多元线性回归
多元线性回归方法
多元线性回归方法
多元线性回归是一种统计模型，用于建立多个自变量和一个因变量之间的关系。
它是简单线性回归在多个自变量情况下的扩展。
多元线性回归的数学模型为：
Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βp*Xp + ε
其中，Y是因变量，X1, X2, ..., Xp是自变量，β0, β1, β2, ..., βp是回归系数，ε是随机误差。
多元线性回归的求解通常使用最小二乘法，通过最小化误差平方和的方式来估计回归系数。
多元线性回归的步骤包括：
1. 收集数据：收集因变量和自变量的实际观测值。
2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、异常值处理等。
3. 模型选择：根据实际情况选择合适的自变量。
4. 估计回归系数：使用最小二乘法估计回归系数。
5. 模型拟合：利用估计的回归系数构建多元线性回归模型。
6. 模型评估：根据一些统计指标，如R方值、调整R方值、F统计量等，来评估模型的拟合效果。
7. 模型预测：利用构建的回归模型进行新样本的预测。
多元线性回归在实际中广泛应用于预测和建模，可以用于探究自变量对因变量的影响程度以及自变量之间的相互关系。
计量经济学-多元线性回归模型
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
多元线性回归
回归分析中两个或两个以上的自变量
01 概念
03 估计方法
目录
02 公式 04 相关的软件
在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相 联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合 实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用往受到多个因素的影响，因此，一般要进行多元回归分析，我们把包括两个或两个以 上自变量的回归称为多元线性回归 。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般 在实际中应用时都要借助统计软件。这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。
谢谢观看
估计方法
1.普通最小二乘法 普通最小二乘法(Ordinary Least Square, OLS)通过最小化误差的平方和寻找最佳函数。通过矩阵运算求 解系数矩阵： 2.广义最小二乘法 广义最小二乘法(Generalized Least Square)是普通最小二乘法的拓展，它允许在误差项存在异方差或自 相关，或二者皆有时获得有效的系数估计值。公式如右， 图1..广义最小二乘法公式 其中，Ω是残差项的协方差矩阵。
相关的软件
SPSS（Statistical Package for the Social Science）－－社会科学统计软件包是世界著名的统计分析 软件之一。20世纪60年代末，美国斯坦福大学的三位研究生研制开发了最早的统计分析软件SPSS，同时成立了 SPSS公司，并于1975年在芝加哥组建了SPSS总部。20世纪80年代以前，SPSS统计软件主要应用于企事业单位。 1984年SPSS总部首先推出了世界第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+，开创了SPSS微机系列产品的开发方向， 从而确立了个人用户市场第一的地位。同时SPSS公司推行本土化策略，已推出9个语种版本。SPSS/PC+的推出， 极大地扩充了它的应用范围，使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域，世界上许多有影 响的报刊杂志纷纷就SPSS的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价与称 赞。已经在国内逐渐流行起来。它使用Windows的窗口方式展示各种管理和分析数据方法的功能，使用对话框展 示出各种功能选择项，只要掌握一定的Windows操作技能，粗通统计分析原理，就可以使用该软件为特定的科研 工作服务。
多因变量的多元线性回归课件
contents
目录
• 引言 • 多因变量的多元线性回归模型 • 多因变量的多元线性回归的评估指标 • 多因变量的多元线性回归的实例分析 • 多因变量的多元线性回归的优缺点与改
进方向 • 多因变量的多元线性回归在实际应用中
的注意事项
01
引言
多元线性回归的定义与背景
多元线性回归的定义
模型选择
根据实际问题和数据特点，选择合适的多元线性回归模型，如普通多元线性回 归、岭回归、Lasso回归等。
评估指标选择
选择合适的评估指标对模型进行评估，如均方误差（MSE）、均方根误差（ RMSE）、决定系数（R^2）等。
模型解释与应用场景
模型解释
对选定的多元线性回归模型进行详细解释，包括模型的假设条件、参数意义、适 用范围等方面。
改进方向
验证假设
在应用多元线性回归之前，需要对假设条件 进行验证，确保满足条件。
引入其他模型
如果多元线性回归不适用，可以考虑引入其 他模型，如支持向量机、神经网络等。
降维处理
如果自变量数量过多，可以考虑进行降维处 理，减少计算复杂度。
数据预处理
对数据进行预处理，如缺失值填充、异常值 处理等，以提高回归结果的准确性。
岭回归
当自变量之间存在多重共 线性时，可以使用岭回归 来估计模型的参数。
模型的假设检验
01
02
03
04
线性性检验
检验自变量和因变量之间是否 存在线性关系。
共线性检验
检验自变量之间是否存在多重 共线性。
异方差性检验
正态性检验
检验误差项是否具有相同的方 差。
检验误差项是否服从正态分布。
多元线性回归模型检验
多元线性回归模型检验引言多元线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个或多个自变量对目标变量的影响。
在应用多元线性回归前，我们需要确保所建立的模型符合一定的假设，并进行模型检验，以保证结果的可靠性和准确性。
本文将介绍多元线性回归模型的几个常见检验方法，并通过实例进行说明。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式可以表示为：$$Y = \\beta_0 + \\beta_1X_1 + \\beta_2X_2 + \\ldots + \\beta_pX_p +\\varepsilon$$其中，Y为目标变量，$X_1,X_2,\\ldots,X_p$为自变量，$\\beta_0,\\beta_1,\\beta_2,\\ldots,\\beta_p$为模型的回归系数，$\\varepsilon$为误差项。
多元线性回归模型的目标是通过调整回归系数，使得模型预测值和实际观测值之间的误差最小化。
二、多元线性回归模型检验在进行多元线性回归分析时，我们需要对所建立的模型进行检验，以验证假设是否成立。
常用的多元线性回归模型检验方法包括：1. 假设检验多元线性回归模型的假设包括：线性关系假设、误差项独立同分布假设、误差项方差齐性假设和误差项正态分布假设。
我们可以通过假设检验来验证这些假设的成立情况。
•线性关系假设检验：通过F检验或t检验对回归系数的显著性进行检验，以确定自变量与目标变量之间是否存在线性关系。
•误差项独立同分布假设检验：通过Durbin-Watson检验、Ljung-Box 检验等统计检验，判断误差项是否具有自相关性。
•误差项方差齐性假设检验：通过Cochrane-Orcutt检验、White检验等统计检验，判断误差项的方差是否齐性。
•误差项正态分布假设检验：通过残差的正态概率图和Shapiro-Wilk 检验等方法，检验误差项是否满足正态分布假设。
2. 多重共线性检验多重共线性是指在多元线性回归模型中，自变量之间存在高度相关性的情况。
预测算法之多元线性回归
预测算法之多元线性回归多元线性回归是一种预测算法，用于建立多个自变量与因变量之间的关系模型。
在这种回归模型中，因变量是通过多个自变量的线性组合进行预测的。
多元线性回归可以用于解决各种问题，例如房价预测、销售预测和风险评估等。
多元线性回归的数学表达式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是相应的回归系数，ε是误差项。
多元线性回归的主要目标是找到最佳的回归系数，以最小化预测误差。
这可以通过最小二乘法来实现，最小二乘法是一种优化方法，可以最小化实际值与预测值之间的误差平方和。
多元线性回归可以有多种评估指标，以衡量模型的拟合程度和预测效果。
其中，最常用的指标是R平方（R2），它表示因变量的变异中可以被自变量解释的比例。
R平方的取值范围在0和1之间，越接近1表示模型越好地解释了数据的变异。
多元线性回归的模型选择是一个关键问题，尤其是当面对大量自变量时。
一个常用的方法是通过逐步回归来选择最佳的自变量子集。
逐步回归是一种逐步加入或剔除自变量的方法，直到找到最佳的模型。
在应用多元线性回归进行预测时，需要注意以下几个方面。
首先，确保所有自变量和因变量之间存在线性关系。
否则，多元线性回归可能无法得到准确的预测结果。
其次，需要检查自变量之间是否存在多重共线性问题。
多重共线性会导致回归系数的估计不可靠。
最后，需要通过交叉验证等方法来评估模型的泛化能力。
这样可以确保模型对新数据具有较好的预测能力。
总结起来，多元线性回归是一种强大的预测算法，可以用于建立多个自变量与因变量之间的关系模型。
通过合理选择自变量和优化回归系数，可以得到准确的预测结果，并帮助解决各种实际问题。
但是，在应用多元线性回归时需要注意问题，如线性关系的存在、多重共线性问题和模型的泛化能力等。
多元线性回归 名词解释
多元线性回归名词解释多元线性回归（MultipleLinearRegression）是一种统计学模型，主要用来分析自变量和因变量之间的关系，它可以反映出某一种现象所依赖的多个自变量，从而更好地分析和捕捉它们之间的关系。
它是回归分析法的一种，是以线性方程拟合多个自变量和一个因变量之间的关系，是统计分析中用来探索和预测因变量之间自变量的变化情况的常用方法之一。
例如，可以利用多元线性回归来分析教育水平，收入水平和住房价格之间的关系，以及社会状况下的因素对收入水平的影响等等。
多元线性回归有两种形式：一种是多元普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS），另一种是多元最小平方根法（Root Mean Square）。
多元普通最小二乘法是将解释变量和因变量之间的关系用线性函数来拟合，从而求解最优模型参数；而多元最小平方根法是将解释变量和因变量之间的关系用一条曲线来拟合，从而求解最优模型参数。
多元线性回归可以用于描述一个变量与多个自变量之间的关系，并可以用来预测一个变量的变化情况。
它的优势在于可以计算出各自变量对因变量的相对贡献度，从而更有效地分析它们之间的关系，以及对复杂的数据更好地进行预测。
然而，多变量线性回归也存在一些缺点，其中最常见的是异方差假设，即解释变量和因变量之间观察值的方差相等。
此外，多元线性回归也受到异常值的干扰，存在多重共线性现象，可能引发过拟合或欠拟合等问题。
因此，在使用多元线性回归时，应该遵循良好的统计原则，如检验异方差假设、检验异常值以及检验多重共线性等，这样才能更准确地预测和分析数据。
总之，多元线性回归是一种分析多个自变量与一个因变量之间关系的统计学模型，可以有效地检验假设，从而预测和分析数据。
它可以反映出某一种现象所依赖的多个自变量，从而更好地分析和捕捉它们之间的关系。
它也有许多缺点，应该遵循良好的统计原则，如检验异方差假设、检验异常值以及检验多重共线性等，以准确地预测和分析数据。
2.1 多元线性回归
(Yi Y )
TSS
2
2 ( Y Y ) ( Y Y ) i i i 2
RSS n-k
ESS k -1
总离差平方和 ＝ 残差平方和 ＋回归平方和 自由度： n-1
对以上自由度分解的说明
TSS
Y Y
i
2
1 受Y Yi 一个方程的约束, 所以df n
X X
11 12
X X
21 22
X X
X
1n
X
2n
k2 X kn
k1
5
参数的最小二乘估计
与简单回归类似，我们寻求参数B0、B1、B2和Bp的适
宜估计数值b0、b1、b2和bp,，使实际观察值和回归 方程估计值之间残差平方和最小，
即Q＝
(yi －ŷi)2
第二章 统计分析
2.1 多元线性回归与Logistic回归
Ⅰ 多元线性回归
1
多元线性回归
多元线性回归是简单线性回归的直接推广，其包含一
个因变量和二个或二个以上的自变量。
简单线性回归是研究一个因变量（Y）和一个自变量
（X）之间数量上相互依存的线性关系。而多元线性回 归是研究一个因变量（Y）和多个自变量（Xi）之间数 量上相互依存的线性关系。
2
T
n 1
2
RSS Y Y Y ( 1 2 X 2i ... k X ki ) e e 而 ,..., 由 0,....., 0方程求出，共有k 个方程
i i 2 i 2 i 1 k
多元线性回归
ˆ0 ei ˆ1 ei X1i ˆk ei X ki Y ei
=0
所以有：
TSS (Yi Yˆi )2
(Yˆi
2
Y)
RSS
ESS
注意：一个有趣的现象
Yi Y Yi Yˆi Yˆi Y
Yi
Y
2
Yi Yˆi
2
Yˆi
Y
2
Yi Y 2
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X Ki i=1,2…n
• 根据最 小二乘原 理，参数 估计值应
该是右列
方程组的 解
ˆ
0
Q
0
ˆ1
Q
0
ˆ
2
Q
0
ˆ k
Q
0
n
n
其 Q ei2 (Yi Yˆi )2
中
i 1
n
i 1
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
1 X 12 Xk2
1 Y1
X 1n Y2
X kn
Yn
即
(XX)βˆ XY
由于X’X满秩，故有 βˆ (XX)1 XY
17
用含两个解释变量的矩阵形式来表示X’X：
1 1
X X
11
X X 21
12
22
1
XX XX 1
1
X 13
X X X 23
1
11 12
1n
21
20
XY
1 X1
1 X2
Y1
1 X n
Y2 Yn
Yi X iYi
3914506608877424091000
可求得：
多元线性回归
多元线性回归方程
Y=a+b1X1+b2X2+…+bkXk
自变量
自变量是指研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件，因此 自变量被看作是因变量的原因。自变量有连续变量和类别变量之分。如果实 验者操纵的自变量是连续变量，则实验是函数型实验。如实验者操纵的自变 量是类别变量，则实验是因素型的。 在心理实验中，自变量是由实验者操纵、掌握的变量。自变量一词来自数 学。在数学中，y=f（x）。在这一方程中自变量是x，因变量是y。将这个方 程运用到心理学的研究中，自变量是指研究者主动操纵，而引起因变量发生 变化的因素或条件，因此自变量被看作是因变量的原因。自变量有连续变量 和类别变量之分。如果实验者操纵的自变量是连续变量，则实验是函数型实 验。如实验者操纵的自变量是类别变量，则实验是因素型的。在心理学实验 中，一个明显的问题是要有一个有机体作为被试（符号O）对刺激（符号S） 作反应（符号R），即S－O—R。显然，这里刺激变量就是自变量。
多元回归分析数据格式
例号 X1 1 X11 2 X21 ┇ ┇ n Xn1 X2 … X m X12 X22 ┇ Xn2 … … … … X1m X2m ┇ Xnm Y Y1 Y2 ┇ Yn
条件
(1)Y 与X1 , X2 ,…, Xm 之间具有线性关系。 (2)各例观测值Yi (i = 1,2,,n)相互独立。 (3)残差 e服从均数为 0﹑方差为σ2 的正态分布，它等价于对任意 一组自变量X1 , X 2,…, Xm 值，应变量 Y 具有相同方差，并且服从正态 分布。
10个50mL的容量瓶中分别加人不 同体积的Ca2+、Mg2+标准溶液 (所加入的体积数由计算机随机函数计算得到 )，2.00 mLHg(Ⅱ)一 EDTA溶液，5.0rnL的三乙醇溶液和1mLNa2S溶液，用水稀释至刻度。 溶液转入电解池后插入电极，用EDTA标准溶液滴定并记录滴定曲线。
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建立回归方程的思路是：回归方程中的因变量和各自变量都采用实际生产操作中能够测定的参数(如连铸机结晶器高度和钢种)以及需要被控制的参数(如连铸机拉速和结晶器锥度变化等)，使方程能够直接反映生产操作参数对被控制量的影响，且便于方程在实际生产中使用；影响的自由度，减小因变量的置信区域，从而增大预测和控制的准确性，同时使方程较为简单，便于使用。
从连铸的生产操作来看，在其现场实际操作中，影响结晶器调宽速度的因素很多，如拉速、结晶器高度、调宽距离、钢种的平均凝固系数、结晶器锥度变化量、θtan 的大小等。
本文以拉速、结晶器高度、调宽距离、钢种的平均凝固系数、结晶器锥度变化量、θtan 的大小六个参数作为自变量，以结晶器最大调宽速度作为因变量建立回归方程，寻找这些操作参数与调宽速度之间的影响关系。
本文经过一定分析后构建了下面的方程作为回归计算的起始方程：εθ+∆+++++∆+=S b b K b H b V b B b b V S c m 6543210tan （1.1） 式中： m V --------------最大调宽速度，min mm ；B ∆-------------调宽距离，mm ；c V ---------------拉速，min m ；H ---------------结晶器高度，mm ；s K ---------------钢液凝固系数，21min mm ；S ∆---------------结晶器锥度变化，mm ；ε----------------系统误差；0b 、654321b b b b b b 、、、、、为回归系数。
回归方程的建立 、对该钢厂生产数据中的20组数据进行回归分析处理。
从方程(1.1)开始采用逐步回归法寻找“最优”回归方程。
由于本问题涉及的数据是7维的，不能画图观察。
首先做异常值分析。
利用matlab中的mahal函数来判断，最终结果可以认为数据都是正常的。
然后做一般多元回归。
在Matlab软件包中写一个M—文件opt_cement_1:n=60;m=6;y=[15 28.75 60 20 18 36 26 40 50 15 28.75 60 20 18 36 26 40 50 15 28.75 60 45 52 48 48 55 38 42 36 32 29 25 55 48 35 16 65 38 26 50 60 45 52 48 48 55 38 42 36 32 29 25 55 48 35 16 65 38 26 50 ];x1=[100 100 150 110 130 120 100 135 150 100 100 150 110 130 120 100 135 150 100 100 150 140 152 148 148 156 136 140 125 120 110 120 150 140 130 100 148 130 100 148 150 140 152 148 148 156 136 140 125 120 110 120 150 140 130 100 148 130 100 148];x2=[1.3 2.1 2.5 1.5 1.4 2.0 1.8 2.3 2.3 1.3 2.1 2.5 1.5 1.4 2.0 1.8 2.3 2.3 1.3 2.1 2.5 2.4 2.4 2.3 2.4 2.4 2.3 2.4 2.3 2.2 2.5 2.2 2.4 2.4 2.3 1.8 2.5 2.5 2.3 2.4 2.5 2.4 2.4 2.3 2.4 2.4 2.3 2.4 2.3 2.2 2.5 2.2 2.4 2.4 2.3 1.8 2.5 2.5 2.3 2.4];x3=[900 750 700 850 1000 850 840 850 800 900 750 700 850 1000 850 840 850 800 900 750 700 750 800 750 800 720 820 860 900 850 700 900 750 800 980 850 700 850 800 750 700 750 800 750 800 720 820 860 900 850 700 900 750 800 980 850 700 850 800 750];x4=[20 20 21 20 20 21 20 21 20 20 20 21 20 20 21 20 21 20 20 20 20 21 22 22 23 22 22 23 22 24 22 23 23 24 23 21 23 24 23 24 20 21 22 22 23 22 22 23 22 24 22 23 23 24 23 21 23 24 23 24];x5=[0.06 0.08 0.06 0.08 0.07 0.07 0.08 0.06 0.07 0.06 0.08 0.06 0.08 0.07 0.07 0.08 0.06 0.07 0.06 0.08 0.07 0.08 0.09 0.06 0.08 0.07 0.09 0.08 0.07 0.08 0.08 0.09 0.09 0.08 0.06 0.08 0.09 0.08 0.07 0.08 0.07 0.08 0.09 0.06 0.08 0.07 0.09 0.08 0.07 0.08 0.08 0.09 0.09 0.08 0.06 0.08 0.09 0.08 0.07 0.08];x6=[0.7 0.6 0.8 0.75 0.6 0.75 0.8 0.75 0.7 0.7 0.6 0.8 0.75 0.6 0.75 0.8 0.75 0.70.7 0.6 0.8 0.9 0.98 1.0 1.2 0.88 0.95 0.96 0.9 1.2 0.89 0.96 0.78 1.0 1.2 0.9 0.80 0.961.1 0.9 0.8 0.9 0.98 1.0 1.2 0.88 0.95 0.96 0.9 1.2 0.89 0.96 0.78 1.0 1.2 0.9 0.8 0.96 1.1 0.9];X=[ones(n,1),x1',x2',x3',x4',x5',x6'];[b,bint,r,rint,s]=regress(y',X);s2=sum(r.^2)/(n-m-1);b,bint,s,s2rcoplot(r,rint)程序实现结果如下：b =2.00230.46709.9024-0.04990.2633-65.7212-6.6237bint =-22.2497 26.25440.3986 0.53544.1517 15.6531-0.0685 -0.0312-1.0368 1.5635-181.1223 49.6799-16.5782 3.3308s =0.9336 124.2115 0 14.6248 s2 =14.6248以及残差杠杆图：于是，我们得到：S K H V B Y s c ∆++∆+= 6.6237tan 65.7212-0.2633-0.0499-9.90240.46702.0023θ并且，残差杠杆图显示，残差大部分均匀分布在0点线附近，在stat 返回的4个值中，R 2＝0.9336，说明模型拟合的很好。
F_检验值＝124..2115>0.000，符合要求。
但是，与显著性概率相关的p 值＝16.6248>0.05，这说明，回归方程是不显著的。
3）逐步回归在Matlab 软件包中写一个M —文件opt_cement_2:X=[100 1.3 900 20 0.06 0.7;100 2.1 750 20 0.08 0.6;150 2.5 700 21 0.06 0.8;110 1.5 850 20 0.08 0.75;130 1.4 1000 20 0.07 0.6;120 2.0 850 21 0.07 0.75;100 1.8 840 20 0.08 0.8;135 2.3 850 21 0.06 0.75;150 2.3 800 20 0.07 0.7;100 1.3 900 20 0.06 0.7;100 2.1 750 20 0.08 0.6;150 2.5 700 21 0.06 0.8;110 1.5 850 20 0.08 0.75;130 1.4 1000 20 0.07 0.6;120 2.0 850 21 0.07 0.75;100 1.8 840 20 0.08 0.8;135 2.3 850 21 0.06 0.75;150 2.3 800 20 0.07 0.7;100 1.3 900 20 0.06 0.7;100 2.1 750 20 0.08 0.6;150 2.5 700 20 0.07 0.8;140 2.4 750 21 0.08 0.9;152 2.4 800 22 0.09 0.98;148 2.3 750 22 0.06 1.0;148 2.4 800 23 0.081.2;1562.4 720 22 0.07 0.88;136 2.3 820 22 0.09 0.95;140 2.4 860 23 0.08 0.96;125 2.3 900 22 0.07 0.9;120 2.2 850 24 0.08 1.2;110 2.5 700 22 0.08 0.89;120 2.2 900 23 0.09 0.96;150 2.4 750 23 0.09 0.78;140 2.4 800 24 0.08 1.0;130 2.3 980 23 0.06 1.2;100 1.8 850 21 0.08 0.9;148 2.5 700 23 0.09 0.8;130 2.5 850 24 0.08 0.96;100 2.3 800 23 0.07 1.1;148 2.4 750 24 0.08 0.9;150 2.5 700 20 0.07 0.8;140 2.4 750 21 0.08 0.9;152 2.4 800 22 0.09 0.98;148 2.3 750 22 0.06 1.0;148 2.4 800 23 0.08 1.2;156 2.4 720 22 0.07 0.88;136 2.3 820 22 0.09 0.95;140 2.4 860 23 0.08 0.96;125 2.3 900 22 0.07 0.9;120 2.2 850 24 0.08 1.2;110 2.5 700 22 0.08 0.89;120 2.2 900 23 0.09 0.96;150 2.4 750 23 0.09 0.78;140 2.4 800 24 0.08 1.0;130 2.3 980 23 0.06 1.2;100 1.8 850 21 0.08 0.9;148 2.5 700 23 0.09 0.8;130 2.5 850 24 0.08 0.96;100 2.3 800 23 0.07 1.1;148 2.4 750 24 0.08 0.9];Y=[15 28.75 60 20 18 36 26 40 50 15 28.75 60 20 18 36 26 40 50 15 28.75 60 45 52 48 48 55 38 42 36 32 29 25 55 48 35 16 65 38 26 50 60 45 52 48 48 55 38 42 36 32 29 25 55 48 35 16 65 38 26 50]';stepwise(X,Y)程序执行后得到下列逐步回归的画面：程序提示：将变量x1加进回归方程（Move x1 in ），点击Next Step 按钮，即，进行下一步运算，将第1列数据对应的变量1x 加入回归方程。