一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(提高)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.要点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=A ；③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=；⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -==；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -==；⑩12||||x x +===(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x>，120x x+>时，两根同为正数；当△≥0且120x x>，120x x+<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x<时，两根异号．当△＞0且120x x<，120x x+>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x<，120x x+<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a a-a，b为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1（2015•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【答案与解析】解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．举一反三：【高清ID号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例2（2）】【变式】（2015•张家界）若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k ≥0，且k ≠0，解得：k ≤，且k ≠0.则k 的非负整数值为1．2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________【答案】54m ≤且m≠1【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，∴ m 的取值范围是54m ≤且m≠1．【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m≠1．举一反三：【高清ID 号：388522关联的位置名称（播放点名称）：利用根的判别式求字母范围---例4（1）】【变式】已知：关于x 的方程2(1)04k kx k x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.【答案】102k k ≠＞－且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. 设x 1、x 2是方程2210x -=的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)2212x x +； (2)212()x x -； (3)122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】由一元二次方程根与系数的关系，易得12x x +=1212x x =-A ，要求2212x x +，212()x x -，122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值，关键是把它们化成含有12x x +、12x x A 的式子．【答案与解析】由一元二次方程根与系数的关系知12x x +=，1212x x =-A ，所以（1）222121212()2x x x x x x +=+-213521222⎛⎫=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．（2）22121212()()4x x x x x x -=+-213742222⎛⎫=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．（3）121221121112x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112122=-++-112222=-+-=-．【总结升华】解此类问题关键是把它们化成含有12x x +、12x x A 的式子．若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例3】【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．【答案】（1）134； （2）3．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系，得1225x x +=-，1235x x =-A ．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2，由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-，从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A ．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=．【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．。
人教版第二十一章 一元二次方程复习课优质课件
回顾与复习
1、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
（1）二次项系数化为1；
（2）移项；
（3）配方；
（4）降次；
当二次项系数是1时，方程两边都加 上一次项系数绝对值一半的平方
2、练习：(1) x2+4x+4=(x+ 2 )2 ; (2) x2+8x+16=(x+ 4 )2 ; (3) x2-6x+9=(x- 3 )2 ; (4) x2-12x+36=(x- 6 )2 ;
(4) 2x2 - 8x -18 0
回顾与复习
１.一元二次方程根的判别式是什么？
2.一元二次方程根的情况与判别式是怎样的关系？
① △>0时 ② △=0时 ③ △<0时
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根
若 △≥0 呢？
练习巩固
1.已知关于x的一元二次方程 (k －5)x2－4x－1＝0 有两个实数根，求k的满足的条件。
例7、两个数的和为10，积为24，求这两个数。
思考
中考直击
已知: (a2＋b2)(a2＋b2－3)=10 求a2＋b2 的值。
练习：
1、选用适当的方法解下列方程
(1)4(x 3)2 36 0 (2)x 2 3x 0
(3)9x 32 4(3 2x)2 (4)x2 13x 36 0
小结与复习
一
概念
元
二
解法
次
根的判别式
方
根与系数的关系
程
复习回顾
1.一元二次方程的概念
整理后：①只含一个未知数;（一元） ②未知数的最高次数是2；（二次） ③整式方程。
2、一元二次方程的一般形式
第12课时 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
第12课时 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一、【教学目标】1. 掌握一元二次方程的根的判别式;2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系. 二、【重点难点】重点:一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系.难点:一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的应用. 三、【主要考点】 （一）、一元二次方程的根的判别式1．判别方法：对于一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)，∆=b 2-4ac 称为一元二次方程的根的判别式.⑴b 2-4ac >0 ⇔方程有两个不相等的实数根； ⑵b 2-4ac =0 ⇔方程有两个相等的实数根； ⑶b 2-4ac <0 ⇔方程没有实数根.2．在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件. （二）、一元二次方程的根与系数的关系设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根，且b 2﹣4ac ≥0，则有x 1+x 2=-a b ，x 1·x 2=ac . 四、【经典题型】【12-1A 】若关于x 的一元二次方程ax 2+2x －1=0无解 ，则a 的取值范围是____________.【12-2A 】 已知关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+x +1=0有实数根，则m 的取值范围是 ．【12-3B 】关于x 的一元二次方程x 2-3x -k =0有两个不相等的实数根． ①求k 的取值范围．②请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根.【12-4B 】关于x 的方程kx 2+(k +2)x +4k=0有两个不相等的实数根. ⑴求k 的取值范围. ⑵是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.五、【点击教材】 【12-5A 】（九上P45）一元二次方程3x 2﹣2x -1=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【12-6B 】（九上P48）已知关于X 的一元二次方程X 2-2X-a=0的两个实数根为X 1，X 2，且321121-=+x x ，求a 的值。
一元二次方程跟的判别式与根与系数的关系复习
（1）请判断这是一个什么方程？ （2）不解方程，你能判断它的根的情况吗？
例1：关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0,有 两个不相等实数根，求实数m的取值范围.
总结归纳： ___△_>_0____ 一元二次方程有两个不相等的实数根 ___△__=_0____一元二次方程有两个相等的实数根 ___△__≥__0___一元二次方程有两个实数根 ____△_<_0____ 一元二–x2+(m-2)x+3(m+1)的图象如图所示． （1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两 个交点； （2）求m的取值范围；
（3）在（2）的情况下，若 0A 0B 6 ,求C点坐标；
（4）求A、B两点间的距离； （5）求△ ABC的面积S．
变式训练1 ：已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0 (1)求证：无论K取任何实数值，方程总有实数根 (2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b,c恰 好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
变式训练2：如图，已知抛物线y＝x 2－3x经
过B（4，4），将直线OB向下平移m个单位
长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共
变式训练1: 关于一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两个实 数根为x1 、 x2。且x1+x2>0,x1x2>0.求m的取值 范围
变式训练2:已知菱形的边长为5，两条对角线交 与O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程 x2+(2m-1)x+m2+3=0的根，则m=（ ）
A.-3 B.5 C.5或-3 D.-5或3
点D，求m的值及点D的坐标
第12课时 一元二次方程(根的判别式、根与系数的关系、应用)
九年级数学第一轮复习教、学案（共47课时）第12课时 一元二次方程（根的判别式、根与系数的关系、应用） 一、知识要点：1. 一元二次方程根的判别式:一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式Δ＝__ __. 当Δ＞0时⇔方程有______________. 当Δ＝0时⇔方程有______________. 当Δ＜0时⇔方程______________. 当Δ≥0时⇔方程有_____________. 2. 一元二次方程根与系数的关系: 若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为21x x ，，则有1x ＋2x =___________ˉ1x 2x =__________.3. 列一元二次方程解应用题的一般步骤:和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为（1）“审”是读懂题目，审清______，明确哪些是已知的，哪些是未知的以及它们之间的_______.（2）“设”是指设未知数，设未知数又分为__________和__________，要根据题目特点选择合适的设元方式.（3）“列”就是_________，即根据题目中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其它未知数，利用题目中的_________建立方程. （4）“解”就是求出所列方程的_________.（5）“验”就是对方程的根进行_________，具体说来包括两个方面，一是检验解出的根是否能使_________，二是看方程的根是否_________，不符合题意的根要_________. （6）“答”即写出_________.二、典型例题[例1] 已知：关于x 的方程0122=-+kx x . （1）求证：方程有两个不相等的实数根.（2）若方程的一个根是－1，求k 的值及另一个根.[例2] 我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问： （1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？（2）在（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果精确到0.1%）三、课堂演练：1．关于x 的一元二次方程014)5(2=---x x a 有实数根，则a 应满足的条件是 .2．已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ） A ． b =﹣1B ．b =2 C ． b =﹣2D ．b =0 3. 如果关于x 的一元二次方程kx 2－21k +x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( ). A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠04．已知21x x 、是一元二次方程0)32(22=++-k x k x 的两个根. (1)求实数k 的取值范围； （2）若,11121=+x x 求k 的值.5.已知21x x ，是关于方程2x ＋（2a －1）x ＋2a =0的两个实数根，且（1x ＋2）(2x +2)=11, 求a 的值.四、课外作业1.写出一个以-1与2为根的一元二次方程 .2. 已知关于x 的方程x 2+（1﹣m ）x +=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是_________．3.已知关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x a 有两个相等的实数根，求a 的值及方程的根.4.已知关于x 的一元二次方程2x －4x ＋k =0有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围.（2）若k 为符合条件的最大整数，且方程2x －4x ＋k =0与方程2x ＋m x －1=0有一个相同的根，求此时m 的值.5.已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长． （1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根6. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克65元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式及最大月销售利润． （3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?。
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
中考专题复习〈〈一元二次方程根的判别式和根与系数的关系》1、根的判别式及应用(△ = b2 一4ac):(1)判定一元二次方程根的情况。
(2)确定字母的值或取值范围。
2、根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a乒0)的两根为x i、X2,b c贝U X i+X2=—— , x i X2=—。
a a(1) 已知一根求另一根及未知系数；(2) 求与方程的根有关的代数式的值；(3) 已知两根求作方程；(4) 已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号：(x1、x2是方程两根)。
3、应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负；求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1,即以x「乂2为根的一元二次方程为x2-(x〔+x2)x+x〔x2= 0 ；求字母系数的值时，需使二次项系数a乒0,同时满足^> 0；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和x1 +x2, ?两根之积x1x2的代数式的形式，整体代入。
1.一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程a顶4bx+c=0a#0 )的根的判别式为.(1) b2 -4ac>0u 一元二次方程ax2+bx + c =0(a #0)有两个实数根.(2) 史—4ac=0U 一元二次方程有相等的实数根，即x1 = x2= ^(3) b2—4ac<0u 一元二次方程ax2+bx+c = 0(a #0 实数根.2.一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程ax2 +bx + c =0(a , 0)有两根分别为x1, x2,那么x1 + x2=,2 2x1 x2 = ^变形：x1 +x2 =, x1 -x2 =。
至十兰=。
x1 %3.易错知识辨析：1) 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.2) 应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2 -4ac芝0 ；②二次项系数a#0,即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系^一、【典型示例】【例1】当k为何值时，方程x2-6x + k-1=0 , (1)两根相等；(2)有一根为0 ；(3)两根为倒数【例2】已知关于x的方程x2 +2(a—1)x+a2—7a—4=0,(1) 若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；(2) 若方程的有两个实数根为x〔、x2 ,且x； +x；=32，求a的值。
复习2：一元二次方程根的判别式
4、若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等实数根，
则m的取值范围是
()
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
5、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则 k= .
6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
则x1+x2=
；x1x2= ；
2、方程2x2-kx-6=0的一个根是2，则k=
；
另一个根为（ ）
3、以2，-3为根的一元二次方程是
；
4、已知a、b是方程x2+x-1=0的两实根，则
a2+2a+b=
拓展已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，
求 ab ba
思维训练. 1、在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
3、一元二次方程的根与系数的关系：注意:此关系是在( )条件下存 在的。若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2= ；x1x2= ；
4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程是——————
➢ 课时训练（一）
Hale Waihona Puke 1、下列一元一次方程中，有实数根的是（ ）
A
.x2-x+1=0
➢ 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
一元二次方程判别式和根与系数的关系
一元二次方程（2）★★知识点精讲1. 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为△= . （1）△＞0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根，即=2,1x .（2）△ = 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根，即==21x x .（3）△＜0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.（4）△ ≥ 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系（1）如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .（2）如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两个根是1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3. 不解方程，求二次方程的根x 1,x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+- ； ②12121211x x x x x x ++= ； ③22121212()()4x x x x x x -=+- ； ④2121212||()4x x x x x x -=+-.★★典例讲解及思维拓展 ●例1．不解方程，判定方程根的情况（1）x 2-7x-18=0 ； （2）9x 2+6x+1=0；（3）2x 2=9x-8 ； （4）16x 2+8x=-3 .★刘老点津★ 1.使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2.按照“一求二判”的思路来完成。
“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。
●例2．求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.练习和拓展及思维能力提升1 1、（1）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2x -2x-1=0 B. 2x -2x+3=0 C. 2x =23x-3 D. 2x -4x+4=0（2）关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ） A ．0B ．8C ．42±D ．0或8（3）关于x 的一元二次方程2x -mx+(m-2)=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D.无法确定 （4）如果关于x 的一元二次方程2k 2x -(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A.k>-14 B.k>-14且k ≠0 C.k<-14 D.k ≥-14且k ≠0 2、 m 为何值时，方程0m x 10x 32=+- ①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个不相等的实数根.●例3．已知x x 21,是方程01322=-+x x的两个根，不解方程，求下列代数式的值.xx 2122)1(+ ； xx2111)2(+ ；)3)(321)(3(--x x ；))(4(212x x - ；x x x x 212122)5(⋅+⋅ ； xxx x 2112)6(+ .★刘老点津★ 1.运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x 1+x 2和x 1x 2表示的代数式．2.求关于一元二次方程的根的代数式的值的方法：遇平方，先配方；遇括号，先展开；遇分式，先通分；遇公因式，先提出；遇两根差，先平方，再开方。
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一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课
教学目标
(一)提高学生对于根的判别式的运用能力；
(二)提高学生对于根与系数关系的运用能力.
教学重点和难点
重点：会用根的判别式及根与系数关系解题.
难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备的条件.特别是容易忽略隐含条件.
教学设计过程
(一)复习
1.已知一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
(1) 它的根的判别式是什么?用什么记号表示根的判别式?(b2-4ac,用△表示)
(2) 叙述一元二次方程根的判别式的性质.
(一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根.
反过来也成立，即有两个不相等的实数根时，△＞0，有两个相等的实数根时，△=0；没有实数根时，△＜0)
2.(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2=?,x1·x2=?
(2)上述性质的逆命题怎样叙述?此逆命题是否成立?
3.对于根的判别式和根与系数关系的性质，我们从正、反两方面(即原命题与逆命题)都知道了，并初步做了有关练习，但涉及这两个性质的综合性较强的问题，还需要训练.
(二)新课
例1 P为何值是，方程 x2+3x+3+P(x2+x)=0
(1) 有两个相等实根；(2)试作一个一元二次方程，使P的这些值是这个方程的根.
分析：从根的判别式性质，可求出P值，从而写出所求的一元二次方程.但根据方程根的性质，可使解题过程简单些.
解：欲使方程x2+3x+3+p(x2+x)=0有等根，则方程(1+p)x2+(3+p)x+3=0的根的判别式应等于零.即△=(3+P)2-12(1+p)=0,整理，得p2-6p-3=0.
由已知P是所求方程的根，因此二次方程x2-6x-3=0就是所求方程.
例2 若α，β是方程x2+x-1=0的两根，
求证：(1)α2=β+2,β2=α+2;
分析：由根与系数关系及方程根的定义，列出有关等式，由此得出(1)的结论.
证明：由α,β是方程x2+x-1=0的两根，得
α2+α-1=0, ①
β2+β-1=0. ②
由根与系数关系，得
α+β=-1, ③
αβ=-1. ④
由③，得α=-β-1, ⑤
⑤式平方，得α2=β2+2β+1. ⑥
由⑥α2=β2+β+β+1=β2+β-1+β+2,把②代入，得α2=0+β+2,所以α2=β+2.
由③β=-α-1, ⑦
⑦式平方，得β2=α2+2α+1, ⑧
由⑧β2=α2+α+α+1=α2+α-1+α+2,把①代入，得β2=0+α+2,所以β2=α+2;
例3 m取什么值时，方程.
(1) 有两个实根； (2)有一个根为零； (3)两根异号； (4)有两个正数根.
解：(1)△=(-2m)2-4(2m-1)=4m-8m+4=-4m+4=4(-m+1).
令△≥0,即4(-m+1)≥0，所以m≤1. ①
又由m可知，必须m≥0 ②，把①，②结合在一起，当0≤m≤1时，原方程有两个实根；
注意此问的解答中，容易忽略条件②.
(2) 由已知，两根之积为零，即2m-1=0,所以m=时，，原方程有一个根为零；
(3) 由已知，两根之积为负值，即2m-1＜0,所以m＜时，原方程两根异号；
(4) 设两根都是正数，应先把已知条件转化为方程或不等式，再计算出m值.由x＞10, x2＞0，所以x1+x2＞0及x1x2＞0,
即
但是仅凭条件①，②还不足以说明两根都是正数，还必须有条件△≥0,
即△=4(-m+1)≥0. ③
由①，②，③，得不等式组
答：当＜m≤1时，原方程有两个正数根.
注意：如果忽略了条件③，即答＜m时原方程有两个正数根，这个答案就错了.例如
取m=4，原方程为x2-4x+7=0,但是这个方程的根的判别式.△=(-4)2-4×7=-8＜0，即方程x2 -4x+7=0没有实根，也就没有正根了.
(三)课堂练习
α取什么值时，关于x的二次方程x2+2ax+2a2-1=0的两根中至少有一个是正根.
(提示：两根中至少有一个正根，包括三种情况(1)两根都是正数；(2)一个正根，一个负根；(3)一个正根，一个根为零.
由(1)，列出条件组
(四)小结
1.在用根的判别式及根与系数关系解题时，不要忽略隐含条件，像例3第(4)问中的条件△≥0.
2.在计算时，也不要忽略算式隐含的条件，像例3第(1)中隐含的条件m≥0.
(五)作业
1.求作一个一元二次方程，使其根与已知方程ax2+bx+c=0的根的比为m.
2.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的二根之比为2:3,求证：6b2=25ac.
3.已知u=16x2+12x+39,υ=9x2-2x+11,求：对于二次式u+kυ是一个完全平方式的常数k 的值.
4.c为实数，且x2-3x+c=0中有根一相反数是方程x2+3x-c=0的一个根，求方程x2-3x+c=0 的根.
5.k是什么值时，关于x的方程(k2-1)x2-6(xk-1)x+72=0有两个不相等的正整数根.
作业的答案或提示
2.由于原方程两根之比为2：3，所以可设两根为2k，3k，于是
4.设a是x2-3x+c=0的一个根，且是方程x2+3x-c=0的根，则有
③-④得2c=0,所以c=0,代入x2-3x+c=0,得x2-3x=0，解此方程得x1=0,x2=3.
5.因为方程要有两个根，此方程必定是一元二次方程，二次项系数必定不是零即k2-1≠0得k≠±1 ①,又因为两实根不相等，△＞0.即［-6(3k-1)］2-4×72(k2-1)＞0,得k≠3.②
要使x1,x2都是整数，必须k+1能整除12，且k-1能整除6.
由k+1能整除12，k+1可为1,2,3,4,6,12即k可为0,1,2,3,5,11. ③
由k-1能整除6，k-1可为1,2,3,6即k可为2,3,4,7. ④
由③，④的共同解为k=2,k=3,但由②知k≠3,所以只能取k=2.
答：k=2时，原方程有两个不相等的正整数根.
注意：不要忽略原题中一些关键词所含的条件.
像“两个”，限定了k≠±1，像“不相等”，限定了△＞0，即k≠3，像“正整数”
，限定了k+1可为1,2,3,4,6,12且k-1可为1,2,3,6.
课堂教学设计说明
1.在复习旧知识时，把根的判别式及根与系数关系的原定理与逆定理都提出，并着重提醒学生记住.
2.例1不仅用到根的判别式性质，还用到方程根的概念.例2不仅用到根与系关系，还用到了方程根的概念.这两个例题中的“方程的根”这个条件容易被忽略.
3.综合运用根的判别式性质与根与系数关系时，往往容易忽略某些条件.例3就是要说明这一点，尤其是例3的第(4)问.。