倒立摆建模

样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统，单节倒立摆系统的控制模型是目前国内外广泛采用的模型是研究各种控制算法的基础。

该系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，倒立摆，本体和光电码盘等几部分组成了一个闭环系统。如图所示：光电码盘1将小车的位移速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的位置，速度信号由光电码盘2也反馈回运动控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动，移动速度，加速度等。）并实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机带动小车,保持平衡。

1.结构参数

倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图3所示平面内运动。控制力F 作用于小车上。摆杆长度为l ，质量为m ，小车的质量为M ，小车瞬时位移为x ，摆杆瞬时位置为（x+2L*sin φ），在外力的作用下，系统产生运动。假设摆杆的重心位于其几何中心。设输入为作用力F ，输出为摆角φ。 2.系统的运动方程

控制要求：在摆受到外力F 时，调节小车的位置x ，保持摆杆平衡。

计

运

伺

伺服摆

光电码光电码

图2 系统结构组成原理

图

3 小车受力分析图

图4 一级摆受力分析图

应用牛顿力学可推导出该倒立摆系统的运动学方程

⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧=----=--+=-=+θ

I Nlcos θPlsin θcos θθml sin θθml mg P sin θθml cos θθml x m N x b F N x M 2 注意:此方程中力矩的方向,由于

ϕπθ+=,ϕθcos cos -=,ϕθsin sin -=,故等式前有负号. 约去P 和N,得到方程:

F ml ml x b x

m M =-+++θθθθsin cos )(2

(1)

θθcos sin )(x

ml mgl x m M -=++ (2)

3. 线性化

设ϕπθ+=假设ϕ与1(单位是弧度) 相比很小，即ϕ远远小于1,则可以进行近似处理

,sin ,1cos 2

=⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-=dt d θϕθθ

设u 代表被控对象的输入力F ,方程(1) 和方程（2）经过线性化后

⎩⎨

⎧=-++=-+u ml x b x m M x

ml mgl ml I ϕϕϕ

)()(2

(3)

其中 2

1ml I =

因此倒立摆的状态方程为:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+-+-=+-++-=F m M m M mg x F m M l m M l m M g 4443)4(3)4()

(3θθθ

4. 单节倒立摆传递函数的推导对式(3) 进行拉氏变换,得到:

⎩⎨⎧=-++=-+)

()()()()()()()()(2

22s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I ϕϕϕ (4) 初始条件为0 时,

由于输出角度为φ,求解方程组的第一个方程,可以得到

)

()()(22s s g ml

ml I s X ϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=

把上式代入到(4)中的第二个方程中,得到:

)

()()()()()()(2222

2s U s s ml s s s g ml

ml I b s s s g ml ml I m M =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++ϕϕϕ

整理后得到:

den num q

bmgl s q mgl m M s q ml I b s s

ml s U s =

+-++=)()()()(223

其中])())([(22

ml ml

I m M q -++=

5. 状态空间方程的推导系统的状态方程

：⎩

⎨⎧+=+=Du CX y Bu AX X

其中: A 为状态矩阵。B 为输入矩阵。 C 为输出矩

阵。 D 为前馈矩阵。方程组(3) 求解得：

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++-==+++++++++-==u Mml m M I ml Mml m M I m M mgl x Mml m M I mbl u Mml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x 2

222222222)()()()()()()()(ϕϕϕϕϕ

整理后,系统状态空间方程为

u Mml m M I ml Mml m M I ml

I x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlb

Mml m M I gl m Mml m M I b ml I x x ⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2

222

2)(0)(00)()()(010

000)()()(0001

0ϕϕϕϕ

u x x x y ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00

01000001ϕ

ϕϕ

由直线一级倒立摆的数学模型式可知, 被

控对象是个单输入力(F) 、双输出(小车的位移, 摆杆的角度) 的对象。 6.系统稳定性分析

一级倒立摆系统的特征方程为det{λI-A}=0，经过Matlab 计算得到系统开环特征根

为：λ(A)=(0，5．5651，-0．1428，-5．6041) 系统有一个极点在复平面的右半平面上，有一个极点在原点，因此系统是不稳定的。

由一级倒立摆系统线性状态方程得到： rank[B AB A 2B A 3B]=4 rank[C CA CA 2 CA 3]=4

所以一级倒立摆是能控且能观测的。

对于一级倒立摆状态方程，对A 矩阵进行奇异值分解，得到A 矩阵的奇异值阵：

⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡==0000

01000001

.100002996.31)(A svd W

定义：被控对象控制的难易程度，即系统状态矩阵最大奇异值的到数称为相对能控度。

A 矩阵的奇异值为W 对角线上的值，所以一级倒立摆的相对能控度，

03195

.02996

.311

δ，δ越小系统的控制难度越高。

PID 控制

考虑角度的PID 控制

对于一级倒立摆，由前面式子及系统数据，得到数学模型如下：

u x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5455

.408182.10

01818.314545.00100006727.21818.000010ϕ

ϕϕ

u x x y ⎥⎥

⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕ

ϕ 01000001

系统结构框图如图所示：

图1 PID 控制框图

图中KD(S)是控制器的传递函数，G(S)是一级倒立摆的传递函数。考虑到r(s)=0，结构图可以变换成：

图2 输入为0时系统框图

该系统的输出为：

)

())(())(())(()()

)(())((1)()()(1)()(s f num numPID den denPID denPID num s f den denPID num numPID den num

s f s G s KD s G s y +=+

=+=

其中，num —被控对象传递函数的分子项 den 一被控对象传递函数的分母项

numPID —PID 控制器传递函数的分子项 denPID —PID 控制器传递函数的分母项

被控对象的传递函数是：

den num s q bmgl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s =-+-++=23242)()()()(φ

其中， ]

)())([(22ml ml I m M q -++= PID 控制器的传递函数为：

denPID numPID s K s K s K s K K s K s KD I P D I P D =++=++=2)(

在工程实际当中，常采用工程整定法，它们是在理论基础上通过实践总结出来的。这些方法通过并不复杂的经验便能迅速获得调节器的近似最佳整定参数，因而在工程中得到广泛应用。

具体步骤如下： (1)置调节器积分时间T i 到最大值，微分时间T d 为0，比例带置较大值，使系统投入运行。 (2)待系统运行稳定后，逐渐增大K p ，直到系统出现等幅震荡过程，记下此时的比例带并计算两个波峰间的时间T cr (临界震荡周期)。利用δ

cr 和T cr ，的值，按照下面给出的经验公式计算：

对于PID 调节器：8;2;67.11cr

cr i cr

p T T T T K ===δ 得：K P =40 K I =1 K D =10

系统响应曲线如图所示： control 为受控系统，nature 为自然状态：

图3 PID 控制一级倒立摆相应曲线

从上图中可以看出，进过PID 控制后，倒立摆在1.5达到稳定状态，系统超调量很小，而且没有稳态误差，该方法对单级倒立摆的控制可以很容易实现。

考虑小车位置的PID 控制

考虑小车位置的系统结构如图所示：

图4 改进系统框图

其中，G 1(S ）是摆杆传递函数，G 2(S)是小车

传递函数。由于输入信号r(s)=0，所以可以把结构图4转换成结构图5

图5 转换成单输入单输出系统

其中，反馈环代表我们前面设计的控制器。小车位置输出为：

)())(())((1)()()(1)()(1122

12s f den denPID num numPID den num s f s G s KD s G s X +=+=

)()

)()(())()(())()((212112s f den num numPID den den denPID den denPID num += 其中，num l ，den 1，num 2，den 2分别代表被控对象1和被控对象2传递函数的分子和分母。

根据前面的推导： )()(22s s q ml ml I s X φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=

可以推导出小车位置的传递函数为：

s q bmgl s q mgl m M s q ml I b s q mgl s q ml I s U s X s G -+-++-+==2324222)()()()()(

其中， ])())([(22ml ml I m M q -++=

可以看出，den 1=den 2=den ，小车的闭环传递

函数可以简化成：

)())(())(())(()(12s f num numPID den denPID denPID num s X +=

根据上面控制摆角度的Z-N 方法，可以控制小车的位置，但是由Simulink 系统框图4可以看出，此系统为单输入双输出系统，所以我们只能在两个输出量中选择一个作为被控量。在这种PID 方法中，选择控制优先级高的输出量(摆的角度)作为系统输出。要想既控制倒立摆的角度又控制小车的位置，简单的PID 方法是无法实现的。

模糊控制

一级倒立摆系统模糊控制器结构如图1.首先利用线性二次型状态反馈控制，然后加入模糊控制器以达到更好的控制效果。

图1 模糊控制器结

构图

一级倒立摆有4个状态变量，而模糊控制器仅有两个输入，因此必须对4个状态变量做一些处理才能作为模糊控制器的输入。首先引入两个辅助变量E 和EC ：

[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==212111x x k k X K E T []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==432122x x k k X K EC T

其中，x 1，x 2，x 3，x 4分别为x ，ϕ，x ∙，ϕ ，

K=[k 1,k 2,k 3,k 4]T 为状态反馈系统，线性二次型控制指标：[]⎰∞++=0)()()()(2121dt t Ru t u t QX t X SX X J T T T

通过求解Riccati 方程：01=+-+-QC C P B PBR P A PA T T T

得到：

P B R K T T 1-= E 和EC 分别为上面图中模糊控制器的输入，它们

有如下特征： (1)它们包含了状态变量的全部信息；

(2)通过改变Q 和R 的值，可以改变各个状态变量在E 和EC 中的权重，从而可以有目的地改变

状态变量对于模糊控制器输出的作用；

(3)这两个量具有较明确的物理意义。

模糊控制器相当于由综合误差E和综合误差变化率EC构成的非线性控制器：

(EC

)

得到：[]76.11,8.77,95.20

31-

无论从系统动态性能还是静态性能，此种模糊控制方法都能满足要求。而且无论怎样改变小车的理想位置，系统经过一段时间后都能够回到要求的位置。不会因输出要求的改变，小车位置的变化过大而不能够达到控制目的。

神经网络控制

研究的整个系统处于导轨上，欲使小车可以带着垂直的倒立摆在导轨上自由运动。传感器检测的小车角度θ和角度变化率θ 为系统的输入信号，u为设计的控制系统输出，θ∈[-0．57，0．57]rad，θ ∈[-3．14，3．14]rad／s，u∈[-30，30]N.输入输出量模糊化时，分为7挡：NL，NM，NS，Z，PS，PM．PL，对精确量θ，θ 和u进行模糊化处理，建立模糊规则.

如图1所示，三层神经网络的输入输出节点数按照量化的精度来设计，中间隐节点数与记忆

的样本数有关。一般来说，s 个隐节点可以用来准确记忆s+1个不同的样本。神经网络输入有26个节点，分别对应着E ，Ec 从-6到6所有整数；输出有15个节点，对应着U 从-7到7所有整数，隐节点有57个。初始化权重随机选取[0，1]区间中的任意实数。

要使输入输出达到期望的映射，可通过网络训练调整权值。定义误差函数为：

))()((21t y t y E *-= 其中y(t)与y*(t)分别为倒立摆的是技术处和期望状态。通过调整权值W ij ，

使E 趋于最小，则有

)]1()([)()1(+-+∂∂-=+t t E t t W W W W W

ij ij ij ij ij βη 其中η为学习效率，β为动量因子（等于

0.9）

图1 模糊神经网络结构图

当倒立摆由稳定状态受到外扰时，扰动角度

分别为1 rad和0．05 rad的被控制变化如图2，3所示。

图2 扰动角度为lrad时倒立摆角度的输出

图3 扰动角度为0．05 rad时倒立摆角度的输出

通过运用BP算法对网络进行训练，得到了接近与期望输出的实际输出值。随着倒立摆初始值的改变，系统均能在很短时间内达到垂直状态。

单级倒立摆的数学建模与仿真

单级倒立摆的数学建模与仿真倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、严重不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性,因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点,使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。现对单级倒立摆系统进行数学建模并利用MATLAB 进行仿真。在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示， M ：小车质量 x ：小车位置 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 θ：摆杆与垂直向上方向的夹角根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1）摆杆绕其重心的转动方程为：（2）摆杆重心的运动方程为：（3）小车水平方向上的运动为： 22..........(4)x d x F F M d t -= 联立上述4个方程，可以得出一阶倒立摆数学模型： ()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J m l F m l J m l m l g x J m l M m m l m l F m l M m m m l M m J m l θθθθθ θθθθθ θθ?+++-?= ++-??+-+?=?-++? sin cos ..........(1)y x J F l F l θ θθ=- 2222(sin )..........(2)(cos ).........(3)x y d F m x l d t d F m g m l d t θθ=+=-

(完整版)倒立摆建模

1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置 θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1）摆杆绕其重心的转动方程为（2）摆杆重心的运动方程为得（3）小车水平方向上的运动为 22..........(4)x d x F F M d t -= 联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型： ()()()()()()()2222222222222222 sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ?+++-?= ++-??+-+?=?-++? &&&&&& sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-& &2 22 2(sin ) (2) (cos ).........(3)x y d F m x l d t d F mg m l d t θθ=+=-

式中J 为摆杆的转动惯量：3 2 ml J = 若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（??≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为： ?? ? ??≈≈≈1cos sin 02θθθθ& ??? ? ???++-+=++-+= 2.. 2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 2.2 模型建立及封装 1、建立以下模型：

直线一级倒立摆系统建模

直线一级倒立摆系统建模LT

摘要本文主要研究的是一级倒立摆的PID控制问题，并对其PID的参数进行了优化，优化算法是遗传算法。倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。由于在实际中有很多这样的系统，因此对它的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。本文首先简单的介绍了一下倒立摆以及倒立摆的控制方法，并对其参数优化算法做了分类介绍。然后，介绍了本文选用的优化参数的算法遗传算法的基本理论和操作方法。接着建立了一级倒立摆的数学模型，并求出其状态空间描述。本文着重讲述的是利用遗传算法来对PID的参数进行优化的实现方法。最后，用Simulink 对系统进行了仿真，得出遗传算法在实际控制中是一种较为理想的PID参数优化方法的结论。关键词：PID控制器；一级倒立摆；仿真

目录摘要.................................................................................................错误!未定义书签。第一章前言 ..................................................................................错误!未定义书签。 1.1 设计背景 ....................................................................错误!未定义书签。 1.2 设计意义 ....................................................................错误!未定义书签。第二章被控对象的分析与建模 (1) 第三章设计理论及仿真过程 ......................................................错误!未定义书签。 3.1设计理论及分析方法 .................................................错误!未定义书签。 3.1.1 PID控制器.................................................错误!未定义书签。 3.1.2模糊PID控制器........................................错误!未定义书签。 3.2 双容水箱液位控制系统的仿真过程........................错误!未定义书签。第四章设计总结 . (13) 参考文献 (14)

倒立摆拉格朗日建模方法

倒立摆拉格朗日建模方法倒立摆是一种经典的控制系统问题，用于研究平衡和控制的稳定性。拉格朗日建模方法是描述运动系统的一种常用方法。以下是关于倒立摆拉格朗日建模方法的10条详细描述： 1. 倒立摆是由一根可以旋转的杆（摆杆）和一个可以在摆杆上移动的质点（摆点）组成。我们的目标是使摆点在垂直位置保持平衡。 2. 拉格朗日建模方法利用拉格朗日方程来描述运动系统中的动能和势能之间的关系。这个方法非常适用于复杂的系统，因为它能够自然地引入约束条件和非线性项。 3. 拉格朗日方程可以写成以下形式：L = T - V，其中 L 是拉格朗日函数，T 是系统的动能，V 是系统的势能。 4. 在倒立摆的拉格朗日建模中，我们需要首先确定系统的广义坐标。对于倒立摆，一个广义坐标可以是摆杆的角度θ。 5. 然后，我们需要计算系统的动能和势能。摆杆的动能可以写成 T_1 = (1/2) * m * L^2 * (dθ/dt)^2，其中 m 是摆杆的质量，L 是摆杆的长度，dθ/dt 是摆杆角度的导数。 6. 摆点的动能可以写成 T_2 = (1/2) * M * (dx/dt)^2，其中 M 是摆点的质量，dx/dt 是摆点在摆杆上移动的速度。 7. 摆杆的势能可以写成V_1 = (1/2) * m * g * L * cos(θ)，其中 g 是重力加速度。 8. 摆点的势能可以写成V_2 = M * g * x * cos(θ)，其中 x 是摆点在摆杆上的位置。 9. 将动能和势能代入拉格朗日方程中，我们可以得到系统的拉格朗日函数 L = T - V。 10. 我们可以使用拉格朗日方程描述系统的运动方程，例如：d/dt(∂L/∂(dθ/dt)) - ∂L/∂θ = 0 和 d/dt(∂L/∂(dx/dt)) - ∂L/∂x = 0。通过求解这些方程，我们可以得到倒立摆系统的运动行为和稳定性分析的结果。倒立摆的拉格朗日建模方法是一种用于描述运动系统的常用方法。通过将动能和势能代入拉格朗日方程，我们可以得到系统的拉格朗日函数，并进一步求解运动方程来分析系统的稳定性和动态行为。

基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制

基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制拉格朗日建模是一种经典的用来描述物体运动的数学方法。倒立摆是一个典型的动态系统，在控制领域中有着广泛的应用。通过拉格朗日建模可以描述单级倒立摆的运动方程，进而实现其起摆和稳定控制。单级倒立摆由一个固定在支撑平面上的杆和一个可以沿杆轴旋转的质量小车组成。杆的角度记为θ，小车的位置记为x。首先，通过拉格朗日方程可以得到倒立摆的动力学方程： L = T - U 其中，L为系统的拉格朗日函数，T为系统的动能，U为系统的势能。对于单级倒立摆，可以将系统的动能和势能表示为： T = 1/2*m*ẋ^2 + 1/2*I*θ̇^2 U = m*g*l*cos(θ) 其中，m为小车的质量，I为杆的转动惯量，g为重力加速度，l为杆的长度。ẋ和θ̇分别表示小车和杆的速度。将动能和势能代入拉格朗日方程，即可得到系统的动力学方程：d/dt(∂L/∂ẋ) - ∂L/∂x = F d/dt(∂L/∂θ̇) - ∂L/∂θ = 0 其中，F为施加在小车上的外力。

经过计算，可以得到如下的方程： m*ẍ - m*l*θ̈*cosθ + m*l*θ̇^2*sinθ = F I*θ̈+ m*l*ẍ*cosθ - m*g*l*sinθ = 0 这就是单级倒立摆的动力学方程，描述了杆的运动以及小车的受力等关系。接下来，可使用控制理论中的各种控制方法，例如线性控制、非线性控制等，来实现单级倒立摆的起摆和稳定控制。通过施加合适的控制输入F，使得杆保持在垂直位置附近，并稳定在指定的位置。总之，基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制，通过分析系统的动能和势能，得到系统的动力学方程，然后使用控制理论中的方法进行控制设计，从而实现摆杆的起摆与稳定控制。

倒立摆拉格朗日建模方法(一)

倒立摆拉格朗日建模方法(一) 倒立摆拉格朗日建模介绍倒立摆是一种经典的控制系统问题，它常用于教育和研究领域。拉格朗日建模是一种用来描述力学系统动力学的数学方法。本文将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法，包括各种方法的详细说明。方法一：拉格朗日方程 1.第一步：定义坐标系。倒立摆通常使用极坐标系，其中θ表示摆杆的角度。 2.第二步：确定系统的势能能量。根据重力势能的定义，势能能量可以表示为mgL(1 - cosθ)，其中m是摆杆的质量，g是重力加速度，L是摆杆的长度。 3.第三步：确定动能能量。动能能量可以表示为2θ2，其中L是摆杆的长度。 4.第四步：应用拉格朗日方程。拉格朗日方程可以表示为 d/dt(∂T/∂θ̇) - ∂T/∂θ = ∂V/∂θ，其中T是系统的总动能，V 是系统的总势能。通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程。

方法二：线性化方法 1.第一步：使用欧拉-拉格朗日方程。欧拉-拉格朗日方程可以表示为∑(∂L/∂qi)d q̇i = q之力 - q之耗散，其中L是拉格朗日函数，qi是系统的广义坐标，q i̇是广义速度。 2.第二步：线性化倒立摆方程。在小角度下，可以通过将sinθ近似为θ，将cosθ近似为1来线性化倒立摆方程。 3.第三步：线性化的拉格朗日方程可以简化为M q̇ = τ - C q̇ - Gq，其中M是质量矩阵，q̇是广义加速度，τ是外部输入力矩，C是速度相关的阻尼矩阵，G是重力矩阵。方法三：控制方法 1.第一步：设计控制器。倒立摆系统可以用PID控制器来控制。 PID控制器包括比例部分、积分部分和微分部分，可以通过调整各个部分的参数来实现系统的稳定控制。 2.第二步：实施控制。将PID控制器的输出作为输入力矩τ，通过不断调整输入力矩来控制倒立摆的角度。 3.第三步：闭环控制。通过实施闭环控制，将实际角度与目标角度进行比较，并根据误差调整控制器的输出，以实现系统的精确控制。

倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)

系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数 1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。如图所示：图倒立摆系统的结构组成示意图 Fig Structure of the linear single inverted pendulum system 2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图所示[13]：图直线一级倒立摆装置

Fig Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。 1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元 IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图伺服单元IP02的组成 Fig Servo unit IP02 parts 编号名称英文 (01)IP02小车IP02 Cart (02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft (03)齿轮导轨Rack (04)小车位移齿轮Cart Position Pinion (05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion (06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft (07)摆杆传动轴Pendulum Axis (08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder (09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder (10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector (11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector (12)电机接口Motor Connector (13)直流伺服电机DC Motor (14)变速器Planetary Gearbox (15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing

倒立摆控制系统设计matlab

倒立摆控制系统设计matlab 倒立摆控制系统设计是一个在工程领域中非常重要的课题。倒立摆是一个经典的控制系统问题，通过控制电机的力矩来使倒立摆保持平衡。在这篇文章中，我们将使用Matlab来设计一个倒立摆控制系统，并逐步回答其中的关键问题。首先，我们需要明确设计的目标。在倒立摆控制系统中，我们的目标是使摆杆保持垂直位置。为了实现这个目标，我们需要采用逆向控制方法，即通过测量摆杆当前状态以及目标状态之间的差异，并控制力矩，从而使摆杆回复到垂直位置。接下来，我们需要构建倒立摆的模型。倒立摆模型可以采用Euler-Lagrange动力学方程进行描述。具体地，我们可以使用如下的动力学方程来描述倒立摆： m*L^2*θ''(t) + m*g*L*sin(θ(t)) = u(t) - b*θ'(t) - c*sat(θ(t)) 其中，m是摆杆的质量，L是摆杆的长度，θ(t)是摆杆的角度，u(t)是电机的力矩，b是摩擦系数，c是控制器增益。在上述动力学方程中，μ(t)表示补偿力，其作用是抵消由于重力引起的非线性成分。有了动力学方程之后，我们可以使用Matlab来进行数值仿真。首先，我们需要定义模型的初始状态和控制器增益。我们可以选择一个合适的初始状态，比如θ(0)=pi/4，θ'(0)=0，然后根据模型的特性来选择控制器增益c。接下来，我们可以使用Matlab的ode45函数来求解动力学方程的数值解。ode45函数是一种常用的数值积分器，可以对常微分方

程进行数值求解。在本例中，我们可以将动力学方程与初始条件传递给ode45函数，然后使用该函数来求解摆杆的角度θ(t)和角速度θ'(t)的变化。在求解得到角度和角速度之后，我们可以使用反馈控制方法来设计控制器。一种常见的控制器设计方法是使用PID控制器。PID控制器基于当前状态与目标状态之间的差异来计算控制信号。具体地，PID控制器的输出可以通过如下公式来计算： u(t) = Kp*e(t) + Ki*∫e(t)dt + Kd*e'(t) 其中，u(t)是控制器的输出，Kp、Ki和Kd分别是比例、积分和微分增益，e(t)=θ(t)-θd(t)是当前状态与目标状态之间的差异，e'(t)=θ'(t)-θd'(t)是当前状态与目标状态之间的差异的一阶导数。在Matlab中，我们可以使用pid函数来设计PID控制器，并计算控制信号u(t)。pid函数需要传递控制器增益Kp、Ki和Kd，以及参考信号θd(t)和θd'(t)作为输入。我们可以根据设计需求来选择适当的控制器增益，并通过适当的设计参考信号来实现倒立摆保持垂直位置的控制。最后，我们可以使用Matlab的sim命令来进行仿真。sim命令可以加载初始状态、控制信号和仿真时间，并输出摆杆的角度和角速度的变化。通过观察仿真结果，我们可以评估控制器的性能，并进行必要的调整和优化。综上所述，我们可以使用Matlab来设计倒立摆控制系统的闭环控制器，通过数值仿真来评估控制器性能，并进行必要的调整和优化。

一阶倒立摆系统建模与仿真研究

一阶倒立摆系统建模与仿真研究一阶倒立摆系统是一种典型的非线性控制系统，具有多种状态和复杂的运动特性。在实际生活中，倒立摆被广泛应用于许多领域，如机器人平衡控制、航空航天、制造业等。因此，对一阶倒立摆系统进行建模与仿真研究具有重要的理论价值和实际意义。 ml''(t) + b*l'(t) + k*l(t) = F(t) 其中，m为质量，b为阻尼系数，k为弹簧常数，l(t)为摆杆的位移，l'(t)为摆杆的加速度，l''(t)为摆杆的角加速度，F(t)为外界作用力。在仿真过程中，需要设定摆杆的初始位置和速度。一般而言，初始位置设为0，初始速度设为0。边界条件则根据具体实验需求进行设定，如限制摆杆的最大位移、最大速度等。利用MATLAB/Simulink等仿真软件进行建模和实验，可以方便地通过改变输入信号的参数（如力F）或系统参数（如质量m、阻尼系数b、弹簧常数k）来探究一阶倒立摆系统的性能和反应。通过仿真实验，我们可以观察到一阶倒立摆系统在受到不同输入信号的作用下，会呈现出不同的运动规律。在适当的输入信号作用下，摆

杆能够达到稳定状态；而在某些特定的输入信号作用下，摆杆可能会出现共振现象。在仿真过程中，我们可以发现一阶倒立摆系统具有一定的鲁棒性。在一定范围内，即使输入信号发生变化或系统参数产生偏差，摆杆也能够保持稳定状态。然而，当输入信号或系统参数超过一定范围时，摆杆可能会出现共振现象，导致系统失稳。因此，在实际应用中，需要对输入信号和系统参数进行合理控制，以保证系统的稳定性。为了避免共振现象的发生，可以通过优化系统参数或采用其他控制策略来实现。例如，适当增加阻尼系数b能够减小系统的振荡幅度，有利于系统尽快达到稳定状态。可以采用反馈控制策略，根据摆杆的实时运动状态调整输入信号，以抑制系统的共振响应。本文对一阶倒立摆系统进行了建模与仿真研究，通过观察不同参数设置下的系统性能和反应，对其运动规律、鲁棒性及稳定性进行了分析。探讨了避免共振现象的方法。结果表明，一阶倒立摆系统具有较高的鲁棒性和稳定性，但在特定条件下仍可能出现共振现象。为了提高系统的性能和稳定性，可以采取适当的参数优化和反馈控制策略。一级倒立摆系统是一种典型的具有非线性、强耦合、多变量等特点的物理系统，其控制问题是一个具有挑战性的研究领域。在本文中，我

倒立摆_精品文档

倒立摆 1. 引言倒立摆（Inverted Pendulum）是一种经典的控制理论问题，它是指一个固定在支点上的杆子上方挂着一个质点，而质点受到重力的作用下，能够垂直于杆子方向做摆动的系统。倒立摆在控制理论和机器人领域中具有重要意义，是研究控制策略和平衡控制的经典案例。在本文中，我们将介绍倒立摆的基本原理、数学建模方法以及控制策略。 2. 基本原理倒立摆是一个多输入多输出系统，它受到外部输入（控制力）的作用下，通过控制杆子的倾斜角度，使质点能够保持在垂直方向上平衡。倒立摆系统的基本原理可以用以下方程描述： ml^2θ'' + mgl sin(θ) = u - bθ' 其中，m是质点的质量，l是杆子的长度，θ是杆子与垂直方向的夹角，u是施加在杆子上的控制力，b是阻尼系数，g是重力加速度。 3. 数学建模方法为了对倒立摆进行控制，我们需要对其进行数学建模。首先，我们可以把倒立摆系统分解为两个自由度：质点在杆子上的位置和杆子的角度。然后，我们可以利用拉格朗日方程进行建模。对于质点在杆子上的位置，拉格朗日方程可以表示为： mx'' = N - mg - mθ'^2l sin(θ) - mlθ'' cos(θ) 对于杆子的角度，拉格朗日方程可以表示为： ml^2θ'' = u - bθ' 将以上两个方程联立，我们可以得到完整的倒立摆系统的数学模型。 4. 控制策略为了使倒立摆保持平衡，我们需要设计合适的控制策略。常见的控制策略包括PID控制器、模糊控制器和神经网络控制器等。

PID控制器是一种广泛应用的控制策略，它通过调节比例、积分和微分三项来实现控制。在倒立摆系统中，PID控制器可以通过测量杆子的角度和角速度，来调整施加在杆子上的控制力。模糊控制器是一种基于模糊逻辑的控制策略，它通过模糊化输入和输出以及定义一系列模糊规则来实现控制。在倒立摆系统中，模糊控制器可以根据当前的角度和角速度来确定施加在杆子上的控制力。神经网络控制器是一种基于神经网络的控制策略，它通过训练神经网络来实现控制。在倒立摆系统中，神经网络控制器可以利用神经网络对倒立摆系统进行建模，并通过反向传播算法来调整网络的权重和偏置。 5. 结论倒立摆是一个经典的控制理论问题，它在控制策略和平衡控制的研究中具有重要意义。通过对倒立摆的数学建模和设计合适的控制策略，可以使倒立摆保持在垂直方向上平衡。在未来的研究中，可以进一步探索倒立摆系统的稳定性分析和非线性控制策略的应用，以提高倒立摆系统的控制性能。参考文献: 1. Furuta, K., & Yamakita, M. (2008). Swing-up and stabilization control of the Acrobot by applying energy control techniques. International Journal of Innovative Computing, Information and Control, 4(5), 951-962. 2. Kuo, C. H. (2016). Automatic Control Systems. John Wiley & Sons.

倒立摆拉格朗日建模方法

倒立摆拉格朗日建模方法倒立摆是一种常见的动力学系统，具有广泛的应用。倒立摆借助控制算法可以实现平衡控制，因此在工业机器人、机械臂、自行车等控制系统中具有重要的意义。而拉格朗日建模方法是研究动力学系统的常用方法之一，下面将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法。倒立摆的拉格朗日建模方法是基于拉格朗日动力学原理进行的。拉格朗日原理主要包括两部分：拉格朗日第一方程和拉格朗日第二方程。其中，拉格朗日第一方程是关于系统广义力的方程，而拉格朗日第二方程是关于系统的广义力的运动方程。首先，我们需要确定倒立摆的广义坐标。对于倒立摆来说，可以选择摆杆的倾斜角度和摆杆的角速度作为广义坐标。假设摆杆的倾斜角度为 θ，摆杆的角速度为ω，那么可以得到广义坐标集合{θ,ω}。接下来，我们需要确定倒立摆的拉格朗日函数。拉格朗日函数是广义坐标的函数，它描述了系统的动能和势能之间的关系。倒立摆的拉格朗日函数可以表示为L=T-U，其中T表示系统的动能，U表示系统的势能。同时，我们还需要确定系统的动能和势能。对于倒立摆来说，系统的动能可以表示为T = 1/2 * m * l^2 * ω^2，其中m表示摆杆的质量，l 表示摆杆的长度，ω表示摆杆的角速度。系统的势能可以表示为U = m * g * l * (1 - cosθ)，其中g表示重力加速度，θ表示摆杆的倾斜角度。通过上述步骤，我们可以得到倒立摆的拉格朗日函数为L = 1/2 * m * l^2 * ω^2 - m * g * l * (1 - cosθ)。然后，我们可以使用拉格朗日第一方程和拉格朗日第二方程来得到倒立摆的运动方程。拉格朗日第一方程可以表示为∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') =

直线一级倒立摆的建模及性能分析

直线一级倒立摆的建模及性能分析 1 直线一级倒立摆数学模型的建立 (1) 2 直线一级倒立摆系统的实际模型 (5) 3 直线一级倒立摆系统的性能分析 (6) 相关理论的介绍 (6) 倒立摆系统的性能分析 (7) 1 直线一级倒立摆数学模型的建立所谓系统的数学模型，是指利用数学结构来反映实际系统内部之间、系统内部与外部某些主要相关因素之间的精确的定量表示。数学模型是分析、设计、预测以及控制一个系统的理论基础。因此，对于实际系统的数学模型的建立就显得尤为重要。系统数学模型的构建可以分为两种：实验建模和机理建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对像并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。机理建模就是在了解研究对象的运动规律的基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是不稳定的系统，无法通过测量频率特性的方法获取其数学模型，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的机电一体化系统，其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律，因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。为了简单起见，在建模时忽略系统中的一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样就可以通过力学原理建立较为精确的数学模型。我们可以应用牛顿力学的分析方法或者欧拉－拉格朗日原理建立系统的动力学模型。对于直线一级倒立摆这样比较简单的系统，我们采用通俗易懂的牛顿力学分析法建模。为了建立直线一级倒立摆的数学模型，采用如下的坐标系：

直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业设计精品

直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业设计精品 1.引言直线倒立摆系统主要由一个质量块和一个固定的轨道组成，质量块可以在轨道上自由运动。该系统的目标是在面对各种扰动时保持质量块的平衡。LQR控制器是一种优化控制方法，可以通过调整控制器的参数来实现系统动态响应的优化。 2.直线倒立摆系统建模 m*x''+b*v+m*g=f-u 在LQR控制器设计过程中，需要将系统的动力学方程转化为状态空间模型。定义状态变量为x1=x，x2=x'，那么系统的状态空间模型可以表示为： x1'=x2 x2'=(1/m)*(f-u-b*x2-m*g) 3.LQR控制器设计 LQR控制器设计的目标是通过调整控制器的参数来最小化系统的性能指标J。在直线倒立摆系统中，我们可以选择以能耗作为性能指标，即J = ∫(u(t)^2)dt。那么LQR控制器设计的目标是最小化能耗。 LQR控制器设计方法的关键是设计系统的状态反馈增益矩阵K。具体的设计步骤如下： 1)将系统的状态空间模型表示为矩阵形式： x'=Ax+Bu

y=Cx+Du 其中，A为状态转移矩阵，B为输入矩阵，C是输出矩阵，D为直接递增矩阵。 2) 根据系统的状态空间模型计算系统的LQR控制器增益矩阵K。增益矩阵K可以通过解代数矩阵Riccati方程得到： K=(R+B'*S*B)^(-1)*B'*S*A 其中，S为Riccati方程的解。 3) 计算系统的控制器增益矩阵L。增益矩阵L可以通过解代数矩阵Riccati方程得到： L=(R+B'*S*B)^(-1)*B'*S*C 4.LQR控制器仿真在设计完成LQR控制器之后，可以进行仿真实验来验证控制器的效果。可以使用MATLAB或Simulink来进行仿真。在仿真实验中，需要设置各个参数的初始值，并且加入一些扰动以测试控制器的稳定性。通过观察系统的状态变量和控制力的响应曲线，可以评估控制器的性能。 5.结论本文介绍了直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真方法。LQR控制器可以通过调整控制器的参数来实现系统的优化控制。通过仿真实验可以验证控制器的效果。实际应用中，还需要考虑系统的物理限制以及实时性等因素，进一步优化控制器设计。

倒立摆系统的建模及Matlab仿真

倒立摆系统的建模及Matlab 仿真 1.系统的物理模型考虑如图(1)面内运动的二维问题。图(1)倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：l =1m 小车的质量： M=1kg 重力加速度：g=9.8m/2s 摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量δ ≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（θsin l z +）,在u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有 u l z dt d m dt z d M =++)sin (22 22θ 即： u ml ml z m M =-++θθθθsin cos )(2&&&

绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有 θθθsin cos )sin (22mgl l l z dt d m =⋅⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+ 即： θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+&&&&& ② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，则1cos ,sin ≈≈θθθ，且可忽略θ θ2&项。于是有 u ml z m M =++θ&&&& )( ③ θθg l z =+&&&& ④ 联立求解可得 u Ml Ml m M u M M mg z 1)(1 -+=+- =θθθ&&&& 2.2列写系统的状态空间表达式。选取系统变量4321,,,x x x x ， []T x x x x x 4321,,,=则 u Ml x Ml m M x x x u M x M mg x x x 1 )(134433221-+= =+-==&&&& 即 []Cx x x y Bu Ax u Ml M x Ml g m M M mg z z dt d x ===+=⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎢⎣ ⎡ +- =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000110100)(0 010 0000000 1 1θθ&&& 代入数据计算得到：

倒立摆系统的建模及Matlab仿真

第1页共12页倒立摆系统的建模及Matlab 仿真 1.系统的物理模型考虑如图 (1) 所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。图 (1) 倒立摆系统假定倒立摆系统的参数以下。摆杆的质量： m=0.1g 摆杆的长度： l =1m小车的质量： M=1kg重力加快度： g=9.8m/ s2 摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使适当给定随意初始条件( 由扰乱惹起 ) 时，最大超调量≤ 10%，调理时间 ts≤ 4s，经过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直地点。 2.系统的数学模型 2.1 成立倒置摆的运动方程并将其线性化。为简化问题，在数学模型中第一假定：1) 摆杆为刚体； 2）忽视摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。设小车刹时地点为 z, 摆心刹时地点为（ z l sin ）, 在 u 作用下，小车及摆均产生加快远动，依据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 均衡，于是有 M d 2 z m d 2 l sin ) u dt 2 2 (z dt

第 2 页共12页即： (M m) z ml cos ml 2 sin u ① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩均衡，因此有 m d 2 l sin ) l cos mgl sin dt 2 ( z 即： z cos l cos 2 l 2 sin cos g sin ② 以上两个方程都是非线性方程，为求得分析解，需作线性化办理。因为控制的目的是保持倒立摆直立，在试驾适合的外力条件下，假定θ很小，靠近于零时合理的，则 sin ,cos 1 ，且可忽视 2 项。于是有 ( M m)z ml u ③ z l g ④ 联立求解可得 z mg 1 u M M ( M m) 1 u Ml Ml 2.2 列写系统的状态空间表达式。选用系统变量 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ， x x 1, x 2 , x 3, x 4 T 则 x 1 x 2 x 2 mg x 3 1 u M M x 3 x 4 x 4 (M m) x 3 1 u Ml Ml 即 z 0 1 0 0 0 0 0 mg 0 1 d z M M x 1 x u Ax Bu dt 0 0 0 0 (M m) g 1 Ml Ml y x 1 1 0 0 0 x Cx 代入数据计算获得：

倒立摆状态空间表达式

倒立摆状态空间表达式引言倒立摆是机器人控制系统理论和实践研究领域中的一个经典问题。它是一个简单但具有挑战性的问题，通常用于探讨控制系统的稳定性和性能。倒立摆的主要目标是通过控制摆杆的角度使其倒立，并保持在平衡位置上。本文将从数学模型的角度出发，通过状态空间表达式详细探讨倒立摆的特性和控制方法。什么是倒立摆倒立摆是由一个挂在固定点上的杆和一个可以绕着固定点旋转的关节组成。杆的一端固定在一个水平支架上，另一端可以自由旋转。倒立摆的目标是通过施加力矩，使得杆保持在倒立的平衡位置上。倒立摆的动力学模型倒立摆的动力学模型描述了摆杆在受到外力作用时的运动规律。在这里，我们将倒立摆建模为一个单摆系统，忽略摩擦和空气阻力等因素。单摆的运动方程在没有外力作用的情况下，单摆的运动可以由如下的微分方程描述： θ″=−g l sin(θ) 其中，g是重力加速度，l是摆杆的长度，θ是摆杆的角度。引入控制量为了使倒立摆保持在平衡位置上，我们需要引入控制量来调节摆杆的角度。在这里，我们引入一个控制力矩u，它是通过操纵摆杆的关节来施加的。考虑到控制力矩对摆杆角度的影响，我们可以得到下面的运动方程： θ″=−g l sin(θ)+ 1 l u 其中，u是控制力矩。

倒立摆的状态空间表达式状态空间表示法是一种描述动态系统行为的方法，它使用一组状态变量和一组描述状态变量演化的微分方程。引入状态变量为了建立倒立摆的状态空间表达式，我们首先引入两个状态变量： •x1=θ，表示摆杆的角度 •x2=θ，表示摆杆的角速度其中，θ表示时间对角度的导数，即摆杆的角速度。构建状态方程倒立摆的状态方程可以通过状态变量的导数来表示。根据之前得到的运动方程，我们可以得到以下状态方程： x1=x2 x2=−g l sin(x1)+ 1 l u 其中，x1和x2分别表示x1和x2对时间的导数。构建输出方程输出方程描述了状态变量和系统观测之间的关系。在这里，我们将摆杆的角度作为系统的输出。因此，输出方程可以表示为： y=x1 其中，y表示系统的输出。状态空间表达式总结通过上述推导，我们得到了倒立摆的状态空间表达式： x1=x2 x2=−g l sin(x1)+ 1 l u y=x1 其中，x1和x2分别代表摆杆的角度和角速度，u代表控制力矩，y代表系统的输出。

单级移动倒立摆建模及控制器设计matlab

单级移动倒立摆建模及控制器设计matlab 单级移动倒立摆是一种常见的控制系统模型，它在机器人控制、自动驾驶等领域有着广泛的应用。本文将介绍如何使用MATLAB进行单级移动倒立摆的建模和控制器设计。首先，我们需要了解单级移动倒立摆的基本原理。单级移动倒立摆由一个垂直的杆和一个可以在水平方向上移动的小车组成。小车上有一个可以旋转的杆，杆的一端连接着小车，另一端有一个质量块。通过控制小车的位置和杆的角度，我们可以实现倒立摆的平衡。接下来，我们开始建立单级移动倒立摆的数学模型。首先，我们需要定义系统的状态变量。在这个模型中，我们可以选择小车的位置x、小车的速度v、杆的角度θ和杆的角速度ω作为状态变量。然后，我们可以根据物理原理建立系统的动力学方程。根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们可以得到如下的动力学方程： m*x'' = F - m*g*sin(θ) - m*l*θ'^2*cos(θ) m*l^2*θ'' = -m*g*l*sin(θ) + m*l*x''*cos(θ) - b*θ' 其中，m是小车和质量块的总质量，l是杆的长度，F是施加在小车上的外力，g是重力加速度，b是杆的阻尼系数。接下来，我们可以使用MATLAB进行模型的建立和仿真。首先，我们需要定义系统的参数和初始条件。然后，我们可以使用ode45函数来求解系统的动力学方程。ode45函数是MATLAB中用于求解常微

分方程的函数，它可以根据给定的初始条件和参数，计算出系统在一段时间内的状态变化。在求解动力学方程之后，我们可以得到系统的状态变量随时间的变化。通过绘制状态变量随时间的曲线，我们可以观察到系统的动态行为。例如，我们可以绘制小车位置随时间的变化曲线，以及杆角度随时间的变化曲线。最后，我们需要设计一个控制器来实现单级移动倒立摆的平衡。常见的控制器设计方法包括PID控制器和模糊控制器。在这里，我们选择使用PID控制器。 PID控制器是一种经典的控制器设计方法，它根据系统的误差、误差的变化率和误差的积分来计算控制信号。在单级移动倒立摆的控制中，我们可以将小车位置的偏差作为误差，将小车位置的变化率作为误差的变化率，将小车位置的积分作为误差的积分。通过调整PID控制器的参数，我们可以实现单级移动倒立摆的平衡。在MATLAB中，我们可以使用pid函数来设计PID控制器，并使用 sim函数来进行仿真。综上所述，本文介绍了如何使用MATLAB进行单级移动倒立摆的建模和控制器设计。通过建立数学模型、求解动力学方程、绘制状态变量曲线和设计控制器，我们可以深入理解单级移动倒立摆的原理，并实现其平衡控制。MATLAB提供了强大的工具和函数，使得单级移动倒立摆的建模和控制器设计变得简单而高效。

一级倒立摆物理建模、传递函数和状态方程的推导

一级倒立摆物理建模和传递函数的推导设定： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用。分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： N x b F x M --=• •• (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： )sin (22 θl x dt d m N += (2) 即： θθθθsin cos 2 •• •••-+=ml ml x m N (3) 把这个等式代入式(3)中，就得到系统的第一个运动方程： F ml ml x b x m M =-+++•• ••••θθθθsin cos )(2 (4) 对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程: )cos (2 2 θl dt d m mg P =- (5) θθθθcos sin 2 •• •--=-ml ml mg P (6) 力矩平衡方程： • •=--θθθI Nl Pl cos sin (7)

此方程中力矩的方向，由于φπθ+=,θφcos cos -=,θφsin sin -=,故等式前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和N ，得到第二个运动方程： θ θθcos sin )(2 • •••-=++x ml mgl ml I (8) 设θ =π +φ, 假设φ 与1（单位是弧度）相比很小，即c <<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ,φθ-=sin ,0)(2 =dt d θ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下： { u ml x b x m M x ml mgl ml I =-++=-+• •• • •• •••φφφ)()(2 (9) 假设初始条件为0，对式(9)进行拉普拉斯变换： { ) ()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X l M s s mlX s mgl s s ml I =Φ-++=Φ-Φ+ (10) 由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，可以得到： )(])([)(22s s g ml ml I s X Φ-+= (11) 或 mgl s ml I mls s X s -+=Φ2 22)()()( (12) 令• •=x v ，则有： mgl s ml I ml s V s -+=Φ22)()()( (13) 把上式代入方程组的第二个方程，得到：

Inverted pendulum倒立摆的matlab建模

ECE451 Controll Engineering Inverted pendulum 09/29/2013 Introduction: Inverted pendulum is a typical fast, multi-varaibles, nonlinear, unstable system, it has significant meaning. We choose the PID controller to fot the inverted pendulum.

Assume the input is a step signal , the gravitational acceleration g=9.8m/s^2 and linearize the nonlinear model around the operating point. 1.Mathematic Modling M mass of the car0.5 kg m mass of the pendulum0.2 kg b coefficient of friction for cart0.1 N/m/sec l length to pendulum center of mass0.3 m I mass moment of inertia of the pendulum 0.006 kg.m^2 F force applied to the cart x coordinate of cart position θpendulum angle from vertical (down) N and F are the force from horizontal and vertical direction. (x+l sinθ) N=m d2 dt2 Force analysis Consider the horizontal direction cart force, we get the equation: Mẍ=F−bẋ−N Consider the horizontal direction pendulum force, we get the equation: N=mẍ+mlθcosθ−mlθ2sinθ To get rid of P and N, we get this equation: