数列通项公式专题讲座-基础版-xs
数列通项公式的求法PPT优秀课件1
题型3：构造基本数列求通项公式
2 n 1 2 n
已知数列 { a } 中 a 1 , a 0 , 且 a a 4 , 例4： n 1 n 求数列 { a } 通项 n
分析： 由条件 a2n1 a2n 4可知 ,构造数列 {bn}
其中 bn a2n ,则bn1 bn 4,由此可知 bn b ) 4 1 (n 1) 4 4n 3 1 (n 1 即： a 4n 3, 又an 0,an 4n 3
例5：已知数列{an}中a1=1,且an+1=2an+3,求 {an}的通项。
解： a n 1 2 a n 3 ( n N *) a n 1 3 2 ( a n 3 ) { a n 3}是以 a 1 3 4 为首项， 2 为公比的等比数列 an 3 4 2 综上， a n 2
1 1 1 （ 2 ） 为 等 差 数 列 （ n 1 ） 2 = 2 n s s n n s 1 1 1 1 又a s s = sn = n n n 1 2 n 2 ( n 1 ) 2n
1 an ( n 2) 2n(n 1)
而 a1 1 ; 2
2
an a n 1 2 n 3
经检验： n 1时满足上式。 an ( n 1) 2 ( n ∈ N + )
题型2：利用累加（等差）、累积（等比）求数列的通项
思考：满足何种条件时，采用“累积法”求通项？
a n1 an
g () ng ( () n 能 求 乘 积 )
n2
时，有
a a a a 2 3 4 q , q , = q , , n q a a a a 1 2 3 n 1
数列概念及通项公式优秀课件
6.若数列 {an} 满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 (n≥2),
则当 n≥2 时, {an} 的通项 an=
n! 2.
7 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
23
456
7 8 9 10
．．．．．．．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的
第3 个数为 n 2 n 6 ． 2
an=an-1+(n-1),
所以a2+a3+…+an
=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)]，
所以an=
(
n
1)n 2
+2=
n
2
n 2
4
.
(方法二)因为an+1-an=n， 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.
分析（1）将递推关系写成n-1个等式累
加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
“累积法”或用逐项迭代法.
(1)(方法一)an+1=an+n，
所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，…,
解: (1)当 n=1 时, a1=S1=-1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n-5, 故 an=4n-5(nN*).
(2)当 n=1 时, a1=S1=5; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6n-2,
数列的通项公式课件ppt
故有an1＋1－a1n＝2.故数列a1n是首项为a11＝13，
公差为 2 的等差数列，所以a1n＝31＋2(n－1)＝6n3－5，
故 an＝6n3－5.
答案：6n3－5
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
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观察法
根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)3,33,333,3 333，…；
试一试：
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，
且 Sn＝n＋n 1，则a15＝ (
)
5
6
A.6 B.5
1 C.30
D．30
解析：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n＋n 1－n－n 1＝nn1＋1，
则 a5＝5×1 6＝310.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.
当 n＝1 时，2×31－1＝2≠a1，
故 an＝42，×3n－1，
n＝1， n≥2.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
中职数学数列的通项公式课件
•数列基本概念与性质•通项公式推导方法•典型例题解析与技巧指导目录•常见问题及误区提示•课堂互动环节与拓展延伸数列定义及分类数列定义数列分类等差数列定义等差数列通项公式等差数列性质030201等比数列定义从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。
等比数列通项公式an=a1×q^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，q为公比，n为项数。
等比数列性质任意两项的积是常数；任意两项的比是公比；所有项的乘积等于首项和末项的乘积的n次方根等。
常见数列举例01020304算术数列几何数列斐波那契数列调和数列适用范围推导步骤示例推导步骤适用范围通过对递推关系进行累乘，得到$a_n$与$a_1$得通项公式。
示例推导步骤根据递推关系的特征，构造新的数列或函数，使其满足简单的递推关系或通项公式，进而求得原数列的通项公式。
适用范围适用于一些特殊的递推关系，可以通过构造新的数列或函数来简化问题。
示例已知$a_{n+1}=2a_n+3^n$，求$a_n$的通项公式。
适用范围01推导步骤02示例031 2 3例题1例题2解题技巧例题1已知等比数列{an} 中，a1 = 2，q = 3，求a5。
例题2已知等比数列{an} 中，a2 = 4，a5 = 128，求a1 和q。
解题技巧利用等比数列的通项公式an = a1 ×qn-1，可以求出任意一项的值。
复杂数列通项公式求解策略策略1策略2策略3技巧总结与提高总结提高通过大量的练习和积累，不断提高自己的解题能力和思维水平。
同时，要注重对解题方法和技巧的总结和归纳，形成自己的知识体系和思维模式。
忽略数列定义域导致错误忽略数列定义域忽略数列项数混淆不同类型数列性质等差数列与等比数列混淆混淆其他类型数列未能正确运用通项公式求解问题错误使用通项公式在求解数列问题时，需要正确运用通项公式。
错误地使用通项公式或未能正确识别通项公式的形式可能导致错误的答案。
数列的通项公式
数列的通项公式数列是数学中常见的一个概念。
在数列中，每个数都按照一定的规律排列，并且数与数之间存在着某种关系。
通项公式是数列中的一个重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。
本文将介绍数列的通项公式以及如何推导通项公式。
一、数列的定义和表示数列是按照一定的规律排列的一系列数。
数列中的每个数叫做数列的项，用a1, a2, a3, ... 表示。
项与项之间的关系可以通过一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式。
二、通项公式的推导方法通项公式的推导方法主要有以下几种：1. 等差数列的通项公式如果数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式可以通过以下推导得到：设数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则有：an = a1 + (n-1)d。
这个公式就是等差数列的通项公式。
2. 等比数列的通项公式如果数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式可以通过以下推导得到：设数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则有：an = a1 * q^(n-1)。
这个公式就是等比数列的通项公式。
3. 其他数列的通项公式除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，其通项公式可以通过其他方法推导得到。
例如斐波那契数列、调和级数等。
三、使用通项公式求解问题通项公式可以帮助我们求解数列中的各种问题，例如确定数列中某一项的值、确定数列中的某些特定项、求解数列中的和等。
通过使用通项公式，我们可以更加简洁地解决这些问题。
四、总结数列的通项公式是数列中的一个重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。
通项公式的推导方法主要有等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
通项公式可以帮助我们求解数列中的各种问题，是数列研究中的重要工具。
参考文献：1. 《高等数学》教材；。
求数列通项公式的常用方法课件
因此，数列的通项公式为a_n = 2 * (1/2)^(n-1)，即a_n = (1/2)^(n-3)。
倒推法的适用范围
当已知数列的最后几项，需要求出整个数列的通项公式时，可以使用倒推法。 倒推法适用于递减数列、递增数列以及存在周期性变化的数列。
已知数列${ b_{n}}$满足递推关系式$b_{n+1} = b_n + n$，且$b_1 = 1$，通过迭代法可以求得数列的通项公式为 $b_n = frac{n(n+1)}{2}$。
迭代法的适用范围
迭代法适用于已知递推关系式和初值，需要 求解数列通项公式的场景。
迭代法对于一些复杂的数列问题可能无法直 接求解，但对于一些简单的递推关系式，如 线性递推、指数递推等，迭代法是一种有效 的求解方法。
注意：以上内容仅供参考，具体内容安排可 以根据您的需求进行调整优化。
04
倒推法求通项公式
倒推法的原理
从数列的最后一项开始，根据数列的递推关系，逐步向前 推导，直到求出首项或通项公式。
倒推法适用于已知数列的最后几项，需要求出整个数列通 项公式的情形。
倒推法的应用示例
已知数列的前四项为10、5、2、1，后一项是前一项的一半，使用倒推法求通项公 式。
求数列通项公式的常用方 法课件
目录
• 数列通项公式的定义和重要性 • 累加法求通项公式 • 迭代法求通项公式 • 倒推法求通项公式 • 构造法求通项公式 • 数列通项公式的综合应用
01
数列通项公式的定义和重要性
数列的定义和分类
求数列通项公式ppt
目录
• 数列通项公式的定义和重要性 • 数列通项公式的求解方法 • 常见数列通项公式的求解 • 数列通项公式的应用 • 总结与展望
01
数列通项公式的定义和重要性
数列通项公式的定义
定义
数列通项公式是表示数列中每一项的 数学表达式，通常用$a_n$表示第 $n$项。
描述
通项公式可以完整地描述数列的性质 和规律，通过它我们可以了解数列的 任意一项的值。
通过解特征根方程来找出数列的通项公式。
详细描述
通过解特征根方程来找出数列的通项公式。
03
常见数列通项公式的求解
等差数列的通项公式
总结词
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，它表示数列中每一项与首项的差是 一个常数。
详细描述
等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_1$ 表示首项，$d$ 表示公差，$n$ 表示项数。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是数列中任意一项 与前一项的比值是一个常数。
VS
详细描述
等比数列的通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项， $a_1$ 表示首项，$r$ 表示公比，$n$ 表 示项数。
斐波那契数列的通项公式
通过数学归纳法证明数列的通项公式。
详细描述
数学归纳法是一种证明数列通项公式的有效方法。它通过两个步骤证明数列的通项公式：第一步是证明数列的 前几项满足公式；第二步是证明如ห้องสมุดไป่ตู้数列的前n项满足公式，那么数列的第n+1项也满足公式。如果能够证明这 两个步骤，那么就可以断定数列的通项公式成立。
高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)
内容索引
目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
内容索引
内容索引
说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
内容索引
内容索引
1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
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数列通项公式专题讲座
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。
变式训练
1、（2004，全国I ，理22．本小题满分14分）
已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….
（I ）求a 3, a 5；
（II ）求{ a n }的通项公式.
类型2 n n a n f a )(1=+
解法：把原递推公式转化为
)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321=
a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a 。
变式训练
1.已知31=a ，n n a n n a 2
3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
2.在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
三 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，
)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
变式训练
1.已知数}{n a 的递推关系为43
21+=
+n n a a ，且11=a 求通项n a 。
2.已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明：数列{b n }是等差数列；
类型4递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。
例 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
变式训练
设数列{a n }的前项的和S n =3
1（a n -1） (n *∈N )． (Ⅰ)求a 1；a 2； (Ⅱ)求证数列{a n }为等比数列．
类型5 )()()(1n h a n g a n f a n n n +=+
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1 例：已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=
--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。
变式训练
已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=
+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。