实数大小比较的常用方法

六、作差法
用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有：
例6比较 与 的大小。
析解：设 ，
则
所以
七、作商法
用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：
例7比较 与 的大小。
析解：设 ，
，则
即
八、放缩法
用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。
A.c＜a＜d＜b B.b＜d＜a＜c C.a＜c＜d＜b D.b＜c＜a＜d
分析 可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.
解 因为a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝ ＝－ ，d＝ ＝2，而－ ＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。
解 ∵1-（-2）
=1-+2
=3-﹥0。（3=，﹥）
∴1﹥-2，
∴﹥。
说明：若a、b为实数， a-b﹥0则a﹥b；a-b=0则a=b； a-b﹤0则a﹤b。以后做题时遇到同分母或同分子的问题时可用上面的方法。
二、求商法
例2 ：有两个数A=、 B=比较A、B的大小。
分析：本题在不用计算器的前提下对于初中生来说并不容易。通过观察可以发现分子、分母都可以分解因数。分子含有公因数：111，分母含有公因数：1111。因此可采用两数相除的方法，问题就迎刃而解了。
十一、法则比较法
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小。
例11、已知a、b是实数，且a<0<b，c≠0，试比较 的大小。
解析：因为a<0,数。而b>0， ，所以 ，为正数。所以 。
十二、根式定义法
解析：（1）因为 ，而12<18，所以 。
（2）因为 ，而
，所以 。
四、取近似值法（估算法）
在比较两个无理数的大小时，如果有计算器，可以先用计算器求出它们的近似值。不过取近似值时，要使它们的精确度相同。再通过比较它们的近似值的大小，从而确定它们的大小。如果没有计算器，则可用估算法。先估算出两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。
实数大小比较的常用方法【初二数学】
添加时间：2012年11月23日 浏览：53次
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实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。
九、特殊值法
在解决含有字母的选择题或填空题时，常常可以采用特殊值法，这样能够比较快捷地得到答案。
例9、已知x<y<0，设 ，则M、N、P、Q的大小关系是（）。
A、M<Q<P<N B、M<P<Q<N C、Q<N<P<M D、N<Q<P<M
解析：根据条件，不妨设 ，则M=4，N=1， 。不难得到：N<Q<P<M。因此，应选D。
例6、比较 的大小。
解析：因为 ，所以 。
七、放缩法（中间值法）
如果a<c，c<b，那么a<b。若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法。
例7、比较 的大小。
解析：因为 ，所以 。
所以 ，即 。
八、不等式性质法
例8、比较大小： 。
解析：因为 ，所以 ，因此 。
例8比较 与198的大小。
析解：由于
所以
取n＝2，3，4…10000代入上式，并将所得的不等式相加得：
即
所以
两个实数大小的比较，方法多种多样，在实际操作时，根据要比较的数的特点来选择适当的方法进行比较，才能方便快捷地取得准确的结果。
编辑本段
数轴的基本性质：实数与数轴上的点一一对应。
利用这条性质，将实数的大小关系转化为点的位置关系。
十、数轴比较法
数轴上的点与实数成一一对应的关系，数轴上的靠右边的点表示的数大于靠左边的点表示的数。
例10、已知a、b是实数，且 。试比较a，b，－a，－b的大小关系。
解析：因为 ，故可将a、b两数在数轴上表示出来，如图1。又因为a与 与 互为相反数，根据相反数的几何意义，a与 , 在数轴上可表示为图2。所以 的大小关系是 。
例1比较 与 的大小。
析解：由于 ，且 ，所以 。
说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。
二、平方法
用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有： 。
例2比较 与 的大小。
析解：由于 ，而 ，所以 。
说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。
五【估算法】
估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。
例4：比较 与 的大小
解：∵3＜ ＜4 ∴ －3＜1 ∴ ＜
六【移动因式法】（穿墙术）
移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a 的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b。当a－b﹤0时，得到a﹤b。当a－b＝0，得到a=b。
例1：（1）比较 与 的大小。 （2）比较1－ 与1－ 的大小。
解 ∵ － ＝ ＜0 ， ∴ ＜ 。
解 ∵（1－ ）－（1－ ）= ＞0 ， ∴1－ ＞1－ 。
例3：比较 － 与 － 的大小。
解∵ = + ， = +
又∵ + ＜ +
∴ － ＞ －
四【平方法】 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由 ＞ 得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
例5：比较 与 的大小
解： ， =8+2 。
又∵8+2 ＜8+2 ∴ ＜ 。
解 ∵＝
＝。
＝
＝。
又∵＞，
∴＞，
∴－＜－。
说明：两个同分子分数比较大小，分母大的分数的值反而小。我们以后在解题时遇到求两个二次根式差的此类问题时可用倒数的方法。
四、平方法
例4：比较与的大小。
分析：本题我们通过观察可以发现题目中的被开方数存在这样的规律：2+6=8，3+5=8.所以想到用平方来解决问题。
解∵A÷B=÷
=×
=×
=＜1，
∴＜1，
∴ A＜B 。
说明：（有实数a、b且b≠0 , 当＞1时，a＞b.＝1时，a=b.＜1时，a＜b.）以后我们做题遇到两数相除时可以和1比较出大小，或约分后可以和1比较出大小时，可用这样的方法。
三、倒数法
例3：比较－与－的大小。
分析：对于二次根式，我们可以很容易看出+＞+。因此只要把二次根式的差转化为和就可以了。
四、估算法
用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。
例4比较 与 的大小。
析解：由于 ，故 ，所以
五、倒数法
用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、b有：
例5比较 与 的大小
析解：因为 ，
又因为 ，
所以
所以
说明：对于两个形如 （ ，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。
三、数形结合方法
用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
例3若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。
析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画出来，容易得到结论：
例4、比较大小：（1） ；（2） 。
解析：（1）因为 所以 。又因为 ，所以 。
（2）因为 ，所以 ，所以 。
五、作差法
作差法的基本思路是，设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差。当 时，得到a>b；当 时，得到a<b；当 时，得到a=b。
例5、比较 的大小。
解析：因为 ，所以 。
六、作商法
作商法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先求出a与b的商 。当 时，a<b；当 时，a>b；当 时，a=b。
实数大小的比较方法
安徽省长丰县钱集中学 杨明星
在实数范围内比较两个数的大小，看起来比较简单。但也有一些题目会让大家比较棘手。我在多年的教育教学中发现，比较两个实数的大小可用一些特殊的方法做起来比较容易。下面介绍几种比较两个实数大小的方法，供大家参考。
一、求差法
例1 ：比较与的大小。
分析：由于本题的分母相同，所以只要比较1与-2的大小。
解 ∵=2++6=8+。
一、比较被开方数法
一般地，当a>0，b>0时，如果a>b，那么 。也就是说，两个正数，较大的正数的算术平方根也较大，其立方根也较大。反之也成立。
例1、比较大小：（1） ；（2） 。
解析：若要比较形如 的两数的大小，可先把根号外的因数a与c移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
（1）因为 ，且 ，所以 ，因此， 。
例6：比较2 与3 的大小