四川省岳池一中数学(人教A)选修2-2学案 复数的几何意义
2018-2019学年人教A版选修2-2 3.1.2 复数的几何意义 学案
3.1.2 复数的几何意义 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一 复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二 复数的几何意义知识点三 复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ )2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( × )3．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( × )类型一 复数与复平面内的点的关系例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在：(1)第三象限；(2)直线x －y －3＝0上．考点 复数的几何意义题点 复数与点对应的关系解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0， 即当－3<x <2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z (x 2＋x －6，x 2－2x －15)，当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；(2)第四象限．解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0，即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0， 即当2<x <5时，点Z 在第四象限．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .考点 复数的几何意义题点 复数与点对应的关系解 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0.若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2. 类型二 复数的模例2 设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值．考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．∵z ＋1＝(a ＋1)＋b i ，且|z |＝|z ＋1|＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝1，a 2＋b 2＋2a ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－12，b 2＝34，∴|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝(a －1)2＋b 2 ＝⎝⎛⎭⎫－12－12＋34＝ 3. 反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．跟踪训练2 已知0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1，10)B ．(1，3)C ．(1,3)D ．(1,10)考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 A解析 0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |＝a 2＋1∈(1，10)． 类型三 复数与复平面内的向量的关系例3 (1)向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 (1)C (2)D解析 (1)由复数的几何意义，可得OZ 1→＝(5，－4)，OZ 2→＝(－5,4)，所以OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.反思与感悟 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．跟踪训练3 在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为________．考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 2－i解析 复数2＋i 表示的点A (2,1)关于实轴对称的点为B (2，－1)，∴OB →对应的复数为2－i.1．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 D解析 ∵23<m <1，∴0<3m －2<1，m －1<0， ∴复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限．2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 C3．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1或a >1B ．－1<a <1C ．a >1D ．a >0 考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求参数答案 B解析 因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4<5，即a 2＋4<5，所以a 2<1，即－1<a <1.4．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z |＝________. 考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 3解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m＝2，所以z ＝3i ，所以|z |＝3.5．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i(i 为虚数单位)在复平面中的对应点(1)位于第四象限；(2)位于x 轴的负半轴上．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ m >5或m <3，－7<m <4，所以－7<m <3. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧3<m <5，m ＝－7或m ＝4，所以m ＝4.1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离.一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 ∵π2<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0， 故复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3) 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 A 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1. 3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1， 则复数a －a i ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.4．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝0或a ＝2D ．a ＝0考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.5．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 B解析 ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i 考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知， a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i 考点 复数模的定义与应用题点 利用模的定义求复数答案 D解析 设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 5解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决轨迹、图形答案 (x －2)2＋y 2＝8解析 由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8.10．在复平面内，O 为坐标原点，向量OB →对应的复数为3－4i ，若点B 关于原点的对称点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC →对应的复数为________．考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 3＋4i解析 因为点B 的坐标为(3，－4)，所以点A 的坐标为(－3,4)，所以点C 的坐标为(3,4)，所以向量OC →对应的复数为3＋4i.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________． 考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 ⎣⎡⎭⎫322，3 解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2. 由条件得|z |＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝ 2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14＋92＝ 2⎝⎛⎭⎫a －122＋92. 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎡⎭⎫322，3. 三、解答题 12．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z .考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数解 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝a i(a ≠0，且a ∈R )，则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1.又|－1＋i|＝2，所以a 2＋1＝2，解得a ＝±1， 所以z ＝±i.13．已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．考点 复数的几何意义题点 复数的模及其应用解 方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．方法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知－7<a <7.四、探究与拓展14．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋itan B 对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 因为A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B ，cos B －tan A ＝cos B －sin A cos A<cos B －sin A <0，又tan B >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.15．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z .考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系解 根据题意可画图形如图所示，设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝±3，即点Z 的坐标为(－1，3)或(－1，－3)， ∴z ＝－1＋3i 或z ＝－1－3i.。
人教A版高中数学选修2-2备课资料-复数的几何意义
3.1.2复数的几何意义学习目标核心素养1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点)2．掌握实轴、虚轴、模等概念. (易混点)3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)1.通过复数的几何意义的学习，培养学生的直观想象核心素养．2．借助复数在复平面内与点、平面向量的对应关系及复数模的学习及应用，提升学生的数学抽象及数学运算的核心素养.1．复平面思考：有些同学说，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？[提示]不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．2．复数的几何意义3．复数的模(1)定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模．(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|且|z |＝a 2＋b 2.1．已知复数z ＝－i ，复平面内对应点Z 的坐标为( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(0,0)D ．(－1，－1)A [复数z ＝－i 的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z 的坐标为(0，－1)．]2．向量a ＝(－2, 1)所对应的复数是( ) A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋iD [向量a ＝(－2,1)所对应的复数是z ＝－2＋i.]3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2iB [由题意知，A 点坐标为(－1，－2)，B 点坐标为(2,1)，故OB →对应复数为2＋i.]4．已知复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 5 [∵z ＝1＋2i ， ∴|z |＝12＋22＝ 5.]复数与复平面内的点的关系1．在复平面上，如何确定复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点所在的位置？ [提示] 看复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的实部和虚部所确定的点的坐标(a ，b )所在的象限即可．2．在复平面上，若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点在第一象限，则实数a ，b 应满足什么条件？我们可以得到什么启示？[提示] a >0，且b >0.在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．【例1】 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x 轴上方．思路探究：确定z 的实部、虚部→列方程(不等式组) →解参数值(范围)[解] (1)点Z 在复平面的第二象限内， 则⎩⎨⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎨⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.1．(变结论)本例中题设条件不变，求复数z 表示的点在x 轴上时，实数a 的值．[解] 点Z 在x 轴上，a 2－2a －15＝0且a ＋3≠0，所以a ＝5. 故a ＝5时，点Z 在x 轴上．2．(变结论)本例中条件不变，如果点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，求实数a 的值． [解] 因为点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上， 所以a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0，即a 3＋2a 2－15a －30＝0，所以(a ＋2)(a 2－15)＝0，故a ＝－2或a ＝±15.所以a ＝－2或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上．利用复数与点的对应解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．复数的模及其应用【例2】 (1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝ ( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2(2)已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .(1)B [因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B.](2)[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， ∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.1．复数z ＝a ＋b i 模的计算：|z |＝a 2＋b 2.2．复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．3．转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．[跟进训练] 1．(1)若复数z ＝2a －1a ＋2＋(a 2－a －6)i 是实数，则z 1＝(a －1)＋(1－2a )i 的模为________．(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．(1)29 [∵z 为实数，∴a 2－a －6＝0， ∴a ＝－2或3.∵a ＝－2时，z 无意义，∴a ＝3， ∴z 1＝2－5i ，∴|z 1|＝29.](2)[解] 法一：∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．法二：利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知：－7<a <7.复数与复平面内向量的关系线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋80iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. ①求向量AB →，AC →，BC →对应的复数； ②判定△ABC 的形状．(1)C [两个复数对应的点分别为A (6,5)，B (－2,3)，则C (2,4)．故其对应的复数为2＋4i.](2)[解] ①由复数的几何意义知： OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC → ＝OC →－OA →＝(－2,2), BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)，所以AB →，AC →，BC →对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.②因为|AB →|＝2，|AC →|＝22，|BC →|＝10， 所以|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．复数与向量的对应和转化对应：复数z 与向量OZ →是一一对应关系． 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解．解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．[跟进训练]2．设O 为原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA →对应的复数为( )A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5iD [由题意知，OA →＝(2,3)，OB →＝(－3，－2)， ∴BA →＝OA →－OB →＝(5,5)， ∴对应的复数为5＋5i ，故选D.]1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限. ]2．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2A [依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A.]3．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．9 [∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上， ∴m －3＝2m ， 解之得m ＝9.]4．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．(3，＋∞) [∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3.] 5．已知0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，求|z |的取值范围．[解]0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|＝a2＋1∈(1，10)．。
2019-2020学年高中人教A版数学选修2-2学案：3.1.2 复数的几何意义 含解析
3。
1.2复数的几何意义Q错误!错误!18世纪,瑞士人阿甘达(J.Argand，1768—1822）注意到负数是正数的一个扩充,它是将方向和大小结合起来得出来的，他给出了负数的一些几何解释．而在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效．高斯不仅将复数a＋b i表示为复平面的一点（a，b),而且阐述了复数的几何加法和乘法,这也和向量运算是一致的．使人们对复数不再有种神秘的印象，几何表示可以使人们对复数真正有一个新的看法，那么复数与什么一一对应呢？X错误!错误!1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义（1）每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定,当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系．（2）若复数z＝a＋b i(a、b∈R），则其对应的点的坐标是(a，b），不是(a，b i)．（3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系．如图，在复平面内，复数z＝a＋b i(a、b∈R）可以用点Z（a，b)或向量O错误!表示．复数z＝a＋b i(a、b∈R）与点Z（a，b)和向量O错误!的一一对应关系如下：3．复数的模复数z＝a＋b i（a、b∈R)对应的向量为O错误!,则O错误!的模叫做复数z的模，记作｜z｜且|z|＝错误!.当b＝0时,z的模就是实数a的绝对值．4．复数模的几何意义复数模的几何意义就是复数z＝a＋b i所对应的点Z(a,b)到原点（0,0)的距离.Y错误!错误!1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点的位置关系是( B ) A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称[解析] 在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点为（a,－b）和（－a，－b）关于y 轴对称．2．复数z＝－1－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ C ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析］z＝－1－2i对应点Z(－1,－2)，位于第三象限。
人教新课标版数学高二人教A选修2-2教案 复数的几何意义
1.生口答。
2.生板演。
3. 生板演。
生各抒己见:
分析复数的代数形式，因为它是由实部 和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
生思考后回答：
， ，
小结（教学反思）
复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。
注意：人们常将复数 说成点 或向量 ，规定相等的向量表示同一复数。
2．应用
例2，在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。
练习：在复平面内画出 所对应的向量。
三、巩固与提高：
1．分别写出下列各复数所对应的点的坐标。
2．
3．若复数 表示的点在虚轴上，求实数 的取值。
变式：若 表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数 的取值。
教 学 过 程
教师活动
学生活动
一、复习准备：
1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。
2．复数 ，当 取何值时为实数、虚数、纯虚数？
3. 若 ，试求 的值，（ 呢？）
二、讲授新课：
1. 复数的几何意义：
① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？
②复平面：以 轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
板书设计：3.1.2 复数的几何意义
复数的几何意义：例1：在复平面内描出复数
分别对应的点。
复数与复平面内的点一一对应。
③例1：在复平面内描出复数 分别对应的点。
（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是 而不是 ）
观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？
④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。
人教版数学高二A版选修2-2学案 复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.1.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴Ｗ.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的两种几何意义（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）.（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ →.3.复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2.1.复平面、实轴、虚轴与复数的对应（1）复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）可用点Z （a ，b ）表示.（2）实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.（3）虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数.（4）复数与向量的对应：复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的对应向量是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个.2.对复数模的两点说明（1）数的角度理解：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.（2）几何角度理解：表示复数的点Z 到原点的距离.|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的点之间的距离.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）原点是实轴和虚轴的交点.（ ）（2）实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.（ ）（3）若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.（ ）答案：（1）√ （2）× （3）×复数z ＝－12＋2i 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B复数z ＝1＋3i 的模等于（ ）A.2B.4C.10D.2 2答案：C向量AB →＝（2，－3）对应的复数z ＝ Ｗ.答案：2－3i探究点1 复数与复平面内的点已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）.（1）在实轴上；（2）在第三象限.【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12. （2）若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12. 故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值.解：若z 对应的点（a 2－1，2a －1）在抛物线y 2＝4x 上，则有（2a －1）2＝4（a 2－1），即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.利用复数与点的对应解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）可以用复平面内的点Z （a ，b ）来表示，是解决此类问题的根据.（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.1.已知z ＝（m ＋3）＋（m －1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）A.（－3，1）B.（－1，3）C.（1，＋∞）D.（－∞，－3）解析：选A.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，即－3<m <1.故实数m 的取值范围为（－3，1）. 2.在复平面内，复数3－4i ，－1＋2i 对应的点分别是A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为（ ）A.－2＋2iB.2－2iC.－1＋iD.1－i解析：选D.因为复数3－4i ，－1＋2i 对应的点分别为A （3，－4），B （－1，2）.所以线段AB 的中点C 的坐标为（1，－1），则线段AB 的中点C 对应的复数为1－i.3.求实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点（1）位于第二象限；（2）位于直线y ＝x 上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点就是点Z （a 2＋a －2，a 2－3a ＋2）.（1）由点Z 位于第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1.故满足条件的实数a 的取值范围为（－2，1）.（2）由点Z 位于直线y ＝x 上，得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.故满足条件的实数a 的值为1.探究点2 复数与复平面内的向量（1）已知M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出OM →，ON →，OP →，OQ →所表示的复数；（2）已知复数1，－1＋2i ，－3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数.【解】 （1）OM →表示的复数为1＋3i ；ON →表示的复数为4－i ；OP →表示的复数为2i ；OQ →表示的复数为－4.（2）复数1对应的向量为OA →，其中A （1，0）；复数－1＋2i 对应的向量为OB →，其中B （－1，2）；复数－3i 对应的向量为OC →，其中C （0，－3）；复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D （6，－7）.如图所示.（3）记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝（2，3），OB →＝（3，2），OC →＝（－2，－3）.设OD →＝（x ，y ），则AD →＝（x －2，y －3），BC →＝（－5，－5）.由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.（2）解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.1.已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是（ ）A.－5＋5iB.5－5iC.5＋5iD.－5－5i解析：选B.向量OA →，OB →对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝（2，－3），OB →＝（－3，2）.由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝（2＋3，－3－2）＝（5，－5），根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i.2.在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是 _____________.解析：3－3i 对应向量为（3，－3），与x 轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y 轴负半轴上，且模为2 3.故所得向量对应的复数是－23i.答案：－23i探究点3 复数的模（1）设（1＋i ）x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝（ ）A.1B. 2C. 3D.2（2）已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 （1）选B.因为x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. （2）法一：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， 则|z |＝a 2＋b 2，代入原方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， 根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.所以z ＝－15＋8i.法二：由原方程得z ＝2－|z |＋8i （*）.因为|z |∈R ，所以2－|z |为z 的实部，故|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝4－4|z |＋|z |2＋64，得|z |＝17.将|z |＝17代入（*）式得z ＝－15＋8i.复数的模的求解思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解.1.已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，下列选项中正确的是（ ）A.z 1>z 2B.z 1<z 2C.|z 1|>|z 2|D.|z 1|<|z 2|解析：选D.|z 1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34， |z 2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41. 因为34<41，所以|z 1|<|z 2|.2.已知复数z ＝3＋a i （a ∈R ），且|z |<4，求实数a 的取值范围.解：法一：因为z ＝3＋a i （a ∈R ），所以|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，所以a 2<7，所以a ∈（－7，7）.法二：由|z |<4知z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB （除去端点）为动点Z （3，a ）的集合，由图可知－7<a <7.——————————————————————————————————————1.复数z ＝－1－2i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选C.由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为（－1，－2），位于第三象限.2.设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是（ ）A.a ＜－1或a ＞1B.－1＜a ＜1C.a ＞1D.a ＞0解析：选B.因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1.3.已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是 Ｗ. 解析：依题意，可知z ＝a ＋i （a ∈R ），则|z |2＝a 2＋1.因为0＜a ＜2，所以a 2＋1∈（1，5），即|z |∈（1，5）.答案：（1，5）4.在复平面内，若复数z ＝（m 2－m －2）＋（m 2－3m ＋2）i （m ∈R ）的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .解：若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0.若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＝0， 所以m ＝1，所以z ＝－2.知识结构深化拓展1.根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数z＝a＋b i、复平面内的点Z（a，b）和平面向量OZ→之间的关系可用图表示.2.复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部.[A基础达标]1.已知复数z＝a＋a2i（a<0），则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B.因为a<0，所以复数z＝a＋a2i对应的点（a，a2）位于第二象限.2.已知复数z1＝2＋i，z2＝－i，则|z1||z2|＝（）A.55 B.15 C.5 D.5解析：选C.依题意|z1|＝22＋12＝5，|z2|＝（－1）2＝1，所以|z1||z2|＝5，选C.3.已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是（）A. 5B.10C.5D.25解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为（－2，1），（1，－3），因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为（－2－1）2＋[1－（－3）]2＝5，故选C.4.设z＝（2m2＋2m－1）＋（m2－2m＋2）i（m∈R），则下列结论中正确的是（）A.z在复平面内对应的点在第一象限B.z一定不是纯虚数C.z在复平面内对应的点在实轴上方D.z一定是实数解析：选C.2m2＋2m－1＝2（m＋12）2－32，m2－2m＋2＝（m－1）2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方，故选C.5.已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是（）A.一个圆B.两个圆C.两点D.线段解析：选B.由|z|2－3|z|＋2＝0，得（|z|－1）·（|z|－2）＝0，所以|z|＝1或|z|＝2.由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆.6.已知复数z ＝1－2m i （m ∈R ），且|z |≤2，则实数m 的取值范围是 Ｗ.解析：|z |＝1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，32 7.若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数.解析：依题意可设复数z ＝a ＋2a i （a ∈R ），由|z |＝5a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.答案：1＋2i 或－1－2i8.若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝ Ｗ.解析：设复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1（3，－5），P 2（1，－1），P 3（－2，a ），由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5. 答案：59.已知3－4i ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），判断|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系.解：由3－4i ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋（－5）2＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝（－4）2＋22＝20， 因为20<5<26，所以|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|.10.在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数；（2）如果（1）中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数.解：（1）设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i （x 1，y 1∈R ），则点B 的坐标为（x 1，y 1），由题意可知，点A 的坐标为（2，1）.根据对称性可知：x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i.（2）设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i （x 2，y 2∈R ），则点C 的坐标为（x 2，y 2），由对称性可知：x 2＝－2，y 2＝－1，故z 2＝－2－i.[B 能力提升]11.已知复数z 满足|z |＝ 2，则|z ＋3－4i|的最小值是（ ）A.5B.2C.7D.3解析：选D.|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到（－3，4）这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为（－3）2＋42－2＝5－2＝3.12.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为 .解析：因为复数－1＋2i 对应的点为A （－1，2），点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B （－2，1），所以OB →对应的复数为－2＋i.答案：－2＋i13.已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i （a ∈R ）.若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值.解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝（－3，4），OZ 2→＝（2a ，1）.因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即（2a ，1）＝k （－3，4）＝（－3k ，4k ），所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k 1＝4k ，所以⎩⎨⎧k ＝14，a ＝－38.即a 的值为－38. 14.（选做题）设z ∈C ，则满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？①|z |＝2；②|z |≤3. 解：设z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），①|z |＝2，所以x 2＋y 2＝2，所以点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆.②|z |≤3，所以x 2＋y 2≤9.所以点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部.。
人教版高中数学选修2-2学案：3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义【学习目标】1.复数的加法和减法原则；2.理解复数的加法与减法的几何意义.【新知自学】知识回顾：1.复数的几何意义是:（1）复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面； （2）实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数； (3)复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即：Z a bi =+↔一一对应复数平面向量OZ ， 特别地：实数０与零向量对应；2.复数),(R b a bi a z ∈+=的模记作z 或a bi +，且22(0)z a bi r a b r r R =+==+≥∈且新知梳理：1.复数的加法运算及其几何意义⑴我们规定复数的加法运算法则为：设z 1=a+bi ，z 2=c +di 是两个任意复数，则()()di c bi a +++= ..⑵两个复数的和仍然是 .⑶复数的加法满足交换律、结合律，即： .⑷设−→−−→−21OZ OZ 、分别与复数a+bi 和c +di 对应，则−→−−→−+21OZ OZ 对应复数就是 . ⑸复数加法的几何意义是 . 2.复数减法及几何意义类比实数减法的意义，我们规定复数的减法是 . ⑵复数减法的运算法则为 . ⑶两个复数的差是 . ⑷复数减法的几何意义是对点练习：1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是（ ）A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11iB.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数4.已知z 1=3+2i, z 2 =1-4i,计算：z 1+z 2 ，z 1-z 2 。
高中数学人教A版选修2-2课件：3.1.2复数的几何意义
包括直线y=x上的点.两者的公共部分即为所求,如图③所示.
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(4)不等式 1≤|z|≤2 可以转化为不等式组
|| ≤ 2,
|| ≥ 1.
不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点构成的集合;
+1
= 2,
2
y+0
3
= 2,
2
= 3,
∴
即点D 的坐标为(3,3).
y = 3.
故顶点 D 对应的复数为 3+3i.
方法二:由已知,得 = (0,1), = (1,0), = (4,2),
∴ = (−1,1), = (3,2).典例透析
课后总结
1
学生：同伴之间相互交流学习心得。
2
师生：共同归纳本课学习知识。
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作业
1
教科书本课课后习题。
2
课时达标册本课练习习题。
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下课啦！
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谢 谢 指 导
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坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.
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【变式训练1】 当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m28)i在复平面内的对应点:
人教版高中数学选修2-2 3.1.2复数的几何意义教案
3.1.2复数的几何意义教学建议1.教材分析本节通过类比的方法给出了复数与复平面上的点的对应关系,与平面向量的对应关系,为我们利用数形结合创造了条件,也为学习复数加减法的几何意义打下了基础.重点:复数的两种几何意义及复数模的简单计算.难点:复数与平面向量的关系.2.主要问题及教学建议(1)类比在本节的应用.建议教师放手让学生大胆利用类比来掌握本节内容.复数与复平面上的点的对应实数与直角坐标平面内的点的对应,复平面内复数z=a+b i(a,b∈R)与向量对应直角坐标平面内向量与点(a,b)对应,复数z的模|z|=向量的模实数的绝对值.(2)关于复数的模.建议教师对复数的模稍加引申,为数形结合处理复数问题作准备,也可复习平面向量的有关知识.备选习题1.复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),设z在复平面上对应的点为Z.(1)求证:复数z不能是纯虚数;(2)若点Z在第三象限内,求x的取值范围;(3)若点Z在直线x-2y+1=0上,求x的值.解:(1)证明:(反证法)假设z为纯虚数,则有log2(x2-3x-3)=0,x2-3x-3=1.解得x=-1或x=4.当x=-1时,log2(x-3)无意义;当x=4时,log2(x-3)=0.所以假设不成立,复数z不能是纯虚数.(2)由题意得解得<x<4.即当<x<4时,点Z在第三象限内.(3)由题意得log2(x2-3x-3)-2log2(x-3)+1=0,解得x=或x=-(舍去).即当x=时,点Z在直线x-2y+1=0上.2.复数z的模为1,求|z-1-i|的最大值和最小值.解:由题设|z|=1表示以原点为圆心,1为半径的圆,则|z-1-i|=|z-(1+i)|表示圆上的点到A(1,1)的距离,如图.由于点A到原点的距离是,因此圆上的点到点A(1,1)的最大距离是+1,最小距离是-1.因此|z-1-i|的最大值为+1,最小值为-1.3.已知z1=x2+ i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.解:∵|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,∴>|x2+a|对x∈R恒成立等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.当1-2a=0时,解得a=,∴a=时,0·x2+>0恒成立,当时,解得-1<a<.∴a∈.综上可得,实数a的取值范围是.。
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§3.1.2 复数的几何意义
学习目标 ：
1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.
2．掌握实轴、虚轴、模等概念.
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
学习重点：复数的几何意义，理解复数相关概念．
学习难点：复数的几何意义，理解复数相关概念的运用．
课前预习案
教材助读：
阅读教材的内容，思考并完成下列问题：
1．复数的几何意义
(1)复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x 轴叫做______，y 轴叫做______．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(2)复数与点、向量间的对应
①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)
复平面内的点______； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)
平面向量___________．
2．复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →
的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝
_________.
一、新课导学：
探究点一 复数与复平面内的点
问题1：实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
问题2：判断下列命题的真假：
①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；
④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．
探究点二复数与向量
问题1：复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？
问题2：怎样定义复数z的模？它有什么意义？
二、合作探究
例 1：在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点
(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．
例2：已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围．
三、当堂检测
1. 在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．
四、课后反思
课后训练案
1. 当2
3<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2. 在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB对应的复数为()
A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i
3.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2m i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
4. 求复数z1＝3＋4i，z2＝－1
2－2i的模，并比较它们的大小．。