根与系数关系教案
九年级根与系数的关系教案
九年级根与系数的关系教案一、教学目标1. 理解根与系数的关系，能够运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系，能够运用根与系数的关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决数学问题的能力。
二、教学重点1. 根与系数的关系2. 运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况三、教学难点1. 根与系数的关系的运用2. 运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况四、教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、归纳总结的方式来发现根与系数的关系，并通过实例讲解，让学生在实际问题中运用根与系数的关系解决问题。
五、教学过程1. 导入：通过复习一元二次方程的定义和根的判别式，引导学生思考根与系数之间的关系。
2. 讲解：讲解根与系数的关系，引导学生通过观察、思考、归纳总结的方式来发现根与系数的关系。
3. 实例讲解：通过实例讲解，让学生在实际问题中运用根与系数的关系解决问题。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容，并能够灵活运用。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置作业，让学生进一步巩固所学内容。
六、教学反思本节课结束后，教师应引导学生进行教学反思，回顾和总结所学内容，包括：1. 学生对根与系数的关系的理解程度。
2. 学生在实际问题中运用根与系数的关系的情况。
3. 学生对根的判别式的掌握情况。
七、课后作业1. 请用今天所学的知识，判断下列方程的根的情况：1x^2 + 2x + 1 = 02x^2 4x + 3 = 02. 请用今天所学的知识，解决下列实际问题：一个长方形的面积为24平方厘米，长比宽大3，求长方形的长和宽。
八、课程拓展1. 研究其他二次方程的性质，如二次方程的图像、顶点坐标等。
2. 探索其他数学知识与实际问题相结合的应用，如几何、三角函数等。
九、评价与反馈教师应根据学生的课堂表现、作业完成情况和课后拓展情况进行评价，并及时给予反馈，以促进学生的学习进步。
一元二次方程的根与系数的关系-人教版九年级数学上册教案
一元二次方程的根与系数的关系——人教版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解一元二次方程解的概念和性质，掌握求方程解的方法；2.学会熟练运用求根公式及应用一元二次方程解决实际问题；3.掌握一元二次方程根的数量及其相关系数的关系；4.培养分析、解决实际问题的能力和兴趣。
二、教学重点与难点1.教学重点：掌握一元二次方程根的数量及其相关系数的关系。
2.教学难点：能够运用一元二次方程解决实际问题。
三、教学过程1.复习回顾通过让学生进行口算或板书，回忆一元二次方程的定义和一些基本概念例如：二次项的系数、判别式等。
2.引入新知1.学生通过求解以下方程来感受一元二次方程根的划分：x2−2x+1=0，x2−2x+2=0，x2−2x+3=02.通过口算讨论发现，x2−2x+1=0这个方程有极特殊的一点，即方程的两根重合。
这便引出了一元二次方程解的概念和性质。
3.讨论不同的二次项系数对一元二次方程的根的影响。
4.讲解一元二次方程的解法，介绍求根公式并让学生观察、理解其含义。
3.例题讲解1.练习使用求根公式求解一元二次方程。
2.通过题目的加减乘除，让学生掌握如何将实际问题建立为一元二次方程，运用一元二次方程解决实际问题。
4.拓展练习通过配合精心设计的习题，引导学生总结一元二次方程根的数量和系数的关系。
5.归纳总结1.让学生回想本节课学过的知识点。
2.教师要求学生口头或书面介绍一元二次方程，比如：定义、图像、根的数量等方面的内容。
四、课后作业1.完成课本相关练习和拓展试题。
2.结合生活实际，自编3道一元二次方程及其解决实际问题的例题，写在作业本上。
五、教学反思在本节课的备课过程中，从实际出发，将一元二次方程的解和实际联系起来，让学生能够欣赏数学课程应用的实际面貌，从而激发学生的数学兴趣。
同时，在教学中也要注重实际情况的演示和练习，让学生能够充分接触到不同情境下使用一元二次方程等的运算过程，从而更加灵活地应用数学。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标:1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系,培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。
2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。
3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值,并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一、自学互研 探索发现(每小题10分，共30分)(自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视,随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。
学生独立完成导学案,观察、对比、发现问题，逐步由易到难,探索出一元二次方程的根与系数的关系;小组长检查小组成员完成情况;分小组汇报自学成果。
【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。
通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。
培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。
【学案内容】:1、方程:X 2+3X –4=0（1)二次项系数是_____ ,一次项系数是______，常数项是______.（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ .(3）则X 1+X 2=_______， 方程中（）二次项系数一次项系数=- (4） X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1)二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
《根与系数的关系》教案
《根与系数的关系》教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对一元二次方程根的判别式的认识和运用。
二、教学内容1. 知识背景：回顾一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系。
2. 教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
3. 教学难点：理解和运用根与系数的关系解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课：通过复习一元二次方程的定义和根的判别式，引导学生思考根与系数之间的关系。
2. 讲解新课：讲解一元二次方程的根与系数之间的关系，结合实例进行解释。
3. 练习巩固：让学生通过练习题目，加深对根与系数关系的理解和运用。
4. 拓展应用：引导学生运用根与系数的关系解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究根与系数的关系。
2. 运用实例讲解，让学生直观理解根与系数的关系。
3. 设计练习题目，巩固所学知识，提高解题能力。
4. 鼓励学生相互讨论，培养合作学习能力。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对根与系数关系的理解和掌握程度。
2. 练习题目：评估学生运用根与系数关系解决实际问题的能力。
3. 课后作业：布置相关题目，巩固所学知识，提高学生自主学习能力。
六、教学资源1. 教学课件：制作包含根与系数关系图表、实例及练习题目的课件。
2. 练习题库：准备一系列具有代表性的练习题目，涵盖不同难度的题目。
3. 教学视频：搜集与根与系数关系相关的教学视频，作为辅助教学资源。
4. 实际问题案例：收集一些实际问题，用于引导学生运用根与系数关系解决实际问题。
七、教学环境1. 教室布局：教室座位排列以方便学生互动、讨论为原则。
2. 教学设备：准备投影仪、计算机、音响等教学设备，确保教学课件和视频的正常播放。
3. 网络环境：确保教室具备稳定的网络环境，便于查找相关教学资源。
八、教学拓展1. 开展小组活动：组织学生分组讨论，探讨根与系数关系在实际问题中的应用。
根与系数关系教案
根与系数关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解一元二次方程的根与系数之间的关系；（2）学会运用根与系数的关系解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生的观察、分析、归纳能力；（2）运用根与系数的关系解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生勇于探究、合作学习的良好品质。
二、教学内容1. 教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 教学难点：运用根与系数的关系解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习一元二次方程的定义及解法；（2）引导学生思考：一元二次方程的根与系数之间有什么关系？2. 探究活动：（1）让学生分组探讨，总结出一元二次方程的根与系数之间的关系；（2）教师引导学生归纳总结，得出结论。
3. 知识应用：（1）让学生运用根与系数的关系解决实际问题；（2）教师引导学生总结解题方法，巩固知识。
四、作业布置1. 请学生总结一元二次方程的根与系数之间的关系；2. 运用根与系数的关系解决实际问题。
五、教学反思1. 教师对本节课的教学效果进行自我评价；2. 学生对本节课的学习效果进行自我评价；3. 针对教学过程中的不足，提出改进措施。
六、教学评价1. 评价目标：（1）学生能理解并运用一元二次方程的根与系数关系；（2）学生能解决实际问题，展示数学应用能力；（3）学生能积极参与探究活动，表现合作学习能力。
2. 评价方法：（1）课堂提问，观察学生对概念的理解程度；（2）作业批改，检查学生运用知识解决问题的能力；（3）小组讨论，评估学生在探究活动中的表现。
七、教学拓展1. 课题研究：探究其他类型的方程（如二次三项式方程）的根与系数关系；2. 数学竞赛：组织学生参加有关一元二次方程的数学竞赛，提高解题技巧；3. 数学日记：鼓励学生记录在学习本节课过程中的心得体会，培养反思习惯。
九年级根与系数的关系教案
九年级根与系数的关系教案一、教学目标1. 让学生理解根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数之间的联系。
2. 培养学生运用根与系数的关系解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：理解并掌握根与系数的关系，能够运用根与系数的关系解决实际问题。
2. 教学难点：根与系数的关系在实际问题中的应用。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探索、发现、总结根与系数的关系。
2. 运用案例分析法，让学生通过实际问题理解并掌握根与系数的关系。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解根与系数的关系。
四、教学准备1. 教师准备相关案例和问题，以便在教学中引导学生进行探索和分析。
2. 准备多媒体教学设备，以便进行数形结合的教学。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考根与系数的关系。
2. 探索与发现：让学生通过分组讨论、探索，发现根与系数之间的关系。
3. 总结与讲解：引导学生总结根与系数的关系，并进行讲解。
4. 案例分析：分析实际问题，运用根与系数的关系解决问题。
5. 练习与巩固：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结反馈：对学生的学习情况进行总结反馈，查漏补缺。
六、教学内容与要求1. 教学内容：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握根的判别式，理解根与系数在解方程中的应用。
2. 教学要求：学生能够运用根的判别式判断方程的根的情况，能够将实际问题转化为方程求解，并运用根与系数的关系进行分析。
七、教学步骤1. 回顾与导入：复习一元二次方程的基本概念，引入根与系数的关系。
2. 探索与发现：引导学生通过具体的一元二次方程，探究根与系数之间的关系。
3. 讲解与总结：讲解根的判别式，总结根与系数之间的关系，并进行例题解析。
4. 应用与拓展：提供几个实际问题，让学生运用根与系数的关系进行求解。
5. 巩固与练习：布置相关的练习题，让学生进行巩固练习。
《根与系数的关系》教案
《根与系数的关系》教案一、教学目标1. 让学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对一元二次方程的解法及应用的理解。
二、教学内容1. 一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 根的判别式：Δ= b^2 4ac。
3. 根与系数的关系：(1) 若有两个实数根，则根的值为：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b √Δ) / (2a)。
(2) 若有两个相等的实数根，则根的值为：x1 = x2 = -b / (2a)。
(3) 若没有实数根，则方程无实数解。
三、教学重点与难点1. 教学重点：根与系数之间的关系。
2. 教学难点：理解根的判别式Δ的意义及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究根与系数的关系。
2. 通过实例分析，让学生感受数学知识在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解根与系数之间的关系。
五、教学准备1. 教学课件：展示一元二次方程的图像，直观地展示根与系数之间的关系。
2. 实例：准备一些实际问题，让学生运用根与系数的关系解决问题。
3. 练习题：设计一些有关根与系数关系的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习一元二次方程的一般形式和根的判别式，引导学生思考根与系数之间的关系。
2. 讲解根与系数的关系：结合课件和实例，讲解一元二次方程的根与系数之间的关系。
3. 互动环节：学生分组讨论，尝试解决实例中的问题，教师巡回指导。
4. 练习环节：学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解和解析。
5. 总结与反思：学生分享学习心得，教师总结根与系数之间的关系及其应用。
七、教学拓展1. 探讨二元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 研究多项式方程的根与系数之间的关系。
3. 引导学生思考根与系数关系在实际问题中的应用，如线性规划、优化问题等。
八、课后作业1. 复习根与系数的关系，巩固所学知识。
八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
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【课题】《一元二次方程根与系数的关系》
【教学目标】
知识技能：（1）掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积。
（2）能利用一元二次方程根与系数的关系灵活解决一些简单的问题。
能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.
情感目标：利用韦达定理渗透爱国主义精神，激发学生发现问题，提高学生解决问题的能力。
【教学重点】根与系数的关系及其推导.
【教学难点】正确理解根与系数的关系.
【教学方法】小循环多反馈
【学法指导】自主合作探究学习法
【教学课时】第一课时
【课前准备】
1、检查上课人数
2、作业总结：上节课大家的作业完成的都很好，希望以后继续努力。
【教学过程】
设置情境，引入新课
数学活动一：复习提问
1、一元二次方程的一般式？
2、一元二次方程根的判别式与根的关系？
3、一元二次方程的求根公式
数学活动二:
提出问题：你发现什么规律?
①用语言叙述你发现的规律;
②ax 2+bx+c=0的两根为X[,, x 2，用式子表示你发现的规律。
数学活动三：论证韦达定理
设x 「X2为方程ax 2+bx+c=0（a 丰0）的两个实数根,
:2
—b +、"b —4ac X i , X 2
2a
-b 、b 2 -4ac - b -、b 2 - 4ac b
--x 1 x 2 二 2a a
(_b)2「(b 2 _4ac) 4ac c
Xi X 2 _ 4a 2 _ 4a 2 _ a
结论：假设成立，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，因为是
法国数学家韦达最先发现的。
数学活动四：根与系数关系的应用（一）
例1:不解方程，求下列方程两根的和与两根的积各是多少?
(1) x 2- 3x+1=0 ( 2)3x 2- 2x=2 (3) 2x 2+3x=0 (4) 3x 2=1
证明:x-i
b c X 2 , x -X 2 二―
-b - b 2 - 4ac 2a 证明：；当0时，由求根公式得:
解：由根与系数的关系得：X i • X 2 - -I^Lx 2 - -1
2 2 2 2
(1)x , x 2 -(x 1 x 2) -2X 4X 2 =(-1) -2 (-1)=3
1 1 ⑵-
x 4 x 2
(3)(x i —1)(X 2 —1) = x^ —X i —X 2 1 = X 1X 2 —(X i X 2) ■ 1
=1
课堂练习：1.已知方程5x 2-7x+k=0的一个根是2,求它的另一个根及k 的值；
2.设x 1, x 2是方程2x 2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求
下列各式的值： (1)(X 1 • 1)(X 2 • 1) (2)(X 1 -X 2)2
【课堂小结】
填空：今天，我们学习了 _____________________________ ，知道若ax 2 bx 0(a = 0，
2
b -4a
c - 0)的两个根 X 1 ,X 2，则为• X 2 二 ，X 1 x^ 。
【课后作业】
必做题：学习指导：课本136页习题64 1 题，2题
选做题：在解方程x 2+px+q=0时，甲同学看错了 p ，
解得方程根为1与-3 ;乙同学看错了 q ,解得方程
的根为4与-2，你认为方程中的p= ________ ，q= ____
【教后反思】
在本节教学中，我做了一些尝试，现小结如下：
一、重视知识的连贯性，由浅入深，在旧知识上构建新知，激发学习兴趣，活跃学生的学习活 动。
为了能让学生更好的掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两 根和与两根积，故x 2 x 4
x 4x 2
在设计教案时前一段引入部分通过实例，这样能让学生有一个感性的认识。
二、学生自主学习与合作探究相结合，达成学教目标。
培养探究思维是进行探究学习的根本目标，
在学教中，对新知的感受、证明我采用合作探究的学习模式，有2人一组，让学生在合作中相互
补充互相学习，人人开动脑筋，并给学生展示探究结果的机会，鼓励学生大胆猜想，严密论证。
在定理的应用中，让学生自己发现、总结应用定理时应注意的几点（方程是一般形式；方程必须
有实根；方程必须是一元二次方程）总结公式结构特征（左边分别是两根的和与积，右边分别是
一次项系数除以二次项系数的商的相反数和常数项除以二次项系数的商），既培养了数学语言表达能力，又培养了治学的严谨性态度，解题不能草率，要三思而行。
最后以达标训练题
三、疏漏之处：学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清。
两根和、两根积有小部分同学有些混淆。