《渗流力学》第三章 多井干扰理论

第三章 多井干扰理论
2、势函数、流函数及其相互关系
（1）势函数定义
K pC
d K dp
势函数也称为速度势，等值线 x, y是 等C势线 。
势函数满足拉普拉斯方程：
2 2
0
x 2
y 2
第三章 多井干扰理论
2、势函数、流函数及其相互关系
无限大地层中存在一个点汇
1 r r
d dr d
r
d dr
e
2
ln Re
C
q 2 (e w ) ln Re
Rw
e
w
q
2
ln
Re Rw
Q 2 Kh( pe pw ) ln Re
Rw
第三章 多井干扰理论
2、势函数、流函数及其相互关系
（2）流函数
流线的方向代表液流的运动方向， 即流线上任一点的切线方向跟液 流在该点上的方向一致。
dy y dx x
1 r r
d r dr d
d dr
q
0
dr r0 2
（连续性方程） （边界条件）
积分求出
q ln r C
2
q的正负
第三章 多井干扰理论
2、无限大地层等产量一源一汇的产量
2 x2
2 y2
0
数 学 模
r1
r1
r1 0
q
2
型
r2
r2
r2 0
q
2
由势的叠加原理：M
第三章 多井干扰理论
3、叠加原理
（1） 压力叠加
p1(r1 )
Q1 2 Kh
ln r1
C1
p2 (r2 )
Q2 2 Kh
ln r2
C2
p
p1
p2
2 Kh
Q1
ln r1
Q2
ln r2 C
其中
CC C
1
2
第三章 多井干扰理论
3、叠加原理
（2） 压力降叠加
AB AB AA
p3 p1 p2
A
B
q
2
ln r1
q
2
ln r2
C
q ln r1
2 r2
第三章 多井干扰理论
把M点取在A井井壁处
r1 Rw, r2 2a Rw
生产井（A井）井底的势为：
M
K
pw
q
2
ln Rw 2a Rw
C
再把M点取在B井井壁上
r1 2a Rw, r2 Rw
注水井（B井）井底的势
M
K
pwinj
第三章 多井干扰理论
本章要点
1 理解多井干扰的物理实质是渗流场的重新分布； 2 了解势函数、流函数的概念及其相互关系； 3 深刻理解叠加原理，掌握五种叠加的含义； 4 掌握无限大地层等产量一源一汇、两汇的求解（产量、压力分
布、渗流场等）； 5 理解镜像反映的原理，并能解决一系列存在边界效应时的问题。 6 掌握等值渗流阻力法的原理及方法。
x y x y
数学定理 d ydx xdy
流函数也满足拉普拉斯方程：
2 x2
2 y2
0
第三章 多井干扰理论
2、势函数、流函数及其相互关系
（3）相互关系
; x y
y x
流函数和势函数是满足柯西—黎曼方程的，在平面渗 流场中势函数和流函数是调和函数，并且势函数和流 函数是正交的。
Q
Q
()
2 rBh 3 ah
1
4Q
()
3 ah
第三章 多井干扰理论
5、渗流速度
点2处：
2
Q
ah
()
点3处：
3
4Q
3 ah
()
点4处：
4
Q
2 ah
()
“舌进”现象
沿主流线流入生产井已经是水 质点时，沿其他流线流入生产 井的还是油质点。
第三章 多井干扰理论
1、多井干扰现象
p1 ( r1
)
Q1 2 Kh
ln
r1
C1
压力函数的叠加， 不是压力的叠加
p2 (r2 )
Q2 2 Kh
ln r2
C2
1——单独一口注水井时的压力分布曲线（虚线）； 2——单独一口生产井时的压力分布曲线（虚线）； 3——两口井同时工作时的压力分布曲线（实线）；
第三章 多井干扰理论
3、叠加原理
（5） 渗流速度的叠加
n
1 2 3 …… n i
i 1
第三章 多井干扰理论
4、考虑边界效应的镜像反映法（映射）
镜像反映
第三章 多井干扰理论
本节知识回顾 1 多井干扰的实质是渗流场重新分布（叠加）； 2 势函数、流函数都是满足拉普拉斯方程，且正交； 3 五种叠加原理是矢量叠加； 4 势的叠加原理是建立于无限大地层，当存在边界时，运
用镜像反映可以把一些问题转化，用叠加原理来求解。
第三章 多井干扰理论
第二节 无限大地层等产量一源一汇研究
1 无限大地层中点源点汇的势； 2 无限大地层等产量一源一汇产量； 3 无限大地层等产量一源一汇压力分布； 4 无限大地层等产量一源一汇的渗流场
第三章 多井干扰理论
1、无限大地层中点源点汇的势
第三章 多井干扰理论
第一节 叠加原理
1 多井干扰现象； 2 势函数、流函数及其相互关系； 3 叠加原理； 4 考虑边界效应的镜像反映法（映射）
第三章 多井干扰理论
1、多井干扰现象
p1(r1 )
Q1 2 Kh
ln
r1
C1
p2 (r2 )
Q2 2 Kh
ln r2
C2
1——单独一口注水井时的压力分布曲线（虚线）； 2——单独一口生产井时的压力分布曲线（虚线）； 3——两口井同时工作时的压力分布曲线（实线）；
第三章 多井干扰理论
3、叠加原理
（3） 势的叠加
1
q1
2
ln r1
C1
2
q2
2
ln r2
C2
1
2
q1
2
ln
r1
q2
2
ln
r2
C
其中
CC C
1
2
第三章 多井干扰理论
3、叠加原理
（4） 复势的叠加
W i
W Z i 1 2 i1 2
1 i1 2 i2 W1 W2
C
两式相减，得
pM ( x, y)
pw
Q 2 Kh
ln
2a Rw Rw
r1 r2
第三章 多井干扰理论
4、无限大地层等产量一源一汇的渗流场
红色—流线 蓝色—等势线 X轴 —流线 Y轴 —等势线
第三章 多井干扰理论
5、渗流速度
点1处：
1 A1 B1
A1
Q
Q
()
2 rAh ah
B1
q
0
dr r0 2
拉普拉斯方程 边界条件
可得，解为： 直角坐标系下来自q ln r C2
q ln x2 y2 C
2
思考：无限大地层中存在一点源，势函数怎样表示？
第三章 多井干扰理论
2、势函数、流函数及其相互关系
势函数的应用
q
(r ) r Rw
w
2
ln Rw
C
q
(r ) r Re
q
2
ln
2a Rw Rw
C
两式相减， 得：
Q Kh( pwinj pw )
pwinj pw
ln
2a Rw Rw
Kh
ln
2a Rw Rw
第三章 多井干扰理论
3、无限大地层等产量一源一汇的压力分布
M (x,y)
K
pM ( x, y)
q
2
In r1 r2
C
M
K
pw
q
2
ln Rw 2a Rw