直线一级倒立摆的数学建模和根轨迹控制
直线一级倒立摆的数学建模和根轨迹控制直线一级倒立摆是一种基于控制理论的研究对象，它可以通过数学建模来进行分析和控制。数学建模的过程中，需要将倒立摆的动力学方程、控制器以及传感器等元器件进行建模。根据建模结果可以分析系统的稳定性、响应速度等特征，并为设计控制策略提供参考。
根轨迹控制是一种常用于控制系统设计的方法，它通过分析控制系统的传递函数，绘制根轨迹图来评估控制系统的稳定性和性能。对于直线一级倒立摆，可以根据其数学模型进行传递函数分析，得出控制系统的传递函数，并绘制根轨迹图。在根轨迹图上，可以根据根轨迹的位置来判断系统的稳定性和响应速度，从而确定控制策略并调整控制参数，以实现目标控制效果。
因此，直线一级倒立摆的数学建模和根轨迹控制在控制理论研究和工程应用中具有重要意义，可以为控制系统设计提供有效的方法和手段。
电气系统综合设计实验报告直线一级倒立摆控制系统设计
电气控制系统设计 ——直线一级倒立摆控制系统设计学院轮机工程学院班级电气1111 姓名李杰学号 36 姓名韩学建学号 35 成绩指导老师肖龙海 2014 年 12 月 25 日 小组成员与分工： 韩学建 主要任务：二阶系统建模与性能分析,二阶控制器的设计,二阶系统的数字仿真与调试,二阶系统的实物仿真与调试;二阶状态观测器的数字仿真与调试,二阶状态观测器的实物仿真与调试; 李杰 主要任务：四阶系统建模与性能分析,四阶控制器的设计,四阶系统的数字仿真与调试,四阶系统的实物仿真与调试;四阶状态观测器的数字仿真与调试,四阶状态观测器的实物仿真与调试; 前言 倒立摆系统是非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统,倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合,其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统,可以作为一个典型的控制对象对其进行研究;倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段,为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台,以用来检验某种控制理论或方法的典型方
案,促进了控制系统新理论、新思想的发展; 本报告通过设计二阶、四阶两种倒立摆控制器来加深对实际系统进行建模方法的了解和掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法;熟悉倒立摆系统的组成及基本结构并利用MATLAB对系统模型进行仿真,利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计,并对系统进行实际控制实验,对实验结果进行观察和分析,研究调节器参数对系统动态性能的影响,非常直观的了解控制器的控制作用; 目录 第一章设计的目的、任务及要求 倒立摆系统的基本结构 (4) 设计的目的 (4) 设计的基本任务 (4) 设计的要求 (4) 设计的步骤 (5) 第二章一级倒立摆建模及性能分析 微分方程的推导 (5) 系统的稳定性和能控能观性分析 (11) 二阶的能观性、能控性分析 (13) 四阶的能观性、能控性分析 (18) 第三章倒立摆系统二阶控制器、状态观测器的设计与调试 设计的要求 (22) 极点配置 (22) 控制器仿真设计与调试 (23) 状态观测器仿真设计与调试 (28) 第四章倒立摆系统四阶控制器、状态观测器的设计与调试 设计的要求 (26) 极点配置 (26) 控制器仿真设计与调试 (27) 状态观测器仿真设计与调试 (28) 心得体会 (31)
倒立摆课程设计
摘要 倒立摆系统作为一个具有绝对不稳定、高阶次、多变量、强祸合 的典型的非线性系统，是检验新的控制理论和方法的理想模型，所以 本文选择倒立摆系统作为研究对象具有重要的理论意义和应用价值。 相对于其他研究倒立摆系统的控制方法，Backstepping方法最大的优点是不必对’系统进行线性化，可以直接对系统进行递推性的控制器设计，保留了被控对象中有用的非线性项，使得控制设计更接近实际情况，而且所设计的控制器具有很强的鲁棒性。 本文主要利用Backstepping方法设计了直线型一级倒立摆系统控制器并基于/ MATLAB Simulink对系统进行了离线仿真。本文所作的主要工作或要达到的主要目的是: (一)建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，并利用Backstepping方法设计了该倒立摆系统的控制器，然后对闭环系统进行了数值仿真并与其他方法进行了数值仿真分析比较。与当前的倒立摆研究成果相比，具有研究方法新颖、控制效果好的特点。 (二)本文利用所设计的非线性控制器在/ MATLAB Simulink环境下对系统进行了离线仿真分析，并与固高公司提供的算法进行了仿真效果比较。 关键词:倒立摆系统，Backstepping, / MATLAB Simulink，实时控制
目录 1.倒立摆系统的简介 (1) 1.1倒立摆系统的研究背景 (1) 1.2倒立摆系统的研究历史、现状及发展趋势 (2) 1.3倒立摆的主要控制方法 (4) 2.一级倒立摆数学模型 (6) 2.1一级倒立摆系统的组成 (6) 2.2一级倒立摆系统数学模型的建立 (7) 3.系统控制器的设计和闭环系统的数值仿真 (9) 4.直线型一级倒立摆系统的Simulink模型和离线仿真 (12) 4.1基于线性控制器对线性系统的离线仿真 (12) 4.2基于线性控制器对非线性系统的离线仿真 (15) 4.3基于非线性控制器对非线性系统的离线仿真 (16) 5.模型的优点 (18) 6.结论和展望 (19) 7.参考文献 (20)
大学课程设计-直线一级倒立摆控制系统设计
摘要 倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。 本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。 本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等，研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。 关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真
目录 第1章MATLAB仿真软件的应用 (9) 1.1 MA TLAB的基本介绍 (9) 1.2 MA TLAB的仿真 (9) 1.3 控制系统的动态仿真 (10) 1.4 小结 (12) 第2章直线一级倒立摆系统及其数学模型 (13) 2.1 系统组成 (13) 2.1.1 倒立摆的组成 (14) 2.1.2 电控箱 (14) 2.1.3 其它部件图 (14) 2.1.4 倒立摆特性 (15) 2.2 模型的建立 (15) 2.2.1 微分方程的推导 (16) 2.2.2 传递函数 (17) 2.2.3 状态空间结构方程 (18) 2.2.4 实际系统模型 (20) 2.2.5 采用MA TLAB语句形式进行仿真 (21) 第3章直线一级倒立摆的PID控制器设计与调节 (34) 3.1 PID控制器的设计 (34) 3.2 PID控制器设计MA TLAB仿真 (36) 结论 (41) 致谢 (42) 参考文献 (43)
直线一级倒立摆系统建模
直线一级倒立摆系统建模LT
摘要 本文主要研究的是一级倒立摆的PID控制问题，并对其PID的参数进行了优化，优化算法是遗传算法。倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。由于在实际中有很多这样的系统，因此对它的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。本文首先简单的介绍了一下倒立摆以及倒立摆的控制方法，并对其参数优化算法做了分类介绍。然后，介绍了本文选用的优化参数的算法遗传算法的基本理论和操作方法。接着建立了一级倒立摆的数学模型，并求出其状态空间描述。本文着重讲述的是利用遗传算法来对PID的参数进行优化的实现方法。最后，用Simulink 对系统进行了仿真，得出遗传算法在实际控制中是一种较为理想的PID参数优化方法的结论。 关键词：PID控制器；一级倒立摆；仿真
目录 摘要.................................................................................................错误!未定义书签。第一章前言 ..................................................................................错误!未定义书签。 1.1 设计背景 ....................................................................错误!未定义书签。 1.2 设计意义 ....................................................................错误!未定义书签。第二章被控对象的分析与建模 (1) 第三章设计理论及仿真过程 ......................................................错误!未定义书签。 3.1设计理论及分析方法 .................................................错误!未定义书签。 3.1.1 PID控制器.................................................错误!未定义书签。 3.1.2模糊PID控制器........................................错误!未定义书签。 3.2 双容水箱液位控制系统的仿真过程........................错误!未定义书签。第四章设计总结 . (13) 参考文献 (14)
自动控制原理课程设计——倒立摆系统控制器设计
一、引言 支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒立摆控制系 统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各 种控制实验的理想实验平台。 1.1问题的提出 倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等， 多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆 系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性 问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来 检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。 倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没 有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服 随机扰动而保持稳定的位置。 1.2倒立摆的控制方法 倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望 值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实 现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动， 摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由 地摆动。作用力u 平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖 直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直 的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定， 需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。 本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的 数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理 论和Matlab /Simulink 仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例- 积分- 微分）控制器进行模拟控制矫正。
pid控制倒立摆
PID控制倒立摆 前言 直线一级倒立摆，是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车的匀质长杆组成的非线性的、不稳定的系统。 本文主要讲了采用机理建模的方法得到一阶倒立摆的数学模型，并采用PID 双闭环控制的方式来控制它，从而使其成为稳定的系统，并对整个过程进行了matlab仿真分析。 Abstract First-order linear inverted pendulum is composed of a trolley, moved along the linear guides, and a homogeneous pole, one end of which is fixed at the car. However, this system is non-linear and unstable. This article stresses the use of modeling approach to the mechanism of first-order mathematical model of the inverted pendulum, and the use of double-loop PID control to control it, making it a stable system, and the whole process simulation analysis with MATLAB. 倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台．许多抽象的控制概念，如控制系统的稳定性、可控性、系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆系统直观地表现出来．除教学用途外，倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非性和强耦合等特性，使得许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象．他们不断从研究倒立摆控制方法中发掘出新的控制方法，并将其应用于航天科技和机器人学等高新科技领域．倒立摆系统是典型的机电一体化系统，其机械部分遵循牛顿的力学定律，其电气部分遵守电磁学的基本定理．因此，可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型，
(完整版)直线一级倒立摆建模
一、直线一级倒立摆建模 根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示： 倒立摆系统是典型的机电一体化系统,其机械部分遵循牛顿的力学定律,其电气部分遵守电磁学的基本定理.因此,可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型,通过实际测量和实验来获取系统模型参数.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统. 小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。 虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性: 1) 非线性 倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。 2) 不确定性 主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。 3) 耦合性 倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。 4) 开环不稳定性 倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。 由此，约束限制直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点: (1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度; (2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°;
一阶倒立摆系统建模与仿真研究
一阶倒立摆系统建模与仿真研究 一阶倒立摆系统是一种典型的非线性控制系统，具有多种状态和复杂的运动特性。在实际生活中，倒立摆被广泛应用于许多领域，如机器人平衡控制、航空航天、制造业等。因此，对一阶倒立摆系统进行建模与仿真研究具有重要的理论价值和实际意义。 ml''(t) + b*l'(t) + k*l(t) = F(t) 其中，m为质量，b为阻尼系数，k为弹簧常数，l(t)为摆杆的位移，l'(t)为摆杆的加速度，l''(t)为摆杆的角加速度，F(t)为外界作用力。 在仿真过程中，需要设定摆杆的初始位置和速度。一般而言，初始位置设为0，初始速度设为0。边界条件则根据具体实验需求进行设定，如限制摆杆的最大位移、最大速度等。 利用MATLAB/Simulink等仿真软件进行建模和实验，可以方便地通过改变输入信号的参数（如力F）或系统参数（如质量m、阻尼系数b、弹簧常数k）来探究一阶倒立摆系统的性能和反应。 通过仿真实验，我们可以观察到一阶倒立摆系统在受到不同输入信号的作用下，会呈现出不同的运动规律。在适当的输入信号作用下，摆
杆能够达到稳定状态；而在某些特定的输入信号作用下，摆杆可能会出现共振现象。 在仿真过程中，我们可以发现一阶倒立摆系统具有一定的鲁棒性。在一定范围内，即使输入信号发生变化或系统参数产生偏差，摆杆也能够保持稳定状态。然而，当输入信号或系统参数超过一定范围时，摆杆可能会出现共振现象，导致系统失稳。因此，在实际应用中，需要对输入信号和系统参数进行合理控制，以保证系统的稳定性。 为了避免共振现象的发生，可以通过优化系统参数或采用其他控制策略来实现。例如，适当增加阻尼系数b能够减小系统的振荡幅度，有利于系统尽快达到稳定状态。可以采用反馈控制策略，根据摆杆的实时运动状态调整输入信号，以抑制系统的共振响应。 本文对一阶倒立摆系统进行了建模与仿真研究，通过观察不同参数设置下的系统性能和反应，对其运动规律、鲁棒性及稳定性进行了分析。探讨了避免共振现象的方法。结果表明，一阶倒立摆系统具有较高的鲁棒性和稳定性，但在特定条件下仍可能出现共振现象。为了提高系统的性能和稳定性，可以采取适当的参数优化和反馈控制策略。 一级倒立摆系统是一种典型的具有非线性、强耦合、多变量等特点的物理系统，其控制问题是一个具有挑战性的研究领域。在本文中，我
自动化实验-倒立摆实验-附仿真结果图
一、直线一级倒立摆的仿真 (一)直线一级倒立摆的数学建模 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型. 图2 直线一级倒立摆模型 φ摆杆与垂直向上方向的夹角； θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。 图3 小车及摆杆受力分析 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程: 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式: 把这个等式代入式1中,就得到系统的第一个运动方程： 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程: 力矩平衡方程如下： 注意：此方程中力矩的方向,由于θ=π+φ,cosφ= −cosθ,sinφ= −sin θ，故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去P 和N，得到第二个运动方程: 设θ=π+φ(φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<〈1，则可以进行近似处理:。 用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下: 对式9进行拉普拉斯变换，得到 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。 由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到： 或 如果令v = x，则有： 把上式代入方程组的第二个方程，得到： 整理后得到传递函数： 其中 设系统状态空间方程为: 方程组对解代数方程,得到解如下： 整理后得到系统状态空间方程： 设则有： 实际系统的模型参数如下: M 小车质量1。096 Kg m 摆杆质量0.109 Kg b 小车摩擦系数0 。1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0。2 5m
附--倒立摆简介与模型
倒立摆简介 倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。 倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转运动平台，也可以是两维运动平台。通过增加角度传感器和一节倒立摆杆，可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆。 倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处，极富趣味性，学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法，加深对所学课程的理解。由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造，成本廉价，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为常见的控制教学设备。 同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。因此，倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。 直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。除了为每个子系列提供模块化的实现方案外，其控制系统的软件平台采用开放式结构，使学生建立不同的模型，验证不同的控制算法，供不同层次的学生进行实验和研究。 由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。
一. 系统组成及参数： 倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成。控制输入为驱动力F （N），是由拖动小车的直流伺服电机提供的；被控制量是摆杆与垂直位置方向夹角θ（rad）和小车的位移x（m）。 实际倒立摆系统的模型参数： M：小车的质量，1.096kg； m：摆杆的质量，0.109kg； b：小车的摩擦系数，0.1N/(m/sec)； L ：摆杆的中心到转轴的长度，0.25m J：摆杆对重心的转动惯量，0.0034kg m2； T ：采样周期，0.005秒； 二．设计指标： 摆的角度小于0.02rad，响应时间小于1秒
一级倒立摆系统分析
一级倒立摆系统分析 一级倒立摆系统由一个垂直的支撑杆和一个质量为m、长度为l的摆杆组成。摆杆的一端通过一个旋转关节连接在支撑杆的顶端，另一端可以自由地在重力作用下摆动。我们将摆杆的摆动角度定义为θ，并假设摆杆的运动是平面运动，不考虑摆杆在垂直方向上的移动。 首先，我们需要建立一级倒立摆系统的动力学方程。根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，可以得到以下方程： 1.支撑杆垂直方向受力平衡方程： -mgl sinθ = 0 其中g为重力加速度。 2. 摆杆绕旋转关节的转动惯量为I = ml^2/3，根据转动惯量的定义可以得到角加速度α与力矩τ之间的关系： τ=Iα 其中τ = ml^2/3α。 3.摆杆绕旋转中心的转动方程： τ = Iα = ml^2/3α = -mgl sinθ 可以得到α与θ之间的关系： α = -3g/(2l)sinθ。 以上方程可以描述一级倒立摆系统在垂直方向上的平衡和旋转运动。其中，第一条方程表示摆杆在垂直方向上的受力平衡，第二条方程表示摆
杆的转动惯量及其与角加速度之间的关系，第三条方程表示摆杆绕旋转中心的转动方程。 接下来，我们可以通过线性化分析来研究一级倒立摆系统的稳定性。线性化是一种将非线性系统近似为线性系统的方法，通过计算系统在一些平衡点附近的一阶导数来实现。 我们首先要找到一级倒立摆系统的平衡点。根据第一条方程，当 θ=0时，系统达到平衡。在这个平衡点，摆杆不再摆动，所有受力均平衡。 接下来，我们对系统进行线性化。首先将θ分解为平衡点的偏差值Δθ和小量δθ，即： θ=θ_e+Δθ+δθ 其中θ_e为平衡点的角度。 将上述表达式带入到第三条方程中，并只保留一阶项，可以得到线性化的转动方程： α = -3g/(2l)(sinθ_e + cosθ_e Δθ +cosθ_e δθ)。 我们可以进一步线性化该方程，即将sinθ_e和cosθ_e在一阶项展开，并忽略二阶项，得到： α=-3g/(2l)(θ_e+Δθ+δθ)。 最后，我们可以得到线性化的一级倒立摆系统方程： ml^2/3δθ = -3g/(2l)(θ_e + Δθ + δθ)。
一级倒立摆MATLAB仿真、能控能观性分析、数学模型、极点配置
题目一： 考虑如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。倒立摆系统的参数包括：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。 图倒立摆系统 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量%≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。 要求：1、建立倒立摆系统的数学模型 2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性 3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定 是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的 分析方法进行参数的确定 4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状 态变量的时间响应图。 解： 1 建立一级倒立摆系统的数学模型 1.1 系统的物理模型 如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M ，摆杆的质量为m ，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ，作用在小车上的水平控制力为u。这样，整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。
图1 一级倒立摆物理模型 1.2 建立系统状态空间表达式 为简单起见，本文首先假设:(1)摆杆为刚体 ；(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦；( 3) 忽略小车与导轨之间的摩擦。 在如图一所示的坐标下，小车的水平位置是y,摆杆的偏离位置的角度是θ，摆球的水平位置为y+lsin θ。这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，根据牛顿第二定律，得到 u l y dt d m dt d M =++)sin (y 22 22θ （1） 对于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，得到 θθsin )sin y (m 22 mg l dt d =+ （2） 方程(1)，(2)是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零是合理的。则sin θ≈θ，cos θ≈1。在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得倒 u ml M =++.. ..y m θ）（ （3）
倒立摆实验报告
专 业 实 验 报 告 实验名称 倒立摆实验 实验时间 姓名 学号 一、实验内容 1、直线一级倒立摆建模 1.1 受力分析 针对直线一级倒立摆，在实际的模型建立过程中，可忽略空气流动阻力和其它次要的摩擦阻力，则倒立摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统，如图所示。 图1 小车系统 各参数定义： M ：小车质量 m ：摆杆质量 β：小车摩擦系数 l: 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力 X ：小车位置 Ф：摆杆与垂直向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直向下方向的夹角 摆杆受力和力矩分析 图2 摆杆系统 摆杆水平方向受力为：H 摆杆竖直方向受力为：V 由摆杆力矩平衡得方程： cos sin Hl Vl I φφθθπφθφ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩ &&&&&& （1） 代入V 、H ，得到摆杆运动方程。 当0φ→时，cos 1θ=，sin φθ=-，线性化运动方程： 1.2 传递函数模型 以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令 ，进行拉普拉斯变换得到 传递函数：
22 () () ml G s ml I s mgl = +- （2） 倒立摆系统参数值： M=1.096 % 小车质量，kg m=0.109 % 摆杆质量，kg 0.1 β=% 小车摩擦系数 g=9.8 % 重力加速度， l=0.25 % 摆杆转动轴心到杆质心的长度，m I= 0.0034 % 摆杆转动惯量， 以小车加速度为输入、摆杆角度为输出时，倒立摆系统的传递函数模型为： 2 0.02725 () 0.01021250.26705 G s s = - （3） 1.3 倒立摆系统状态空间模型 以小车加速度为输入，摆杆角度、小车位移为输出，选取状态变量： (,,,) x x xθθ =& &（4）由2 () I ml mgl mlx θθ +-= &&&&得出状态空间模型 0100 1 0000 0001 3 3 000 4 4 x x x x x g g l μ θ θ θθ ⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥' ==+⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ & & && & &&& （5） μ θ θ θ ' ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 & &x x x y（6）由倒立摆的参数计算出其状态空间模型表达式： （7）
一级倒立摆控制系统设计
页眉内容 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计 、设计目的 倒立摆是一个非线性、不稳定系统，经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。 二、设计要求 倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink 对相应的模块进行仿真。- 三、设计原理 倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度， 作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应 的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。 四、设计步骤 首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图 所示： _分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图： 一阶倒立摆控制系统动态结构图 '下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！ 1■一阶倒立摆建模 在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统, 如下图所示，其中: M :小车质量 m：为摆杆质量 J：为摆杆惯量 F:加在小车上的力 x :小车位置 0 :摆杆与垂直向上方向的夹角 l :摆杆转动轴心到杆质心的长度
页眉内容 根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知: (1) 摆杆绕其重心的转动方程为 (2) 摆杆重心的运动方程为 (3) 小车水平方向上的运动为 联列上述4个方程，可以得出 阶倒立精确气模型: 式中J 为摆杆的转动惯量：‘耳 若只考虑0在其工作点附近0 0=0附近(-10°兰0兰10°)的细微变化，贝冋以近似认为: 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg ，摆杆长度2 l=1m,重力加速度取g=10m/s 2 ,则可以得 一阶倒立摆简化模型: x=0.44F -3.33£ 拉氏变性 (0 = -0.4^h^fl- -cu 即 G 1(s)=_ _ 匸 -；G2(S )=<-12； 一阶倒立摆环节问题解决! 2.电动机驱动器 选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下: 驱动电压：U=0~100V 额定功率：PN=200W 额定转速：n=3000r/min 转动惯量：J=3X 10-6kg.m2 额定转矩：TN=0.64Nm 最大转矩：TM=1.91Nm 电磁时间常数：Tl=0.001s 电机时间常数：TM=0.003s 经传动机构变速后输出的拖动力为：F=0~16N ;与其配套的驱动器为：MSDA021A1A ，控制 电压：UDA=0~ ± 10V 。 若忽略电动机的空载转矩和系统摩擦，就可以认为驱动器和机械传动装置均为纯比例环节，并 假设这两个环节的增益分别为 Kd 和Km 。 页眉内容 即 D3(s)=1.6 电动机驱动器部分问题解决! Qs) -0.4 帀"s 2 -12 t 2 x(s) -1.1s 2 +10 6(s)
自控课程设计
目录 1 引言 (1) 2 单级倒立摆数学模型的建立 (1) 3 开环响应分析 (3) 4根轨迹法设计控制器 (6) 4.1根轨迹相应参数的确定 (6) 4.2 校正和仿真结果 (7) 5 频率特性法设计控制器 (14) 6 PID控制器设计 (20) 6.1 PID控制 (20) 6.2 PID控制参数的确定 (21) 7 设计感想 (25) 参考资料26
1引言 倒立摆是一种典型的快速多变量非线性绝对不稳定非最小相位系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有极大的相似性，因而对其进行研究是具有重要的理论和实践意义。同时由于倒立摆结构简单，成本低廉，因而成为人们学习研究和验证各种控制理论的理想装置。 本文以单级倒立摆为研究对象，运用牛顿动力学方法为其建立数学模型，并基于根轨迹法频率特性法和PID法对此系统的控制器进行设计和仿真，对实验结果的比较与分析。 2单级倒立摆数学模型的建立 M：小车质量 1.096kg m：摆杆质量0.109kg b：小车摩擦系数0.1N/sec l：摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m I：摆杆惯量0.0034kgm2 F加在小车上的力 X小车的位置 φ摆杆与垂直向上的夹角 θ 摆杆与垂直向下的夹角 下图为摆杆与小车的受力分析图 N和P为摆杆与小车相互作用的水平和垂直方向的分量。 直线一级倒立摆模型
小车及摆杆受力情况分析 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： Mx F bx N =-- 由摆杆的受力方向分析可得如下公式： 2 2(sin )N m x l dt d θ=+ 对摆杆垂直方向合力的分析可得下面的方程： 2 2(cos )d P mg m l dt θ-= 力矩平衡得： sin cos pl Nl I θθθ--= 由以上公式可得系统的运动方程分别为： 2()cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-= 2()sin cos I ml mgl mlx θθθ++=- 如果令v x =，进行拉普拉斯变换，得到摆杆角度和小车位移的传递函数： 2 22 () ()()s mls X s I ml s mgl φ=+- 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： 22 () () ()s ml V s I ml s mgl φ= +- 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 2 2 432()()()() ml s s q b I ml M m mgl bmgl U s s s s s q q q φ=+++-- 其中22 ()()()q M m I ml ml ⎡⎤=++-⎣⎦
一级倒立摆控制系统设计说明书
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计 一、设计目的 倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。 二、设计要求 倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用 MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。 三、设计原理 倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。 四、设计步骤 首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图 一阶倒立摆控制系统示意图如图所示： 分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：
一阶倒立摆控制系统动态结构图 下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！ 1.一阶倒立摆建模 在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置 θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为 （2） 摆杆重心的运动方程为 得 sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2 22 2(sin ) (2) (cos ) (3) x y d F m x l d t d F mg m l d t θθ=+=-
倒立摆实验报告(根轨迹)
专业实验报告 学生姓名学号指导老师 实验名称倒立摆与自动控制原理实验实验时间2014年7月5日 一、实验内容 （1）完成.直线倒立摆建模、仿真与分析； （2）完成直线一级倒立摆根轨迹校正与仿真控制实验： 1）理解并掌握根轨迹控制的原理和方法，并应用于直线一级倒立摆的控制； 2）在Simulink中建立直线一级倒立摆模型，通过实验的方法调整根轨迹参数并仿真波形； 3）当仿真效果达到预期控制目标后，下载程序到控制机，进行物理实验并获得实际运行图形。 二、实验过程 1. 实验原理 （1）直线倒立摆建模方法 倒立摆是一种有着很强非线性且对快速性要求很高的复杂系统，为了简化直线一级倒立摆系统的分析，在实际的建模过程中，我们做出以下假设： 1、忽略空气阻力； 2、将系统抽象成由小车和匀质刚性杆组成； 3、皮带轮和传送带之间无滑动摩擦，且传送带无伸长现象； 4、忽略摆杆和指点以及各接触环节之间的摩擦力。 实际系统的模型参数如下表所示： M 小车质量0.618 kg m 摆杆质量0.0737 kg b 小车摩擦系数0.1 N/m/sec 0.1225 m l 摆杆转动轴心到 杆质心的长度 I 摆杆惯量0.0034 kg*m*m g 重力加速度9.8 kg.m/s
（2）直线一级倒立摆根轨迹校正控制原理 基于根轨迹法校正的基本思想是：假设系统的动态性能指标可由靠近虚轴的一对共轭闭环主导极点来表征，因此，可把对系统提出的时域性能指标的要求转化为一对期望闭环主导极点。确定这对闭环主导极点的位置后，首先根据绘制根轨迹的相角条件判断一下它们是否位于校正前系统的根轨迹上。如果这对闭环主导极点正好落在校正前系统的根轨迹上，则无需校正，只需调整系统的根轨迹增益即可；否则，可在系统中串联一个超前校正装置。 常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。 2. 实验方法 （1）直线倒立摆建模、仿真与分析 利用牛顿-欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型；依照根轨迹设计的步骤得到系统的控制器，利用MA TLAB Simulink中的工具进行仿真分析。 （3）直线一级倒立摆根轨迹校正控制 利用MATLAB Simulink来实现根轨迹校正控制参数设定和仿真，并利用该参数来设定只限一级倒立摆的根轨迹校正控制器值，分析和仿真倒立摆的运行情况。 3. 实验装置 直线单级倒立摆控制系统硬件结构框图如图1所示，包括计算机、I/O设备、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件等几大部分，组成了一个闭环系统。 图1 一级倒立摆实验硬件结构图 对于倒立摆本体而言，可以根据光电码盘的反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分法得到。摆杆的角度由光电码盘检测并直接反馈到I/O设备，速度信号可以通过差分法得到。计算机从I/O设备中实时读取数据，确定控制策略（实际上是电机的输出力矩），并发送给I/O设备，I/O设备产生相应的控制量，交与伺服驱动器处理，然后使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。
一级倒立摆分析
一级倒立摆的极点配置及仿真 摘要 倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。 本文主要研究的是一级倒立摆，首先应用动力学方程建立一级倒立摆的非线性数学模型，采用小偏差线性化的方法在平衡点附近局部线性化得到线性化的数学模型。然后通过输入单位阶跃信号分析系统的开环稳定性，由线性化得到的状态方程判断系统的能控性和能观性，结合系统的稳定性条件、调整时间以及超调量找到合适的极点，运用极点的配置方法（Matlab的acker函数）算出状态反馈增益矩阵K，运用状态空间分析方法，采用状态反馈为倒立摆系统建立稳定的控制律，并判断加入反馈矩阵K后的能观性和能控性是否改变。最后应用Matlab中的Simulink建立相应框图，得到输出变量水平位置和角度随时间的变化曲线，验证加入反馈矩阵K后一级倒立摆系统的稳定性。 关键词：一级倒立摆状态反馈极点配置Matlab Simulink
目录 1、一级倒立摆系统简介 (2) 2、一级倒立摆系统的数学模型 (3) 2.1、数学模型的建立 (3) 2.2、运动分析 (4) 2.2.1、沿水平方向运动（直线运动） (4) 2.2.2、绕轴线的转动（旋转运动） (6) 3、状态空间极点配置 (8) 3.1、系统开环稳定性分析 (8) 3.2、开环系统的能控性分析 (10) 3.3、开环系统的能观性分析 (11) 3.4、系统极点配置 (12) 3.5、闭环系统的能控性和能观性分析 (15) 4、一级倒立摆系统Matlab仿真 (16) 4.1、系统开环Simulink搭建及仿真 (16) 4.2、系统极点配置后的Simulink仿真 (19) 5、总结 (23) 6、参考文献 (24)
倒立摆系统的控制器设计
目录 摘要 ....................................................................... -2 - 1倒立摆系统概述 (3) 1.1倒立摆的种类 (3) 1.2系统的组成 (3) 1.31程背景 (3) 2数学模型的建立 (4) 2.1牛顿力学法系统分析 (4) 2. 2拉氏变换后实际系统的模型 .................................................... -7 - 3 开环响应分析 (8) 4根轨迹法设计..................................................................... -10 - 4. 1校正前倒立摆系统的闭环传递函数的分析 (10) 4. 2系统稳定性分析 ............................................................ -10 - 4. 3根轨迹设计 (11) 4.4 SIMULINK仿真 (14) 5直线一级倒立摆频域法设计 (15) 5. 1 系统频域响应分析.......................................................... -15 - 5. 2频域法控制器设计 (16) 5. 2.1控制器的选择 (16) 5. 2. 2系统开环增益的计算 (17) 5. 2. 3校正装置的频率分析.................................................. -17 - 5. 3 Simul ink 仿真.............................................................. -21 - 6直线一级倒立摆的PID控制设计..................................................... -22 - 6. 1 PID 简介 (22) 6.2 PID控制设计分析 (22) 6.3 PID控制器的参数测定 (23) 7总结与体会 (26) 7. 1 总结...................................................................... -26 - 7. 2 体会...................................................................... -26 - 参考文献.......................................................................... -27 -