北航最优化方法大作业参考
北航最优化方法大作业参考
1 流量工程问题1.1 问题重述定义一个有向网络G=(N,E)，其中N是节点集，E是弧集。
令A是网络G的点弧关联矩阵，即N×E阶矩阵，且第l列与弧里(I,j)对应，仅第i行元素为1，第j行元素为-1，其余元素为0。
再令b m=(b m1,…,b mN)T，f m=(f m1,…,f mE)T，则可将等式约束表示成：Af m=b m本算例为一经典TE算例。
算例网络有7个节点和13条弧，每条弧的容量是5个单位。
此外有四个需求量均为4个单位的源一目的对，具体的源节点、目的节点信息如图所示。
这里为了简单，省区了未用到的弧。
此外，弧上的数字表示弧的编号。
此时，c=((5,5…,5)1 )T，×13)。
根据上述四个约束条件，分别求得四个情况下的最优决策变量x=((x12,x13,…,x75)1×13图 1 网络拓扑和流量需求1.2 7节点算例求解1.2.1 算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）转化为线性规划问题：Minimize c T x1Subject to Ax1=b1x1>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值c T x1=201.2.2 算例2（b2=[4;0;-4;0;0;0;0]T）Minimize c T x2Subject to Ax2=b2X2>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值c T x2=201.2.3 算例3（b3=[0;-4;4;0;0;0;0]T）Minimize c T x3Subject to Ax3=b3X3>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值c T x3=401.2.4 算例4（b4=[4;0;0;0;0;0;-4]T）Minimize c T x4Subject to Ax4=b4X4>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x4*=[4 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0]T对应的最优值c T x4=601.3 计算结果及结果说明1.3.1 算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）算例1中，由b1可知，节点2为需求节点，节点1为供给节点，由节点1将信息传输至节点2的最短路径为弧1。
北航最优化大作业
北航最优化大作业1.引言旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一种经典的组合优化问题，目标是找到一条路径，使得旅行商从起点出发，途经所有城市一次后返回起点，并且总路径长度最短。
TSP问题具有NP-hard的特性，寻找最优解是一个非常具有挑战性的任务。
本文将基于禁忌算法，探讨TSP问题的求解方法。
2.禁忌算法简介禁忌算法是一种基于局部的元启发式算法，通过在过程中禁止一定的动作来跳出局部最优解，以期望获得更好的全局最优解。
算法通过引入禁忌表和禁忌长度等机制，避免过程中陷入局部最优解。
3.TSP问题的数学建模假设有n个城市，城市之间的距离可以表示为一个n×n的距离矩阵D。
TSP问题的目标可以定义为：min ∑_(i=1)^n ∑_(j=1)^(n) D_ij*x_ijs.t. ∑_(i=1)^n x_ij=1,∑_(j=1)^n x_ij=1,∀i ≠ jx_ij∈{0,1}, 1≤i,j≤n其中x_ij表示城市i与城市j之间的路径是否存在，1表示存在，0表示不存在。
4.禁忌算法在TSP问题中的应用（1）初始化选取一个起始解x，计算其路径长度f(x)。
将x设为当前解x_best，将f(x)设为当前解的最优值f_best。
（2）选择邻域解选择当前解的一个邻域解x'，使得x'与x只有一个位置上的交换。
通过随机选择两个位置，进行交换操作。
（3）禁忌判断如果邻域解x'的路径长度f(x')小于当前解的最优值f_best，则更新f_best为f(x')，并将x'设为新的当前解。
否则，比较x'与当前解的禁忌情况。
（4）禁忌更新如果x'未在禁忌表中，或者禁忌表中对应的禁忌周期已过，则将x'设为新的当前解。
否则，选择一个路径长度较短的邻域解x''，即使其路径长度f(x'')大于f_best。
北航最优化大作业
图 18: 前两行为迭代点 xk, 后面一行为梯度的 2 范数，显然，前两行行都趋于无穷大，发散，梯度的 2 范数 趋于 13.4536（从 matlab 变量表格中得到）。 4: 初始点 x(0) = (10, 20)T 前两行为迭代点 xk, 后面一行为梯度的 2 范数，显然，前两行行都趋于无穷大，发散，梯度的 2 范数 趋于 13.4536（从 matlab 变量表格中得到）。
33
图 57: 7、9、11、13 迭代停止测试。
当 n=50 时，解 x*=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1] 判断矩阵：
图 58: 可以发现，没有发现负曲率的情况，第 1 和第 2 次的迭代到了边界，第 4、6、8、10、12、14、16 次 迭代到了边界。
▽f (x) = g = −400x1(x2 − x21) + 2x1 − 2
200(x2 − x21)
[
]
▽2f (x) = G = 1200x21 − 400x2 + 2 −400x1
−400x1
200
14
4.1 最速下降法
代码和流程图：
图 33:
图 34: 15
4.1.1 初始点为 (1.2,1.2)
++
)
x1 + x12 − 100
x11
x1
−
50 1
−
x2
−10 − µ(
++
)
x1 + x2 − 100 x2 −x1 + 50 + x2
北航最优化方法作业答案co_lcp
第 8 章 约束优化：线性约束规划
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
线性等式约束规划
f (x) 是 n 元函数；ai 是 n 维常向量； bi 是常数 有解时 凸规划 ⊙ f(x) 是凸函数 KKT点即为全局极小点 f(x) 严格凸 ：有唯一的极小点 ⊙ f(x) 是非凸函数 可能存在不是全局解的局部解 找全局解是NP-难问题 引入矩阵 ，使得 且 非奇异 解的情况： 无可行解、无界、有解
约束优化：线性约束规划
Constrained Optimization: Linearly Constrained Programming
第 8 章 约束优化：线性约束规划
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
二次规划(quadratic programming)
G 是 n 阶对称方阵 d，ai 是 n 维常向量 解的情况：无可行解、无界、有解 有解时： ⊙ G半正定 KKT点即为全局极小点 凸规划 G 正 定 ：有唯一的极小点 ⊙ G不定 可能存在不是全局解的局部解 找全局解是NP-难问题
第 8 章 约束优化：线性约束规划
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
等式约束二次规划－广义消元法(续)
第 8 章 约束优化：线性约束规划
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
第 8 章 约束优化：线性约束规划
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
实用二次规划算法概述
⊙ 经典的积极集法(active-set methods)
有价证券的组合优化(续)
Markowitz引入风险容许参数(risk tolerance parameter)
找出“最优的”证券投资组合！ ⊙ 参数 ，设定值依赖于投资者的个人偏好
最优化方法与应用大作业(一)最速下降法
最优化方法与应用大作业（一）
---最速下降法部分：
1.问题描述:
用梯度下降法求解以下优化问题
min f(x)=(x1+10*x2)^2+5(x3-x4)^2+(x2-2*x3)^4+10*(x1-x4)^4
2.编程感想：
该算法需要计算Hesse矩阵，C语言在向量运算时没有Matlab方便，所以手工完成了理论计算，再输入，破坏了程序的移植性。
同时，实验表明当初始值离理想点较远且精度要求较高时，最速下降法的收敛速率极慢，迭代几乎不可能完成，这对初值的选取提出了一定限制。
3.结果分析：
编译界面（Mac os X，Xcode环境）
输入参数（设定为(0.1,0.2,0.3,0.4)）：
结果（此处列出每次迭代结果）。
明显的看到，最速下降法的收敛较慢，最终结果接近理论值（F（0，0，0，0）=0）所以该结果可以满意。
4.算法代码见下页
西安电子科技大学电子工程学院020951
李骏昊02095005。
最优化大作业2
最优化大作业2⚫姓名：cxf⚫班级学号：****20****⚫学院：******学院⚫选择方式：方式4——撰写课程小论文⚫题目来源：附录二备选问题（计算机通信网）中文献[9]——F. Kelly. The Mathematics of Traffic in Network. Princeton University Press, 2005.⚫工作方式：独立完成⚫完成时间：2020年12月15日交通网络中的数学优化问题研究cxf（北京航空航天大学 ******学院， 北京 100191）摘要 由于交通网络流中分散控制的程度差异，人们往往需要寻求一种解决方案对系统进行继续扩展和优化。
车流量控制问题一直是交通网络所面临的重要挑战，也是研究者研究的重点。
本论文用微积分来描述拥堵如何依赖于车流量，以Wardrop 均衡和Braess’s 悖论等理论为基础，建立车流分配控制问题的数学模型，并利用Lingo 优化软件对原始问题进行求解。
最后，由优化模型的结果可知，当网络达到均衡状态时不一定是最优的车流分配方案，且达到最优解状态时能够使通信网络中的分散控制能够表现的更好。
但是，这最优方案需强制执行，否则自私车辆又会选择最短的路径，即形成新的均衡状态。
关键词 交通网络，车流分配， Wardrop 均衡， 优化模型.1.问题背景许多网络中都普遍存在着拥堵现象，其拥堵的发生方式和原因不尽相同。
然而，流量通过网络的流动方式是不同用户之间微妙而复杂交互的结果。
例如，在交通网络中，每位驾驶员都会尝试选择最方便的路径，以便节省时间和开销，而这一选择将取决于驾驶员期望在不同道路上遇到的延迟，且这些延迟反过来取决于其他人对路径的选择。
这种相互依赖关系，使得人们很难预测系统变化的影响，例如建造新的道路或在某地方实行收费等。
在电话网、互联网和交通网等大型网络系统中，主要的实际问题就是控制权的分散程度不同。
发展至今，这种分散式节点之间的流量控制方法已经显示出紧张的迹象，如果网络作为一个整体要继续扩展和进化，则需要进一步优化网络流量控制。
最优化方法大作业模板
命题人：审核人：大作业学期：至学年度第学期课程：最优化方法课程代号：签到序号：使用班级：姓名：学号：题号一二三四五六七八九十总分得分一、（目标1）请从以下6种算法中任选一种，说明算法的来源、定义、基本思想和优缺点，并给出算法步骤（包含算法流程图）和例子（包含程序与运算结果）。
①禁忌搜索算法；②模拟退火算法；③遗传算法；④神经网络算法；⑤粒子群算法；⑥蚁群算法。
二、（目标1）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产这两种产品需要消耗三种材料A 、B 和C ，其中生产过程中材料的单位产品消耗量和总量，以及单位产品的利润如下表所示。
该如何配置安排生产计划，使得工厂所获得的利润最大？材料甲乙资源总量材料A （Kg ）3265材料B （Kg ）2140材料C （Kg ）0375单位利润（元/件）15002500-（1）要保证工厂利润的最大化，写出相应的生产计划数学模型；（2）根据对偶理论，直接写出该线性规划的对偶问题；（3）采用单纯形表法对该该线性规划问题进行求解，写出详细的计算过程；（4）采用Matlab 软件对该线性规划问题进行求解，写出完整的源程序，并给出程序运行结果；（5）讨论当材料B 的资源总量发生变化时，该线性规划问题的最优解会如何变化？课程目标目标1……题号一、二、三、四、五……分值20、25、20、20、15……得分得分三、（目标1）求解下列无约束非线性规划问题（1）采用黄金分割法求解：min 4()24f x x x =++。
初始区间为[-1.0]，精度为ε=10-4。
（要求：采用黄金分割法进行Matlab 编程求解，写出源程序，并给出运行结果，列出迭代过程的数据表格）（2）采用阻尼牛顿法求解：222121212min (,)4f x x x x x x =+-。
分别取两个初始点：x A =(1,1)T ，x B =(3,4)T 。
（要求：采用阻尼牛顿法进行Matlab 编程求解，并给出运行结果，列出迭代过程的数据表格）四、（目标1）求解下列约束非线性规划问题：22112212121212min ()23532..00f x x x x x x x x x x x s t x x =-+--+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩（1）采用罚函数法进行求解，需写出具体计算过程；（2）采用二次规划方法进行求解，需写出具体计算过程，并进行MATLAB 编程，写出源程序和运算结果；五、（目标1）（1）某商店在未来的4个月里，准备利用它的一个仓库来专门经营某种商品，仓库的最大容量为1000单位，而且该商店每月只能出卖仓库现有的货。
北航机械优化大作业
现代机械优化设计授课老师：王春洁2014-12-17目录第一部分一、一维优化方法 (2)1. 进退法 (2)2. 格点法 (2)3. 牛顿法 (2)4. 二次插值 (3)应用原则： (4)二、多维无约束优化 (4)1. 梯度法 (4)2. 二阶牛顿法与阻尼牛顿法 (5)3. DFP变尺度法 (6)4. 单纯形法 (6)三、多维约束优化 (6)1. 随机方向搜索法 (8)2. 可行方向法 (8)3. 惩罚函数法 (8)第二部分一、采用有约束多维优化方法解决箱梁模板的设计问题 (10)问题的描述 (11)多维约束优化 (14)总结与致谢 (18)参考文献 (19)第一部分本部分为简述学过的优化算法（一维，多维无约束，多维有约束）的选择方法及应用原则。
一、 一维优化方法1. 进退法由单峰函数的性质可知，在极小点m x 左边函数值应严格下降，而在极小值右边函数值应严格上升。
因此，可从某一个给定的初始点0x 出发，以初始步长0h 沿着函数值的下降方向，逐步前进（或后退），直至找到相继的3个试点的函数值按“高---低---高”变化为止。
2. 格点法格点法是一种计算极其方便的方法，其迭代步骤可简要概括为把搜索区间等分成n 个点12,,n x x x …,，计算各个点对应的数值，取出函数值最小的点的横坐标m x ，之后，在m x 两侧取临点11,m m x x -+，作为新的区间并判断11m m x x eps +--<是否成立，倘若成立，则m x 就是最优解，对应的函数值m y 即为最优值；若不成立则以11[]m m x x -+为新区间重复以上过程直到满足条件为止。
3. 牛顿法牛顿法是用切线代替弧，逐渐逼近函数根值的方法。
当目标函数()f x 有一阶连续导数并且二阶导数大于零时，在曲线'()y f x =上作一系列切线，使之与x 轴的脚垫(0)(1)(2)(3),,,......x x x x 逐渐趋于'()0f x =的根*x 。
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北航最优化方法大作业参考1 流量工程问题1.1 问题重述定义一个有向网络G=(N,E)，其中N是节点集，E是弧集。
令A是网络G的点弧关联矩阵，即N×E阶矩阵，且第l列与弧里(I,j)对应，仅第i行元素为1，第j行元素为-1，其余元素为0。
再令b m=(b m1,…,b mN)T，f m=(f m1,…,f mE)T，则可将等式约束表示成：Af m=b m本算例为一经典TE算例。
算例网络有7个节点和13条弧，每条弧的容量是5个单位。
此外有四个需求量均为4个单位的源一目的对，具体的源节点、目的节点信息如图所示。
这里为了简单，省区了未用到的弧。
此外，弧上的数字表示弧的编号。
此时，c=((5,5…,5)1 )T，×13根据上述四个约束条件，分别求得四个情况下的最优决策变量x=((x12,x13,…,x75)1×)。
13图 1 网络拓扑和流量需求1.2 7节点算例求解1.2.1 算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）转化为线性规划问题：Minimize c T x1Subject to Ax1=b1x1>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值c T x1=201.2.2 算例2（b2=[4;0;-4;0;0;0;0]T）Minimize c T x2Subject to Ax2=b2X2>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值c T x2=201.2.3 算例3（b3=[0;-4;4;0;0;0;0]T）Minimize c T x3Subject to Ax3=b3X3>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值c T x3=401.2.4 算例4（b4=[4;0;0;0;0;0;-4]T）Minimize c T x4Subject to Ax4=b4X4>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x4*=[4 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0]T对应的最优值c T x4=601.3 计算结果及结果说明1.3.1 算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）算例1中，由b1可知，节点2为需求节点，节点1为供给节点，由节点1将信息传输至节点2的最短路径为弧1。
图 2 算例1最优传输示意图求得的最优解为x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T，即只经过弧1运输4个单位流量，其余弧无流量。
又因为，每条弧的费用均为5，所以最小费用为20。
经分析，计算结果合理可信。
1.3.2 算例2（b2=[4;0;-4;0;0;0;0]T）算例2中，由b2可知，节点3为需求节点，节点1为供给节点，由节点1将信息传输至节点2的最短路径为弧2。
图 3 算例2最优传输示意图求得的最优解为x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T，即只经过弧2运输4个单位流量，其余弧无流量。
又因为，每条弧的费用均为5，所以最小费用为20。
经分析，计算结果合理可信。
1.3.3 算例3（b3=[0;-4;4;0;0;0;0]T）算例3中，由b3可知，节点2为需求节点，节点3为供给节点，由节点3将信息传输至节点2的最短路径为弧5->弧1。
图 4 算例3最优传输示意图求得的最优解为x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0]T，即经过弧5运输4个单位流量至节点1，再经弧1运输4个单位流量至节点2，其余弧无流量。
又因为，每条弧的费用均为5，所以最小费用为40。
经分析，计算结果合理可信。
1.3.4 算例4（b4=[4;0;0;0;0;0;-4]T）算例4中，由b4可知，节点7为需求节点，节点1为供给节点，由节点1将信息传输至节点7的最短路径为弧1->弧4->弧10。
图 5 算例3最优传输示意图求得的最优解为x4*=[4 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0]T，即经过弧1运输4个单位流量至节点2，再经弧4运输4个单位流量至节点5，最后经弧5运输4个单位流量至节点7，其余弧无流量。
又因为，每条弧的费用均为5，所以最小费用为60。
经分析，计算结果合理可信。
2 重要算法编写与观察2.1 习题5.6（a）初值为（0,0）时本算法令g的2范数在<10-4时，停止迭代，经过86次迭代收敛。
收敛因子（f(k+1)-f*）/（f(k)-f*）=0.7623图 6 收敛因子截图（b）初值为（-0.4,0）时本算法令g的2范数在<10-4时，停止迭代，经过112次迭代收敛。
收敛因子（f(k+1)-f*）/（f(k)-f*）=0.81图7 收敛因子截图（c）初值为（10,0）时本算法令g的2范数在<10-4时，停止迭代，经过5次迭代收敛。
收敛因子（f(k+1)-f*）/（f(k)-f*）=3.9022e-4图8 收敛因子截图（d）初值为（11,0）时本算法令g的2范数在<10-4时，停止迭代，经过2次迭代收敛。
收敛因子（f(k+1)-f*）/（f(k)-f*）= 0图9 收敛因子截图图10 自变量（x1,x2）截图总结：最速降线法的收敛因子随着初值的不同而变化，对于个别初值（如本习题初值取（11,0）时），算法可迅速收敛。
因此，初值的选取对于最速降线法的收敛速度有较大影响。
2.2 习题5.7（a ） 由()94ln(7)f x x x =--可得：4'()97f x x =-- 24"()(7)f x x =- 故，牛顿迭代法的确切公式为：24974(7)x s x --=-- （b ）从以下五个初值开始迭代 （1）x(0)=7.40（2）x(0)=7.20（3）x(0)=7.01（4）x(0)=7.80（5）x(0)=7.88（c）本问题的最优值为7.4444444。
由上述五个初值点的前五步迭代可以看出：当初值点在区间（7.4444444，7.8888）内时，第二次迭代点将落在（7，7.4444444）之间，随后逐渐增加，直至逼近最优值。
当初值点在区间（7，7.4444444）内时，则迭代点逐渐增加，逼近最优值。
当取初值不在（7,7.8888）内时，牛顿法不收敛。
2.3 习题5.8（a）没有线搜索的牛顿法μ=0.1时，μ=1时，（b）具有线搜索的牛顿法μ=0.1时，μ=1时，（未完成）2.4 习题5.9（a）初值选（1.2,1.2）时，◆最速降线法：本算法令g的2范数在<10-2时，停止迭代，经过3262次迭代得到以下结果。
图11 最速降线法初值为（1.2,1.2）的等值线图及迭代轨迹◆牛顿法：本算法令s的4范数在<10-6时，停止迭代，经过4次迭代得到以下结果。
图12 牛顿法初值为（1.2,1.2）的等值线图及迭代轨迹（b）初值选（-1.2,1）时，最速降线法：本算法令g的4范数在<10-2时，停止迭代，经过6835次迭代得到以下结果。
图13 最速降线法初值为（-1.2,1）的等值线图及迭代轨迹牛顿法：本算法令s的4范数在<10-6时，停止迭代，经过6次迭代得到以下结果。
图14 牛顿法初值为（-1.2,1）的等值线图及迭代轨迹2.5 习题5.19N=5迭代6次后，满足收敛条件。
N=8迭代19次后，满足收敛条件。
N=14迭代49次后，满足收敛条件。
（表略）N=40迭代74次后，满足收敛条件。
（表略）2.6 习题5.27调用MATLAB自带的lsqnonlin.m函数，计算可得对应的x(1)、x(2)和标准差如下表所示。
由上可知，标准差值较为恒定，随初值变化不十分显著；x1和x2值随初值选取的不同而不同。
2.7 习题6.4（未完成）3 附录3.1 对偶单纯形法函数MATLAB程序function [sol,val,kk]=duioudanchun(A,N)B=A;[mA,nA]=size(A);kk=0;flag=1;while flagkk=kk+1;if A(:,nA)>=0flag=0;sol=zeros(1,nA);for i=1:mA-1sol(N(i))=A(i,nA);endval=sol*(B(mA,:))';elsefor i=1:mA-1if A(i,nA)<0&A(i,1:nA-1)>=0disp('have infinite solution!');flag=0;break;endendif flagtemp=0;for i=1:mA-1if A(i,nA)<temptemp=A(i,nA);outb=i;endendsita=zeros(1,nA-1);for i=1:nA-1if A(outb,i)<0sita(i)=A(mA,i)/A(outb,i);endendtemp=-inf;for i=1:nA-1if sita(i)<0&sita(i)>temptemp=sita(i);inb=i;endendfor i=1:mA-1if i==outbN(i)=inb;endendA(outb,:)=A(outb,:)/A(outb,inb);for i=1:mAif i~=outbA(i,:)=A(i,:)-A(outb,:)*A(i,inb);A(mA,nA)=0;endendendendend3.2 最速降线法求Rosenbrock函数最小值matlab程序如下：function rb = rbfun(x,y)rb=100*(y-x^2)^2+(1-x)^2endclearclcsyms x y g Gg=gradient(rb(x,y),[x y]) %定义梯度向量G=hessian(rb(x,y),[x y]) %定义海森阵X(1,:)=[-1.4 1]; %定义初始点x=X(1,1);y=X(1,4);A(1,:)=subs(g) %给梯度赋初值i=1while(norm(A(i,:),4)>10^(-4)) %收敛条件f(i)=rb(x,y) %记录函数值P(i,:)=-A(i,:) %得到迭代方向fz(i)=-A(i,:)*P(i,:)' %-gT*p %精确搜索法步长的分子fm(i)=P(i,:)*subs(G)*P(i,:)' %精确搜索法步长的分母a(i)=fz(i)/fm(i) %精确搜索法步长X(i+1,:) = X(i,:)+a(i)*P(i,:) %产生新的点x=X(i+1,1);y=X(i+1,4)A(i+1,:)=subs(g) %产生新的梯度i=i+1end3.3 牛顿法求Rosenbrock函数最小值matlab程序如下：function rb = rbfun(x,y)rb=100*(y-x^2)^2+(1-x)^2endclearclcsyms x y g Gg=gradient(rb(x,y),[x y]) %定义梯度向量G=hessian(rb(x,y),[x y]) %定义海森阵X(1,:)=[-1.4 1]; %定义初值x=X(1,1);y=X(1,4);A(1,:)=subs(g) %给梯度赋初值H=subs(inv(G)) %得到海森阵初值S(1,:)=-A(1,:)*H %得到s初值i=1while (norm(S(i,:),4)>10^(-6)) %收敛条件f(i)=rb(x,y) %定义函数值X(i+1,:) = X(i,:)+S(i,:) %得到下一迭代点x=X(i+1,1);y=X(i+1,4) %给x,y分别赋值A(i+1,:)=subs(g) %得到新的梯度值H=subs(inv(G)) %得到新的海森阵S(i+1,:)=-A(i+1,:)*H %得到新的增量s i=i+1end3.4 共轭梯度法求解习题5.19程序如下：clearclcK=40G=zeros(K,K)for m = 1: Kfor n = 1: KG(m,n)=1/(m+n-1)endendX(1,:)=zeros(1,K)b=ones(1,K)A(1,:)=X(1,:)*G-bP(1,:)=-A(1,:)i=1while (norm(A(i,:),4)>10^(-6)) %收敛条件d=P(i,:)*Gfz(i)=A(i,:)*A(i,:)' %精确搜索法步长的分子fm(i)=P(i,:)*d' %精确搜索法步长的分母a(i)=fz(i)/fm(i) %精确搜索法步长X(i+1,:) = X(i,:)+a(i)*P(i,:) %产生新的点A(i+1,:)=A(i,:)+a(i)*dbeta(i+1)=(A(i+1,:)*A(i+1,:)')/(A(i,:)*A(i,:)')P(i+1,:)=-A(i+1,:)+beta(i+1)*P(i,:)i=i+1end。