反比例函数题型总结
一次函数与反比例函数十大考查题型
01反比例函数与不等式一．解答题（共50小题）1．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．02共点问题一．解答题（共1小题）1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b经过点A（1，m）、B（﹣1，﹣1）．（1）求b和m的值；（2）将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段BC 与AD组成的图形为G．①直接写出点C、D的坐标；②若双曲线y＝与图形G恰有一个公共点，结合函数图象，求k的取值范围．03代数式求值问题一．解答题（共3小题）1．如图已知函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与一次函数y＝mx+5（m＜0）的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为x0，△AOD 的面积为2．（1）求k的值及x0＝4时m的值；（2）记[x]表示为不超过x的最大整数，例如：[1.4]＝1，[2]＝2，设t＝OD•DC，若﹣＜m＜﹣，求[m2•t]值．004面积类问题如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．05特殊图形的存在性问题1．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．3．如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点D（m，n）．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A，C落在x轴上（点A在点C的右边），BD与AC交于点E．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点A的坐标．4．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．5．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．（1）求k的值；（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．7．反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y＝的图象于点M，△AOM的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形ABCD有一个顶点在反比例函数y＝的图象上，求t的值．06线段和差问题最值问题1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边BC交x轴于点D，AD⊥x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点D的坐标为（3，0），AB＝BD．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求出点P的坐标．2．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．（1）分别求出a和b的值；（2）结合图象直接写出mx+n＜的解集；（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．07线段间数量关系1．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝kx的图象的一个交点为M（1，b）．（1）求正比例函数y＝kx的表达式；（2）若点N在直线OM上，且满足MN＝2OM，直接写出点N的坐标．08周长问题1．如图，已知平行四边形OABC中，点O为坐标原点，点A（3，0），C（1，2），函数y ＝（k≠0）的图象经过点C．（1）求k的值及直线OB的函数表达式：（2）求四边形OABC的周长．09整点问题1．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．10新定义问题1．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2．若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，下图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，0），（1）若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；（2）点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（3）若点D的坐标为（4，2），将直线y＝2x+b平移，当它与点A，D的“相关矩形”没有公共点时，求出b的取值范围．2．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y＝x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y＝（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y＝（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？3．定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．如max{﹣3，2}＝2．（1）max{，3}＝；（2）已知y1＝和y2＝k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{，k2x+b}＝，结合图象，直接写出x的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．。
反比例函数重点题型
反比例函数重点题型1、反比例函数的图像和面积之间的关系； 问题1：反比例函数4y x=经过点A （1，4），过点A 向x 轴、y 轴作垂线，垂足为M 、N ，则矩形AMON 的面积为 ，三角形AOM 的面积为 ，三角形AON 的面积为 ．问题2：反比例函数ky x=经过点A （a ，b ），过点A 向x 轴、y 轴作垂线，垂足为M 、N ，则矩形AMON 的面积为 ，三角形AOM 的面积为 ，三角形AON 的面积为 ．根据以上规律，完成以下两题：1．如图，P 是反比例函数图像上第二象限内的一点，且矩形PEOF 的面积为3，则反比例函数的解析式是______． 2．反比例函数xky =的图像如图所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为 ．第1题图 第2题图1、如图，点A 在反比例函数xky =的图象上，AB 垂直于x 轴，若AOB S ∆=4，那么这个反比例函数的解析式为________________.2、在△AOB 中，AB =OB ，点B 在双曲线上，点A 的坐标为（2，0），ABO S ∆=4，求点B 所在双曲线的函数解析式。
3、如图，已知点A ，B 在双曲线)0(>=x xky 上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，求k 的值．4、两个反比例函数=k y x 和1=y x 在第一象限内的图象如图所示，点P 在=ky x 的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1=y x 的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1=y x的图象于点B ，当点P 在=ky x的图象上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形P AOB 的面积不会发生变化； ③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．2、反比例函数解析式和正比例函数解析式之间的关系；1、已知函数21y y y +=，1y 与x 成反比例，2y 与2-x 成正比例，当1=x 时，1-=y ，当3=x 时，5=y ．（1）求y 关于x 的函数的解析式；（2）求当3-=x 时的函数值．2、已知12y y y =+，其中1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当12x =时5y =，当1x =时1y =-，求y 与x 之间的函数关系式．3、已知12y y y =-，1y 与2x 成正比例，2y 与1x +成正比例；并且当3x =-时，19y =；当1x =-时2y =，求y 与x 的函数关系式.4、若0<ab ，则正比例函数=y ax 与反比例函数=by x在同一坐标系中的大致图象可能是（）xxxx3、反比例函数图像坐标和三角形之间的关系主要围绕着两种图形，一周为等腰直角三角形，一种为等边三角形，围绕这两种图形展开的反比例函数的考察是重点1、如图，等腰直角△POA的直角顶点P 在反比例函数xy4=)0(>x的图像上，A点在x 轴正半轴上，则A点的坐标为2、如图，11POA∆、212P A A∆都是等腰直角三角形，点1P、2P在函数4yx=(0x>)的图像上，斜边1OA、12A A、都在x轴上，则点2P的坐标为3、如图，P是反比例函数kyx=(0)k>在第一象限图像上的一点，点A的坐标为（2, 0）．（1）当点P的横坐标逐渐增大时，POA∆的面积将如何变化？（2）若POA∆为等边三角形，求此反比例函数的解析式．A2A1P2P1O xyAOPyx4、如图，P 1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A 1 的坐标为(2，0)．（1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1O A 1的面积将逐渐_______（填“增加”、“减小”） （2）若△P 1O A 1与△P 2A 1 A 2 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A 2点的坐标．5、如图，正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数xky =的图像上，已知正方形OAPB 的面积为9． (1) 求k 的值和直线OP 的解析式； （2）求正方形ADFE 的边长．6、如图，点A 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，4），四边形OABC 为矩形，反比例函数=ky x的图像过AB 的中点D ，且和BC 相交于点E ，F 为第一象限的点，AF =12，CF =13． （1）求反比例函数=ky x和直线OE 的函数解析式； （2）求四边形OAFC 的面积．第25题图FED CB AyxOFOA DP EB点C 在y 轴上，反比例函数的图像过BC 边上点M ，与AB 边交于点N ，且BM=3CM ．求此反比例函数的解析式及点N 的坐标．过1P 分别作x 轴、y 轴的垂线11PQ 、11P R ，垂足分别1Q 、1R ；过2P 分别作x 轴、y 轴的垂线22P Q 、22P R ，垂足分别为2Q 、2R ，求矩形111OQ PR 和222OQP R 的周长比较它们的大小．4、反比例函数压轴题题型及考察1：如图，已知直线经过点P （，），点P 关于轴的对称点P ′ 在反比例函数（）的图像上． （1）求的值；（2）直接写出点P ′ 的坐标； （3）求反比例函数的解析式．2、如图，点P 是一个反比例函数与正比例函数2y x =-的图象的交点，PQ 垂直于x 轴，垂足Q 的坐标为(2，0)． (1) 求这个反比例函数的解析式．(2) 如果点M 在这个反比例函数的图象上,且△MPQ 的面积为6，求点M 的坐标．x y 2-=2-a y xky =0≠k a OQ xPyxyO x y 2-=PP 'xk y = 113、已知双曲线上两点A （2，4），C （4，2），且AB ⊥OB ，CD ⊥OD ， 求（1）双曲线的函数解析式；（2）△OAB 的面积；（3）△OAC 的面积。
专题01 反比例函数重难点题型专训(5大题型)(解析版)
专题01反比例函数重难点题型专训（5大题型）【题型目录】题型一用反比例函数描述数量关系题型二根据定义判断是否是反比例函数题型三根据反比例函数的定义求参数题型四求反比例函数值题型五由反比例函数值求自变量【知识梳理】【知识点1反比例函数的定义】一般的，形如 0ky k k x为常数，的函数，叫做反比例函数。
其中x 是自变量，y 是函数。
自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。
【经典例题一用反比例函数描述数量关系】1．（2022上·云南文山·九年级统考期末）已知点 3,1是反比例函数ky x上一点，则下列各点中在该图像上的点是（）A ． 1,3B ．11,3C ．1,93D ．16,2【答案】D【分析】先把点（3，1）代入双曲线ky x(k ≠0)，求出k 的值，再对各选项进行判断即可．【详解】解：∵点（3，1）是双曲线ky x(k ≠0）上一点，∴k =3×1=3，A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；B 、1×13=13≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；C 、13×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；D 、6×12=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式．2．（2022·湖北恩施·统考一模）如图的电路图中，用电器的电阻R 是可调节的，其范围为110~220 ，已知电压220V U ，下列描述中错误的是（）A ．P 与R 成反比例：220P RB ．P 与R 成反比例：2220P RC ．电阻R 越大，功率P 越小D ．用电器的功率P 的范围为220~440W【答案】A【分析】根据功率2U P R 判断即可．【详解】∵220V U ，2U P R∴2220P R，∴A 选项错误故选：A ．【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式2U P R是解题的关键．3．（2022上·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）若以方程 223410x k x k k -2---=的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y 11x的图象上，则满足条件的k 值为．【答案】-2【分析】设方程的两个根分别为11x x，，根据题意得到11x x ＝241k k ，结合判别式，即可求解．【详解】解：∵以方程 223410x k x k k -2---=的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y 11x的图象上，∴设方程的两个根分别为11x x，，∴11x x＝241k k ，即21141k k ＝，∴24120k k 解得：1262k k ，∵ 2234410k k k-2---，∴5k ，∴2k ．故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程200ax bx c a （）的根的判别式24b ac ＝：当0 ＞，方程有两个不相等的实数根；当0 ＝，方程有两个相等的实数根；当0 ＜，方程没有实数根，也考查了反比例函数．4．（2020上·广东江门·九年级统考期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表：近视眼镜的度数y （度）2002504005001000镜片焦距x （米）0.500.400.250.200.10根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为．【答案】100y x【分析】由表中数据可得，100xy ，从而可得y 关于x 的函数表达式．【详解】由表中数据可得，100xy ，∴y 关于x 的函数表达式为100y x．故答案为：100y x【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键．5．（2021上·福建三明·九年级统考阶段练习）水池内有污水360m ，设放净全池污水所需时间为 h y ，每小时放水量为 3m x ．(1)试写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求当15x 时，y 的值．【答案】(1)60y x(2)4y 【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y 与x 之间的函数关系式；（2）把15x 代入（1）中函数关系式计算即可．【详解】（1）解：由题意得：60y x；（2）当15x 时，6060415y x．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题的关键．【经典例题二根据定义判断是否是反比例函数】1．（2023上·全国·九年级专题练习）下列函数中：①12xy ，②3y x ，③55y x ，④2ky x （k 为常数，且0k ）；属于反比例函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据反比例函数的定义逐一分析判断即可，形如y ＝kx(0k )的函数是反比例函数．【详解】①∵12xy ，∴1122y x x，是反比例函数，符合题意；②3y x ，不是反比例函数，不合题意；③∵55y x，∴1y x，是反比例函数，符合题意；④2ky x（k 为常数，且0k ），是反比例函数，符合题意；是反比例函数的有①③④，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的辨别，熟练掌握反比例函数的形式是解题的关键．y ＝kx(0k )的函数是反比例函数．2．（2021上·江西赣州·九年级统考期末）下列函数：①2y x ，②3y x，③2y x =，④234y x x ，y 是x 的反比例函数的个数有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】2y x 是一次函数，故选项①不符合题意；3y x是反比例函数，故选项②符合题意；2y x =是二次函数，故选项③不符合题意；234y x x 是二次函数，故选项④不符合题意；∴y 是x 的反比例函数的个数有：1个故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解．3．（2022上·八年级课时练习）下列函数，①(2)1x y ②.11y x ③21y x④.12y x⑤2xy ⑥13y x；其中是y 关于x 的反比例函数的有：．【答案】④⑥．【分析】根据反比例函数的定义依次判断后即可解答.【详解】①x （y+2）=1，可化为y=12xx，不是反比例函数；②11y x ，y 与（x+1）成反比例关系；③21y x是y 关于x 2的反比例函数；④12y x符合反比例函数的定义，是反比例函数；⑤2xy 是正比例函数；⑥13y x符合反比例函数的定义，是反比例函数；故答案为④⑥．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解决问题的关键.4．（2022上·全国·九年级统考期末）下列关系式：①13y x ；②67y x ；③1xy ；④51y x ；⑤112y x ，其中y 是x 的反比例函数的为（只填序号）【答案】②③⑤【分析】根据反比例函数解析式的一般形式y ＝kx（k≠0），也可转化为y=kx -1（k≠0）的形式，即可作出判断．【详解】y 是x 的反比例函数的为②③⑤.故答案是：②③⑤.【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的定义.5．（2023下·浙江·八年级专题练习）先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们各属于什么函数．(1)电压为16V 时，电阻R 与电流I 的函数关系；(2)食堂每天用煤1.5t ，用煤总量W （t ）与用煤天数t （天）的函数关系；(3)积为常数m 的两个因数y 与x 的函数关系；(4)杠杆平衡时，阻力为800N ，阻力臂长为5cm ，动力y （N ）与动力臂x （cm ）的函数关系（杠杆本身所受重力不计）．【答案】(1)16I R，故是反比例函数关系(2) 1.5W t ，故是正比例函数关系(3)my x，故是反比例函数关系(4)4000y x，故是反比例函数关系【分析】（1）利用UI R，进而得出答案；（2）利用煤总量W （t ）＝用煤天数t （天） 1.5 ，进而得出答案；（3）利用 xy m ，进而得出答案；（4）动力大小×动力臂＝阻力臂大小×阻力进而求出即可．【详解】（1）16I R，故是反比例函数关系；（2） 1.5W t ，故是正比例函数关系（3）my x，故是反比例函数关系（4）4000y x，故是反比例函数关系【点睛】此题主要考查了正比例和反比例函数的定义，正确得出函数关系式是解题关键．【经典例题三根据反比例函数的定义求参数】1．（2021·广东广州·统考三模）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0无实数根，则反比例函数1m y x的图象可能经过点（）A ．（3，1）B ．（0，3）C ．（﹣3，﹣1）D ．（﹣3，1）【答案】D【分析】由方程根的情况可求得m 的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0无实数根，∴Δ＜0，即（﹣2）2+4m ＜0，解得m ＜﹣1，∴m +1＜0，∴反比例函数1m y x的图象经过二、四象限，∴反比例函数1m y x的图象可能经过点（﹣3，1），故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求得m 的取值范围是解题的关键．2．（2022下·河南开封·八年级统考期中）若函数2m y x的图象在其每一个分支中y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是()A ．2mB ．2m ＜C ．2m D ．2m ＜【答案】D【分析】根据k ＜0，反比例函数的函数值y 在每一个分支中随x 值的增大而增大列出不等式计算即可得解．【详解】解：∵2m y x在其每一个分支中y 的值随x 值的增大而增大，20m ，2m ．故选：D ．【点睛】此题考查反比例函数的性质．解题关键在于掌握反比例函数y=kx，当k ＞0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大．3．（2023下·山西长治·八年级长治市第五中学校校考阶段练习）若点 1A a ，， 3B b ，（其中0b ）都在反比例函数 0ky k x的图象上，则一次函数 1y a b x 中的y 随着x 的增大而（填“增大”或“减小”）．【答案】减小【分析】根据点 1A a ，， 3B b ，在反比例函数图象上，可得03ka kb k ，，，从而可得2033k ka b k，即可得到答案．【详解】解：∵点 1A a ，， 3B b ，（其中0b ）都在反比例函数 0ky k x的图象上，31k ka b，，03ka kb k ，，，2033k k a b k， 一次函数 1y a b x 中的y 随着x 的增大而减小，故答案为：减小．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的特征，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象的特征是解题的关键．4．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为 1,4，顶点C 的坐标为 3,1，若反比例函数ky x的图像与矩形ABCD 有公共点，则k 的值可以是．（写出一个即可）【答案】2（答案不唯一）【分析】根据矩形写出B ，D 两点坐标，然后利用双曲线ky x经过点B ，D 时对应的k 值，从而得到k 的取值范围．【详解】解：∵矩形ABCD 的顶点 1,4A ， 3,1C ，∴ 1,1B , 3,4D ,当双曲线ky x经过点B 时，k 的值最小，此时111k ，当双曲线ky x经过点D 时，k 的值最大，此时3412k ，∴k 的取值范围为112k ．∴k 可以取2故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值k 是解题的关键．5．（2023下·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）根据所学函数知识，解答下列问题：(1)已知函数 124m y m xn ，当m ，n 为何值时，此函数是一次函数？(2)当m 为何值时，函数 43m y m x 是反比例函数，并求当3y 时，x 的值为多少？【答案】(1)2m ，n 为任意实数(2)3m ，2x 【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于m 的不等式组，求出m 的值即可；（2）根据反比例函数的定义列出关于m 的不等式组，求出m 的值，故可得出反比例函数的解析式，再把3y 代入解析式即可得出x 的值．【详解】（1）∵函数 124m y m xn 是一次函数，2011m m 且4n 为任意实数，解得2m ，2m ，n 为任意实数；（2）∵函数 43m y m x是反比例函数，3041m m，解得3m ，反比例函数的解析式为6y x，当3y 时，63x，2x ．【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，反比例函数及一次函数的定义，熟知以上知识是解题的关键．【经典例题四求反比例函数值】1．（2022下·江苏泰州·八年级统考期末）函数132y x 的图像可以由1y x 的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.根据所获信息判断，下列直线中与函数121y x 的图像没有公共点的是（）A ．经过点 0,2且平行于x 轴的直线B ．经过点 0,3 且平行于x 轴的直线C ．经过点 1,0 且平行于y 轴的直线D ．经过点 1,0且平行于y 轴的直线【答案】D【分析】分别计算对应的自变量的值或函数值即可判断．【详解】解：A 、当y =2时，1221x ，解得x =54，故直线y =2与函数121y x 的图像有公共点；B 、当y =-3时，121x =-3，解得x =0，故直线y =-3与函数121y x 的图像有公共点；C 、当x =-1时，15212y x，故直线x =-1与函数121y x 的图像有公共点；D 、分式有意义的条件是x ≠1，∴函数121y x 的图像与直线x =1没有公共点；故选：D ．【点睛】此题考查了求函数值或求自变量的值，分式有意义的条件，正确计算是解题的关键．2．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）已知点 2,4A 在反比例函数ky x（k 为常数，0k ）的图象上，下列各点中，一定在该函数图像上的是（）A ．4,2B ．2,4 C ．2,4 D ．4,2【答案】A【分析】先把点 2,4A 代入反比例函数y kx，求出k 的值，再根据k xy 为定值对各选项进行逐一检验即可．【详解】解：∵点 2,4A 在反比例函数y kx的图象上，∴248k ．A 、∵428 ，∴此点在函数图象上；B 、∵ 2488 ，∴此点不在函数图象上；C 、∵ 2488 ，此点不在函数图象上；D 、∵ 4288 ，此点不在函数图象上．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．3．（2022下·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）已知反比例函数8y x，若2x ，则y 的取值范围是．【答案】4y 或0y 【分析】先求出x =-2时y 的值，根据反比例函数性质得出即可．【详解】解：把x =-2代入8y x得：y =-4，∵8＞0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，图象在第一、三象限，∴当x ≥-2时，函数y 的取值范围是y ≤-4或y ＞0，故答案为：y ≤-4或y ＞0．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．4．（2021·北京石景山·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点 ,A a b 在双曲线1y x上．若a<0，则点A 在第象限．【答案】二【分析】由点A （a ，b ）在双曲线1y x上，可得ab =-1，由a<0可得到点0b 的坐标，进而得出答案．【详解】解：∵点 ,A a b 在双曲线1y x上，∴ab =-1，∵a<0∴0b ∴点A 在第二象限．故答案为：二．【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出0b 是解答此题的关键．5．（2022上·广西桂林·九年级统考期中）已知反比例函数6y x的图像经过点(2,)A m ．(1)求m 的值；(2)当1x 且0x 时，直接写出y 的取值范围．【答案】(1)3(2)当1x 且0x 时，0y 或6y 【分析】（1）将点(2,)A m 代入反比例函数6y x即可求解；（2）根据反比例函数的图像可知，反比函数图像在第二象限和第四象限，由1x 且0x 即可求出图像位置，由此即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数6y x的图像经过点(2,)A m ，∴632y，∴3m ．（2）解：反比例函数6y x的图像如图所示，当1x 且0x 时，在第二象限：0y 或在第四象限：6y ．【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的特点是解题的关键．【经典例题五由反比例函数值求自变量】1．（2021·山西·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，将横纵坐标相等的点称为“好点”，下列函数图像中不存在“好点”的是（）A ．2y xB ．2y xC ．1y xD ．22y x x【答案】B【分析】根据“好点”的概念：当x =y 时，对应的方程有解进行判断即可．【详解】解：A 、当x =y =0时，满足y =2x ，（0，0）为“好点”，该选项不符合题意；B 、不存在横纵坐标相等的“好点”，该选项符合题意；C 、当x =y =1或x =y =﹣1时，满足1y x，（1，1）和（﹣1，﹣1）是“好点”，该选项不符合题意；D 、当x =y =0或x =y =2时，满足22y x x ，（0，0）和（2，2）为“好点”，不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答的关键是熟悉每个函数的图象与性质．2．（2020·四川·统考中考真题）已知函数1(2)2(2)x x y x x，当函数值为3时，自变量x 的值为（）A ．﹣2B ．﹣23C ．﹣2或﹣23D ．﹣2或﹣32【答案】A【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．【详解】解：若x ＜2，当y =3时，﹣x +1=3，解得：x =﹣2；若x ≥2，当y =3时，﹣2x=3，解得：x =﹣23，不合题意舍去；∴x =﹣2，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键3．（2021上·山西·九年级山西实验中学校考阶段练习）观查反比例函数2y x的图象，当2y 时，x 的取值范围是．【答案】x ＜﹣1或x ＞0/x ＞0或x ＜-1【分析】利用函数值找到分界点（-1，-2），根据反比例函数的图象和性质与直线y=-2的位置关系解答即可．【详解】解：∵k ＝2＞0，反比例函数图像位于一三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，∴y =-2时，22x，解得x =-1，∴当y ＞-2时x ＜﹣1或x ＞0，故答案为x ＜﹣1或x ＞0．【点睛】本题重点考查学生对反比例函数图像和性质的理解，掌握反比例函数的图象和性质，以及利用反比例函数与直线y=-2的交点求不等式解集是解题的关键．4．（2021上·九年级课时练习）考察函数2y x的图象，当2x 时，y ；当<2x 时，y 的取值范围是；当1y 时，x 的取值范围是．【答案】110y <2x 或0x 【分析】把2x 代入反比例函数解析式求解即可；根据2y x得到2x y ，再根据<2x 求解即可；（3）根据2y x得到2x y ，再根据1y 求解即可．【详解】解：∵2y x，∴把2x 代入反比例函数解析式得：212y ∵2y x，<2x ∴2x y，0y ∵<2x ，∴22y，解得y ＞-1∴10y ，∵2y x，1y ∴2x y ，x ＞-2，即21x，解得x ≤-2∵当x ＞0时，y ＞0∴当y ＞-1时，<2x 或0x ．【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质、求反比例函数函数值的范围等知识点，熟练掌握并运用相关知识成为解答本题的关键．5．（2020下·广东广州·九年级校考阶段练习）已知22211211a a Q a a a(1)化简Q ．(2)若点 ,Aa a 在反比例函数4y x的图象上，求Q 的值．【答案】(1)2a 1(2)当2a 时，2Q ，当2a 时，23Q ．【分析】（1）先计算括号内的分式的加法，再把除法化为乘法，再约分即可；（2）根据反比例函数的性质先求解a 的值，再代入2a 1进行计算即可．【详解】（1）解：22211211a a Q a a a2222211111aa a a a a212111a a aa a a2211aa aa21a；（2）∵点 ,A a a 在反比例函数4y x的图象上，∴24a ，解得：2a ，当2a 时，原式2221，当2a 时，原式22213．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，反比例函数的性质，掌握分式的混合运算的运算顺序与反比例函数的性质是解本题的关键．【重难点训练】1．（2023上·山东东营·九年级校联考阶段练习）下列函数：①2y x ，②3y x，③1y x ，④21y x =+，⑤11xy ，⑥k y x ，⑦25y x ，⑧1yx．其中y 是x 的反比例函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据反比例的三种形式判断即可．【详解】解：反比例的三种形式分别为：(0)ky k x，()0xy k k ，1(0)y kx k ．①中x 的次数是1，是一次函数，不是反比例函数；②，③是反比例函数；④中分母是1x ，故不是反比例函数；⑤是反比例函数；⑥中没有0k ，故不是反比例函数；⑦分母是2x ，故不是反比例函数；⑧中x 的次数是1，是一次函数，不是反比例函数．故有三个是反比例函数．故选C ．【点睛】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2．（2022上·湖南娄底·九年级期中）现有A 、B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点 ,P x y ，那么他们各掷一次所确定的点P 落在双曲线6y x上的概率为（）A ．19B ．23C ．118D ．16【答案】A【分析】点P 若落在6y x上，则6xy ，可采用列表法确定所有可能情况及满足要求的情况，求得概率．【详解】解：表格列示所有投掷情况如下，小明小莉12345611,11,21,31,41,51,622,12,22,32,42,52,633,13,23,33,43,53,644,14,24,34,44,54,655,15,25,35,45,55,666,16,26,36,46,56,6点P 若落在6y x上，则6xy ．如上表，两人掷的组合情况共有6636 种，其中满足要求的有4种：2,3；3,2；1,6；6,1，故概率为41369；故选：A【点睛】本题考查列举法求概率、反比例函数解析式；运用表格列示所有可能的情况是解题的关键．3．（2022上·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知点 1,6A 在双曲线 0ky k x上，动点P 在y 轴正半轴上，将点A 绕点P 逆时针旋转90°，点A 的对应点为B ，若点B 恰好落在双曲线上，则点P 的坐标为()A ． 0,3B ． 3,0或 4,0C ． 0,2或 0,6D ． 0,3或0,4【答案】D【分析】先把 1,6A 代入反比例函数 0ky k x求出k 的值，分别过A 、B 两点作x 轴的垂线AC ，BD ，由旋转的性质证明APC PBD ≌，再设 0,P m ，即可得出B 的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的积即相等，列方程求m 的值，确定P 点坐标．【详解】解：分别过A 、B 两点作AC y 轴，BD y 轴，垂足为C 、D ，∵ 1,6A 是双曲线 0ky k x上一点，6k ，反比例函数的解析式为6y x，90APB ∵，90APC BPD ，又90APC PAC ，PAC BPD ，在APC 和PBD 中，90PAC BPD ACP PDB AP PB， AAS APC PBD ≌，CP BD ，1AC PD ，设 0,P m ，OP m ,6PC m , 6,1B m m ，∵点B 在双曲线上，616m m，解得3m 或4m ， 0,3P 或 0,4．故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数图象的性质是解答此题的关键．4．（2022上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，点P 在y 轴正半轴上，⊙P 交x 轴于A ，B 两点，连接BP 并延长交⊙P 于C ，且⊙P 的半径为5，AB =4．若函数 0ky x x的图像过C 点，则k 的值是（）A ．4B ．4C ．25D ．4【答案】B【分析】连接AC ，由圆周角定理可知90CAB ，AC AB ，在Rt ACB 中由勾股定理可计算AC 的长；由垂径定理可知12OA AB，进而确定点C 的坐标，最后将点C 坐标代入 0ky x x 即可计算出k 的值．【详解】如图，连接AC∵CB 是直径，225CB BP 由圆周角定理可知90CAB 在Rt CAB △中，由勾股定理可得：22222542AC CB AB，y ∵轴是P 直径所在的直线，且AB y 轴， 由垂径定理可得：122OA ABAB AC∵ 点C 的横坐标2C x OA ，纵坐标2C y AC 2,2C 将 2,2C 代入 0ky x x，解得：4k 故选：B ．【点睛】本题考查了在圆的背景下用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握垂径定理和圆周角定理并能使用数形结合思想解题，是本题的解题关键．5．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数3y x的图象经过 33a m b m ，，，两点，则代数式2227aba b ab的值是（）A ．23B ．23C ．2D ．2【答案】C【分析】根据题意得到333m a，3m b ，从而得到113 a b ，进一步得到3a b ab ，代入变形后的代数式即可求得．【详解】解：∵反比例函数3y x的图象经过33a m b m ，，，两点，333m a，3m b ，∴3333a b ，113a b，3b aab，3a b ab ，22222767ab aba b ab ab ab，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．6．（2023下·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知实数x 、y 满足338x y ，当1x 时，y 的取值范围是．【答案】20y 【分析】由338x y 可得出2xy ，结合x 的取值范围，即可求出y 的取值范围．【详解】解：333()8x y xy ∵，2xy ，2y x．又1x Q ，20y ．故答案为：20y ．【点睛】本题考查了反比例函数，立方根、幂的乘方与积的乘方以及实数大小比较，牢记()n n n ab a b 是解题的关键．7．（2023下·江苏·八年级期末）当m 时，函数 2212mm y m m x 是反比例函数．【答案】1【分析】根据反比例函数定义列出代数式求解即可得到答案．【详解】解：∵ 2212mm y m m x 是反比例函数，∴221120m m m m，解得1m ，故答案为：1．【点睛】本题考查反比例函数定义、解方程及不等式，熟练掌握反比例函数定义，掌握因式分解解方程及不等式是解决问题的关键．8．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，点A 在反比例函数(0)ky k x的图象上，过点A 作y 轴的平行线l ．已知点A 坐标为 2,1，结合函数图象可知，当2x 时，y 的取值范围是．【答案】0y 或1y 【分析】根据题意，求对应直线l 左侧图象函数值的取值范围．【详解】2x 时，对应函数图象在直线l 左侧，两部分，0y 或1y 故答案为：0y 或1y 【点睛】本题考查反比例函数的图象，确定自变量取值范围对应的函数图象部分是解题的关键．9．（2023·山东临沂·统考中考真题）小明利用学习函数获得的经验研究函数22y x x的性质，得到如下结论：①当1x 时，x 越小，函数值越小；②当10x 时，x 越大，函数值越小；③当01x 时，x 越小，函数值越大；④当1x 时，x 越大，函数值越大．其中正确的是（只填写序号）．【答案】②③④【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可．【详解】解：列表，x L 2.5 2 1 0.5 0.512L yL5.45313.754.2535L描点、连线，图象如下，根据图象知：①当1x 时，x 越小，函数值越大，错误；②当10x 时，x 越大，函数值越小，正确；③当01x 时，x 越小，函数值越大，正确；④当1x 时，x 越大，函数值越大，正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，属于中考常考题型．10．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x ，y 满足224,4x y t y x t 且x y （t 为常数），则称点(,)M x y 为“和谐点”．（1）若(3,)P m 是“和谐点”，则m ．（2）若双曲线(31)ky x x存在“和谐点”，则k 的取值范围为．【答案】734k 【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到224,433m t m t ，整理得到24210m m ，解得2137,m m （不合题意，舍去），即可得到答案；（2）设点 ,a b 为双曲线(31)ky x x上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到 40a b a b ，由a b ¹得到40a b ，则4b a ，由(31)k b a a进一步得到 224k a ，且31a ，根据二次函数的图象和性质即可得到k 的取值范围．【详解】解：（1）若(3,)P m 是“和谐点”，则224,433m t m t ，则22,3412m t m t ，∴223124m m ，即24210m m ，解得2137,m m （不合题意，舍去），∴7m ，故答案为：7（2）设点 ,a b 为双曲线(31)ky x x上的“和谐点”，∴224,4b t b a t a ，(31)kb a a，即2244a a b b ，∴ 40a b a b a b ，则 40a b a b ，∵a b ¹，∴40a b ，即4b a ，∵(31)kb a a，∴ 224424k ab a a a a a ，且31a ，对抛物线 224k a 来说，∵10 ，∴开口向下，当1a 时， 21243k ，当3a 时， 23243k ，∵对称轴为2a ，31a ，∴当2a 时，k 取最大值为4，∴k 的取值范围为34k ，故答案为：34k 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识，读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．11．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）已知：122y y y ，并且1y 与x 成正比例，2y 与(2)x 成反比例，且当2x 时，7y ，当3x 时，13y ，求y 与x 之间的函数解析式．【答案】432y x x【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设11y k x ，222k y x则1222x x k k y ，然后利用待定系数法即可求得；【详解】∵1y 与x 成正比例，2y 与(2)x 成反比例，∴设11y k x ，222k y x，∴1212222k k y y x y x，∵当2x 时，7y ，当3x 时，13y ，∴212122722231332k k k k，解得1232k k ，∴y 与x 之间的函数解析式为432y x x．12．（2023上·安徽合肥·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如 1,1 ， 2023,2023 都是“黎点”．(1)求双曲线9y x上的“黎点”；(2)若抛物线27y ax x c （a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，当1a 时，求c 的取值范围．【答案】(1) 3,3 或 3,3 ；(2)09c 【分析】（1）设双曲线9y x上的“黎点”为 ,m m ，构建方程求解即可；（2）抛物线27y ax x c （a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程 270ax x c x a 有且只有一个解，3640ac ，可得结论．【详解】（1）解：设双曲线9y x上的“黎点”为 ,m m ，则有9m m，解得3m ，∴9y x上的“黎点”为 3,3 ， 3,3 ．（2）解：∵抛物线27y ax x c 上有且只有一个“黎点”，∴方程 270ax x c x a 有且只有一个解，即260ax x c ，3640ac ，9ac ，∴9a c．∵1a ，∴09c ．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．13．（2023上·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）已知ABC 的三个顶点为 1,1A 、 1,3B 、 3,3C ，将ABC 向右平移m （0m ）个单位后成111A B C △，此时111A B C △某一边的中点恰好落在反比例函数3y x的图像上，求m 的值．【答案】m 的值为4或0.5【分析】求出各边的中点坐标，将其纵坐标代入3y x，求出平移后的横坐标，进而可求出m 的值．【详解】解①∵点A 的坐标为 1,1 ，点B 的坐标为 1,3 ，∴AB 中点坐标为 1,1 ．在3y x中，当1y 时，3x ，故 314m ；②∵点A 的坐标为 1,1 ，点C 的坐标为 3,3 ，∴AC 中点坐标为 2,2 ，在3y x 中，当=2y 时， 1.5x ，故 1.520.5m ；③∵点B 的坐标为 1,3 ，点C 的坐标为 3,3 ，∴BC 中点坐标为 2,0 ，。
中考压轴题-反比例函数综合(八大题型+解题方法)—冲刺2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)
中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明 题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合 题型4：动态问题、新定义综合 题型5：定值问题 题型6：取值范围问题 题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状 【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积， 设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△， 解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形． 理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+， 当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式； （2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ， 由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−， 可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠， 又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+： 令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)， 当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可． （3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−， 故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）； 故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−； 当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=， 方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解． 【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−， 故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+， 函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<， 函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案； （2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①； （2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=； 当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=， 解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0， 设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜， 解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭； 当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”； 综上，“强基函数”为21122y x x =+−． 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______． 【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=， 解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中， 得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '， 得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤， 即62421x x −+≤−++， 当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >， 即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△， 即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+， 把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=， 设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=， 解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3） 解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”， 故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+； （3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+， 解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______； （2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】 解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，； （2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。
初二数学人教版(下册)反比例函数典型例题汇总(附答案)
例 下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）3x y -=；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.81=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）．说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，xky =)0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式，（4），（5）就是这两种形式．反比例函数的典型例题二例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）；(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）；(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）；(9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 （ ）； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）． 答：说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义．例 已知反比例函数62)2(--=a xa y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式．分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为62)2(--=ax a y 是反比例函数，且y 随x 的增大而减小，所以⎩⎨⎧>--=-.02,162a a 解得⎩⎨⎧>±=.2,5a a所以5=a ，解析式为xy 25-=．反比例函数的典型例题四例 （1）若函数22)1(--=mx m y 是反比例函数，则m 的值等于（ ）A ．±1B ．1C ．3D ．－1（2）如图所示正比例函数0(>=k kx y ）与反比例函数xy 1=的图像相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ．若ABC ∆的面积为S ，则：A ．1=SB ．2=SC ．3=SD ．S 的值不确定解：（1）依题意，得⎩⎨⎧-=-≠-,12,012m m 解得1-=m ．故应选D ． （2）由双曲线x y 1=关于O 点的中心对称性，可知：O BC O BA S S ∆∆=． ∴12122=⋅=⨯⨯==∆AB OB AB OB S S OBA ．故应选A ．例 已知21y y y +=，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，当1=x 时，4=y ；当3=x 时，5=y ，求1-=x 时，y 的值．分析 先求出y 与x 之间的关系式，再求1-=x 时，y 的值．解 因为1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，所以)0(,212211≠==k k xk y x k y ． 所以xkx k y y y 2121+=+=．将1=x ，4=y ；3=x ，5=y 代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.5313,42121k k k k 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.821,81121k k 所以xx y 821811+=． 所以当1-=x 时，4821811-=--=y ． 说明 不可草率地将21k k 、都写成k 而导致错误，题中给出了两对数值，决定了21k k 、的值．反比例函数的典型例题六例 根据下列表格x 与y x …… 1 2 3 456 …y…6 3 2 1.5 1.2 1 …（1x 的取值范围． 解：（1）图像如右图所示． （2）根据图像，设)0(≠=k xky ，取6,1==y x 代入，得16k=． ∴6=k ．∴函数解析式为)0(6>=x xy ． 说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性．反比例函数的典型例题七例（1）一次函数1+-=x y 与反比例函数xy 3=在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）（2）一次函数12--=k kx y 与反比例函数xky =在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ）解：1+-=x y 的图像经过第一、二、四象限，故排除B 、C ；又xy 3=的图像两支在第一、三象限，故排除D ．∴答案应选A ．（2）若0>k ，则直线)1(2+-=k kx y 经过第一、三、四象限，双曲线xky =的图像两支在第一、三象限，而选择支A 、B 、C 、D 中没有一个相符；若0<k ，则直线)1(2+-=k kx y 经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有C 正确．应选C ．例 已知函数24231-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=mx m y 是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，求反比例函数的解析式．解：因为y 是x 的反比例函数，所以1242-=-m ，所以21=m 或.21-=m 因为此函数图像在每一象限内，y 随x 的增大而减小，所以031>+m ，所以31->m ，所以21=m ，所以反比例函数的解析式为.65xy = 说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数xky = )0(≠k ，当0>k 时，y 随x 增大而减小，当0<k 时，y 随x 增大而增大．例 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米． （1）写出用高表示长的函数关系式； （2）写出自变量x 的取值范围； （3）当3=x 厘米时，求y 的值； （4）画出函数的图像．分析 本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式． 解 （1）因为长方体的长为y 厘米，宽为5厘米，高为x 厘米， 所以1005=xy ，所以xy 20=． （2）因为x 是长方体的高．所以0>x ．即自变量x 的取值范围是0>x ． （3）当3=x 时，326320==y （厘米） （4x … 0.525 1015…y … 40 10 4 2 311 …描点画图如图所示．例 已知力F 所作用的功是15焦，则力F 与物体在力的方向通过的距离S 的图象大致是（ ）．说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系．解 据S F W ⋅=，得15=S F ⋅，即SF 15=，所以F 与S 之间是反比例函数关系，故选（B ）．例 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.32如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是Pa 200，翻过来放，对桌面的压强是多少？解：由物理知识可知，压力F ，压强p 与受力面积S 之间的关系是.SFp =因为是同一物体，F 的数值不变，所以p 与S 成反比例． 设下底面是0S ，则由上底面积是032S ， 由SFp =，且0S S =时，200=p ， 有.20020000S S pS F =⨯==因为是同一物体，所以0200S F =是定值．所以当032S S =时，).Pa (3003220000===S S SF p因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300帕．说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的．例 如图，P 是反比例函数xky =上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式．分析 求反比例函数的解析式，就是求k 的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解．解 设P 点坐标为),(y x ．因为P 点在第二象限，所以0,0><y x ． 所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为y x ,-．又2=-xy ，所以2-=xy ．因为xy k =，所以2-=k ． 所以这个反比例函数的解析式为xy 2-=． 说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于xk y =中的k ．例 当n 取什么值时，122)2(-++=n n x n n y 是反比例函数？它的图像在第几象限内？在每个象限内，y随x 增大而增大还是减小？分析 根据反比例函数的定义)0(≠=k x k y 可知，122)2(-++=n n x n n y 是反比例函数，必须且只需022≠+n n 且112-=-+n n ．解 122)2(-++=n n xn n y 是反比例函数，则⎪⎩⎪⎨⎧-=-+≠+,11,0222n n n n ∴⎩⎨⎧-==-≠≠.10,20n n n n 或且即 1-=n ．故当1-=n 时，122)2(-++=n nx n n y 表示反比例函数：xy 1-=． 01<-=k ，∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．11。
反比例函数题型总结
反比例函数知识点整理一、 反比例函数的概念1、解析式：()0≠=k xk y 其他形式：①k xy = ②1-=kx y例1．下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y =（2）x y 2-=（3）xy ＝21（4）25+=x y（5）xy 23-=（6）31+=xy （7）y ＝x －4例2.当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？例3．若函数22)12(--=m xm y 是反比例函数，且它的图像在第二、四象限，则m 的值是___________例4．已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5 （1） 求y 与x 的函数关系式（2） 当x ＝－2时，求函数y 的值2.反比例函数图像上的点的坐标满足：k xy =例1．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为例2．下列函数中，图像过点M （-2，1）的反比例函数解析式是( )xy A 2.=2.B y x=- xy C 21.= xy D 21.-=例3.如果点（3，－4）在反比例函数的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（ ）A .（3,4）B . （－2，－6）C .（－2，6）D .（－3，－4）例 4.如果反比例函数xk y =的图象经过点（3，－1），那么函数的图象应在（ ）A ． 第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限 二、反比例函数的图像与性质 1、基础知识0>k 时，图像在一、三象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而减小；0<k 时，图像在二、四象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而增大；例1.已知反比例函数，当时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式例2．已知反比例函数xk y 12+=的图象在每个象限内函数值y随自变量x 的增大而减小，且k 的值还满足)12(29--k ≥2k －1，若k 为整数，求反比例函数的解析式2、面积问题（1）三角形面积：k S AOB 21=∆例1.如图，过反比例函数xy 1=（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定例2.如图，点P 是反比例函数x y 1=的图象上任一点，PA 垂直在x 轴，垂足为A ，设OAP ∆的面积为S ，则S 的值为例3．直线OA 与反比例函数的图象在第一象限交于A 点，AB ⊥x 轴于点B ，若△OAB 的面积为2，则k ＝.例4．如图，若点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，A M x ⊥轴于点M ，A M O △的面积为3，则k = ．例5．如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445O A A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数的()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455O P A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 . 例6．如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S > （2）矩形面积：k=OBAC S 矩形例1．如图，P 是反比例函数(0)k yk x=<图象上的一点，由P 分别向x 轴和y 轴引垂线，阴影部分面积为3，则k= 。
反比例函数基本知识点题型梳理
反比例函数基本知识点题型梳理知识点1 反比例函数的定义一般地,形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式:①xky =(0k ≠)； ②1kx y -=（0k ≠）; ③k y x =⋅(定值）(0k ≠）； ⑸函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠)是等价的,所以当y 是ｘ的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
注：(k 为常数,0k ≠）是反比例函数的一部分,当k=０时,xky =,就不是反比例函数了,由于反比例函数xky =（0k ≠）中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
(6）“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x ky =中的两个变量必成反比例关系。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值,就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法反比例的画法分三个步骤:⑴列表；⑵描点;⑶连线。
注意：①列表时选取的数值宜对称选取;②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;③连线时,必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接,切忌画成折线;④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠) k 的符号0k > 0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内，ｙ随x 的增大而减小。
中考数学压轴题之反比例函数(中考题型整理,突破提升)及详细答案
则
，
解得
．
故直线 AP 的函数关系式为 y=x+3，
则点 C 的坐标（0，3），OC=3，
∴ S△ AOP=S△ AOC+S△ POC
= OC•AR+ OC•PS
又∵ 点 F 在反比例函数
（k＞0）的图象上，∴ k=12，
∴ 该函数的解析式为 y= （x＞0）
（2）解：由题意知 E，F 两点坐标分别为 E（ ，4），F（6，
∴ 当 k=12 时，S 有最大值．S 最大=3
【解析】【分析】）当 F 为 AB 的中点时，点 F 的坐标为（3，1），由此代入求得函数解
C 与 D 横纵坐标乘积相等，求出 b 的值确定出 B 坐标，进而求出 k 的值，确定出双曲线解 析式；（3）抓住两个关键点，将 A 坐标代入双曲线解析式求出 b 的值；将 C 坐标代入双 曲线解析式求出 b 的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时 b 的范围．
5．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A（3，3），把直线 OA 向下平移后， 与反比例函数的图象交于点 B（6，m），与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点．
（1）求 m 的值； （2）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式； （3）若点 E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积 S1
， 是四边
形 OACD 面积 S 的 ？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵ 反比例函数的图象都经过点 A（3，3），
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一利用反比例函数增减性比较大小
K>0,__________________________________________
K<0,_________________________________________
1 若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则m _________ n（填“＞”“＜”或“=”号）．
思考：把（-1，m)换成（1，m)呢？
2 在反比例函数
21
a
y
x
+
=-
的图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、
（x3，y3），若x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是（）
A、y3>y1>y2
B、y3>y2>y1
C、y1>y2>y3
D、y1>y3>y2
3 若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数y=-2/x图像上的两个点，且a1<a2,
则b1与b2的大小关系是___________
二反比例函数与一次函数、二次函数
1 已知直线y=ax（a≠0）与双曲线y=（k≠0）的一个交点坐标为（2，6），
则它们的另一个交点坐标是( )
A、（﹣2，6）
B、（﹣6，﹣2）
C、（﹣2，﹣6）
D、（6，2）
2 已知一次函数y=kx﹣k与反比例函数
在同一直角坐标系中的大致图
象是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
3 二次函数y=ax2+b与反比例函数
y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
4 已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+
与反比例函数y= 在同一坐标系内的大致图象是（）
A、B、C、D、
三、K的几何意义
1 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB ⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是_____（三角形PAO和三角形PBO的面积都
是______）．
2 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为_______．
3 如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．
A．B．C．D．
4 如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x
轴，△ABC的面积S，则（）．
A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2
35（2017·衢州）如图，在直角坐标系中，点A在函数的图象上，
AB⊥轴于点B，AB的垂直平分线与轴交于点C，与函数的图象
交于点D。
连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）
A、 2
B、
C、4
D、
6 （2017•枣庄）如图，反比例函数y= 的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为________．
四、数形结合，求范围
1 （2011•淮安）如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，﹣2）．则当x＞1时，函数值y的取值范围是（）
A、y＞1
B、0＜y＜l
C、y＞2
D、0＜y＜2
思考：当X>-1时呢？
2 如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A （，1），B（1，n）．
①求反比例函数和一次函数的解析式；
②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
3 （2017•宁波）如图，正比例函数的图象与反比例函
数的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12．
(1)求k的值；
(2)根据图象，当时，写出自变量的取值范围．。