离散数学---谓词公式与解释

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左孝凌离散数学课件2.3谓词公式与翻译

左孝凌离散数学课件2.3谓词公式与翻译

解法1 这只大红书柜摆满了那些古书。 解法2 x y 设 A(x):x是书柜 设 F(x,y):x摆满了y
解法1中R(x)表示x是大红书柜, 解法2中A(x) ∧B(x) ∧C(x)也 可表示大红书柜,但用A(x) ∧B(x) ∧C(x)将更方便于对 书柜的大小颜色进行讨论
B(x):x是大的 D(y):y是古老的 F(x,y):x摆满了y
例题1 并非每个实数都是有理数。
设 R(x):x是实数。 Q(x):X是有理数。
每个实数都是有理数表示为: (x)( R( x) Q( x))
(x)( R( x) Q( x)) 并非每个实数都是有理数表示为:
例题2 没有不犯错误的人
解 本语句即为“不存在不犯错误的人”。 设 M(x):x 是人。 F(x):x犯错误。 “存在不犯错误的人”表示为: “不存在不犯错误的人”表示为:(x(M ( x) F ( x)) 等价于“任何人都要犯错误”或“所有人都要犯错误”。 所以此命题也可符号化为: (x)(M ( x) F ( x))
2.7谓词演算的推理理论
2
2.3谓词公式与翻译
一、谓词公式
• 定义1:n元谓词A(x1,x2...xn) 称为谓词演算的原子公式。 • 定义2:谓词演算的合式公式,可由下述各条组成: ① 原子公式是合式公式。 ② 若A 是合式公式,则(A)也是合式公式。 ③ 若A,B是合式公式,则(A ∧ B),(A ∨ B),(A B), (A B)也是合式公式。 ④ 若A是合式公式,x是A中出现的任何变元 ,则(x)A , (x)A,也是合式公式。 ⑤ 只有有限次应用(1)~(4)得到的公式是合式公式.
练习1
(3)没有不能表示成分数的有理数。
解:令D(x): x是有理数。F(x):x能表示成分数。 则符号化为: (x)(D(x) F(x)) 或 (x)(D(x)∧ F(x)) 真值为1。

《应用离散数学》谓词公式及其解释

《应用离散数学》谓词公式及其解释

§2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。

(1)))()((y x Q x P x ,→∀(2))()(y x yQ y x xP ,,∃→∀ (3))())()((z y x xR z y Q y x P y x ,,,,∃∨∧∃∀解 (1)x ∀中的x 是指导变元;量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →;x 是约束变元,y 是自由变元。

(2)x ∀中的x ,y ∃中的y 都是指导变元;x ∀的辖域是)(y x P ,,y ∃的辖域是)(y x Q ,;)(y x P ,中的x 是x ∀的约束变元,y 是自由变元;)(y x Q ,中的x 是自由变元,y 是y ∃的约束变元。

(3)x ∀中的x ,y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元;x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ,,∧∃,y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ,,∧,x ∃的辖域是)(z y x R ,,;)(y x P ,中的x ,y 都是约束变元;)(z y Q ,中的y 是约束变元;z 是自由变元,)(z y x R ,,中的x 为约束变元,y ,z 是自由变元。

2. 设个体域}21{,=D ,请给出两种不同的解释1I 和2I ,使得下面谓词公式在1I 下都是真命题,而在2I 下都是假命题。

(1)))()((x Q x P x →∀ (2)))()((x Q x P x ∧∃解(1)解释1I :个体域}21{,=D ,0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。

(2)解释2I :个体域}21{,=D ,2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。

3. 对下面的谓词公式,分别给出一个使其为真和为假的解释。

(1))))()(()((y x R y Q y x P x ,∧∃→∀(2))),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀解 (1)成真解释:个体域D ={1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。

离散数学谓词公式与解释

离散数学谓词公式与解释

可以看出,在谓词公式中一个变元可能既是约束出现,同
时又有自由出现,则该变元既是自由变元又是约束变元,
西 本质上这两种出现,用的是一个符号,实质上是不同的
华 大 学
含义。为避免混淆,需要改名。改名要采用以下规则, 使谓词公式的含义不改变。
1、 换名规则:对约束变元进行换名。
将量词辖域内出现的某个约束变元及其相应量词中的指 导变元,可以换成一个其他变元,改变元不能与本辖 域内的其他变元同名,公式中的其他部分不改变。
1. 个体变元、个体常元是项;
2. 若 f(x1,x2,,xn) 是任意n元函数,t1,t2,…,tn 是项,
则 f(t1,t2,,tn) 是项;
3. 有限次的应用1,2得到项。
一、合式公式的定义:
原子公式: f(x1,x2,,xn) 为n元谓词符号,t1,t2,…,tn 是
项,则 f(t1,t2,,tn) 是原子公式;
对x (F(x,y)∧y G(x,y)) F(x,y) 改为: x (F(x,t)∧y G(x,y)) F(s,t) 或者为:t (F(t,y)∧y G(t,y)) F(x,y)
谓词公式的解释
西 谓词逻辑中的解释(赋值)
华大 在Βιβλιοθήκη 题逻辑对每个命题符号作个真值指定可以得一个

公式的一个指派,又称赋值,又称解释。如公式中共出 现n个不同的命题符号,则共有2n个解释,因而可以列 出公式的真值表。而谓词逻辑中公式的赋值解释是 怎样的呢?
例如公式:x F(x,a)∧x G(f(x),a)
三、谓词公式的赋值(解释)
一个解释由4部分组成:
(1) 非空个体域D;
西 华
(2)D中特定元素;
大 (3)D上特定函数; 学 (4)D上特定谓词。

离散数学第2章 谓词逻辑

离散数学第2章 谓词逻辑
命题“凡人要死。”符号化为:(x)F (x) ⑵ 令G(x):x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为:(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说,命题函数不是命题, 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化, 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3,则2大于6。 解:设G(x,y): x大于y a:5,b:3,c:2,d:6 该命题符号化为:G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3,它是真命题。G(c,d)表示2大于6,
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 :设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3,则3<4 解:设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词:刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示,叫做谓词标识符。
例如可以用F,G,H表示上面三个命题中谓词: F:„是优秀共产党员。 G:„比„高。 H:„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词:与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词:与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词:与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题(需要做在练习本上) (1) (2) a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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离散数学 谓词逻辑

离散数学 谓词逻辑

例1 给定解释I1如下:
(1)个体域为自然数集合N; (2)N中的特定元素a=0; (3)F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值: (1)(∀x)F(x,a);(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为: (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
4
例子
[例2-1.1] 张明是位大学生。 解:设S(x):x是大学生,c:张明, 一元谓词:表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 [例2-1.2]我坐在张三和李四中间。 解:设S(x,y,z):x坐在y和z之间,i:我,z:张 三,l:李四, 多元谓词:表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
11
这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件; 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
12
对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y ): 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
3
谓词的表示
客体词有两种:客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示;表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式:单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。

离散数学-谓词演算的推理规则

离散数学-谓词演算的推理规则
解: P(x) :x 是液体, G(x):x是金属, R(x, y):x 溶解 y ,
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言,并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ,其中G(x, y) : xy y 解:对任意正整数 x ,存在正整数 y,
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元, G(x, y) 中的 y是自由变元; y 的辖域是F( y) , F( y) 中的 y 是约束变元; R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除,写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点: 全称指定规则(US)(Universal Specification) 存在指定规则(ES)(Existential Specification) 全称推广规则(UG)(Universal Generalization) 存在推广规则(EG)(Existential Specification)
3
3、全称推广规则(UG)
A( y) xA(x) 要求:(1)y是个体域中任一个体,且都有A( y)为真。
4、存在推广规则(EG)
A( y) xA(x)
要求:(1) y 是个体常元或变元,
(2)在公式A(y)中,y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注:考察以下推理过程
① xyP x, y

yP(c, y)
谓词公式;辖域,约束变项,自由变项; 代换实例;重言式, 矛盾式,可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。

离散数学逻辑公式大全化简

离散数学逻辑公式大全化简

离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全:
一、对称表达式
1. 对立矛盾:P∧(¬P),这就意味着,实际上什么都不是真。

2. 波尔定理:(P→Q)∨(Q→P),即P和Q之一必定是另一个的条件。

3. 谓词逻辑:∀xPx,表明了P是对任意x是真的。

二、蕴涵表达式
1. 因果关系:P→Q,其中P是因,Q是果。

2. 排中律:P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R),即P既支持Q和R的同时满足,也支持Q和R的分别满足。

3. 简单蕴涵:P→Q,Q即P的蕴涵结果。

三、命题逻辑
1. 范式:¬(P∨Q)即¬P∧¬Q,这表明,若P和Q两者成立其一,则结果
为假。

2. 合取范式:P ∨ Q,表示只要PQ其一成立,结果即成立。

3. 否定范式:P→Q,表示只有当P成立,Q才会成立,否则结果为假。

四、可辩证表达式
1. 含义性质:P→Q,表明当P为真时,Q也可能为真,但可能有证据
表明P为假时,Q也可能为假。

2. 对抗性质:¬P∧Q,表明当P(或Q)被否定时,另一方会加强对这个变量的认可。

3. 不可满足性:P∧¬P,表明两个性质之间存在矛盾,因此,这种形式无法同时满足。

离散数学-谓词逻辑

离散数学-谓词逻辑

2-2.6 命题的符号化
在谓词演算中,命题的符号化比较复杂,命题的 符号表达式与论域有关系。例如 1.每个自然数都是整数。 (1).如果论域是自然数集合 N,令 I(x):x 是整数,则命题的表达式为 xI(x) (2).如果论域扩大为全总个体域时,上述表达式xI(x)表示“所有客体都是整数”,显然这是假的命题,此 表达式已经不能表达原命题了。因此需要添加谓词 N(x):x 是自然数,用于表明 x 的特性,于是命题的符 号表达式为: x(N(x)→I(x)) 4
则 E(a)∈{T,F}。
• 2-2.2 原子谓词公式
定义:称 n 元谓词 P(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式。例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x))、B(x,y,a) 都是原子谓词 公式。
2-2.3 谓词合式公式 (WFF)(Well Formed Formulas)
定义:谓词合式公式递归定义如下: 1.原子谓词公式是合式公式。 2.如果 A 是合式公式,则A 也是合式公式。 3.如果 A、B 是合式公式,则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB)都是合式公式。 4.如果 A 是合式公式,x 是A中的任何客体变元,则xA和xA也是合式公式。 5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才是合式公式。 谓词合式公式也叫谓词公式,简称公式。 下面都是合式公式: P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、x(A(x)→B(x))、xC(x) 而下面都不是合式公式: xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x • • 为了方便,最外层括号可以省略,但是若量词后边有括号,则此括号不能省。 注意:公式x(A(x)→B(x))中x 后边的括号不是最外层括号,所以不可以省略。
2-2.4 量词的作用域(辖域)
定义:在谓词公式中,量词的作用范围称为量词的作用域,也叫量词的辖域。 • • 例如 xA(x)中x 的辖域为 A(x). x((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))中 x 的辖域是((P(x)∧Q(x))→yR(x,y)) y 的辖域为 R(x,y)。 • 一般地, • • • 如果量词后边只是一个原子谓词公式时,该量词的辖域就是此原子谓词公式。 如果量词后边是括号,则此括号所表示的区域就是该量词的辖域。 如果多个量词紧挨着出现,则后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。 xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
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四、谓词公式的类型
西
设A是公式。如果A在任何的解释下都

大 是真的,则A是永真式;如果A在任何的
学 解释下都是假的,则A是永假式;如果A
在一些解释下为假,一些解释下为真,
则A是非永真的可满足式。
例如: x A(x) x A(x)是永真式; x A(x)∧x A(x)是永假式。
代换实例
公式类型举例
西 判断下列公式的类型:

大 学
1)
x
F(x)

(x

yG(x,y)


x
F(x)
)
2) x F(x) x F(x)
3) x y F(x,y) y x F(x,y)
1) x F(x) (x yG(x,y) x F(x) )
西 华
解:显然该公式是:P (Q P ) 的
大 学
替换实例。容易知道P (Q P )
是永真式,从而x F(x) (x
yG(x,y) x F(x) )是永真式。
2) x F(x) x F(x)
设在任意的解释I下,
西 1) x F(x) 为真,则 a,使得 F(a)为真,使
华 大
得 x F(x)为真, 在这种情况下,x F(x)
则x (x ≥0) ∧x (3x=0) 假命题。
解释举例1
给定解释I如下:
西 华 大 学
x(F(x) ∧ G(x,2))
(F(2) ∧ G(2,2)) ∧ (F(3) ∧ G(3,2))
y L(2,y) ∧ y L(3,y)
0∧ 11
பைடு நூலகம்
(L(2,2)∨L(2,3)) ∧(L(3,2) ∨ L(3,3)) ( 1 ∨0 ) ∧(0 ∨ 1) 1
西 1)取解释I1为:D=R,F(x,y):x>y
华 大
则公式为: x y (x>y) y x(x>y)
学 =10=0,从而公式不是永真式;
2) 取解释I2为:D=R,F(x,y):x.y=0 则公式为:xy(x•y=0)yx(x•y=0) =11=1从而公式不是永假式;
1、永真式和永假式的代入实例是永真、永假式;
2. 对于某些简单的公式,特别对于简单的闭式,
西 华
可在假定给定任意解释的前提下该公式的真值
大 学
都为真(或者为假)来证明该公式是永真式
(或矛盾式)。
3. 要证明一个公式是可满足式,只要找到一个 解释,使得该公式的真值为真即可。同时为了 证明它不是永真式,只要找一个解释,使得该 公式的真值为假即可。
例如公式:x F(x,a)∧x G(f(x),a)
三、谓词公式的赋值(解释)
一个解释由4部分组成:
(1) 非空个体域D;
西 华
(2)D中特定元素;
大 (3)D上特定函数; 学 (4)D上特定谓词。
公式x F(x,a)∧x G(f(x),a)
指定:D=实数集合;a=0;f(x):3x;F(x,y):x≥y; G(x,y):x=y。
• 项的定义
1. 个体变元、个体常元是项;
2. 若 f (x1, x2 , , xn ) 是任意n元函数,t1,t2,…,tn 是项,
则 f (t1, t2 , , tn ) 是项; 3. 有限次的应用1,2得到项。
一、合式公式的定义:
原子公式: f (x1, x2 , , xn ) 为n元谓词符号,t1,t2,…,tn 是
2、 代替规则:对自由变元进行代入。
整个谓词公式中同一个字母的自由变元是指同一个个体 名词。因此可以用整个公式中没有的变元符号来代替, 且要求整个公式中该变元同时用同一个符号代替。
换名规则举例
西x F(x,y)∧x G(x,y) 华大改为:x F(x,y)∧u G(u,y) 学或者为: z F(z,y)∧x G(x,y)
项,则 f (t1, t2 , , tn ) 是原子公式;
西 合式公式的归纳定义:
华 大
1、任意的原子公式是公式
学 2、若A是公式,则xA、xA是公式;
3、若A、B是公式,则 A、A∧ B、A∨B、A → B、A B是 公式;
有限次地应用前三条,得到公式。
判断下列符号串是否为合式公式: 1. x(P(x) ∧ Q(x)) 2. xy(P(x) Q(y)) 3. yx∧ P(x) 4. x f(x) → x(g(x,y) ∨f(x) )
西华设A0是含命题变元p1, p2, …, pn的命题逻辑公式,
大 学
A1,
A2,
…,
An是一阶逻辑公式,用Ai(1
i

n)
替换A0中的pi的处处出现所得到的一阶逻辑公式
A称为命题逻辑公式A0的替换实例。
定理:命题逻辑中的永真式的任意替换实例在一
阶逻辑中都是永真式;命题逻辑中的矛盾式的任
意替换实例在一阶逻辑中都是矛盾式 。
学 x F(x)为真;
2) x F(x) 为假,x F(x) x F(x)为真。
从而,在蕴涵式的前件x F(x) 为1或0的情况, 蕴涵式都为真。
又由解释I的任意性,知公式x F(x) x F(x)永真。
3) x y F(x,y) y x F(x,y)
对x (F(x,y)∧y G(x,y)) F(x,y) 改为: x (F(x,t)∧y G(x,y)) F(s,t) 或者为:t (F(t,y)∧y G(t,y)) F(x,y)
谓词公式的解释
西 谓词逻辑中的解释(赋值)

大 在命题逻辑对每个命题符号作个真值指定可以得一个

公式的一个指派,又称赋值,又称解释。如公式中共出 现n个不同的命题符号,则共有2n个解释,因而可以列 出公式的真值表。而谓词逻辑中公式的赋值解释是 怎样的呢?
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
• 符号体系:
1. 西华2.
个体常元符号:a,b,c,……a1,a2,a3,…… 个体变元:x,y,z,……,x1,x2,x3,……
大3. 学
4.
函数符号:f,g,h,……f1,f2,f3,…… 谓词符号:F,G,H,……
5. 量词符号: 6. 联结词: ∧∨ →
二、约束部分
在谓词公式中,形如xP(x)或xP(x)以及
xP(x,y)的部分中x称为指导变元,在辖
西 域中,x的所有出现称为约束变元(约束出
华 大
现);y是自由变元(自由出现)。
学 量词的辖域
(x)P(x)或(x)P(x)中的公式P(x),通
称为量词的辖域。换言之,量词的辖域是
邻接其后的公式,除非辖域是原子公式,
解释举例2
例2:已知指定一个解释N如下: (1)个体域为自然数集合DN (2)指定常项a=0 (3)DN上的指定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=x*y (4)指定谓词F(x,y)为x=y 在以上指定的解释N下,说明下列公式的真值
(1)xF(g(x,a),x) 即x(x*0=x)该命题假的
可知,公式是非永真的可满足式。
思考题:
1、F(a) x F(x)
西 华
2、F(a) x F(x)

学 解:1、F(a) x F(x)是非永真的可满足式;
①设D={2},a=2,F(x):x=2,显然此时为 真;
②设D=R,a=2,F(x):x=2,显然此时为假;
2、F(a) x F(x)是永真式。
(2)xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) 在解释N下此公式:xy(x+0=yy+0=x)此命题为真 (3)F(f(x,y),f(y,z))在解释N下该公式x+y=y+z 此时,x,y,z均为自由变元,解释不对自由变元进行指定。因而该 公式是命题函数,不是命题,真值不能确定。
否则应在所辖公式的两侧插入圆括号。
量词辖域举例
西 华
例如:x F(x)G(x,y)
大 学
解:x的辖域仅F(x),x是指导变元,变
元x第一次出现是约束出现,第二次出
现是自由出现,y的出现是自由出现。
所以第一个x是约束变元,第二个x是
自由变元,本质上这两个x的含义是不
同的;而y仅是自由变元。
换名规则
解释的说明
(1) 一个谓词公式如果不含自由变元,则在一个解释下, 可以得到确定的真值,不同的解释下可能得到不同的 真值。
(2) 公式的解释并不对变元进行指定,如果公式中含有自 由变元,即使对公式进行了一个指派,也得不到确定的 真值,其仅是个命题函数,但约束变元不受此限制。
3)有公式的解释定义可以看出,公式的解释有许多的解 释,当D为无限集时,公式有无限多个解释,根本不可能 将其一一列出,因而谓词逻辑的公式不可能有真值表 可列。
可以看出,在谓词公式中一个变元可能既是约束出现,同
时又有自由出现,则该变元既是自由变元又是约束变元,
西 本质上这两种出现,用的是一个符号,实质上是不同的
华 大 学
含义。为避免混淆,需要改名。改名要采用以下规则, 使谓词公式的含义不改变。
1、 换名规则:对约束变元进行换名。
将量词辖域内出现的某个约束变元及其相应量词中的指 导变元,可以换成一个其他变元,改变元不能与本辖 域内的其他变元同名,公式中的其他部分不改变。
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