北航最优化教材
北航刘红英数学规划教材课后习题参考答案
ri(x)∇ri(x)
=
2A(x)T r(x),
∇2f (x)
= =
2 2
∑m ∑mi=1
i=1
ri(x)∇2ri(x) ri(x)∇2ri(x)
+ +
2
∑n
i=1
∇ri
(x)(∇ri
(x))T
2A(x)T A(x).
1.6 考虑向量值函数 f (x) : Rn → Rm ，设 f 的每个分量函数 fi(x) 在 x′ 都可微. 写出 f 在 x′ 的Taylor展式，请用 A(x)T 表示 ∇f (x)T (= [∇f1(x), · · · , ∇fm(x)]).
maximize 200x + 60y + 206z
subject to 3x + y + 5z ≤ 8000000
5x + y + 3z ≤ 5000000
x, y, z ≥ 0, 且 x, y, z 是整数.
忽略掉整性要求后，调用 Matlab 中的 linprog.m 函数求解，得最优解 x = 0, y = 500000, z = 1500000，自动满足整性要求.
的最优值相同，将这个问题的最优解投影到 (x, y, z) 所在的空间可以得到原问题的解. 这个问题可以写成线性规划问题：
minimize t1 + t2 + t3 subject to x + y ≤ 1,
2x + z = 3, −t1 ≤ x ≤ t1, −t2 ≤ y ≤ t2, −t3 ≤ z ≤ t3.
解:
(a) ∇f (x) = a, ∇2f (x) = 0n×n; (b) ∇f (x) = (A + AT )x, ∇2f (x) = A + AT ;
北航最优化方法大作业参考
1 流量工程问题1.1 问题重述定义一个有向网络G=(N,E)，其中N是节点集，E是弧集。
令A是网络G的点弧关联矩阵，即N×E阶矩阵，且第l列与弧里(I,j)对应，仅第i行元素为1，第j行元素为-1，其余元素为0。
再令b m=(b m1,…,b mN)T，f m=(f m1,…,f mE)T，则可将等式约束表示成：Af m=b m本算例为一经典TE算例。
算例网络有7个节点和13条弧，每条弧的容量是5个单位。
此外有四个需求量均为4个单位的源一目的对，具体的源节点、目的节点信息如图所示。
这里为了简单，省区了未用到的弧。
此外，弧上的数字表示弧的编号。
此时，c=((5,5…,5)1 )T，×13)。
根据上述四个约束条件，分别求得四个情况下的最优决策变量x=((x12,x13,…,x75)1×13图 1 网络拓扑和流量需求1.2 7节点算例求解1.2.1 算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）转化为线性规划问题：Minimize c T x1Subject to Ax1=b1x1>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值c T x1=201.2.2 算例2（b2=[4;0;-4;0;0;0;0]T）Minimize c T x2Subject to Ax2=b2X2>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值c T x2=201.2.3 算例3（b3=[0;-4;4;0;0;0;0]T）Minimize c T x3Subject to Ax3=b3X3>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0]T对应的最优值c T x3=401.2.4 算例4（b4=[4;0;0;0;0;0;-4]T）Minimize c T x4Subject to Ax4=b4X4>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得:最优解为x4*=[4 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0]T对应的最优值c T x4=601.3 计算结果及结果说明1.3.1 算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T）算例1中，由b1可知，节点2为需求节点，节点1为供给节点，由节点1将信息传输至节点2的最短路径为弧1。
北航网络教育第四学期教材信息
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北航最优化方法最新最全答案2015版详解
部分习题参考解答
刘红英 编
北京航空航天大学数学与系统科学学院 2015 年 5 月
内容简介
本书是《数学规划基础》(刘红英，夏勇，周水生，北京航空航天大学出版社，2012.10)的 配套教学辅导材料，较详细地给出了该教材各章后部分习题的参考解答.
前言
本习题解答自 2008 年春季开始编写，当时由硕士研究生阎凤玉提供部分习题解答， 经讨论和确认后，由作者首次录入排版. 后来陆续参加习题解答修订的硕士研究生包括王 浩、欧林鑫、朱丽媛、易彩霞和杨茜，其中的数值结果由欧林鑫提供. 作者在此向他们的 辛勤劳动表示衷心的感谢.
本解答得到了？项目的资助，在此表示感谢. 由于这些参考解答尚未经过特别严格的校对，仅供参考. 任何意见、建议或其它反馈 都可以发送至liuhongying@，在此深表感谢.
刘红英 2015.5 于北京
目录
第一章 引言
1
第二章 线性规划: 基本理论与方法
3
第三章 线性规划：应用及扩展
maximize 200x + 60y + 206z
subject to 3x + y + 5z ≤ 8000000
5x + y + 3z ≤ 5000000
x, y, z ≥ 0, 且 x, y, z 是整数.
忽略掉整性要求后，调用 Matlab 中的 linprog.m 函数求解，得最优解 x = 0, y = 500000, z = 1500000，自动满足整性要求.
(x)(∇ri
(x))T
2A(x)T A(x).
1.6 考虑向量值函数 f (x) : Rn → Rm ，设 f 的每个分量函数 fi(x) 在 x′ 都可微. 写出 f 在 x′ 的Taylor展式，请用 A(x)T 表示 ∇f (x)T (= [∇f1(x), · · · , ∇fm(x)]).
北航飞行器结构优化设计
结构优化设计课程总结通过对本课程的学习，我了解到工程设计的过程中，一般都是先粗略估计一些数值，然后进行校核分析，如果不合适，则需进一步修正数值后校核，使数值进一步去拟合理想值，如此多次进行以达到最优的效果。
但是这样做周期会比较长，计算量也比较大。
这门课就是讲解这些算法如何优化的。
由此总结出本课程前后主要由三部分构成。
第一，优化设计的基本理论，包括结构优化设计的数学模型、线性规划基本理论和计算方法、无约束非线性规划和约束非线性规划的基本理论、多种计算方法的公式、性质和流程、多目标优化的基本理论和计算方法；第二，工程结构优化设计，包括适用于工程设计的优化准则法、对飞行器结构设计具有重要意义的结构可靠性优化设计；第三，飞行器优化设计技术的新发展，包括多学科设计优化（MDO）、遗传算法及改进、智能优化设计技术。
这些分析方法都是以计算机为工具，将非线性数学规划的理论和力学分析方法结合，使用于受各种条件限制的承载结构设计情况。
优化问题的数学意义是在不等式约束条件下，求出使目标函数为最小或最大值的一组设计变量值。
在实际工程应用中，优化问题所包含的函数通常是非线性的和隐式的。
因此建立在数学规划基础上的优化算法，是依据当前设计方案所对应的函数值与导数值等信息，按照某种规则在多维设计变量空间中进行搜索，一步一步逼近优化解，也就是一个迭代的过程。
故在计算机上进行该类运算会更加具有实际意义。
一、有限元素法这是基于在结构力学、材料力学和弹性力学基础上的一种分析方法。
研究杆、梁，经简化薄板组成的结构的应力、变形等问题。
其方法是首先通过力学分析将结构离散化成单一元素，然后对单一元素进行分析，算出各单元刚度矩阵后，进行整体分析，根据方程组K·u=P求解。
这种方法求解的问题受限于结构的规模、形式和效率。
在有限元素法中,用网格将结构划分为若干小块,这些小块称为有限元素，简称有限元。
它们可以是三角形、四边形、四面体、六面体或其他形状，易于为计算机记录和鉴别。
最优化方法课程教学大纲
《最优化方法》课程教学大纲Methods of Optimization课程代码： 课程性质：专业基础理论课/选修适用专业：信息计算、统计学开课学期：6总学时数：56总学分数：3.5编写年月：2002年3月修订年月：2007年7月执笔：刘伟一、课程的性质和目的最优化计算方法是在生产实践和科学实验中选取最佳决策，研究在一定限制条件下，选取某种方案，以达到最优目标的一门学科，广泛应用与空间科学、军事科学、系统识别、通讯、工程设计、自动控制、经济管理等各个领域，是工科院校高年纪学生、研究生、应用数学专业学生和搞优化设计的工程技术人员的一门重要课程。
通过本课程教学，使学生掌握最优化计算方法的基本概念和基本理论，初步学会处理应用最优化方法解决实际中的碰到的各个问题，培养解决实际问题的能力。
二、课程教学内容及学时分配（一）教学内容1. 最优化方法和最优化模型最优化方法定义、最优化问题的数学模型与分类；根据问题特点（无约束最优化与约束最优化），根据函数类型（线性规划，非线性规划）；最优化方法（解析法，直接法），最优解与极值点。
2.基础知识多元函数泰勒公式的矩阵形式，古典极值理论问题，二次函数求梯度公式，凸集，凸函数，凸规划，几个重要的不等式。
3. 常用的一维搜索方法一维搜索法是最优化的基础，“成功－失败”法的思想与算法，黄金分割法（０.618法）的思想与算法，二次插值法，三次插值法，Ｄ。
Ｓ。
Ｃ法，Ｐowell 法等方法的思想与算法。
4. 无约束最优化方法无约束最优化方法是最优化方法中的基本方法。
最速下降法的思想与算法步骤，牛顿法的思想与算法步骤，共轭方向法的思想与算法步骤，共轭梯度法的思想与算法步骤，变尺度法（ＤＦＰ法和ＢＦＧＳ法）的思想与算法步骤5. 约束最优化方法约束最优化方法通常约束问题转化为无约束问题求解。
序列无约束极小化方法（ＳＵＭＴ－外点法与ＳＵＭＴ－内点法）的思想与算法步骤，内点的求法，其他罚函数法,Frank-Wolfe法的思想与算法步骤6. 直接搜索法Ｐowell方向加速法的思想与算法步骤学时分配三、课程教学的基本要求1. 最优化模型了解最优化的数学模型与分类, 理解最优化模型的分类标准及最优化模型解法分类。
《最优化方法》课程教学大纲
《最优化方法》课程教学大纲课程编号：英文名称：Optimization Methods一、课程说明1. 课程类别理工科学位基础课程2. 适应专业及课程性质理、工、经、管类各专业，必修文、法类各专业，选修3.课程目的（1）使学生掌握最优化问题的建模、无约束最优化及约束最优化问题的理论和各种算法；（2）使学生了解二次规划与线性分式规划的一些特殊算法；（3）提高学生应用数学理论与方法分析、解决实际问题的能力以及计算机应用能力。
4. 学分与学时学分2，学时405. 建议先修课程微积分、线性代数、Matlab语言6. 推荐教材或参考书目推荐教材：（1）《非线性最优化》（第一版）. 谢政、李建平、汤泽滢主编.国防科技大学出版社. 2003年（2）《最优化方法》（第一版）. 孙文瑜、徐成贤、朱德通主编. 高等教育出版社. 2004年参考书目：（1）《最优化原理》（第一版）. 胡适耕、施保昌主编. 华中理工大学出版社. 2000年（2）《运筹学》》（修订版）. 《运筹学》教材编写组主编. 清华大学出版社. 1990年7. 教学方法与手段（1）教学方法：启发式（2）教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合8. 考核及成绩评定考核方式：考试成绩评定：考试课（1）平时成绩占20%，形式有：考勤、课堂测验、作业完成情况。
（2）考试成绩占80%，形式有：笔试（开卷）。
9. 课外自学要求（1）课前预习；（2）课后复习；（3）多上机实现各种常用优化算法。
二、课程教学基本内容及要求第一章最优化问题与数学预备知识基本内容：（1）最优化的概念；（2）经典最优化中两种类型的问题--无约束极值问题、具有等式约束的极值问题的求解方法；（3）最优化问题的模型及分类；（4）向量函数微分学的有关知识；（5）最优化的基本术语。
基本要求：（1）理解最优化的概念；（2）掌握经典最优化中两种类型的问题--无约束极值问题、具有等式约束的极值问题的求解方法；（3）了解最优化问题的模型及分类；（4）掌握向量函数微分学的有关知识；（5）了解最优化的基本术语。
北航最优化方法作业答案co_lcp
第 8 章 约束优化：线性约束规划
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
线性等式约束规划
f (x) 是 n 元函数；ai 是 n 维常向量； bi 是常数 有解时 凸规划 ⊙ f(x) 是凸函数 KKT点即为全局极小点 f(x) 严格凸 ：有唯一的极小点 ⊙ f(x) 是非凸函数 可能存在不是全局解的局部解 找全局解是NP-难问题 引入矩阵 ，使得 且 非奇异 解的情况： 无可行解、无界、有解
约束优化：线性约束规划
Constrained Optimization: Linearly Constrained Programming
第 8 章 约束优化：线性约束规划
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
二次规划(quadratic programming)
G 是 n 阶对称方阵 d，ai 是 n 维常向量 解的情况：无可行解、无界、有解 有解时： ⊙ G半正定 KKT点即为全局极小点 凸规划 G 正 定 ：有唯一的极小点 ⊙ G不定 可能存在不是全局解的局部解 找全局解是NP-难问题
第 8 章 约束优化：线性约束规划
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
等式约束二次规划－广义消元法(续)
第 8 章 约束优化：线性约束规划
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
第 8 章 约束优化：线性约束规划
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
实用二次规划算法概述
⊙ 经典的积极集法(active-set methods)
有价证券的组合优化(续)
Markowitz引入风险容许参数(risk tolerance parameter)
找出“最优的”证券投资组合！ ⊙ 参数 ，设定值依赖于投资者的个人偏好
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确定进基变量
◎最优性定理
◎定理:BFS的提高 给定目标值为z0的非退化基本可行解，且假定存
在 j 使得 rj < 0，则 i) 如果用 aj 替换基中某列得到了新的BFS，则新解
处的目标值比 z0 严格小. ii) 如果任何替换都产生不了新的BFS，则问题无界.
例3. 其它应用
• 数据包络分析(data envelope analysis, DEA) • 网络流问题(Network flow) • 博弈论(game theory)等
线性规划的一般形式 一般形式 转化 标准形
称 松弛(slack)/盈余(surplus)变量
线性规划的标准形(分析、算法)*****
的产品数量
目标函数： 产量约束： 销量约束： 非负约束：
问题中目标和约束函数都是线性函数, 称此类型的问题为线性规划问题.
优化实例2：数据拟合(data fitting problem) 已知： y y3
y2 y1
t1 t2 t3
t tm
推测：信号具有指数衰减和振荡行为！
模型函数(经验函数)：
其中
是待定参数
极点
线性方程组 的基本性质
代数理论 (与表述形式有关)
设计算法
凸集理论
几何理论
(与表述形式无关)
直观理解
凸集的定义及性质
称 中的集合 C 是凸的(convex)，如果对每个 x, y 及每
个
，点
.
几何解释：连接集合中任两点的线段仍含在该集合中
性质
称集合C是锥(cone)，如果
蕴含着对所有
有
. 若锥 C 还是凸的，称为凸锥(convex cone).
向量表示： 标准形的特征：极小化、等式约束、变量非负
例5. 化成标准形
等 价 表 示 为
5
基本解与基变量(*****)
其中 满秩假定：m<n，且A的行向量线性无关
定义 设B是A 的m个线性无关列组成的矩阵， 置 其余列所对应的变量为零，称所得方程组的解是 Ax=b的基本解(basic solution) 称B是基(basis)； 称与B对应的变量为基变量(basic variables)
一些重要的凸集
超平面(hyperplane): 正/负闭半空间： 多面集(polyhedral set):
有限个闭半空间的交集
推 广
平面上：多边形 注：任一线性规划的可行集是多面集！
极点
几何上：极点即不能位于连接该集合中其它两点的开线段 上的点
定义 称凸集 C 中的点 x 是 C 的极点，如果存在 C 中的点 y,
例1. 食谱问题
◎ 问题：确定食品数量，满足营养需求，花费最小？
n种食品，m种营养成份； －第 j 种食品的单价 －每单位第 j 种食品所含第 i 种营养的数量 －为了健康，每天必须食用第i 种营养的数量
◎ 变量： －食用第 j 种食品的数量 ◎ 模型：
4
例2. 目标函数中含绝对值的问题
假设： 事实： 转化为：
基本解
基变量
一般地：
只要有m个单位列
非基变量 即可，次序可以打乱！
8
规范形的转换问题
◎ 替换问题
假设在上述规范形中，想用
⊙ 什么时候可以替换？ ⊙ 替换后新规范形是什么？
转轴(pivot)
◎ 当且仅当
，可以替换
◎ 替换后，新规范形的系数
转轴公式
－转轴元(pivot element)
第二种解释： 表格中第 i 列的数据－用当前基表示 ai 时的系数
7
例1.
例2.
K 有3个极点 有3个基本解，均可行
K 有2个极点 有3个基本解，2个可行
例3.
Subject to
x*=(3/2, 1/2) － 极点
问题/作业 考虑集合
5个极点
证明这两个集合的极点是一一对应的！
3.2 单纯形法
单纯形法简介
• 适用形式：标准形(基本可行解=极点) • 理论基础：线性规划的基本定理！ • 基本思想：从约束集的某个极点/BFS开始，
课程主题
介绍线性与非线性规划的－－ 基本理论、实用算法和部分应用
具体的主题包括： • 线性规划
基本性质、单纯形法、对偶理论、网络流问题、整数规划
• 非线性规划
最优性条件、凸性、Lagrange对偶、半定规划 无约束优化的算法：线搜索法和信赖域法 约束优化的算法：二次规划、罚函数法、SQP法
• 多目标决策简介
基本可行解
定义 称
的非负基本解是标准形的基
本可行解(basic feasible solution)；
◆ 退化基本可行解：某个或某些基变量取零的基本可行解！ 问题：基本可行解与基的对应关系？(见习题2.5)
例. 基本可行解及几何意义
基本可行解的个数不超过
线性规划的基本定理(*****)
考虑线性规划标准形，其中A是秩为m的m×n 矩阵，则以下结论成立：
例1. 求下列方程组以
转轴
为基变量的基本解
转
轴
转 轴
转 轴
x=(0,0,0,4,2,1)
如何得到第一个规范形
处理：给表格附加m个单位列向量开始迭代，用A
中的列依次替换这些单位列向量
例2. 利用转轴解方程组
为了得到第一个规范形，形成增广表格
以下运算 同例1 !
3.2.2 BFS→相邻BFS(极点→相邻极点)
Pareto最优性和折衷曲线 目标规划
先修课程：线性代数，高等数学，最好会某种高级语言
课本与教辅材料：
1. 刘红英，实用优化方法讲义，北京航空航天大学，数学与系统科学学 院，2010年2月.
2. 陈宝林，最优化理论与算法(第二版)，清华大学出版社 3. 平时和作业 实践环节 期中考试 期末考试
实用优化方法(最优化理论与算法B)
54课时/3学分
刘红英 数学与系统科学学院 liuhongying@(个人邮箱) buaa_optimization@(公共邮箱，密码： 111222) (课程主页)
变量： 余量/残差(residual)：
确定参数！
非线性最小二乘问题
• 注1： 它说明即使变量数很小，计算目标函数也可能 很昂贵. 这里，n=6， m很大(比如10^5).
• 注2：数据拟合、参数估计、回归分析等许多问题中 均涉及此类优化问题.有专用的算法求解.
2
1.2 数学规划问题的分类与特征
连续与离散
z 和某
，有
则必有 y=z.
极点与基本可行解的等价性定理
考虑线性规划标准形，其中A是秩为m的m×n 矩阵，令
则x是 K 的极点当且仅当x是线性规划的基本可行解.
线
推论：
性
几
i) 若K非空，则至少有一个极点.
何 形
式
ii) 若线性规划有解，则必有一个极点是最优解.
规 划 基 本 定 理
的
iii) K的极点集是有限集.
• 1947年, G. Dantzig于发明了单纯形法
• 1979年，L. Khachain找到了求解线性规划的一 种有效方法(第一个多项式时间算法－椭球内点法)
• 1984年，N. Karmarkan发现了另一种求解线性 规划的有效方法，已证明是单纯形法的强有力的 竞争者(投影内点法)
• 现在求解大规模、退化问题最有效的是原－对偶 内点法
设x’是BFS, 且规范形如前，且假设 aq 进基 ◎问题：确定出基变量，使转轴后新规范形对应BFS？ 因为
所以
令 可否选取合适的
使得
是BFS ？
9
确定离基变量
至少有一个正元
例3. 考虑线性方程组
转 轴
B=(a1,a2,a3) X=(4,3,1,0,0,0)
a4进基
a1进基
x=(0,1,3,2,0,0)
优化问题的简单分类与求解难度
问题的求解难度依次增加！
1.3 优化算法和优化软件
◎ 优化算法
• 迭代法 • 从最优解的某个初始猜测出发，生成一个提高
的估计序列，直到达到一个解. • 大部分利用目标函数和约束，可能还有这些函
数的一阶和二阶导数. • 通常收敛到
(无约束问题)驻点或者 (约束问题)KKT点(极大点、极小点或鞍点). 如果问题是凸规划，则可确保算法收敛到全局极小点.
6
线性规划解的几何特征
可行集：多边形(二维)→多面集(高维空间)
• 有解：唯一解/多个解(整条边、面、甚至
整个可行集)
有顶点解
• 无界：没有有限最优解 • 不可行：没有可行解
无解
给出有效的代数刻画和严谨的几何描述，从理论上证 实上述几何特征，并寻求有效算法
与凸性的关系
线性规划的基本定理(标准形)
基本可行解
◎ 优化软件
• AMPL: A Modeling Language for Mathematical Programming
• Lindo/Lingo软件(\verb" " • Matlab优化工具箱(见姜启源等编的《数学实验》,
高教出版社) • Cplex • 其它(Mathematica, Minos, Excel等的优化功能).
• 选择特定算法：很重要--决定求解速度及质 量(无通用优化算法，有求解特定类型优化 问题的算法)
优化实例１：运输问题(transportation problem) 背 景：化学制品公司考虑某种产品的产销问题.
数 据：
问 题：确定从每个工厂运送到每个销地的产品 数量，使其满足需求，同时极小化费用
变 量：
依次移动到相邻极点/BFS，直到找出最优 解，或判断问题无界.