像与y=2x+a 的图像关于直线y=-x 对称,且f (-2)+f (-4)=1,则a=( ) A .-1 B .1 C .2 D .4 答案:C解析:设(x ,y )是函数y=f (x )图像上的任意一点,它关于直线y=-x 的对称点为(-y ,-x ),由已知得点(-y ,-x )在曲线y=2x+a 上,∴-x=2-y+a ,解得y=-log 2(-x )+a ,即f (x )=-log 2(-x )+a.∴f (-2)+f (-4)=-log 22+a+(-log 24)+a=1, 解得a=2.第Ⅱ卷注意事项:第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,文13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 答案:6解析:∵a n+1=2a n ,即an +1n=2,∴{a n }是以2为公比的等比数列. 又a 1=2,∴S n =2(1-2n )1-2=126.∴2n =64,∴n=6.14.(2015课标全国Ⅰ,文14)已知函数f (x )=ax 3+x+1的图像在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a= . 答案:1解析:∵f'(x )=3ax 2+1,∴f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f (1)=a+2,∴已知点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为a +2-71-2=5-a , ∴5-a=3a+1,解得a=1.15.(2015课标全国Ⅰ,文15)若x ,y 满足约束条件 x +y -2≤0,x -2y +1≤0,2x -y +2≥0,则z=3x+y 的最大值为 .答案:4解析:画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由 x -2y +1=0,x +y -2=0解得 x =1,y =1,即点A 的坐标为(1,1).由z=3x+y ,得y=-3x+z.作出直线l 0:y=-3x ,并平移,当直线经过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,即z 最大. 所以z max =3×1+1=4.16.(2015课标全国Ⅰ,文16)已知F 是双曲线C :x 2-y 2=1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,6 ).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为 . 答案:12 6解析:设双曲线的左焦点为F 1,如图.由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF 1|,∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF 1|)+|AF|=|PA|+|PF 1|+(2a+|AF|).由于2a+|AF|是定值,要使△APF 的周长最小,则应使|PA|+|PF 1|最小,即P ,A ,F 1三点共线. ∵A (0,6 ),F 1(-3,0),∴直线AF 1的方程为x -36 6=1,即x=2 6-3. 将其代入x 2-y 2=1得y 2+6 6y-96=0,解得y=2 6或y=-8 6(舍去), 因此点P 的纵坐标为2 6. ∴S △APF =S △AF 1F −S △PF 1F =12·|F 1F|·y A -12·|F 1F|·y P=1×6×6 6−1×6×2 6=12 6. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B=2sin A sin C. (1)若a=b ,求cos B ; (2)设B=90°,且a= ,求△ABC 的面积. 解:(1)由题设及正弦定理可得b 2=2ac.又a=b ,可得b=2c ,a=2c.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b 22ac=14.6分(2)由(1)知b 2=2ac. 因为B=90°,由勾股定理得a 2+c 2=b 2. 故a 2+c 2=2ac ,得c=a= 2. 所以△ABC 的面积为1.12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文18)如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD. (1)证明:平面AEC ⊥平面BED ;(2)若∠ABC=120°,AE ⊥EC ,三棱锥E-ACD 的体积为 63,求该三棱锥的侧面积. 解:(1)因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD ,所以AC ⊥BE.故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面BED. 5分(2)设AB=x ,在菱形ABCD 中,由∠ABC=120°,可得AG=GC= 32x ,GB=GD=x2.因为AE ⊥EC ,所以在Rt △AEC 中,可得EG= 32x.由BE ⊥平面ABCD ,知△EBG 为直角三角形,可得BE= 2x. 由已知得,三棱锥E-ACD 的体积 V E-ACD =13×12AC ·GD ·BE= 624x 3= 63.故x=2.9分从而可得AE=EC=ED=所以△EAC 的面积为3,△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+2 5.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.8888表中w i = i ,w =1∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i -u )(v i -v )∑i =1n(u i -u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i -w )(y i -y )∑i =18(w i -w )2=108.8=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值 y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大. 12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文20)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x-2)2+(y-3)2=1交于M ,N 两点.(1)求k 的取值范围;(2)若OM ·ON=12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 解:(1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1.因为l 与C 交于两点,所以 1+k <1.解得4- 7<k<4+ 7.所以k 的取值范围为4- 73,4+ 73. 5分(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k 2)x 2-4(1+k )x+7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k )1+k2,x 1x 2=71+k2.7分OM ·ON =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k2+8.由题设可得4k (1+k )1+k2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1.故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文21)设函数f (x )=e 2x -a ln x. (1)讨论f (x )的导函数f'(x )零点的个数; (2)证明:当a>0时,f (x )≥2a+a ln 2.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=2e 2x -a (x>0).当a ≤0时,f'(x )>0,f'(x )没有零点,当a>0时,因为e 2x 单调递增,-ax单调递增, 所以f'(x )在(0,+∞)单调递增.又f'(a )>0,当b 满足0<b<a 4且b<14时,f'(b )<0,故当a>0时,f'(x )存在唯一零点.6分(2)由(1),可设f'(x )在(0,+∞)的唯一零点为x 0,当x ∈(0,x 0)时,f'(x )<0;当x ∈(x 0,+∞)时,f'(x )>0. 故f (x )在(0,x 0)单调递减,在(x 0,+∞)单调递增,所以当x=x 0时,f (x )取得最小值,最小值为f (x 0).由于2e 2x 0−ax 0=0, 所以f (x 0)=a 0+2ax 0+a ln2≥2a+a ln 2.故当a>0时,f (x )≥2a+a ln 2.12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号. 22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,文22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,BC 交☉O 于点E. (1)若D 为AC 的中点,证明:DE 是☉O 的切线; (2)若OA= 3CE ,求∠ACB 的大小.解:(1)连结AE ,由已知得,AE ⊥BC ,AC ⊥AB.在Rt △AEC 中,由已知得,DE=DC ,故∠DEC=∠DCE. 连结OE ,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°, 故∠OED=90°,DE 是☉O 的切线. 5分(2)设CE=1,AE=x ,由已知得AB=2 3,BE= 12-x 2. 由射影定理可得,AE 2=CE ·BE , 所以x 2= 12-x 2,即x 4+x 2-12=0.可得x= 3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,文23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积. 解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.5分(2)将θ=π代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3 ρ+4=0,解得ρ1=2 2,ρ2= 2. 故ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2.由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,文24)选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 解:(1)当a=1时,f (x )>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1; 当x ≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f (x )>1的解集为 x 23<x <2 . 5分(2)由题设可得,f (x )= x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A 2a -13,0 ,B (2a+1,0),C (a ,a+1),△ABC 的面积为23(a+1)2.由题设得2(a+1)2>6,故a>2. 所以a 的取值范围为(2,+∞). 10分。
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由余弦定理可得 .
（Ⅱ）由(1)知 .
因为 90°，由勾股定理得 .
故 ，得 .
所以 ABC的面积为1.
考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力
18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC BD，由BE 平面ABCD知AC BE，由线面垂直判定定理知AC 平面BED，由面面垂直的判定定理知平面 平面 ；（Ⅱ）设AB= ，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在 AEC中，用x表示EG，在 EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥 的体积为 求出x，即可求出三棱锥 的侧面积.
考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式
12．C
【解析】
试题分析：设 是函数 的图像上任意一点，它关于直线 对称为（ ），由已知知（ ）在函数 的图像上，∴ ，解得 ，即 ，∴ ，解得 ，解析】
试题分析：∵ ，∴数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
试题解析：（Ⅰ）由题设，可知直线l的方程为 .
因为l与C交于两点，所以 .
解得 .
所以 的取值范围是 .
（Ⅱ）设 .
将 代入方程 ,整理得 ,
所以
,
由题设可得 ，解得 ，所以l的方程为 .
故圆心在直线l上，所以 .
13．数列 中 为 的前n项和，若 ，则 .
14．已知函数 的图像在点 的处的切线过点 ，则 .
15．若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为．
16．已知 是双曲线 的右焦点，P是C左支上一点， ，当 周长最小时，该三角形的面积为．
三、解答题
17．（本小题满分12分）已知 分别是 内角 的对边， .
19．（Ⅰ） 适合作为年销售 关于年宣传费用 的回归方程类型（Ⅱ） （Ⅲ）46.24
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令 ，先求出建立 关于 的线性回归方程，即可 关于 的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用 关于 的回归方程先求出年销售量 的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.
（A） （B） （C） （D）
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
12．设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
∴ = = .
考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题
17．（Ⅰ） （Ⅱ）1
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将 化为变得关系，结合条件 ，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B的余弦值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，根据勾股定理和即可求出c，从而求出 的面积.
试题解析：（Ⅰ）由题设及正弦定理可得 .
（Ⅰ）若 ，求
（Ⅱ）若 ，且 求 的面积.
18．（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点， ，
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ， 三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.
19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费 和年销售量 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
21．（本小题满分12分）设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；（Ⅱ）证明：当 时 .
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是 直径，AC是 切线，BC交 与点E.
（Ⅰ）若D为AC中点，求证：DE是 切线；
（Ⅱ）若 ，求 的大小.
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
执行第2次，S=S-m =0.25, =0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，
执行第3次，S=S-m =0.125, =0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，
执行第4次，S=S-m=0.0625, =0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，
∵ ，∴ ，∴ ，∴椭圆E方程为 ，
将 代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），∴|AB|=6，故选B.
考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质
6．B
【解析】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则 ，所以 ，所以米堆的体积为 = ，故堆放的米约为 ÷1.62≈22，故选B.
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
试题分析：从1,2,3,4,5 中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为 ，故选C.
考点：古典概型
5．B
【解析】
试题分析：∵抛物线 的焦点为（2,0），准线方程为 ，∴椭圆E的右焦点为（2,0），
∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为 ，c=2，
（A） （B） （C） （D）
5．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线 的焦点重合， 是C的准线与E的两个交点，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）
执行第5次，S=S-m =0.03125, =0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，
执行第6次，S=S-m=0.015625, =0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，
执行第7次，S=S-m=0.0078125, =0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中 = ， =
（Ⅰ）根据散点图判断， 与 ，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D.
考点：集合运算
2．A
【解析】
试题分析：∵ =（3,1），∴ =(-7,-4)，故选A.
考点：向量运算
3．C
【解析】
试题分析：∴ ，∴z= ，故选C.
考点：复数运算
4．C
【解析】
由BE 平面ABCD，知 EBG为直角三角形，可得BE= .
由已知得，三棱锥E-ACD的体积 .故 =2
从而可得AE=EC=ED= .
所以 EAC的面积为3， EAD的面积与 ECD的面积均为 .
故三棱锥E-ACD的侧面积为 .
考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力
考点：简单线性规划解法
16．
【解析】
试题分析：设双曲线的左焦点为 ，由双曲线定义知， ，
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ +|AF|=|PA|+ +|AF|+ ，
由于 是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+ 最小，即P、A、 共线，
∵ ， （－3,0），∴直线 的方程为 ，即 代入 整理得 ，解得 或 (舍)，所以P点的纵坐标为 ，
试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC BD，
因为BE 平面ABCD，所以AC BE，故AC 平面BED.
又AC 平面AEC，所以平面AEC 平面BED
（Ⅱ）设AB= ，在菱形ABCD中，由 ABC=120°，可得AG=GC= ,GB=GD= .
因为AE EC，所以在 AEC中，可得EG= .
2015年全国高考数学卷文科卷1
一、选择题
1．已知集合 ，则集合 中的元素个数为( )
（A）5（B）4（C）3（D）2
2．已知点 ，向量 ，则向量 ( )
（A） （B） （C） （D）
3．已知复数 满足 ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从 中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）
∴ ，∴ ，∴n=6.
考点：等比数列定义与前n项和公式
14．1
【解析】
试题分析：∵ ，∴ ，即切线斜率 ，
又∵ ，∴切点为（1， ），∵切线过（2,7），∴ ，解得 1.
考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；
15．4
【解析】
试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 ： ，平移直线 ，当直线 :z=3x+y过点A时，z取最大值，由 解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.
（A） 斛（B） 斛（C） 斛（D） 斛
7．已知 是公差为1的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （）