运筹学 第三版3
运筹学教程(第三版)习题答案(第一章)
( 3)
max Z = x1 + x 2 6 x1 + 10 x 2 ≤ 120 st . 5 ≤ x1 ≤ 10 5≤ x ≤8 2
( 4)
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运筹学教程
第一章习题解答
(1) min Z = 2 x1 + 3 x 2 4 x1 + 6 x 2 ≥ 6 st . 2 x1 + 2 x 2 ≥ 4 x ,x ≥ 0 1 2 1 , Z = 3是一个最优解 3
min st x 1 Z = 2 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x1 + x 2 + x 3 = 4 − 2 x1 + x 2 − x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束
(1)
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School of Management
(1)
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运筹学教程
第一章习题解答
(1) max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
运筹学教程（第二版） 运筹学教程（第二版） 习题解答
安徽大学管理学院
洪 文
电话： 电话：5108157(H)，5107443(O) ， E-mail: Hongwen9509_cn@
运筹学胡运权第三版第三章运输问题
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点： 运输问题一定有最优解；基变量的个数=m+n-1 运输问题约束条件的系数矩阵：
x1m
x2m
xm1
xmm
x11
x12
…
x21
x22
…
xm2
…
…
m行
n行
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
解 的 最 优 性 检 验
运输问题及其数学模型
用表上作业法求解运输问题
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
本章内容
3运输问题进一步讨论
01.
产销不平衡的运输问题 有转运的运输问题
02.
1.当产大于销时，即 产销不平衡问题 平衡后的数学模型为： 加入假想销地（假想仓库），销量为 ，由于实际并不运 送，它们的运费为 = 0；
解 的 最 优 性 检 验
解 的 最 优 性 检 验
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
ui
A1
16
u1(1)
A2
10
u2(0)
A3
22
u3(-4)
销量
8
14
12
14
48
vj
v1(2)
v2(9)
v3(3)
v4(10)
4
2
8
12
5
4
10
11
3
9
6
11
表3-9
1.增加一位势列和位势行并计算位势
其中
8
10
2
6
8
产量
A1
清华大学出版《运筹学》第三版完整版
OR3
整理ppt
20
（3）工作时差
时差又叫机动时间或富余时间。常用的时 差有两种：
a工)工作作所总具时有差的T机Fi动-j。时指间在。不影响工期的前提下，
计算公式：TFi-j=LFi-j-ESi-j-Di-j=LSi-j-ESi-j
或者为： TFi-j=LFi-j-EFi-j
b)工作自由时差FF。在不影响其紧后工作最早 开始的前提下，工作所具有的机动时间。
网络图中最后一项工序的最迟完成时间应为工 程的计划工期。若未给定计划工期，则取其为 最早完成时间。即LFi-n=EFi-n.，LSi-n= LFi-n- Di-n
其它工序： LSi-j= LFi-j- Di-j
L Fm inL FD ( )
i j
k
j k j k
即LF=min(紧后工作的LS).
3计算相应的增加的总费用然后考虑由于工计算相应的增加的总费用然后考虑由于工期的缩短间接费用的变化在这个基础上计算期的缩短间接费用的变化在这个基础上计算项目的总费用
第五节 网络计划
引言：
国外实践证明：应用网络计划技 术组织与管理生产和项目，一般能缩 短工期20％左右，降低成本10％左右。
上海宝钢炼铁厂1号高炉土建工 程施工中，应用网络法，缩短工期21 ％，降低成本9.8％。
工序时间 60
45 10 20 40 18 30 15 25 35
OR3
整理ppt
14
A4 6
B
C 6
D7 E 5
G 7
F9
I
H 4
8
线路：网络图中，从起点节点沿箭线方 向顺序通过一系列箭线与节点，最后到 达终点节点的通路。
关键路线：即持续时间最长的路线。关 键路线上的各工作叫做关键工作。
《运筹学》课程教学(自学)基本要求
线性规划及其对偶问题的矩阵描述只求读懂
第三章：运输问题
学时要求
主要内容
一、教学基本要求
【了解】
了解如何应用表上作业法求解不平衡的运输问题
【掌握】
运输问题的数学模型；应用（最小元素法）表上作业法求解运输问题，掌握闭回路与位势法的异同，特别注意退化的运输问题的处理方式；
备注
有转运的运输问题不要求
第四章：目标规划
学习建议
正确理解运筹学方法论，掌握运筹学整体优化思想。掌握线性规划、对偶问题、运输问题、整数规划、动态规划、网络计划、排队模型、存贮论等基本模型的功能和特点，熟悉其建模条件、步骤及相应的技巧，能根据实际背景抽象出适当的运筹学模型。掌握与基本模型有关的基本概念及基本原理，做到思路清晰、概念明确。具有初步运用运筹学思想和方法分析、解决实际问题的能力和创新思维与应用的意识。了解运筹学发展的相关动态。
各章节主要学习内容及要求
序言
学时要求
主要内容
一、教学基本要求
【了解】
了解运筹学的发展历史及发展至今形成的内容体系；
了解运筹学的研究对象及方法。
【掌握】
掌握模型的概念，
备注
第一章：线性规划及单纯形法
学时要求
主要内容
一、教学基本要求
【了解】
了解单纯形法的原理
【掌握】
掌握LP模型的建模思路，模型的表述格式；图解法原理、步骤；LP的三定理（不求证明）；LP模型的标准化及单纯形法的步骤，弄清读懂单纯形表的构造及其内容表意。
【掌握】
正确应用0—1变量、整数变量建立整数规划模型；
掌握分支定界技术、割平面法及匈牙利法求解整数规划的步骤，特别搞清分支定界技术及割平面法的原理。
运筹学及其应用( 第三版)
运筹学及其应用(第三版)朱求长编著武汉大学出版社内容提要本书根据我国管理类、财经类专业的教学要求,选取了运筹学中线性规划、目标规划、整数规划和网络分析等分支作为本科生运筹学课程的教材。
每章末配有习题,书末附有部分习题答案。
本书可作为管理、财经和理工科等方面有关专业的教科书或教学参考书,亦可供广大企业管理人员和财经部门的管理人员以及工程技术人员阅读和参考。
第三版前言此次再版对全书作了重大的修改和补充,特别是第一章中的许多内容,如对基本概念的表述、公式的推导、例题的讲解等,都几乎重新进行了改写.第二章中,对有重要实际应用的灵敏度分析部分,进行了较大的充实.第三章增加了关于运输问题基可行解的整数性性质等重要内容.第六章中0-1规划的解法也全部作了改写.进行上述修改和补充,一方面是为了使本书内容更加丰富,另一方面强化、完善了运筹学基本概念、基本理论和基本方法的阐述,以便读者阅读.本书还从国内外运筹学教材中选取了部分习题,在此谨向有关作者致谢.最后,再次感谢武汉大学出版社对本书的关心和支持.编者2004年7月第一版前言这本书是根据我1986年为我校管理学院企业管理等专业编写的一本同名讲义,经过几次修改而成的.其目的是为了满足管理类专业和财经类专业开设运筹学课程的需要.运筹学是近50年来才逐步发展起来的一门新兴科学,最早是由于军事上的需要而产生的.在第二次世界大战前夕,德国的空军已很强大,为了对付德国的空袭,英国防空科学调查委员会主席H.G.Tizard组织了一些科学家专门研究如何使用雷达来进行对空作战的问题.科学家们的各种建议构成了一套完整的雷达防空系统,被军方所采用.正因为科学家们的这些工作对作战帮助很大,所以作战研究部主任A.P.Rowe称这些工作为“Operational Research”(作战研究,简称为OR).到1942年,英国的陆、海、空三军都正式建立了OR组织,专门研究各种新式武器如何有效地使用的问题.第二次世界大战结束以后,那些从事作战研究的人员纷纷转入工业生产部门和商业部门.由于经营管理中的许多问题和战争中所碰到的许多问题极为相似,于是,那些OR研究人员很快又在经营管理中大显身手,有力促进了英国工业生产的恢复和发展.美国人称Operational Research为Operations Research,仍简称为OR.OR在美国的迅速发展主要还是20世纪50年代以后的事.由于科学技术的迅猛发展,生产规模越来越大,产品结构越来越复杂,生产的社会化程度也日益提高.要想对这种现代化的大型生产进行科学的组织管理,任何个人都是办不到的,而必须有专门的人员和机构来进行研究.这种情况就促使许多大型企业都建立了OR组织.另一方面,由于电子计算机的诞生和不断改进,又为OR的实际应用提供了强有力的工具,因为许多大型问题的解决,离开了电子计算机是不可想像的.OR作为一门独立的学科在我国传播始于20世纪50年代中期.开始,有些同志根据西方20世纪50年代初期对OR一般的理解,将OR译为运用学.后来,中国学者们认为,这门新兴学科的任务,不单是要研究现有武器和设备等的运用,而且更要研究未来武器和设备等的运用,以及将来计划(包括国家计划)的制定,故将OR翻译为运筹学更好.我国从1956年起就开始了对运筹学的研究和应用.1958年,粮食运输部门在应用运筹学的过程中,总结出一套“图上作业法”.1965年,许多地方又推广应用了统筹法.今天,运筹学在我国的企业管理、工程技术、运输调度、国民经济计划等方面已得到广泛的应用.从以上简短介绍中可以看到,运筹学是一门实践性很强、应用性很广的学科.那么,什么是运筹学呢?目前有好几种说法.由于这门学科还很年轻,正在迅速发展之中,所以尚无一致的、确切的定义.其基本含义可以这样表达:运筹学的研究对象是一个系统(如经济系统、作战系统、工作系统等)的组织管理中可以定量化的问题;它采用的主要方法是建立数学模型并求解;它要达到的目标是从各种可供选择的方案中找出一个最好的或满意的方案,以实现系统的某一或某些指标整体最优化(例如质量最好,产量最多,工期最短,利润最大,成本最低,或同时要求若干项指标均达到一定的满意度等);它的研究成果是为各级管理(领导)人员在作决策时提供科学的依据.因此,简单地说,运筹学所要研究的就是一个系统的组织管理的优化问题,或说它是一门管理优化技术.正因为如此,国外有些人也称运筹学为管理科学(实际上它只是狭义的管理科学).当前,我们国家正在进行伟大的社会主义现代化建设,世界各国也都在努力发展自己的经济.经济建设需要投入大量的人力、物力和财力等资源,而任何一个国家的资源总是有限的.因此,如何以最少的资源消耗去取得最大的经济效益,便成为各国政府和人民普遍关心的重大问题.从组织管理方面(而不是技术方面)去研究怎样解决这一问题就是管理学的任务;对其中可以定量化的问题进行研究和解决,就是运筹学的任务.由此可见,运筹学对于我们最有效地利用各种资源,最大限度地提高一个系统的工作效率,实现管理的科学化、现代化,有着重大的意义.从整个运筹工作的全过程来看,它包括阐述问题、建立模型、求解、检验、修改、实施六个环节.我们主要介绍如何在经济系统(一个工厂或企业,一个地区或一个国家的经济等)中建立管理问题的数学模型以及对数学模型求解的问题.关于运筹学方面的著作目前国内外已出版了不少.虽然这些书各有所长,但我们在使用中感到有个共同的问题,就是它们都几乎包含了运筹学的所有分支,内容多.而按照我国管理类和财经类专业现行教学计划的安排,本科生只有一个学期(每周3～4学时)学习运筹学课程.在这么短的时间内,若全面介绍该学科各个分支,势必学而不精,故许多学校实际上都只是讲述了其中的部分内容.鉴于这些考虑,我们编写了这本适合本科生使用的运筹学教材.内容包括线性规划、整数(线性)规划和网络分析(包括网络规划和网络计划)三个分支.至于运筹学的其他分支,我们认为,可以另编成书,以适应研究生教学的需要.为适合管理类和财经类专业的教学要求,本书在编写过程中还特别注意从以下几方面做出努力:1.精选题材,学以致用.本书的主要目的在于帮助读者学会运用定量分析技术来解决实际问题,因此对有些运筹学书籍中的过于抽象的部分及理论性太强的部分,本书中省略或修改了,而对实用中极为重要的方法部分则加强了.为使读者了解运筹学的广泛应用和初步掌握建立数学模型的方法,书中列举了大量实例,并专辟一章(第四章)介绍线性规划的应用.对于每个例题的实际背景都给予了尽可能详细的叙述,以增加读者在有关方面的实际知识.2.适当加强理论训练.考虑到现代管理(尤其是经济管理)对于数学知识的要求越来越高,各种各样的管理优化问题已大量地、迫切地提到了各级管理人员的面前,因此,加强管理工作者的数学知识训练是重要的.为满足这种需要,本书对优化技术原理部分给出了较系统、完整的阐述.同时,对需要用到的定理,除极少数外,都尽可能地给出了证明,以使读者不仅知其然,而且知其所以然.稍为复杂一点的定理证明通常都放在一章或一节之末尾,初学时可以暂时不看.3.适合自学.在整个教学安排中,要求高年级学生更多地进行自学,以更好地培养自己独立学习的能力.为适应此需要,本书对于每种管理优化技术的思想、原理和方法,都写得较为仔细,而且始终遵循由具体到抽象的认识论原则.当然,在要求学生自己动手之处,也设置了某些“障碍”.本书的编写和出版得到了武汉大学管理学院和经管系领导的积极支持,作者在此谨向他们致谢.这里还要特别感谢武汉大学教务处和武汉大学出版社,正是由于他们的决定性的支持,才使本书得以出版.教材的编写是一个不断发展、不断完善的过程,欢迎广大读者对本书提出宝贵意见.编者于武汉大学1993年4月目录………………………………………………………第三版前言1………………………………………………………第一版前言1……………………………第一章线性规划模型和单纯形法1………………………………………1.1什么是线性规划3………………………1.2求解线性规划问题的基本定理14…………………………………1.3单纯形法的基本步骤26……………………………………………1.4人工变量法41…………………………………1.5单纯形法应用的特例53…………………………………………1.6改进单纯形法61………………………………………1.7*某些定理的证明67…………………………………………………………习题73………………………………第二章对偶理论和灵敏度分析79……………………………………2.1原问题与对偶问题80…………………………2.2原始-对偶关系的基本性质87…………………………………………2.3对偶单纯形法94……………………………………………2.4灵敏度分析97………………………………2.5对偶变量的经济解释119…………………………………………………………习题127………………………………………………第三章运输问题131……………………………………………3.1运输模型131………………………………3.2初始基可行解的求法136………………………………………3.3最优解的获得1403.4不平衡运输问题148…………………………………………………………………………………3.5指派问题150…………………………………………………………习题158第四章线性规划在管理中的应用161…………………………………………………………………………4.1生产管理162……………………………………………4.2市场销售168…………………………………………4.3金融与投资171……………………………………………4.4配料选取175……………………………………………4.5任务指派1764.6环境保护178………………………………………………………………………………………………………习题179………………………………………………第五章目标规划1835.1目标规划的模型184…………………………………………………………………………5.2目标规划的解法189…………………………………………………………习题196………………………………………………第六章整数规划199……………………………………6.1整数规划的应用200……………………………………6.2整数规划的解法208…………………………………………………………习题226………………………………………………第七章网络规划229……………………………………………7.1图论导引229……………………………………7.2最小支撑树问题235…………………………………………7.3最短路问题238………………………………7.4网络上的最大流问题248……………………………………7.5最小费用流问题259习题264…………………………………………………………………………………………………………第八章网络计划269……………………………………8.1网络计划的绘制2708.2时间参数的计算277…………………………………………………………………8.3网络计划的调整和优化282…………………………………8.4非肯定型网络计划294…………………………………………………………习题296……………………………………………………部分习题答案299……………………………………………………主要参考文献302第一章线性规划模型和单纯形法线性规划是运筹学的一个最基本的分支,它已成为帮助各级管理人员进行决策的一种十分重要的工具.传统的管理只注重定性分析,已远远不能适应当今社会发展的需要.现代化管理要求采用定性分析和定量分析相结合的方法,一切管理工作要力求做到定量化、最优化,于是就产生了各种各样的管理优化技术.在诸多的管理优化技术中,线性规划是目前最常用而又最为成功的一种.其原因有三:一是应用广泛.管理工作中的大量优化问题可以用线性规划的模型来表达(参见本章第一节的例题及专门介绍线性规划应用的第四章).二是模型较为简单,容易建立,容易学习和掌握.三是求解方法成熟.1947年G.B.Dantzig已对一般的线性规划问题建立了解法,即单纯形法.今天,用单纯形法解线性规划的计算机程序已大量涌现,在计算机上求解此类问题已十分容易.线性规划在世界上各个工业化国家已经得到了极为广泛的应用,为那些国家的公司、企业节省了成千上万的资金.那么它主要用来解决什么样的问题呢?简单地说,它的一种最大量、最普遍的应用就是研究有限资源的合理利用问题,或者说是资源的最优配置问题.一个组织(如一个企业,一个省,甚至一个国家)要进行许多活动(如要生产多种产品),这些活动往往共同涉及使用某些对该组织来说是稀少的、有限的资源.因此该组织的管理部门经常面临这样一个问题:如何将这些资源科学地分配给各项活动,以便使整个组织获得最大的效益?资源分配问题有多种多样的具体形式.为使读者了解线性规划究竟可以用来解决何种管理决策问题,我们在此略举数例:1)某工厂可以同时生产数种产品.这些产品的生产都要共同使用设备、原料、运力等若干种资源,而这些资源的供应量受到限制.该厂生产部门的经理面临这样一个问题:应如何制定出最好的生产计划,才能既满足市场需求,又能使本厂获得的利润最高?由于产品的生产是通过资源的转化才得以实现的,所以生产的合理安排问题实际上就是一个资源的最优分配问题.2)某企业现有一笔资金,准备从许多种股票和证券中选择数种进行投资.该企业财务部门的经理需要研究如何作出最优的投资决策,以便获得最好的经济效益.3)某公司在许多地方设有仓库,以便能及时满足用户的需要.现有若干家商场业务员打电话来,要求该公司为他们送去某些商品.公司销售部门的经理需要确定哪个仓库应发多少货给哪家商场,以便使公司支付的总运费最少(详见例1.1-2).4)某公司计划明年新建4座厂房.他们决定采用招标投标办法选择建厂单位.现有6个建筑队来投标.该公司需要确定应将哪座厂房分配给哪个建筑队去承建,才能使公司付出的总的建厂费用最少.其他可用线性规划解决的问题还很多.读者学完本书后可举一反三.在第四章中,我们还将专门讲述一些有关的应用.单纯形法是在计算机上求解大型线性规划问题的一种有效而且可靠的方法,在理论上是一重要成果,但它不是多项式算法. 1979年,П.Т.Хаτцян提出了求解LP问题(线性规划问题)的多项式算法(称为椭球算法).他证明了LP问题是存在多项式算法的.但据计算机上的试验结果看,其迭代次数比单纯形法要多,故实用价值并不大.其后,1984年Narendra Karmarkar 又提出了一种新算法.相对于单纯形法来说,这种新算法的根本作用何在,尚待进一步检验.总之,单纯形法仍是我们求解LP问题的基本工具,用它来进行优化后分析也非常有效.下面我们首先引入几个例子,来说明什么是LP模型及有关的基本概念,然后在1.2节中叙述求解LP问题的基本原理.其中部分定理的证明对初学者有一定难度,故放在本章最后一节.基本原理只是给求解LP问题指明了道路,提供了理论依据,但并不便直接用来求解具体的LP问题.为此,在1.3节中专门讨论了求解LP问题的具体方法,即单纯形法,这一节是本章的重点.在单纯形法的推导中,我们是以已知一个LP问题的一个可行基为前提的,在一般情况下,如何寻找第一个可行基呢?解决这一问题便是1.4节的任务.在1.5节中讨论了应用单纯形法的几个重要特例之后,接着介绍了效率有所提高的改进单纯形法.1.1什么是线性规划1.1.1线性规划的简单例子和模型线性规划是数学规划问题中的一种,以后我们还会看到所谓的整数规划、非线性规划等.这里的规划(programming)是指计划的意思.在规划前面冠以“线性”二字,则是因为这类规划问题的数学模型是线性的数学表达式.一个实际问题的数学模型,是依据客观规律,对该问题中我们所关心的那些量进行科学的分析后所得出的反映这些量之间本质联系的数学关系式.但一般说来,我们在工业、农业、交通运输、国防等各方面所遇到的实际问题是很复杂的,它们涉及的因素很多,要想建立包罗各种因素的数学模型,不仅不可能(因有些数量关系无法弄清楚),也没有必要.一个可行的办法是择其主要者,加以讨论之.虽然一般说来,模型粗一点就不太精确,而模型细一点,对实际事物的描述要准确一些,但后者带来的问题是:或者在理论上难以处理,或者在计算时工作量太大,耗费昂贵.所以,应根据实际问题的具体情况,抓住主要矛盾,建立既能保证精确度要求,又尽量简单的数学模型.实际的线性规划问题一般都很复杂,为了便于读者掌握建立线性规划模型的方法,我们在这里所选的例子都经过了较大的简化.只要弄懂了这些简单的模型,今后遇到较为复杂的问题也就能触类旁通、举一反三了.例1.1-1(资源利用问题)光华食品厂主要生产葱油饼干(简记为Ⅰ型饼干)和苏打饼干(简记为Ⅱ型饼干).根据销售部门提供的信息可知,目前这两种饼干在市场上都很畅销,该厂能生产多少,市场就能卖出多少.但从生产部门得知,有三种关键设备即搅拌机、成型机、烘箱的生产能力,限制了该厂的饼干生产.因为两种饼干的生产都要共用这三种设备,所以每种饼干究竟应该生产多少,才能充分利用现有设备资源,使该厂获得最好的经济效益,这是一个很值得认真研究的重要问题.工厂领导把解决这一问题的任务交给了该厂的OR小组(运筹学小组).OR小组的第一项工作是阐述问题.经过和工厂领导及有关部门领导讨论,他们明确了要解决的问题是确定每种饼干每天的产量(以吨为单位),在搅拌机、成型机、烘箱的生产能力允许的条件下,能使工厂获得最大的利润.OR小组认识到这是一个产品的最优组合问题.OR小组的第二项工作是根据要解决的问题收集有关的数据:1)从生产部门、技术部门了解每种设备每天所能提供的工时数;2)从技术部门了解每种饼干生产1吨需要每种设备工作的工时数;3)从销售、财务等部门了解每种饼干销售1吨所能获得的利润.所有这些数据都汇集在表1.1中.表中各数的意义是很明显的.例如,搅拌机一行中的三个数表示搅拌机为了生产1吨Ⅰ型饼干和Ⅱ型饼干分别需要工作3小时和5小时,而搅拌机每天所能提供的工作时间为15小时.表1.1资源设备单位时耗/(小时/吨)产品ⅠⅡ每天现有工时搅拌机3515成型机215烘箱2211利润/(百元/吨)54 通常,一个企业在自身资源许可的情况下,所能采用的产品组合方案是多种多样的(有时甚至是无穷多个).要从这许许多多的可行方案中找出最优方案,是一件非常困难的工作,必须用现代的科学方法才能解决.OR 小组决定采用建立数学模型的方法来解决这一产品的最优组合问题.这就是OR 小组的第三项工作.设x 1=Ⅰ型饼干每天的生产量,以吨为单位;x 2=Ⅱ型饼干每天的生产量,以吨为单位;z =每天生产Ⅰ型饼干x 1吨和Ⅱ型饼干x 2吨所能创造的利润,以百元为单位.OR 小组分析了该厂的情况后认为,对每种饼干而言,不论其原有产量为多少,再增加或减少产量,都不会产生大的附加成本,故利润大体上与产量成正比.因此,根据表1.1最下面一行的数据可知,z =5x 1+4x 2.我们的目标是选择x 1和x 2之值,在工厂生产能力许可的条件下,使z 达到最大值.由表1.1知,Ⅰ型饼干每生产1吨,需要搅拌机工作3小时,若生产x1吨,则需要它工作3x1小时.同样可知,生产Ⅱ型饼干x2吨需要搅拌机工作5x2小时.而每天搅拌机所能提供的总工作时间只有15小时,故有不等式3x1+5x2≤15.类似分析成型机和烘箱的工时消耗和可用情况,又可得2x1+x2≤5和2x1+2x2≤11两个不等式.另外,根据问题的实际意义可知, x1,x2不能为负数.现在我们完整地写出这一问题的数学模型:求变量x1,x2之值,要求它们满足条件:3x1+5x2≤15,2x1+x2≤5,2x1+2x2≤11,x1,x2≥0,并使z=5x1+4x2达到最大值.今后,为书写上方便,将上述模型记为max z=5x1+4x2,(1.1)s.t.3x1+5x2≤15,(1.2)2x1+x2≤5,(1.3)2x1+2x2≤11,(1.4)x1,x2≥0,(1.5)其中max是maximize的省写,s.t.是subject to(受约束于)的省写.例1.1-2现在我们假设光华食品厂的经营情况发生了一些变化,Ⅰ型饼干的利润虽然较高,但每天的销售量不超过2吨.为了占领市场,该厂的经理提出,不管是Ⅰ型饼干还是Ⅱ型饼干,每天生产的饼干总量不得少于3吨,其余的情况与例1.1-1相同.为了得到这个新问题的数学模型,只需在例1.1-1中(1.4)式下面再加上两个不等式:x1≤2,x1+x2≥3.例1.1-3(货物运输问题)东风电视机公司接到上海一家商场(记为B1)、青岛一家商场(记为B2)和西安一家商场(记为B3)各一份订单,要示下月给各商场供应一些电视机(某种规格型号的,下同).B1,B2和B3的需求量分别为100台、80台和90台.该公司决定,由它设在北京和武汉的两个仓库A1和A2来供应上述各家商场的电视机.预计下月A1和A2可供应的电视机数量分别为120台和150台.又已知每个仓库运送1台电视机到每家商场的运费如表1.2所示.现问该公司应如何调运电视机(每个仓库向每个商场运送多少台电视机),才能既满足各商场的需要,又能使总的运费最少?表1.2B1B2B3A1152118A2202516设x11,x12和x13分别表示从仓库A1调给三家商场B1,B2和B3的电视机数量,以台为单位,x21,x22和x23分别表示从仓库A2调给三家商场B1,B2和B3的电视机台数.在实际问题中,运费与运量的关系往往比较复杂,为简单起见,在运输问题中我们总假定:运费=单价×运量.于是,总的运费为15x11+21x12+18x13+20x21+25x22+16x23.现在看看变量x ij将受何限制.注意,本例中总的供应量=总的需求量=270台,故这是一个供需平衡的运输问题,因此,从各个仓库运出的电视机数量应当等于它的库存量,即应有x11+x12+x13=200,(仓库A1)x21+x22+x23=150.(仓库A2)同时,各家商场的需求应得到满足,比如对商场B1应有x11+x21=100.对商场B2和B3也有类似的一些关系式.另外,调拨数不能取负值.总结以上分析,可得这一运输问题的数学模型如下:(以z 表示总的运输费用)min z=15x11+21x12+18x13+20x21+25x22+16x23,s.t.x11+x12+x13=200,x21+x22+x23=150,x11+x21=100,x12+x22=80,x13+x23=90,x ij≥0(i=1,2;j=1,2,3),其中min是minimize的省写.严格说来,x ij还应取整数值,这一点我们暂不讨论.由以上诸例可见,线性规划问题的数学模型(简称线性规划模型)的一般形式为min(或max)z=c1x1+c2x2+…+c n x n,s.t.a11x1+a12x2+…+a1n x n(*)b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n(*)b2,………………………………………a m1x1+a m2x2+…+a m n x n(*)bm,(1.6)某些变量≥0,某些变量无符号限制,(1.7)其中的a ij,b i,c j(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)均为已知实常数,(*)表示“≤”或“≥”或“=”.x1,x2,…,x n称为决策变量(deci-sion variables),z称为目标函数(objective function),(1.6)和(1.7)称为约束条件(const raints),(1.6)中的每一个式子均称为函数约束(functional constraint),(1.7)中要求变量≥0的条件称为非负条件(nonnegativity constraints).这表明,线性规划模型由三部分构成:1)一组决策变量x1,x2,…,x n.通常要求它们非负.2)表示所给问题的最优化指标的目标函数z.它是决策变量的线性函数.在有些问题中我们要求z的最大值,而在另一些问题中我们要求z的最小值.前者称为最大化问题,后者称为最小化问题.3)一组约束条件(线性等式或线性不等式).它们确定决策变量所能取值的范围.正因为目标函数和约束条件都是决策变量的线性表示式,所以,这种数学模型称为线性规划模型,相应的问题叫做线性规划问题.以后我们把“线性规划”简写为“L P”,它是“Linear Programming”的缩写.关于上述模型有两点需加以说明.第一,任何一个实际问题,严格说来,都是非线性的.那么,是问题的什么特性能容许我们作出线性性质的假定,这一点在建立模型时应当明确.第二,在有些模型中(如决策变量代表产品的件数),还要求决策变量取整数值.在线性规划的范围内来处理这一问题,通常是将连续最优解通过四舍五入取整.当变量的最优值都比较大时,这种做法是可行的.要想得到精确的整数最优解,则需应用第六章中整数规划的解法了.现在介绍关于线性规划问题的解的概念.我们知道,求解线性规划问题就是要找出x1,x2,…,x n之值,使它们满足全部约束条件,并使目标函数z达到最大值或最小值.为此我们引入下述定义.。
2023大学_运筹学第三版课后习题答案下载
2023运筹学第三版课后习题答案下载运筹学第三版课后答案下载1955年我国从“运筹帷幄之中，决胜千里之外”(见《史记》)这句话摘取“运筹”二字，将O.R.正式译作运筹学。
在中国古代文献中就有记载，如田忌赛马、丁渭主持皇宫修复等。
说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案，就会取得最好的效果。
可见，筹划安排是十分重要的。
普遍认为，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决。
前者提供模型，后者提供理论和方法。
运筹学的思想在古代就已经产生了。
敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上，做出最优的对付敌人的方法，这就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的说法。
但是作为一门数学学科，用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排，却是晚多了。
也可以说，运筹学是在二十世纪三十年代才开始兴起的一门分支。
运筹学：古代发展点击此处下载运筹学第三版课后答案运筹学：研究对象运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。
当然，随着客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事活动，有些已经深入到日常生活当中去了。
运筹学可以根据问题的要求，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，以达到最好的效果。
运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：确定目标、制定方案、建立模型和制定解法。
虽然不大可能存在能处理极其广泛对象的.运筹学，但是在运筹学的发展过程中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题。
随着科学技术和生产力的发展，运筹学已渗入到很多领域，发挥着越来越重要的作用。
运筹学本身也在不断发展，涵盖线性规划、非线性规划、整数规划、组合规划、图论、网络流、决策分析、排队论、可靠性数学理论、库存论、博弈论、搜索论以及模拟等分支。
运筹学有广阔的应用领域，它已渗透到诸如服务、搜索、人口、对抗、控制、时间表、资源分配、厂址定位、能源、设计、生产、可靠性等各个方面。
2024版清华大学出版《运筹学》第三版完整版课件
要点三
金融服务与投资管理
在金融服务和投资管理中，存储论可用 于优化资金配置和投资组合，降低风险 和提高收益。例如，通过定期订货模型 的运用，可以制定合理的投资策略和资 产配置方案，实现资产的保值增值和风 险控制。
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07
排队论
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排队论的基本概念
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清华大学出版《运筹 学》第三版完整版课
件
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目录
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• 绪论 • 线性规划 • 整数规划 • 动态规划 • 图与网络分析 • 存储论 • 排队论
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01
绪论
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3
运筹学的定义与发展
运筹学的定义
运筹学是一门应用数学学科，主要研究如何在有限资源下做出最优决策，以最 大化效益或最小化成本。
目标函数
表示决策变量的线性函数，需要最大化或最 小化。
约束条件
表示决策变量需要满足的线性等式或不等式。
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决策变量
表示问题的未知数，需要在满足约束条件的 情况下求解目标函数的最优值。
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线性规划问题的图解法
01
可行域
表示所有满足约束条件的决策变量构成的集合。
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02
目标函数等值线
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单服务台排队系统
M/M/1排队系统
到达间隔和服务时间均服从负指数分布的单服务台排队系 统。
M/D/1排பைடு நூலகம்系统
到达间隔服从负指数分布，服务时间服从确定型分布的单 服务台排队系统。
表格。
10
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
运筹学第3版熊伟编著习题答案
运筹学（第3版）习题答案第1章线性规划 P36第2章线性规划的对偶理论 P74 第3章整数规划 P88 第4章目标规划 P105第5章运输与指派问题P142 第6章网络模型 P173 第7章网络计划 P195 第8章动态规划 P218 第9章排队论 P248 第10章存储论P277 第11章决策论P304第12章 多属性决策品P343 第13章博弈论P371 全书420页第1章 线性规划1.1工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．表1－23产品 资源 A B C 资源限量 材料(kg) 1.5 1.2 4 2500 设备(台时) 3 1.6 1.2 1400 利润(元/件)101412根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.2建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：表1－24 窗架所需材料规格及数量型号A 型号B 每套窗架需要材料长度（m ） 数量(根)长度(m) 数量(根)A 1：2 2B 1：2.5 2 A 2：1.53 B 2：23需要量（套）300400问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少． 【解】 第一步：求下料方案，见下表。
方案 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 需要量 B1 2.5 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 800 B2 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1200 A1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 600 A21.5120 2 3 900 余料(m) 0 0.5 0.5 1 1 1 010.5第二步：建立线性规划数学模型设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为2345681012342567368947910min 0.50.50.52800212002*********0,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。
清华版《运筹学》(第三版)课后习题详解、...
解：用决策变量 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 分别表示 2：00~6：00， 6：00~10：00 ，10：00~14：
00 ，14：00~18：00，18：00~22：00， 22：00~ 2：00 时间段的服务员人数。
其数学模型可以表述为： min Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
x1 + x6 >= 3 x1 + x2 >= 9 x2 + x3 >= 12 x3 + x4 >= 5 x4 + x5 >= 18 x5 + x6 >= 4 x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 ≥ 0
3、现要截取 2.9 米、2.1 米和 1.5 米的元钢各 100 根，已知原材料的长度是 7.4 米，问应如 何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。
(0, 0, 0, 5, 2, 6)T ，Z＝5。
初始单纯行表为：
cj
2
-1
1
1
CB
XB
x1
x2
x3
x4
1
x4
-1
1
1
1
0
x5
1
1
0
0
0
0
b
x5
x6
0
0
5
1
0
2
0
x6
2
1
1
0
0
1
6
σj
3
-2
0
0
0
0 z=0
(2)非基变量 x2 , x3 仍然取零， x1 由 0 变为 1,即 x1 ＝1, x2 ＝0, x3 =0,代入约束条件得一个可 行解 X= (1, 0, 0, 6,1, 4)T 。其目标函数值为 Z＝8
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习题三B1B2B3B4供应量A1（10）（6）（7）（12） 4A2（16）（10）（5）（9）9A3（5）（4）（10）（10） 5需要量 5 3 4 6 183.2由产地A1，A2发向销地B1，B2的单位费用如下表，产地允许存贮，销地允许缺货，存贮和缺货的单位运费也列入表中。
求最优调运方案，使总费用最省。
B1B2供应量存贮费/件A18 5 400 3A2 6 9 300 4需要量200 350缺货费/件 2 53.3对如下表的运输问题：A B 供应量X 100（6）（4）100Y 30（5）50（8）80Z （2）60（7）60需要量130 110 240(1)若要总运费最少，该方案是否为最优方案?(2)若产地Z的供应量改为100，求最优方案。
3.4 某利润最大的运输问题，其单位利润如下表所示：B1B2B3B4供应量A1（6）（7）（5）（8）8A2（4）（5）（10）（8）9A3（2）（9）（7）（3）7需要量8 6 5 5 24(1)求最优运输方案，该最优方案有何特征?(2)当A1的供应量和B3的需求量各增加2时，结果又怎样?3.5 某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为1000、2000、2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。
已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。
又知丙百货商店要求至少供应C玩具1000件，而拒绝进A玩具。
求满足上述条件下使总盈利额最大的供销分配方案。
甲 乙 丙 可供量A 5 4 － 1000B 16 8 9 2000C 12 10 11 20003.6 目前，城市大学能存贮200个文件在硬盘上，100个文件在计算机存贮器上，300个文件在磁带上。
用户想存贮300个字处理文件，100个源程序文件，100个数据文件。
每月，一个典型的字处理文件被访问8次，一个典型的源程序文件被访问4次，一个典型的数据文件被访问2次。
当某文件被访问时，重新找到该文件所需的时间取决于文件类型和存贮介质，如下表。
时 间（分钟） 处理文件 源程序文件 数据文件硬盘 5 4 4 存贮器 2 1 1 磁带 10 8 6如果目标是极小化每月用户访问所需文件所花的时间，请构造一个运输问题的模型来决定文件应该怎么存放并求解。
3.7 已知下列五名运动员各种姿势的游泳成绩（各为50米）如表5-2：试用运输问题的方法来决定如何从中选拔一个参加200混合泳的接力队，使预期比赛成绩为最好。
赵 钱 张 王 周 仰 泳 37.7 32.9 33.8 37.0 35.4 蛙 泳 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8 蝶 泳 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6 自由泳29.226.429.628.531.13.8 求总运费最小的运输问题，其中某一步的运输图如下表。
B 1 B 2 B 3 供应量 A 1 3（3） （5） （7） 3 A 2 2（4） 4（2） （4） 6 A 3 （5） 1（6） 5（3） d 需要量abce（1）写出a,b,c,d,e 的值，并求出最优运输方案；（2）A 3到B 1的单位运费满足什么条件时，表中运输方案为最优方案。
3.9 某一实际的运输问题可以叙述如下：有n 个地区需要某种物资，需要量分别为b j （j ＝1,…,n ）。
这些物资均由某公司分设在m 个地区的工厂供应，各工厂的产量分别为a i （i ＝1,…,m ），已知从i 地区的工厂至第j 个需求地区的单位物资的运价为c ij ，又∑=mi ia1＝∑=nj j b 1，试阐述其对偶问题并解释对偶变量的经济意义。
3.10. 为确保飞行安全，飞机上的发动机每半年必须强迫更换进行大修。
某维修厂估计某种型号战斗机从下一个半年算起的今后三年内每半年发动机的更换需要量分别为：100，70，80，120，150，140。
更换发动机时可以换上新的，也可以用经过大修的旧的发动机。
已知每台新发动机的购置费为10万元，而旧发动机的维修有两种方式：快修，每台2万元，半年交货（即本期拆下来送修的下批即可用上）；慢修，每台1万元，但需一年交货（即本期拆下来送修的需下下批才能用上）。
设该厂新接受该项发动机更换维修任务，又知这种型号战斗机三年后将退役，退役后这种发动机将报废。
问在今后三年的每半年内，该厂为满足维修需要各新购、送去快修和慢修的发动机数各是多少，使总的维修费用为最省？（将此问题归结为运输问题，只列出产销平衡表与单位运价表，不求数值解。
）3.11甲、乙两个煤矿分别生产煤500万吨，供应A、B、C三个电厂发电需要，各电厂用量分别为300、300、400万吨。
已知煤矿之间、煤矿与电厂之间以及各电厂之间相互距离（单位：公里）如下列三个表所示。
又煤可以直接运达，也可经转运抵达,试确定从煤矿到各电厂间煤的最优调运方案（最小总吨公里数）。
从到甲乙从到 A B C 从到 A B C甲0 120 甲150 120 80 A 0 70 100乙100 0 乙60 160 40 B 50 0 120C 100 150 0复习思考题3.12 试述运输问题数学模型的特征，为什么模型的(m+n)个约束中最多只有(m+n一1)个是独立的。
3.13 试述用最小元素法确定运输问题的初始基可行解的基本思路和基本步骤。
3.14 为什么用伏格尔法给出的运输问题的初始基可行解，较之用最小元素法给出的更接近于最优解。
3.15 试述用闭回路法计算检验数的原理和经济意义，如何从任一空格出发去寻找一条闭回路。
3.16 概述用位势法求检验数的原理和步骤。
3.17 试述表上作业法计算中出现退化的涵义及处理退化的方法。
3.18 如何把一个产销不平衡的运输问题(含产大于销和销大于产)转化为产销平衡的运输问题。
3.19 一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化并列出运输问题的数学模型，从而用表上作业法求解。
3.20 判断下列说法是否正确(a)运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之一：有唯一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解；(b)表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法；(c)按最小元素法(或伏格尔法)给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出且仅能找出唯一的闭回路；(d)如果运输问题单位运价表的某一行(或某一列)元素分别加上一个常数k，调运方案将不会发生变化；(e)如果运输问题单位运价表的某一行(或某一列)元素分别乘上一个常数k，调运方案将不会发生变化；(h)当所有产地产量和销地的销量均为整数值时，运输问题的最优解也为整数。
第三章运输问题3.1解：表3.1-1B1B2B3B4供应量A1 (10) （6）（7）（12） 4A2(16) （10）（5）（9）9A3(5) （4）（10）（10） 5需要量 5 3 4 6 18西北角法是优先从运价表的西北角的变量赋值，当行或列分配完毕后，再在表中余下部分的西北角赋值，以此类推，直到右下角元素分配完毕。
表3.1-1西北角元素是x11, x11=min｛a1, b1｝= min｛4, 5｝= 4，将4填在C11的左侧，表示A1供应4单位给B2。
同时将第一行划去，表示A1的产量全部运出，得表3.1-2。
在表3.1-2中，西北角元素是x21，x21= min｛9, 5-4｝=1，同时降第一列划去，表示B1已满足需要，得到表3.1-3。
依次向右下角安排运量，结果如表3.1-4所示。
表3.1-2B1B2B3B4供应量A1 4 (10) （6）（7）（12） 4A2(16) （10）（5）（9）9A3(5) （4）（10）（10） 5需要量 5 3 4 6 18表3.1-3B1B2B3B4供应量A1 4 (10) （6）（7）（12） 4A2 1 (16) （10）（5）（9）9A3(5) （4）（10）（10） 5需要量 5 3 4 6 18表3.1-4B1B2B3B4供应量A1 4 (10) （6）（7）（12） 4A2 1 (16) 3（10）4（5）1（9）9A3(5) （4）（10）5（10） 5需要量 5 3 4 6 18最小元素法的思想是就近优先运送，即最小运价c ij对应的变量x ij优先赋值x ij=min｛a i, b j｝，然后在剩下的运价中取最小运价对应的变量赋值并满足约束，依次下去，直到最后得到一个初始基本可行解。
表3.1-1中最小元素是C 32，令x 32=min ｛a 3, b 2｝= min ｛5, 3｝= 3，同时将第二列划去，得到表3.1-5。
在表3.1-5中，最小元素为C 23，C 31，任意选取其一，这里选C 31，令x 31= min ｛5-3, 5｝=2，同时将第三行划去，得表3.1-6。
依次进行下去，其结果见表3.1-7。
表3.1-5B 1 B 2 B 3 B 4 供应量 A 1 (10) （6） （7） （12） 4 A 2 (16) （10） （5） （9） 9 A 3 (5) 3（4） （10） （10） 5 需要量 5 3 4 618表3.1-6B 1 B 2 B 3 B 4 供应量 A 1 (10) （6） （7） （12） 4 A 2 (16) （10） （5） （9） 9 A 3 (5) 3（4） （10） （10） 5 需要量 5 3 4 618 表3.1-7B 1 B 2 B 3 B 4 供应量 A 1 3 (10) （6） （7） 1（12） 4 A 2 (16) （10） 4（5） 5（9） 9 A 3 2 (5) 3（4） （10） （10） 5 需要量534618 伏格尔法是最小元素法的改进，考虑到产地到销地的最小运价和此小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价处险调运，否则会增加总运费。
在表3.1-1中求行差额)3,2,1(=i i μ和列差额)4,1( =j j ν。
计算公式为行最小运价行次小运价i i i -=μ，列最小运价列次小运价j j j -=ν{}{}{}{}同时满足约束，和，这时所以先调运价使最大，第一列的最小运即131331311A 55,5min ,min ,c ,51,2,2,5,1,4,1max ,max B b a x j i =====ννμ若同时将第三行与第一列划去，最后即变量个数比小于3+4-1=6个，因而应再x 32，x 33,x 34和x 11,x 12中任意选一个变量作为即变量，运量为零，这里选x 11，如表3.1-8所示。
求第二个基变量仍然是求差额，因为第三行和第一列已满足，所以只求u 1,u 2和v 2，v 3，v 4即可，结果见表3.1-9。
此时，有两个最大差额u 2，v 2，任选一个即可，这里选v 2.第二列最小运价为c 12，故x 12=min ｛4,3｝=3.同时将第二列划去。