最优化方法大作业答案
最优化方法练习题答案修改建议版本--删减版
最优化⽅法练习题答案修改建议版本--删减版练习题⼀1、建⽴优化模型应考虑哪些要素 ?答：决策变量、⽬标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停⽌准则。
min f (x)答：针对⼀般优化模型 s.t. g i x 0,i 1,2,L m ，讨论解的可⾏域 D ，若存在⼀点 X * D ，对 h j x0, j 1,L , p于 X D 均有 f(X *) f(X)则称 X *为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列 X (1),X (2),L ,X (K)L ，满⾜ f(X (K 1)) f (X (K))，则迭代法收敛；收敛的停⽌准则有等。
练习题⼆1、某公司看中了例 2.1中⼚家所拥有的 3种资源 R 1、R2、和R 3，欲出价收购(可能⽤于⽣产附加值更⾼的产品) 的对偶问题)。
如果你是该公司的决策者，对这 3 种资源的收购报价是多少？ (该问题称为例 2.1解：确定决策变量对 3种资源报价 y 1,y 2, y 3作为本问题的决策变量。
确定⽬标函数问题的⽬标很清楚——“收购价最⼩” 。
确定约束条件资源的报价⾄少应该⾼于原⽣产产品的利润，这样原⼚家才可能卖。
因此有如下线性规划问题： min w 170y 1 100y 2 150y 35y 1 2y 2 y 3 10 s.t. 2y 1 3y 2 5y 3 18y 1, y 2,y 3 02、研究线性规划的对偶理论和⽅法(包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法) 答：略。
3、⽤单纯形法求解下列线性规划问题：x (k 1) x (k)x (k 1)x (k)x (k) min zx1x2x3minz4x2x3x1 x22x 32x12x2 x32（1） s.t. 2x1x2 x3 3x22x 3x 42 x1x34x2x3x 5 5x 1,x 2,x 3 0x i 0（i 1,2, ,5）解：(1)引⼊松弛变量 x 4， x 5，x 6min z x 1 x 2x30*x 40* x 5 0* x 6x 1 x 22x 3 x4=22x 1 x 2 x 3x5=3x6=4x1, x2, x3, x4, x5, x6 0因检验数σ2<0，故确定 x 2 为换⼊⾮基变量，以 x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量 x 4 作为换出的基变量因检验数σ3<0，故确定 x 3 为换⼊⾮基变量，以 x 3的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量 x 5作为换出的基变量。
最优化方法(试题+答案)
一、 填空题1.若()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121312112)(x x x x x x x f ，则=∇)(x f ，=∇)(2x f .2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。
3.向量T)3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .6.以下约束优化问题：)(01)(..)(min 212121≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f的K-K-T 条件为：. 7.以下约束优化问题：1..)(min 212221=++=x x t s x x x f的外点罚函数为（取罚参数为μ） .二、证明题（7分+8分）1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h ni ,1,:1+=→都是线性函数，证明下面的约束问题：},,1{,0)(},1{,0)(..)(min 1112m m E j x h m I i x g t s x x f j i nk k+=∈==∈≥=∑=是凸规划问题。
2.设R R f →2:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题：},1{,0}2,1{,0..)(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i Ti +=∈=-=∈≥-设d 是问题1||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥∇d E i d a Ii d a t s d x f Ti Ti T的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。
三、计算题（每小题12分）1.取初始点T x )1,1()0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）：22212)(m in x x x f +=2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：21222121)(min x x x x x f -+=3.用有效集法求解下面的二次规划问题：.0,001..42)(min 2121212221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()0(=x,计算到)2(x 即可)：.0,033..221)(min 21211222121≥≥≤+-+-=x x x x t s x x x x x x f参考答案一、填空题 1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++3421242121x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4224 2. 0)(<∇d x f T3. T)0,1,2(-，T)1,0,3(-（答案不唯一）。
北航最优化方法有关大作业参考
1流量工程问题重述定一个有向网 G=(N,E) ，此中 N 是点集， E 是弧集。
令 A 是网 G 的点弧关矩，即 N×E 矩，且第 l 列与弧里 (I,j) ，第 i 行元素 1 ，第 j 行元素 -1 ，其他元素 0。
再令b m=(b m1 ,⋯,b mN )T，f m =(f m1,⋯ ,f mE )T，可将等式束表示成：Af m=b m本算例一典 TE 算例。
算例网有 7 个点和 13 条弧，每条弧的容量是 5 个位。
别的有四个需求量均 4 个位的源一目的，详细的源点、目的点信息如所示。
里了，省区了未用到的弧。
别的，弧上的数字表示弧的号。
此，c=((5,5 ⋯,5) 1 )T，×13依据上述四个束条件，分求得四个状况下的最决议量x=((x 12 ,x13,⋯ ,x75)1×13 )。
1 网拓扑和流量需求7 节点算例求解算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）转变为线性规划问题：Minimize c T x1Subject to Ax1=b1x1>=0 利用 Matlab 编写对偶纯真形法程序，可求得:最优解为 x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] T对应的最优值 c T x1=201.2.2 算例 2（b2=[4;0;-4;0;0;0;0] T）Minimize c T x2Subject to Ax2=b2X2>=0 利用 Matlab 编写对偶纯真形法程序，可求得:最优解为 x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值 c T x2=201.2.3 算例 3（b3=[0;-4;4;0;0;0;0] T）MinimizeTc x3Subject to Ax3=b3X3>=0 利用 Matlab 编写对偶纯真形法程序，可求得:最优解为 x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0] T对应的最优值 c T x3=40算例4（b4=[4;0;0;0;0;0;-4]T ）Minimize c T x4Subject to Ax4=b4X4>=0利用 Matlab 编写对偶纯真形法程序，可求得:最优解为 x4*=[4 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0] T对应的最优值 c T x4=601.3 计算结果及结果说明算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）算例 1 中，由 b1 可知，节点 2 为需求节点，节点 1 为供应节点，由节点 1 将信息传输至节点 2 的最短路径为弧 1。
重庆大学最优化方法习题答案
s.t.x1 + 2x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0
解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在 A 点取得最优值， 最优值 z=5
（2） min z = x1 − 6x2 2x1 + x2 ≤ 1
s.t.− x1 + x2 ≤ 7 x1, x2 ≥ 0
解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点 A 处取得最优值，最优值 z=-6.
（3） max z = 3x1 + 2x2
− x1 + x2 ≤ 1 s.t.x1 − 2x2 ≥ −4
x1, x2 ≥ 0
解：如图 所示，可行域为图 中阴影部 分，易得 原线性规 划问题 为无界 解。
所以 x(2) , x(4) , x(6) 是原问题的基可行解， x(6) 是最优解，最优值是 z = −3 。
（2） max z = x1 + x2 − 2x3 + x 4 − x5
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 s.t.− x1 + 2x2 + x5 = 4
xi ≥ 0,i = 1,2,3,4,5
解：易知
x1
的系数列向
量
p1
= 1− 1
，
x2
的系数列向
量
p2
=
1
2
，
x3
的系
数列向量
1
1
0
p3
=
0
，
x4
的系数列向量
p4
=
0
，
x5
的系数列向量
最优化方法部分课后习题解答(1-7)
最优化方法部分课后习题解答习题一1.一直优化问题的数学模型为：22121122123142min ()(3)(4)5()02()50..()0()0f x x xg x x x g x x x s t g x x g x x =−+−⎧=−−≥⎪⎪⎪=−−+≥⎨⎪=≥⎪=≥⎪⎩试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出最优值。
（2）约束最优点，并求出其最优值。
（3）如果加一个等式约束，其约束最优解是什么？12()0h x x x =−=解：（1）在无约束条件下，的可行域在整个平面上，不难看出，当=（3，4）()f x 120x x *x 时，取最小值，即，最优点为=（3，4）：且最优值为：=0()f x *x *()f x （2）在约束条件下，的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是()f x 在约束集合即可行域中找一点，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可12(,)x x 以看出，当时，所在的圆的半径最小。
*155(,)44x =()f x 其中：点为和的交点，令求解得到：1()g x 2()g x 1122125()02()50g x x x g x x x ⎧=−−=⎪⎨⎪=−−+=⎩1215454x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即最优点为：最优值为：=*155(,)44x =*()f x 658（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：该优化问题属于三维的优化问题。
123122313123max ()220..00f x x x x x x x x x x S x s t x x =++≤⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎩32123sx y z v⎛⎞=====⎜⎟⎝⎠习题二3.计算一般二次函数的梯度。
最优化方法(试题+答案)
1.若 ，则 ， .
2.设 连续可微且 ，若向量 满足，则它是 在 处的一个下降方向。
3.向量 关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有.
4.设 二次可微，则 在 处的牛顿方向为.
5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法：.
6.以下约束优化问题：
的K-K-T条件为：
.
7.以下约束优化.证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。
一方面，由于 二次连续可微， 正定，根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。
另一方面，约束条件均为线性函数，若任意 可行域，则
故 ，从而可行域是凸集。
2.证明：要证 是 在 处的一个可行方向，即证当 ， 时， ，使得 ，
解此线性规划（作图法）得 ，于是 .由线性搜索
得 .因此， .重复以上计算过程得下表：
0
1
1
2
（注：范文素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注。）
2.采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题：
3.用有效集法求解下面的二次规划问题：
4.用可行方向算法（Zoutendijk算法或Frank Wolfe算法）求解下面的问题（初值设为 ,计算到 即可)：
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. ， （答案不唯一）。4.
5. 牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）
0
1/2
1
2
2
3.解：取初始可行点 求解等式约束子问题
得解和相应的Lagrange乘子
转入第二次迭代。求解等式约束子问题
得解
令
转入第三次迭代。求解等式约束子问题
得解和相应的Lagrange乘子
重庆大学最优化方法习题答案
max z = x1 + x 2 − 2x 3 − Mx 6 3x1 + x 2 − x 3 + x 4 = 5 s.t.x1 − 4x 2 + x 3 − x 5 + x 6 = 7 x i ≥ 0,i = 1,2...6 x1 x2 x3 x4 x5 x6
②因为 p1 , p 3 线性无关，可得基解 x (2) = ( ,0, ③因为 p1 , p 4 线性无关，可得基解 x (3) ④因为 p 2 , p 3 线性无关，可得基解 x
(4)
43 11 ,0) ， z 2 = ； 5 5 11 1 = (− ,0,0, ) ，是非基可行解； 3 6 2 5 = (0,2,1,0) ， z 4 = −1 ；
x1 + 4x 2 + 2x 3 ≥ 8 s.t.3x1 + 2x 2 ≥ 6 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0
解：引入剩余变量 x 4 , x 5 和人工变量 x 6 , x 7 ,利用两阶段法得到辅助线性规划
max w = −x 6 − x 7 max z ' = −2x 1 − 3x 2 − x
①因为 p1 , p 2 线性无关，故有
x 1 + x 2 = 1 − x 3 − x 4 − x1 + 2x 2 = 4 − x 5
，令非基变量为 x 3 = x 4 = x 5 = 0 ，得
x = − 2 1 3 ，所以得到一个基解 x (1) = (− 2 , 5 ,0,0,0) ，是非基可行解； 3 3 x = 5 2 3
x1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 7 s.t.2x1 + x 2 + x 3 + 2x 4 = 3 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 1 2 3 解： 易知 x1 的系数列向量 p1 = ， x 的系数列向量 p 2 = ， x 的系数列向量 p 3 = ， 2 3 2 1 1 4 x 4 的系数列向量 p 4 = 。 2 x1 + 2x 2 = 7 − 3x 3 − 4x 4 ，令非基变量为 x 3 = x 4 = 0 ，得 ① 因为 p1 , p 2 线性无关，故有 + x = 3 − x − 2x 2x 2 3 4 1 x = − 1 1 3 ，所以得到一个基解 x (1) = (− 1 , 11 ,0,0) 是非基可行解； 3 3 x = 11 2 3
最优化方法与应用大作业(一)最速下降法
最优化方法与应用大作业（一）
---最速下降法部分：
1.问题描述:
用梯度下降法求解以下优化问题
min f(x)=(x1+10*x2)^2+5(x3-x4)^2+(x2-2*x3)^4+10*(x1-x4)^4
2.编程感想：
该算法需要计算Hesse矩阵，C语言在向量运算时没有Matlab方便，所以手工完成了理论计算，再输入，破坏了程序的移植性。
同时，实验表明当初始值离理想点较远且精度要求较高时，最速下降法的收敛速率极慢，迭代几乎不可能完成，这对初值的选取提出了一定限制。
3.结果分析：
编译界面（Mac os X，Xcode环境）
输入参数（设定为(0.1,0.2,0.3,0.4)）：
结果（此处列出每次迭代结果）。
明显的看到，最速下降法的收敛较慢，最终结果接近理论值（F（0，0，0，0）=0）所以该结果可以满意。
4.算法代码见下页
西安电子科技大学电子工程学院020951
李骏昊02095005。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.用薄钢板制造一体积5m 3，长度不小于4m ，无上盖的货箱，要求钢板耗量最小。
确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。
试列出问题的数学模型。
解：min 32312122x x x x x x z ++= s.t 5321=x x x 41≥x 0,,321≥x x x2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解max f=x 1+2x 2+x 3s ．t ．2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1，2，3 解：先化标准形：Min 321x x x z -+=224321=+-+x x x x 6525321=++-x x x x646321=+++x x x x列成表格：121610011460105122001112-----可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。
首先从底行中选元素-1，由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2，标以记号，迭代一次得121210231040116201002121211--------再从底行中选元素-2/3，和第二列正元素1/2，迭代一次得12123230210231040116201002121211-------再从底行中选元素-3，和第二列正元素2，迭代一次得4233410120280114042001112---再迭代一次得1023021062210231010213000421021013--选取最优解：01=x 42=x 23=x3. 试用DFP 变尺度法求解下列无约束优化问题。
min f （X ）=4（x 1-5）2+（x 2-6）2取初始点X=（8，9）T ，梯度精度ε=0.01。
解：取IH=0,初始点()TX 9,8=2221)6()5(4)(-+-=x x x f⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇122408)(21x x x f⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇624)()0(xfTx f d )6,24()()0()0(--=-∇=)0(0)0()1(dxxα+=T)69,248(00αα--=])669()5248(4min[)(min 2020)0(0)0(--+--⨯=+αααdxf 0)6()63(2)24()2458(8)(00)0(0)0(=-⨯-+-⨯--=+ααααd d xdf13077.0130170≈=α⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21538.886153.462413077.098)1(x⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∇43077.410784.1)()1(xf进行第二次迭代：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=78463.013848.31)0()1(xxδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇-∇=56924.110783.25)()(1)0()1(xf xf γ101011011101γγγγγδδδH HH H H TTTT-+=03172.8011=γδT86614.6321101==γγγγH T⎥⎦⎤⎢⎣⎡=61561.046249.246249.285005.911Tδδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==46249.240022.3940022.3940363.630110110TTHH γγγγ所以：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0038.103149.003149.012695.01H⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=∇-=43076.410784.10038.103149.003149.012695.0)()1(1)1(xf H d⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=48248.428018.0令 )1(1)1()2(dx x α+=利用)()1()1(=+ααd dxdf ，求得49423.01=α，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=21538.213848.021538.886152.449423.0)1()1()2(dxx⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=65因)()2(=∇xf ，于是停，)2(x 即为最优解。
4. 某厂生产甲乙两种口味的饮料，条件如下：因条件所限，甲饮料产量不能超过8百箱。
问如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大。
（要求：1.建立数学模型，并求解。
2.用mat lab 编写程序） 解：模型假设：设生产甲饮料错误！未找到引用源。
百箱,生产乙饮料2x 百箱,获利最大为z. 符号说明：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
为生产甲饮料的百箱数2x 错误！未找到引用源。
为生产乙饮料的百箱数z 为生产甲饮料x 百箱和生产乙饮料y 百箱数获利最大值.建立模型：目标函数：21910maxx x z +=错误！未找到引用源。
原料供应：错误！未找到引用源。
工人加工：错误！未找到引用源。
产量限制：错误！未找到引用源。
非负约束：错误！未找到引用源。
02,1≥x x得出模型为：错误！未找到引用源。
21910maxx x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,815020106056,2112121x x x x x x x t s先化标准形：min 21910x x Z +=6056321=++x x x1502010421=++x x x851=+x x列成表格91081000115001020106000156--可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。
首先从底行中选元素-9，由最小者150/20决定选第二行第二列的元素20，标以记号，迭代一次得910810001150202145021207---2135020902118100011502021********--再从底行中选元素-11/2，和第1列正元素7，迭代一次得2135020902117111141720073002829711074501417201----7720035871107111141720073002829711074501417201---选取最优解：7451=x 7302=x编写M 文件，代码如下：>> f=[-10,-9]'; a=[6,5;10,20;1,0;-1,0;0,-1];b=[60,150,8,0,0]'; x=linprog(f,a,b)运行结果：Optimization terminated.x =6.42864.2857>> ans=f'*xans =-102.8571结果分析：甲饮料生产642箱，乙饮料生产428箱时，获利最大为102.8万元。
5.某家具厂要安排一周的生产计划，产品是桌子和椅子。
制作一张桌子需4m2木板及时性20小时的工时，制作一只椅子需6m2木板及18小时的工时，每周能拥有的木板是600m2，可利用的工时是400小时；每张桌子的利润是50元，每只椅子的利润是60元。
按合同每周至少要交付8张桌子和5只椅子，并假定所有的产品都能够销售出去。
问：该厂每周生产桌子和椅子的数量分别是多少时，能获得最大利润？（要求：1.建立数学模型，并求解。
2.用mat lab编写程序）解：设x1为每周生产桌子数，x2为每周生产椅子数，则:S max=50 x1+60 x2约束条件：4 x 1 +6 x 2≤600（材料）20 x 1+18 x 2≤400（工时）x 1≥8，x 2≥5先化标准形:min 216050x x z +=60064321=++x x x4001820421=++x x x851-=+-x x562-=+-x x列成表格：60505100010801000140000101820600000164------可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。
首先从底行中选元素-50，由最小者400/20决定选第二行第一列的元素20，标以记号，迭代一次得：10005.20155120001024000101802000021091026000015120----再从底行中选元素-15，和第2列元素18，迭代一次得：12003503200150182010002400201018016002000020732004051500---得：1200350320032519101810003400910181010801000148803831100---选取最优解：81=X3402=X4883=X3254=X编写M 文件，代码如下：>> f=[-50,-60]'; a=[4,6;20,18;-1,0;0,-1]; b=[600,400,-8,-5]';x=linprog(f,a,b)运行结果：Optimization terminated.x =8.000013.3333>> ans=f'*xans =-1.2000e+003结果分析：当生产8张桌子,13张椅子时,可获最大利润为1200元.。