山西省2015年高考文科数学试题及答案(Word版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{|32,}A x x n n N ==+∈, {6,8,12,14}B =, 则集合A B ?中元素的个数为 （A ）5

（B ）4

（C ）3

（D ）2

（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC =（-4，-3），则向量BC =

（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4）

（3）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =

（A ）2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +

（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5

中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为

（A ）

103 （B ）15 （C ）110 （D ）120

（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12

，E 的右焦点与抛物线C ：2

8y x =的焦点重合，A ，B 是

C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|=

（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八

尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

（7）已知

是公差为1的等差数列，

=4，则=

（A ） （B ） （C ）10 （D ）12

（8）函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为

（A ）13

(,)()44k k k Z ππ-

+∈ （B ）13

(2,2)()44k k k Z ππ-+∈

（C ）13

(,)()44k k k Z -+∈

（D ）13

(2,2)()44

k k k Z -+∈

（9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =

（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8

（10）已知函数12

22,1

()log (1),1x x f x x x -?-≤=?-+>?，且()3f a =-，

则(6)f a -= （A ）-

74 （B ）-54 （C ）-34 （D ）-1

4

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和

俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =

（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

（12）设函数()y f x =的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =

第Ⅱ卷

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）在数列{}n a 中， 12a =, 12n n a a +=, n S 为{}n a 的前n 项和。若126n S =，则n =________.

（14）已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，则a = .

（15）,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤??

-+≤??-+≥?

，则3Z x y =+的最大值为________.

（16）已知F 是双曲线C ：2

2

18

y x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.当△APF 周长最小时，该三角形的面积为_____________.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

（17）（本小题满分12分）

已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，2

sin 2sin sin B A C =. （Ⅰ）若a b =，求cos B ； （Ⅱ）设90B =

，且a =

ABC 的面积。

（18）（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE ⊥EC ，三棱锥E —ACD 的体积为3

6

，求该三棱锥的侧面积。

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量

（i=1,2，···，8）数据作了初步

处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

(y-(y-

表中w 1 ，w =

1

8

8

1

i w =∑1

（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程

类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（1）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （2）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据（u 1 v 1）,（u 2 v 2）…….. （u n v n ）,其回归线v=αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C: 22(2)(3)1x y -+-= 交于M,N 两点. （1） 求k 的取值范围；

（2） 若OM ·ON =12，其中0为坐标原点，求︱MN ︱.

（21）（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-。

（Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数；

（Ⅱ）证明：当0a >时，2

()2ln

f x a a a

≥+。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E 。

（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；

（Ⅱ）若，求∠ACB 的大小。

（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线1C :x=2-,圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求12,C C 的极坐标方程。 （2）若直线3C 的极坐标为θ=

4

π

（ρ∈R ）,设2C 与3C 的交点为M ，N,求△C 2MN 的面积.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >. （1） 当1a =时，求不等式()1f x >的解集；

（2） 若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.

答案及评分标准

一、选择题：DACCBB BDCABC

二、填空题： 13.6 14.1 15.4 16.

三、解答题

（17）解：

（1）由2

sin 2sin sin B A C =得2

2b ac = 又a b = 故2a b c == ∴ 2221

cos 24

a c

b B a

c +-=

=

（2）由90B =得222b a c =+，故22

2a c ac +=，又a =故c = 112

S a c =

=

（18）解：

（1） 四边形ABCD 为菱形，∴ AC BD ⊥ 又BE ⊥平面ABCD ，∴ AC BE ⊥ ∴ AC ⊥平面BDE

又AC ?平面AEC , 平面AEC ⊥平面BED

(2) 设AB x =，则2

AG GC x ==

, 12GB GD x ==,

AE EC ⊥ ∴2

E G x =

,

2

B E x

=

, 故31132E ACD V AC GD BE x -=???==2x =

∴ AE EC ED === 所求侧面积为3+

（19）解：

（1）选y c =+

（2）68d =，56368 6.8100.6c =-?=，回归方程为100.6y =+（3）1. 49x =时，576.6y =，66.32z =

2. 0.2(100.620.12z x x =+-=-+，

13.6

6.82

=

=，即46.24x =时，z 取得最大值。 故宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。

（20）解：

（1）直线方程为：1y kx =+

1<

解得：

4433

k +<<

（2）设M 11(,)x y ，N 22(,)x y ，将1y kx =+代入方程22(2)(3)1x y -+-=得

22(1)4(1)70k x k x +-++=，1224(1)1k x x k ++=+，122

71x x k =+

2121212122

4(1)

(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k

+?=+=++++=+=+，解得1k = 直线方程为：1y x =+，||2MN =

（21）解：

（1）定义域：(0,)+∞ '

2()2x

a f x e

x

=-

0a ≤时，'

()0f x >, 没有零点；

0a >时，函数22x y e =与a

y x

=

的图象有且只有一个交点，'()f x 存在唯一零点 （2）由（1）知，0a >时，'()f x 存在唯一零点，记为0x ，则'

0()0f x =；

0(0,)x x ∈时，'()0f x <，0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >

故()f x 在0(0,)x 单调减，在0(,)x +∞单调增，0

2min 00()()ln x f x f x e a x ==-

由'0()0f x =，即0

2020x a e

x -

=得02022x a e x =， 0002ln ln ln 222

x a a x x e ==- m i n

0022()2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a =++≥+， ∴ 0a >时，2()2ln f x a a a

≥+