三级倒立摆建模与控制器设计仿真
倒立摆控制器设计与仿真
摘要倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统, 是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。
除教学用途外，倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性使得许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象。
本课题以固高倒立摆系统为研究对象，通过Simulink搭建非线性模型然后将其线性化，并与数学方法近似的线性模型进行了比较。
采用根轨迹法设计出确定参数下的使系统稳定的控制器，并将其应用于倒立摆实际控制中，在摆杆角度控制器方面获得了很好的的控制效果。
最后，在MATLAB/Simulink环境下分别观察了线性模型和非线性模型的仿真情况。
本文以直线一级倒立摆系统为核心，掌握了在倒立摆系统控制方面国内外的研究情况。
通过实现对倒立摆的稳定控制，进而掌握了控制系统设计的一些基本方法。
一、绪论（一）课题研究的背景及意义倒立摆的最初研究始于上世纪50年代，由美国麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器的原理设计而来，随着研究的深入和实际问题的推动而不断发展至今，已发展出了三级摆和四级摆。
这些研究成果具有重要的工程前景，在控制等领域中发挥了巨大的作用。
作为研究控制理论的一种非常典型的实验装置，倒立摆系统具有形象直观、结构简单、成本低廉、构件组成参数和形状易于改变的特点。
倒立摆是多种技术、多个领域的有机结合，包括机器人技术、控制理论技术、计算机控制技术等。
很多抽象的控制概念，如控制系统的稳定性、系统的可控性、系统收敛速度和抗干扰能力等，都可通过倒立摆系统直观形象的表现出来。
倒立摆控制系统本身又是一个多变量、高阶次、强耦合的非线性自然不稳定系统系统，在自动控制领域中，倒立摆仿真或者实物控制实验，已成为检验一种新的控制理论是否有效的试金石，同时也是产生一种新的控制方法所必须依据的基础实验平台。
自动化实验倒立摆实验附仿真结果图
一、直线一级倒立摆的仿真(一)直线一级倒立摆的数学建模对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
图2 直线一级倒立摆模型φ摆杆与垂直向上方向的夹角；θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。
图3 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：把这个等式代入式1中，就得到系统的第一个运动方程：为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于θ=π+φ,cosφ= −cosθ,sinφ= −sin θ，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N，得到第二个运动方程：设θ=π+φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理：。
用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：对式9进行拉普拉斯变换，得到注意：推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：或如果令v = x，则有：把上式代入方程组的第二个方程，得到：整理后得到传递函数：其中设系统状态空间方程为：方程组对解代数方程，得到解如下：整理后得到系统状态空间方程：设则有：实际系统的模型参数如下:M 小车质量1.096 Kgm 摆杆质量0.109 Kgb 小车摩擦系数0 .1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.2 5mI 摆杆惯量0.0034 kg*m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数：摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：以外界作用力作为输入的系统状态方程：(二)倒立摆的PID调节：经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。
三级倒立摆建模、控制器设计
三级倒立摆线性系统理论作业：以三级倒立摆为研究对象，建立对象模型，设计状态观测器，设计控制器（要有仿真结果）。
一倒立摆1概述倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例,一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的,倒立摆系统就其本身而言是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统。
将这样一个复杂系统作为被控对象,在控制过程中能有效地反映出控制中的许多关键问题, 如非线性问题、鲁棒性问题、随动问题、镇定问题、跟踪问题、解耦问题以及不稳定问题等。
2分类倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。
现在由中国的北京师范大学李洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了四级倒立摆。
是世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。
3倒立摆的控制目标摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
4倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。
直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。
作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。
当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。
为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。
二．三级倒立摆系统的数学模型1.系统的结构三级倒立摆系统主要由控制对象, 导轨, 电机,皮带轮, 传动带以及电气测量装置组成,控制对象由小车,下摆, 中摆,上摆组成,上、中、下摆由轴承连接,并且可以在平行导轨的铅垂平面内自由转动,三个电位器分别安装在连接处 ,测量摆的相对偏角11223--θθθθθ，，其原理结构图如图 1 所示,系统运动分析示意图 如图 2 所示2.系统的数学模型 2.1假设条件(1)、上、中 、下摆及小车都是刚体;(2)、皮带轮与传动带之间无相对滑动,传动带无伸长现象; (3)、小车的驱动力与直流放大器的输入成正比,且无滞后, 忽略电机电枢绕组中的电感;(4)、小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度 ; (5)、各摆的摩擦力矩与相对速度(角速度)成正比 2.2系统参数说明m0 —小车系统的等效质量 1.32822kg ; m1 —下摆质量 0 .22kg ; m2—中摆质量 0 .22kg ;m3—上摆质量 0 .187kg ;J1—下摆质心至转轴处转动惯量 0.004963kg .m ; d1—下摆质心至转轴之间的距离 0 .304m ; J2—中摆质心至转轴处转动惯量 0.004963 kg .m ; d2—中摆质心至转轴之间的距离 0 .304m ; J3—上摆质心至转轴处转动惯量 0.004824 kg .m ; d3—上摆质心至转轴之间的距离 0 .226m ; d4 —中、下摆转轴间的距离 0.49m ; d5 —上、中摆转轴间的距离 0.49m ; d6—上摆杆长度;f0—小车系统的摩擦系数 22.9147 kg/s;f1—下摆转轴处的摩擦阻力矩系数 0.007056kg .m/s; k0—电机的机电常数 0.9467N;f2—中摆转轴处的摩擦阻力矩系数 0.002646 kg .m/s; k1—功放的电压增益 8.0;f3 —上摆转轴处的摩擦阻力矩系数 0.002646 kg .m/s; R0 —电机的电枢绕组内阻 8.55Ω; R1—功放输出电阻 1 .252Ω; d —皮带轮直径 0.13m ; g —重力加速度。
倒立摆系统的控制器设计1（含5篇）
倒立摆系统的控制器设计1（含5篇）第一篇：倒立摆系统的控制器设计1刘翰林倒立摆系统的控制器设计引言1.1 问题的提出生活在大千世界里，摆无处不在。
何为摆？支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。
相反，支点在上而重心在下的则称为顺摆。
现实生活中，旋转着的芭蕾舞演员，杂技的顶伞，墙上挂钟的钟摆，工作中的吊车等都可被看作是一个摆。
倒立摆的种类繁多，其中包括悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。
一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。
1.2 倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级立摆实验设备。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆系统作为控制理论究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。
1.3 倒立摆的分类倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆： 1)直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。
模糊控制在倒立摆中的MATLAB仿真应用
TAIYUAN UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY题目：院（系）：专业：学生姓名：学号：模糊控制在倒立摆中的仿真应用1、倒立摆系统简介倒立摆有许多类型,例如图1-1的a和b所示的分别是轮轨式一级倒立摆系统和二级倒立摆系统的模型。
倒立摆是一个典型的快速、多变量、非线性、本质不稳定系统,它对倒置系统的研究在理论上和方法论上具有深远的意义。
对倒立摆的研究可归结为对非线性多变量本质不稳定系统的研究,其控制方法和思路在处理一般工业过程中也有广泛的用途。
近些年来国内外不少专家学者对一级、二级、三级、甚至四级等倒立摆进行了大量的研究,人们试图寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制,以便检查或说明该方法的严重非线性和本质不稳定系统的控制能力。
2002年8月11日,我国的李洪兴教授在国际上首次成功实现了四级倒立摆实物控制,也标志着我国学者采用自己提出的控制理论完成的一项具有原创性的世界领先水平的重大科研成果。
图1-1 倒立摆模型(a)一级倒立摆模型（b）二级倒立摆模型倒立摆系统可以简单地描述为小车自由地在限定的轨道上左右移动。
小车上的倒立摆一端用铰链安装在小车顶部,另一端可以在小车轨道所在的垂直平面内自由转动,通过电机和皮带传动使小车运动,让倒立摆保持平衡并保持小车不和轨道两端相撞。
在此基础上在摆杆的另一端铰链其它摆杆,可以组成二级、三级倒立摆系统。
该系统是一个多用途的综合性试验装置,它和火箭的飞行及步行机器人的关节运动有许多相似之处,其原理可以用于控制火箭稳定发射、机器人控制等诸多领域。
倒立摆系统控制原理单级倒立摆系统的硬件包括下面几个部分：计算机、运动控制卡、伺服系统、倒立摆和测量元件，由它们组成的一个闭环系统，如图1-2所示，就是单级倒立摆系统的硬件结构图。
图1-2 单级倒立摆硬件结构图通过角度传感器可以测量摆杆的角度，通过位移传感器可以得到小车的位置，然后反馈给运动控制卡，运动控制卡与计算机双向通信。
倒立摆滑模变结构控制器的设计与实现
求解微 分 方程 （ 以ｓ ＞ ０为例 ） 可得
ｓ 一
｝ ） ｅ 詈
０ 从堕式可 看｛ 出 。 趋近运动以ｓ ＝一 ８ ／ ｋ 为渐近线， 趋近速度与 ｋ 正相关。因此， 参数 ｋ 和 即决定 趋遗逮瘦： ， 受 决楚 系统能否有效抑制抖振。为此本文针对上述倒立摆模型， 通过仿真研究了参数 ｋ 同值好 档控制范围、 最大偏移量、 调节时间几个方面性能指标， 综合考虑， 最终确定 酶参数值 珀， ： ８ ， 由 倒立摆的 践性映撼旁 及趋逦这动的表达式得 ； ＝ ｃ； ＝ Ｃ （ Ａ ｘ ＋ Ｂ ｕ ） ＝一 ｓ ｇ ｎ ｓ — ｋ ｓ 。从而可得趋
Ｆ ｉ ｇ ． １ Ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｏ ｆ ｓ ｌ ｉ ｄ ｅ ｍｏ ｄ ｅ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ
图 ２ 倒立摆实时控制结果
Ｆ ｉ ｇ ． ２ Ｐ ｈ ｏ ｔ ｏ ｏ ｆ ｒ ｅ ａ ｌ —ｔ ｉ ｍｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｆ ｏ ｒ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｔ ｅ ｄ ｐ ｅ ｎ ｄ ｕ ｌ ｕ ｍ
母
旬． ０１
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… ÷ ． ． … ． ． … ． ． 。 鎏 霎 ５ ｙ ｆ ： － ： ： － ． ： … ： ： ： … ： ： ： ： ：
． ． ． ．
侧
援
。
吃
司 ０ ８ Ｄ
图１ 滑模变结构控制仿真 曲线
’
０ １ ＝Ｃ ２ Ｋ
ｅ＝［ ｅ 。 ０ ］ ＝［ ｅ Ｋ ０ ］＝０ ［ Ｋ ， ］ （ 常取 ｅ ＝ ， ） 所 以最终 可确定 滑模 面的方 程为 ： ｓ ＝Ｃ ｘ：Ｃ Ｔ ｘ 根据 系统参 数及 倒立摆 的性 能要求 ， 配置 极点 为 ： ［一１ ＋ ． 『 一１ 一 一９ ］ ， 由此 可得滑模 面方 程为 ： ｓ ＝ ＝［ １ ． ８ ３ ６ ７ １ １ ． ７ ７ ９ ３ ２ ． ０ ４ ０ ８ １ ． ８ ６ ５ ９ ］
三级倒立摆建模与控制器设计仿真
>> figure(2);plot(T,Y(:,2));
>> xlabel('Time/sec');ylabel('01/rad');title('下摆角度变化曲线');grid;
>> figure(3);plot(T,Y(:,3));
MATLAB中，用函数eig（A）来计算系统矩阵的特征值，经过计算，式⑵式所示的线性定常系统的特征值为：
r1 =[013.27158.39193.1656-18.2950-2.9940-8.5547-13.7810]
因此，该系统为不稳定系统，需加外部控制器形如式（2）所示的线性定常系统能控的充分必要条件是：
PA+ P-PB +Q=0⑷
可以得到状态反馈阵
此时各摆角的动态和稳态指标较为理想。初始条件为 。
仿真结果
程序：
>>A=[0,0,0,0,1,0,0,0;0,0,0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,1;0,-3.6551,0.12698,0.44281,-16.809,0.016897,-0.0056447,-0.0032595;0,45.74,-80.216,-8.3647,57.098,-0.56272,0.32956,-0.072179;0,-49.782,169.9,-4.781,-62.143,0.98145,-0.65964,0.32957;0,-5.159,-114.49,72.269,6.4401,-0.53453,0.51673,-0.76437;];
三种趋近律下的倒立摆滑模控制器设计与实现
第 ３ ２卷 第 １ ０期
韶关 学 院学报 ・自然 科学
Ｊ ｕ ａ ｆＳ ａ ｇ ａ ｉｅ ｓｔ ・Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｏ ｒ ｌｏ ｈ ｏ ｕ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｎ ｙ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅ
０ ｔ ０ ｃ． １ ２ １ Ｖｏ ．２ １ ３ Ｎ ．０ ｏ１
这两个 状态 变量 的变 化趋势 采用 了状 态空 间数 学模 型 ：＝ ｘ Ｂ ， ｘ Ａ ＋ ｕ 其 中 ∈ Ａ∈Ｒ ｘ Ｂ∈尺 Ｒ， ＂Ｒ ， 尺 ． （） １
在设 计 滑动 模态 控 制器 时 ， 使 系统能 够 在任 意 的初 始状 态 下 ， 渐 近稳 定 于原 点 ， 且要 求控 制 对 要 都 并 干扰有 鲁棒 性 ． 在 控制 器 的设 计 过程 中首先 要设 计切换 面 ： ） ． ＝ ＝ 其 中 ＣＥＲ ｘ Ｒ． 系统沿 切 换 面 ｓ ＝ ）０上 的运 动 ， 到达理想 终 点 时 ， 足 ｓ ０和ｓ ０ 而 实 际上 系统运 动 点沿 切换 面上下 满 ＝ ＝， 穿行 ． 滑模 运动 由两 部分 组 成 即趋 近运 动和 滑模 运 动． 近运 动是 系统 从 任意初 始 状态 趋 向切 换面 ， 趋 直到 到 （） ２
达切 换 面的运 动 ． 于趋 近运 动 的具 体 轨迹不 作 任何 限制 ， 对 因此 采用 趋 近律 的方法 可 以改 善趋 近运 动 的动
收 稿 日期 ：０ １ ｏ 一 １ ２ １ 一 ７ Ｉ
作者简介： 刘文秀（９ Ｏ ）女 ， １８ －， 内蒙古通辽人 ， 韶关学院物理与机电工程学院讲师 ， 硕士 ， 主要从事自动化方面的教学和研究
ＭＡ Ｌ Ｂ仿 真 ， ＴＡ 从仿 真结果可 以看 出饱 和函数做为趋 近律 时设计方法
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>> T=0:0.02:20;U=zeros(size(T));
>> x0=[0;0.05;-0.05;0.05;0;0;0;0];
>> [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0);
>> figure(1);plot(T,Y(:,1));
B=zeros(8,1);
B(5:8)= M
C=zeros(4,8)
C(1:4,1:4)=eye(4,4);
D=zeros(4,1);
系统的稳定性、能控性及能惯性判断
对于如式（2）式所示的线性定常系统而言，其稳定性可通过计算系统矩阵A的特征值来确定(李雅普诺夫线性系统稳定判据)，如果特征值均处于[S]复平面左半平面，则系统稳定。
>> xlabel('Time/sec');ylabel('02/rad');title('中摆角度变化曲线');grid;
>> figure(4);plot(T,Y(:,4));
>> xlabel('Time/sec');ylabel('03/rad');title('上摆角度变化曲线');grid;
>> xlabel('Time/sec');ylabel('x(小车)/m');title('小车位移');grid;
>> figure(2);plot(T,Y(:,2));
>> xlabel('Time/sec');ylabel('01/rad');title('下摆角度变化曲线');grid;
>> figure(3);plot(T,Y(:,3));
>> Q=[q1 0 0 0 0 0 0 0;0 q2 0 0 0 0 0 0;0 0 q3 0 0 0 0 0;0 0 0 q4 0 0 0 0;0 0 0 0 q5 0 0 0;0 0 0 0 0 q6 0 0;0 0 0 0 0 0 q7 0;0 0 0 0 0 0 0 q8];R=1;
>> [K,P,r2]=lqr(A,B,Q,R)
下摆牛顿定律及动力矩方程：
中摆受力分析：
)
丄摆受力分析：
注： 下，中，上摆质心到铰链处距离；
下，中摆的长度；
；
;
其动力学方程如下⑴：
M( ) =F( ⑴
M( )=
F( )=
N( )=
G=
将此非线性模型在系统的平衡点r= = = =0, 处线性化得到系统的状态方程:
⑵
,
其中：
将参数带入方程计算：
A=
B=
％系统状态方程的重构
％状态变量
( )=( ,zeta )％输出变量Y=X
A=zeros(8,8);
A(1:4,5:8)=eye(4,4);
A(5:8,1:4)= M
A(5:8,5:8)= M ％不用invese而用blackslash是由于blackslash有更好的错误检查机制并且少用时间和内存。
C= D=
控制器设计
根据由图⑴所示的倒立摆系统模型的推导可知，该系统在一定的前提下，可以转变为线性系统#对于线性系统的控制，需要经过系统的稳定性、能控性和能观性判断后才能选择其最优的控制策略#图!显示了式（$）所示的线性系统外控制器的设计过程
状态方程的重构过程，实质上就是本文从式⑴式转化为式⑵式的过程，在MATLAB中，可以用如下代码表示:
Hale Waihona Puke 三级倒立摆摘要：从刚体运动学角度分析了三级倒立摆系统的运动，运用状态空间法对三级倒立摆系统进行数学模型的建立;应用二次型最优控理论实现三级倒立摆控制；最后根据计算结果，通过Matlab程序仿真，得出上中下摆的角度和小车的位移曲线图。
关键词：倒立摆；最优控；仿真；MATLAB
三级倒立摆系统模型
一个典型的三级直线倒立摆系统主要由机电装置和控制装置两部分组成,机电装置的结构见图!
MATLAB中，用函数eig（A）来计算系统矩阵的特征值，经过计算，式⑵式所示的线性定常系统的特征值为：
r1 =[013.27158.39193.1656-18.2950-2.9940-8.5547-13.7810]
因此，该系统为不稳定系统，需加外部控制器形如式（2）所示的线性定常系统能控的充分必要条件是：
>>B=[0;0;0;0;8.72;-29.621;32.238;-3.341];
>> C=[1,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,0,0];
>> D=[0;0;0;0];
>> r1=eig(A)
>> q1=500;q2=500;q3=300;q4=100;q5=0;q6=0;q7=0;q8=0;
综上所述，式（2）所示的线性定常系统为不稳定的能控、能观系统，可加外控制器实现系统的稳定。
线性最有调节器的设计
定义状态方程⑵的二次性能指标函数为： ⑶
正定R阵的作用在于限制控制器的输出不会太大而导致难于实现，所以不失一般性，可以将其设为1，LQR方法中，Q阵可以选为非负的对角阵，Q=diag（ ）.各主对角系数的相对大小对系统的整体控制性能有很大的影响，目前普遍采用试探实验的方法来确定加权矩阵Q的系数大小。观察知： 大小的变化对小车的位移影响很大，因为小车位移大小受直线导轨长度的物理限制，所以， 取值可以固定为一个适当大小的数，使小车位移不至过大； ， 次之， 的影响较小。取值时可以去 ,取Q=diag(500,500,300,100,0,0,0,0),R=1.求解Riccati代数方程
rank[B AB… ]=n;
MATLAB中，用“ctrb(A,B)”来求系统能控矩阵 =[B AB… ]的秩，经过计算rank( )=8,系统能控。
形如式（2）所示的线性定常系统能观的充分必要条件为：
MATLAB中，用“obsv(A,C)”来求系统能观阵 的秩，计算的，rank( )=8,系统能观。
PA+ P-PB +Q=0⑷
可以得到状态反馈阵
此时各摆角的动态和稳态指标较为理想。初始条件为 。
仿真结果
程序：
>>A=[0,0,0,0,1,0,0,0;0,0,0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,1;0,-3.6551,0.12698,0.44281,-16.809,0.016897,-0.0056447,-0.0032595;0,45.74,-80.216,-8.3647,57.098,-0.56272,0.32956,-0.072179;0,-49.782,169.9,-4.781,-62.143,0.98145,-0.65964,0.32957;0,-5.159,-114.49,72.269,6.4401,-0.53453,0.51673,-0.76437;];
其主要由摆杆、电机、小车、导轨、传动齿轮、齿条及各种传感器等构成假设系统中的每一根摆杆都是匀质刚体，驱动力与放大器的输入成正比且无延迟地直接作用于小车上，并且可以在忽略实验中的库仑摩擦和动摩擦的前提下，图1所示的倒立摆系统的物理分析：
三级倒立摆受力分析图：
小车受力分析图
下摆受力分析
中摆受力分析
上摆受力分析